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(共28张PPT)
第八章
微专题6　多面体的外接球与内切球
立体几何初步
典例剖析·素养初现
拓展
1
外接球补形法
　　　(1) 在三棱锥A BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，若△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则三棱锥A BCD的外接球的体积为 (　　)
A．π 　 B．2π
C．3π　 D．4π
1
【解析】
　　　设AB，AC，AD的长度分别为a，b，c，由题意得解得
因为三条侧棱两两垂直，所以以a，b，c为棱长的长方体的体对角线长就是三棱锥的外接球的直径长，所以外接球的半径R＝＝，故所求外接球的体积为＝π．
【答案】A
　　　(2) 已知三棱锥S ABC的四个顶点都在球O的球面上，且SA＝BC＝2，BS＝AC＝，SC＝AB＝，则球O的体积是 (　　)
A．　 B． C．　 D．
1
【解析】
　　　　如图，将三棱锥放入长方体中，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则故a2＋b2＋c2＝8，球O的半径R＝＝，故体积为πR3＝．
D
　　　(3) 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑A BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥AD，AB＝BD＝，已知动点E从点C出发，沿外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为_______．
1
【解析】
　　　　如图(1)，将△ACD展开与△ABD在同一平面，设CD＝x．由题意得C'B＝，∠BDC'＝135°．在△C'BD中，由余弦定理得C'B2＝C'D2＋BD2 2C'D·BD·cos 135°，即()2＝x2＋()2 2x×，即x2＋2x 8＝0，解得x＝2或x＝ 4(舍去)．如图(2)，将三棱锥放入长方体中，该棱锥的外接球即为长方体的外接球，则外接球的半径R＝＝，所以外接球的表面积S＝4πR2＝8π．
图(1)
图(2)
【答案】8π
补形法(补长方体或正方体)
墙角模型
图(1)
鳖臑模型
图(2)
两直角三角形共斜边模型
图(3)
对棱相等模型
图(4)
拓展
2
外接球定球心法
　　　　　(1) (侧棱相等的棱锥)已知在四面体V ABC中，VA＝VB＝VC＝，AB＝
，∠ACB＝，则该四面体外接球的表面积为______．
【解析】
　　　　如图，因为VA＝VB＝VC＝，所以V在平面ABC上的投影为△ABC的外心O'．又AB＝，∠ACB＝，所以由正弦定理得△ABC的外接圆的半径r＝＝1，则VO'＝＝．设四面体外接球的半径为R，则( R)2＝R2 1，解得R＝，所以外接球的表面积为4πR2＝4π×＝．
2－1
　　　　　(2) 已知三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝60°，PA＝AC＝2，则此三棱锥外接球的表面积为 (　　)
A．　 B． C．10π　 D．5π
【解析】
　　　　设底面三角形ABC的外接圆半径为r，三棱锥P ABC的外接球半径为R．如图，由正弦定理得2r＝＝＝，可得r＝，所以R＝＝＝，则外接球的表面积S＝4πR2＝4π×＝．
2－1
B
　　　　　已知菱形ABCD的边长为2，∠D＝60°．如图所示，将△ACD沿AC折起，使得点D到达点S的位置，连接BS，得到三棱锥S ABC，此时BS＝3．若E是线段SA的中点，点F在三棱锥S ABC的外接球上运动，且始终保持EF⊥AC，则点F的轨迹的周长为 (　　)
A．π　 B．π
C．π　 D．π
2－2
【解析】
　　　　如图，取AC的中点M，连接SM，BM，则AC⊥BM，AC⊥SM，又BM∩SM＝M，BM，SM 平面SMB，所以AC⊥平面SMB．又SM＝MB＝，BS＝3，所以∠MBS＝∠MSB＝30°．作EH⊥AC于H，设点F的轨迹
所在平面为α，则平面α经过点H且AC⊥α．设三棱锥S ABC外接球的球心为O，△SAC，△BAC的中心分别为O1，O2，易知OO1⊥平面SAC，OO2⊥平面BAC，且O，O1，O2，M四点共面．
由题可得∠OMO1＝∠O1MO2＝60°，O1M＝SM＝，则OO1＝O1M＝1，又O1S＝SM＝，则三棱锥S ABC外接球的半径r＝＝．易知O到平面α的距
离d＝MH＝，故平面α截外接球所得截面圆的半径为r1＝＝＝，所以截面圆的周长为l＝2πr1＝π，即点F的轨迹的周长为π．
【答案】C
1．单面定球心法(“定＋算”)
步骤：(1) 定一个面外接圆圆心：如图(1)，在三棱锥P ABC中，选中底面△ABC，确定其外接圆圆心O1 (正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点处，普通三角形用正弦定理定外心且2r= )；
