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(共15张PPT)
第11章　二次根式
第1课时　二次根式的概念
11.1　二次根式的概念
　二次根式的概念
1.(2025江苏盐城东台月考)下列各式一定是二次根式的是
( )
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.
C
解析 A. 的根指数为3,不是二次根式,故A选项不符合题
意;
B. 的被开方数-3<0,∴ 不是二次根式,故B选项不符合
题意;
C. 符合二次根式的定义,故C选项符合题意;
D. 中,当a+1<0时, 不是二次根式,故D选项不符合题
意.故选C.
2.(2025江苏南通海安月考)下列式子一定是二次根式的是
( )
A. 　　 B.
C. 　　 D.
C
解析　在 中,a2+1>0,∴ 一定是二次根式,故选C.
3.(2025江苏扬州江都期末)若 是一个整数,则正整数m的
最小值是_________.
3
解析　∵ 是一个整数,∴3m是一个平方数,∴正整数m的
最小值是3.故答案为3.
　二次根式有、无意义的条件
4.(2025江苏连云港中考)若 在实数范围内有意义,则x的
取值范围是 ( )
A.x≤1　　 B.x≥1　　 C.x≤-1　　 D.x≥-1
D
解析　根据题意得,x+1≥0,解得x≥-1.故选D.
5.(2025江苏南京秦淮期末)当x=-1时,下列式子没有意义的是
( )
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.
A
解析 A.当x=-1时,分母为零,分式无意义,符合题意;
B.当x=-1时,分母不为零,分式有意义,不符合题意;
C.当x=-1时,被开方数为-1+1=0,二次根式有意义,不符合题意;
D.当x=-1时,分子中二次根式有意义,分母为-1-1=-2≠0,分式
有意义,不符合题意.故选A.
6.(2025江苏无锡厚桥中学一模)若 在实数范围内有意
义,则x的取值范围在数轴上表示正确的是 ( )
A B　　
C 　　 D
D
解析　由题意,得x+2≥0且x+3≠0,∴x≥-2.x的取值范围在数
轴上的表示如图:

故选D.
7.(2025江苏扬州期末)使式子 有意义的x的取值范围是
________________.
x≥-1且x≠2
解析　由题意可得
解得x≥-1且x≠2,
故答案为x≥-1且x≠2.

8.(★☆☆)若 是二次根式,则x的值为 ( )
A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.4
D
解析　∵ 是二次根式,∴|x-2|=2,即x-2=2或x-2=-2,∴x=4
或x=0,∵x-1≥0,∴x≥1,∴x=4,故选D.
9.(2025浙江杭州十五中期中,★★☆)若x,y满足|x+1|+ =
0,则xy=_________.
1
解析　∵|x+1|+ =0,
∴x+1=0,2-y=0,
∴x=-1,y=2,
∴xy=(-1)2=1.故答案为1.
10.(★★☆)当x=_______时, -5取最小值,最小值为_____.
-5
-
解析　由题意得2x+3≥0,∴x≥- ,即当x=- 时, -5取最
小值,最小值为-5.
11.【新考向·过程性学习题】(2025江苏连云港期中,★★☆)
问题背景:请认真阅读下面这道例题的解法.
例:已知y= + +2 025,求 的值.
解:由 得x=2 024,
∴y=2 025,∴ = .
(1)尝试应用:若x,y为实数,且y> + +2,化简: .
(2)拓展创新:已知b= + -a+7,求a-b的值.
解析 (1)由题意得 解得x=3,
∴y>2,∴1-y<0,∴ = =1.
(2)由题意得 解得ab=10,
∴b=-a+7,∴a+b=7,
∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=72-4×10=9,
∴a-b=±3.(共14张PPT)
第11章　二次根式
第2课时　二次根式的除法
11.2　二次根式的乘除
　二次根式除法的性质
1.下列运算错误的是 ( )
A. ÷ =2　　 B. ÷ =1　　
C. ÷ = 　　 D. ÷ =
B
解析 ÷ = = =2, ÷ = = = , ÷
= = = , ÷ = = = ,故选B.
2.(2025江苏南通东洲国际学校开学测试)估算 ÷ -1的运
算结果在 ( )
A.1和2之间　　 B.2和3之间
C.3和4之间　　 D.4和5之间
B
解析 ÷ -1= -1= -1,
∵9<15<16,∴3< <4,
∴2< -1<3,即 ÷ -1的运算结果在2和3之间.故选B.
3.(2025江苏靖江外国语学校月考)计算 - ÷ =_________.
解析　原式=3 -
=3 -2
= .
4.(2025浙江杭州模拟)对于任意两个不相等的数a,b,定义一种
新运算“ ”如下:a b= ,那么12 4=_________.
解析 12 4= = = = .故答案为 .
5.【学科特色·教材变式】计算:
(1) .
(2) ÷ .
(3) ÷3 × .
解析 (1) = = =8.
(2) ÷ =- × =- =- .
(3) ÷3 × = ÷ × = =1.
　二次根式除法性质的逆用
6.下列计算错误的是 ( )
A. = 　　 B. =
C. = 　　 D. =
C
解析　当被开方数是带分数时,要先化成假分数,再化简.
= = ,故选项C中的计算错误