(2) 过外心O1作(找)底面△ABC的垂线，PO1⊥底面ABC，则球心一定在直线PO1上(注意不一定在线段PO1上)；
(3) 计算半径R：在直线PO1上取一点O，则OP＝OA＝R，利用公式OA2＝O1A2＋O可计算出球半径R．
图(1)
2．双面定球心法(两次单面定球心)
如图(2)，在三棱锥P ABC中：
(1) 选定底面△ABC，定△ABC外接圆圆心O1；
(2) 选定平面PAB，定△PAB外接圆圆心O2；
(3) 过O1作平面ABC的垂线，过O2作平面PAB的垂线，两垂线交点即为外接球球心O．
图(2)
拓展
3
内切球等体积法与截面法
　　　(1) 我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．现有一个“鳖臑”，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，且PA＝3，AC＝4，BC＝
3，则该四面体的外接球的表面积为______，该四面体的内切球的表面积为_____.
3
【解析】
　　　　由题意可知PA⊥底面ABC，AC，BC，AB 底面ABC，故PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC．又AC⊥BC，PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，所以BC⊥平面PAC．又PC 平面PAC，所以BC⊥PC．取PB的中点O，连接OA，OC，则OA＝OC＝OP＝OB，即O为该四面体的外接球的球心．
又PA＝3，AC＝4，BC＝3，则AB＝＝5，PC＝＝5，则该四面体外接球的半径为R＝PB＝＝，故该四面体的外接球的表面积为4πR2＝34π．设该四面体的内切球球心为O'，半径为r，则VP ABC＝VO' ABC＋VO' PAC＋ VO' PBC＋VO' PAB，即
×4×3×3 ＝×r×，解得r＝，则该四面体内切球的表面积为4πr2＝4π×＝．
【答案】34π
　　　(2) “圆锥容球”是指圆锥形的容器里放了一个球，且球与圆锥的侧面及底面均相切(即圆锥的内切球)．已知某圆锥形容器的轴截面为等边三角形，高为2，则
该圆锥内切球的表面积为_______．(容器壁的厚度忽略不计)
【解析】
　　　　作圆锥的轴截面，如图，由图知△PAB为等边三角形，则∠PAO＝60°，又PO＝2，所以AO＝2，所以在正三角形PAB中，∠OPC＝30°，设内切球球心为O1，半径为R，则O1在PO上，且O1O＝O1C＝R，O1C⊥PB．在Rt△PO1C中，PO1＝2O1C＝2R，所以2R＝2 R，解得R＝，所以内切球表面积S＝4πR2＝π．
3
π
拓展
4
多面体的内切球与棱切球
　　　(1) 正八面体是每个面都是正三角形的八面体．如图，若此正八面体的棱长为2，则它的内切球的表面积为 (　　)
A．　　　　　B．　　　　C．　　　　D．
4
【解析】
　　　　以内切球的球心为顶点、正八面体的八个面为底面，可将正八面体分为8个全等的正三棱锥，设内切球的半径为r，则8V三棱锥＝V正八面体＝2V正四棱锥，且正四棱锥的高为图中CO，易得CO＝，即8×·r＝2××(2×2)×，解得r＝，所以内切球的表面积为．
C
　　　(2) 与棱长为2的正四面体的所有棱都相切的球的直径为 (　　)
A．　 B．
C．2　 D．3
4
【解析】
　　　　如图，棱长为2的正四面体ABCD的6条棱为正方体的面对角线，因为球与正四面体的所有棱都相切，所以球与正方体的所有面都相切，即为正方体的内切球．设正方体的棱长为a，则a2＋a2＝22，所以a＝，则内切球的直径为a＝．
B
1．解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面(一般作出多面体的对角面所在的截面)，这个截面应包括几何体与球的主要元素，且能反映出几何体与球的位置关系和数量关系．
2．求内切球的半径常用等体积法
例如：如图，在四棱锥P ABCD中，内切球为球O，求球O的半径r．方法如下：
VP ABCD＝VO ABCD＋VO PBC＋VO PCD＋VO PAD＋VO PAB，即VP ABCD＝S四边形ABCD·r＋S△PBC·r＋S△PCD·r＋S△PAD·r＋S△PAB·r，可求出r＝(S表为四棱锥P ABCD的表面积)．
随堂内化·及时评价
1．如图，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面面积为36，△A1BC1的面积为6，则三棱锥B A1B1C1的外接球的表面积为 (　　)
A．68π
B．100π
C．172π
D．10π
【解析】
　　　　设正四棱柱ABCD A1B1C1D1的高为h．因为正方形ABCD的面积为36，所以A1B1＝B1C1＝6．在Rt△A1B1C1中，由勾股定理得A1C1＝6．在Rt△BCC1中，由勾股定理得B＝h2＋36，A1B＝BC1．因为△A1BC1的面积为6，所以×6＝6，解得h＝10．依题意，三棱锥B A1B1C1的外接球即为正四棱柱ABCD A1B1C1D1的外接球，其半径R＝＝，所以三棱锥B A1B1C1的外接球的表面积为4π·()2＝172π．
【答案】C
2．已知三棱锥P ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为2，则三棱锥P ABC的内切球的表面积为 (　　)
A．2π　 B．3π C．4π　 D．5π
【解析】
　　　　易知三棱锥P ABC沿PA，PB，PC三条侧棱展开后为等边三角形，设边长为x，则＝2×2，则x＝6，因此三棱锥P ABC的棱长为3．易得三棱锥P ABC的高为2，设内切球的半径为r，则4××r×S△ABC＝S△ABC×2，所以r＝，故内切球的表面积S＝4πr2＝3π．
B
3．张衡(78 139)是中国东汉时期伟大的天文学家、文学家、数学家．他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A，B，若线段AB的最小值为 1，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为 (　　)
A．30　 B．10
C．12　 D．36
【解析】
　　　　设正方体的棱长为a，则正方体的内切球半径为r＝，正方体的外接球半径R满足R2＝＋，则R＝a．由题意知R r＝a ＝ 1，解得a＝2，则R＝，该正方体的外接球的表面积为12π．因为圆周率的平方除以十六等于八分之五，即＝，所以π＝，所以外接球的表面积为12．
【答案】C
4．已知正四棱锥S ABCD的底面边长为2，侧棱长为3，则正四棱锥S ABCD的内切
球半径为___________．
【解析】
　　　　如图，设E为BC的中点，I为底面正方形ABCD的中心，所以SI⊥平面ABCD，则内切球球心在SI上，设为O，过O作OH⊥SE交SE于H．在Rt△SIC中，易求出SI＝，即正四棱锥S ABCD的高为．在△SBC中，易求出SE＝2，即正四棱锥S ABCD的斜高为2．设内切球的半径为r，则OI＝OH
＝r，由Rt△SIE与Rt△SHO相似，得＝，所以＝，即＝，所以r＝＝．微专题6　多面体的外接球与内切球
一、 单项选择题
1．设直三棱柱ABC A1B1C1的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是，AB＝AC＝AA1，∠BAC＝120°，则此直三棱柱的高是(　　)
A．1 B．2
C．2 D．4
2．若一个正四棱柱的每个顶点都在球O的球面上，且该四棱柱的底面面积为3，高为，则球O的体积为(　　)
A．16π B．
C．10π D．
3．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年.在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马P ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝5，AB＝3，BC＝4，则该阳马的外接球的表面积为(　　)
(第3题)
A． B．50π
C．100π D．
4．如图，已知球O是棱长为1 的正方体ABCD A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为(　　)
(第4题)
A．　 B．
C． D．
二、 多项选择题
5．在正四棱锥P ABCD中，若侧面与底面所成的角为，底面正方形的边长为2，则下列说法正确的是(　　)
A．正四棱锥外接球的表面积是
B．正四棱锥内切球的体积是
C．正四棱锥的体积为4
D．正四棱锥外接球的半径R与内切球的半径r之比为
6．已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是AA1，CC1的中点，过E，F的平面α与该正方体的每条棱所成的角均相等，以平面α截该正方体得到的截面为底面，以B1为顶点的棱锥记为棱锥Ω，则(　　)
A．正方体ABCD A1B1C1D1的外接球的体积为4π
B．正方体ABCD A1B1C1D1的内切球的表面积为π
C．棱锥Ω的体积为3
D．棱锥Ω的体积为
三、 填空题
7．棱长为a的正四面体的内切球的表面积为________．
8．在三棱锥P ABC中，PA＝BC＝5，PB＝AC＝，PC＝AB＝，则该三棱锥外接球的表面积为________；外接球的体积为________．
(第9题)
9．如图，在一个底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥P ABCD中，大球O1内切于该四棱锥，小球O2与大球O1及四棱锥的四个侧面相切，则小球O2的表面积为________．
四、 解答题
10．已知正三棱柱ABC A1B1C1的六个顶点在球O1上，又球O2与此三棱柱的5个面都相切，求球O1与球O2的体积比与表面积之比.
微专题6　多面体的外接球与内切球
1．B　【解析】 设AB＝AC＝AA1＝2m，△ABC外接圆O1的半径为r，直三棱柱ABC A1B1C1外接球O的半径为R.因为∠BAC＝120°，所以∠ACB＝30°，于是2r＝＝4m，r＝2m，O1C＝2m.又球心O到平面ABC的距离等于侧棱长AA1的一半，所以OO1＝m.在Rt△OO1C中，由OC2＝O＋O1C2，得R2＝m2＋4m2，R＝m，所以球的体积V＝π(m)3＝，解得m＝1.于是此直三棱柱的高是AA1＝2m＝2.
2．B　
3．B　【解析】 因为PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，则PA⊥AB，PA⊥AD，又四边形ABCD为矩形，则AB⊥AD，则阳马的外接球与以PA，AB，AD为长、宽、高的长方体的外接球相同.又PA＝5，AB＝3，AD＝BC＝4，所以外接球的直径为长方体的体对角线长，故外接球半径R＝＝＝，则外接球的表面积S＝4πR2＝4π·＝50π.
4．C　【解析】 根据题意知，平面ACD1是边长为的正三角形，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积.易得△ACD1内切圆的半径是×tan 30°＝，即r＝，所以S＝πr2＝π×＝.
5．BD　【解析】 如图，过P作PO1⊥底面ABCD，则O1为底面ABCD的中心.由正方形ABCD的边长为2，侧面与底面所成的角为，可知PO1＝，VP ABCD＝×2×2×＝，故C错误；设外接球的球心为O，在Rt△OO1B中，有O＋O1B2＝OB2，即(－R)2＋2＝R2，解得R＝，则正四棱锥外接球的表面积S＝4πR2＝4π×＝，故A错误；易得斜高h＝2，由VP ABCD＝×r＝，解得r＝，所以正四棱锥内切球的体积V＝πr3＝π×＝，故B正确；＝，故D正确.
(第5题)
6．AC　【解析】 因为正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，所以正方体ABCD A1B1C1D1的外接球的直径为＝2，内切球的半径为1，所以正方体ABCD A1B1C1D1的外接球的体积为π×()3＝4π，内切球的表面积为4π×12＝4π，故A正确，B错误.如图，M，N，S，T分别是棱AB，BC，C1D1，A1D1的中点.因为EMNFST在同一个平面内，并且该平面与正方体的各条棱所成的角均相等，所以平面α被此正方体所截得的截面图形为正六边形EMNFST，边长为.因为正六边形EMNFST的面积S＝×××sin×6＝3，B1到平面α的距离为＝，所以棱锥Ω的体积为×3×＝3，故C正确，D错误.
(第6题)
(第7题)
7．　【解析】 方法一：如图，设O是内切球的球心，由对称性可知，点O也是外接球的球心.设内切球的半径为r，外接球的半径为R.将正四面体放置正方体中，轻松求出R＝a，即OB＝a，在等边三角形BCD中，BE＝＝a(E是△BCD的外接圆圆心)，在Rt△OEB中，r＝OE＝＝a，所以S＝4πr2＝.
方法二：连接OA，OB，OC，OD，将正四面体分成四个小三棱锥，正四面体的四个面面积相等，易知小三棱锥的高是内切球的半径r.由VA BCD＝VO ABC＋VO ABD＋VO ACD＋VO BCD＝4VO ABC，得×AE×S△BCD＝4××r×S△ABC，所以4r＝AE＝a，即r＝a，所以S＝4πr2＝.
8．26π　　【解析】 由题意，该三棱锥的对棱相等，可知该三棱锥可置于一个长方体中，记该长方体的棱长为a，b，c，则有解得a＝1，b＝3，c＝4，所以三棱锥外接球的半径R＝＝，由此可得S＝4πR2＝26π，V＝πR3＝．
9．　【解析】 设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M，连接PM，OM，PO，则OM＝1，PM＝＝＝3，PO＝＝2.如图，在截面PMO中，设N为球O1与平面PAB的切点，则N在PM上，且O1N⊥PM.设球O1的半径为R，则O1N＝R.因为sin∠MPO＝＝.所以＝，则PO1＝3R，PO＝PO1＋OO1＝4R＝2，所以R＝.设球O1与球O2相切于点Q，则PQ＝PO－2R＝2R.设球O2的半径为r，同理可得PQ＝4r，所以r＝＝，故小球O2的表面积为4πr2＝.
(第9题)
(第10题)
10．【解答】 如图.由题意可得两球球心O1，O2是重合的，过正三棱柱的一条侧棱AA1和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为a，则R2＝D1E1＝a，正三棱柱的高h＝2R2＝a，在Rt△A1D1O中，＝A1＋＝＋＝a2 R1＝a，所以S1∶S2＝∶＝5∶1，V1∶V2＝∶＝5∶1.微专题6　多面体的外接球与内切球
典例剖析素养初现
拓展1　外接球补形法
例1　(1) 在三棱锥A BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，若△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则三棱锥A BCD的外接球的体积为(　A　)
A．π 　 B．2π
C．3π　 D．4π
【解析】设AB，AC，AD的长度分别为a，b，c，由题意得解得因为三条侧棱两两垂直，所以以a，b，c为棱长的长方体的体对角线长就是三棱锥的外接球的直径长，所以外接球的半径R＝＝，故所求外接球的体积为＝π．
(2) 已知三棱锥S ABC的四个顶点都在球O的球面上，且SA＝BC＝2，BS＝AC＝，SC＝AB＝，则球O的体积是(　D　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】如图，将三棱锥放入长方体中，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则故a2＋b2＋c2＝8，球O的半径R＝＝，故体积为πR3＝．
(3) 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑A BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥AD，AB＝BD＝，已知动点E从点C出发，沿外表面经过棱AD上一点到点B的最短距离为，则该棱锥的外接球的表面积为__8π__．
【解析】如图(1)，将△ACD展开与△ABD在同一平面，设CD＝x．由题意得C'B＝，∠BDC'＝135°．在△C'BD中，由余弦定理得C'B2＝C'D2＋BD2 2C'D·BD·cos 135°，即()2＝x2＋()2 2x×，即x2＋2x 8＝0，解得x＝2或x＝ 4(舍去)．如图(2)，将三棱锥放入长方体中，该棱锥的外接球即为长方体的外接球，则外接球的半径R＝＝，所以外接球的表面积S＝4πR2＝8π．
图(1)
图(2)
补形法(补长方体或正方体)
墙角模型
图(1)
鳖臑模型
图(2)
两直角三角形共斜边模型
图(3)
对棱相等模型
图(4)
拓展2　外接球定球心法
例2 1　(1) (侧棱相等的棱锥)已知在四面体V ABC中，VA＝VB＝VC＝，AB＝，∠ACB＝，则该四面体外接球的表面积为____．
【解析】如图，因为VA＝VB＝VC＝，所以V在平面ABC上的投影为△ABC的外心O'．又AB＝，∠ACB＝，所以由正弦定理得△ABC的外接圆的半径r＝＝1，则VO'＝＝．设四面体外接球的半径为R，则( R)2＝R2 1，解得R＝，所以外接球的表面积为4πR2＝4π×＝．
(2) 已知三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝60°，PA＝AC＝2，则此三棱锥外接球的表面积为(　B　)
A．　 B．
C．10π　 D．5π
【解析】设底面三角形ABC的外接圆半径为r，三棱锥P ABC的外接球半径为R．如图，由正弦定理得2r＝＝＝，可得r＝，所以R＝＝＝，则外接球的表面积S＝4πR2＝4π×＝．
例2 2　已知菱形ABCD的边长为2，∠D＝60°．如图所示，将△ACD沿AC折起，使得点D到达点S的位置，连接BS，得到三棱锥S ABC，此时BS＝3．若E是线段SA的中点，点F在三棱锥S ABC的外接球上运动，且始终保持EF⊥AC，则点F的轨迹的周长为(　C　)
A．π　 B．π
C．π　 D．π
【解析】如图，取AC的中点M，连接SM，BM，则AC⊥BM，AC⊥SM，又BM∩SM＝M，BM，SM 平面SMB，所以AC⊥平面SMB．又SM＝MB＝，BS＝3，所以∠MBS＝∠MSB＝30°．作EH⊥AC于H，设点F的轨迹所在平面为α，则平面α经过点H且AC⊥α．设三棱锥S ABC外接球的球心为O，△SAC，△BAC的中心分别为O1，O2，易知OO1⊥平面SAC，OO2⊥平面BAC，且O，O1，O2，M四点共面．由题可得∠OMO1＝∠O1MO2＝60°，O1M＝SM＝，则OO1＝O1M＝1，又O1S＝SM＝，则三棱锥S ABC外接球的半径r＝＝．易知O到平面α的距离d＝MH＝，故平面α截外接球所得截面圆的半径为r1＝＝＝，所以截面圆的周长为l＝2πr1＝π，即点F的轨迹的周长为π．
1．单面定球心法(“定＋算”)
步骤：(1) 定一个面外接圆圆心：如图(1)，在三棱锥P ABC中，选中底面△ABC，确定其外接圆圆心O1 (正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点处，普通三角形用正弦定理定外心且2r= )；
(2) 过外心O1作(找)底面△ABC的垂线，PO1⊥底面ABC，则球心一定在直线PO1上(注意不一定在线段PO1上)；
(3) 计算半径R：在直线PO1上取一点O，则OP＝OA＝R，利用公式OA2＝O1A2＋O可计算出球半径R．
图(1)
2．双面定球心法(两次单面定球心)
如图(2)，在三棱锥P ABC中：
(1) 选定底面△ABC，定△ABC外接圆圆心O1；
(2) 选定平面PAB，定△PAB外接圆圆心O2；
(3) 过O1作平面ABC的垂线，过O2作平面PAB的垂线，两垂线交点即为外接球球心O．
图(2)
拓展3　内切球等体积法与截面法
例3　(1) 我国古典数学著作《九章算术》中记载，四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．现有一个“鳖臑”，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，且PA＝3，AC＝4，BC＝3，则该四面体的外接球的表面积为__34π__，该四面体的内切球的表面积为____．
【解析】由题意可知PA⊥底面ABC，AC，BC，AB 底面ABC，故PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC．又AC⊥BC，PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，所以BC⊥平面PAC．又PC 平面PAC，所以BC⊥PC．取PB的中点O，连接OA，OC，则OA＝OC＝OP＝OB，即O为该四面体的外接球的球心．又PA＝3，AC＝4，BC＝3，则AB＝＝5，PC＝＝5，则该四面体外接球的半径为R＝PB＝＝，故该四面体的外接球的表面积为4πR2＝34π．设该四面体的内切球球心为O'，半径为r，则VP ABC＝VO' ABC＋VO' PAC＋VO' PBC＋VO' PAB，即×4×3×3＝×r×，解得r＝，则该四面体内切球的表面积为4πr2＝4π×＝．
(2) “圆锥容球”是指圆锥形的容器里放了一个球，且球与圆锥的侧面及底面均相切(即圆锥的内切球)．已知某圆锥形容器的轴截面为等边三角形，高为2，则该圆锥内切球的表面积为__π__．(容器壁的厚度忽略不计)
【解析】作圆锥的轴截面，如图，由图知△PAB为等边三角形，则∠PAO＝60°，又PO＝2，所以AO＝2，所以在正三角形PAB中，∠OPC＝30°，设内切球球心为O1，半径为R，则O1在PO上，且O1O＝O1C＝R，O1C⊥PB．在Rt△PO1C中，PO1＝2O1C＝2R，所以2R＝2 R，解得R＝，所以内切球表面积S＝4πR2＝π．
拓展4　多面体的内切球与棱切球
例4　(1) 正八面体是每个面都是正三角形的八面体．如图，若此正八面体的棱长为2，则它的内切球的表面积为(　C　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】以内切球的球心为顶点、正八面体的八个面为底面，可将正八面体分为8个全等的正三棱锥，设内切球的半径为r，则8V三棱锥＝V正八面体＝2V正四棱锥，且正四棱锥的高为图中CO，易得CO＝，即8×·r＝2××(2×2)×，解得r＝，所以内切球的表面积为．
(2) 与棱长为2的正四面体的所有棱都相切的球的直径为(　B　)
A．　 B．
C．2　 D．3
【解析】如图，棱长为2的正四面体ABCD的6条棱为正方体的面对角线，因为球与正四面体的所有棱都相切，所以球与正方体的所有面都相切，即为正方体的内切球．设正方体的棱长为a，则a2＋a2＝22，所以a＝，则内切球的直径为a＝．
1．解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面(一般作出多面体的对角面所在的截面)，这个截面应包括几何体与球的主要元素，且能反映出几何体与球的位置关系和数量关系．
2．求内切球的半径常用等体积法
例如：如图，在四棱锥P ABCD中，内切球为球O，求球O的半径r．方法如下：
VP ABCD＝VO ABCD＋VO PBC＋VO PCD＋VO PAD＋VO PAB，即VP ABCD＝S四边形ABCD·r＋S△PBC·r＋S△PCD·r＋S△PAD·r＋S△PAB·r，可求出r＝(S表为四棱锥P ABCD的表面积)．
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1．如图，在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面面积为36，△A1BC1的面积为6，则三棱锥B A1B1C1的外接球的表面积为(　C　)
A．68π
B．100π
C．172π
D．10π
【解析】设正四棱柱ABCD A1B1C1D1的高为h．因为正方形ABCD的面积为36，所以A1B1＝B1C1＝6．在Rt△A1B1C1中，由勾股定理得A1C1＝6．在Rt△BCC1中，由勾股定理得B＝h2＋36，A1B＝BC1．因为△A1BC1的面积为6，所以×6＝6，解得h＝10．依题意，三棱锥B A1B1C1的外接球即为正四棱柱ABCD A1B1C1D1的外接球，其半径R＝＝，所以三棱锥B A1B1C1的外接球的表面积为4π·()2＝172π．
2．已知三棱锥P ABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为2，则三棱锥P ABC的内切球的表面积为(　B　)
A．2π　 B．3π
C．4π　 D．5π
【解析】易知三棱锥P ABC沿PA，PB，PC三条侧棱展开后为等边三角形，设边长为x，则＝2×2，则x＝6，因此三棱锥P ABC的棱长为3．易得三棱锥P ABC的高为2，设内切球的半径为r，则4××r×S△ABC＝S△ABC×2，所以r＝，故内切球的表面积S＝4πr2＝3π．
3．张衡(78 139)是中国东汉时期伟大的天文学家、文学家、数学家．他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A，B，若线段AB的最小值为 1，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为(　C　)
A．30　 B．10
C．12　 D．36
【解析】设正方体的棱长为a，则正方体的内切球半径为r＝，正方体的外接球半径R满足R2＝＋，则R＝a．由题意知R r＝a ＝ 1，解得a＝2，则R＝，该正方体的外接球的表面积为12π．因为圆周率的平方除以十六等于八分之五，即＝，所以π＝，所以外接球的表面积为12．
4．已知正四棱锥S ABCD的底面边长为2，侧棱长为3，则正四棱锥S ABCD的内切球半径为____．
【解析】如图，设E为BC的中点，I为底面正方形ABCD的中心，所以SI⊥平面ABCD，则内切球球心在SI上，设为O，过O作OH⊥SE交SE于H．在Rt△SIC中，易求出SI＝，即正四棱锥S ABCD的高为．在△SBC中，易求出SE＝2，即正四棱锥S ABCD的斜高为2．设内切球的半径为r，则OI＝OH＝r，由Rt△SIE与Rt△SHO相似，得＝，所以＝，即＝，所以r＝＝．

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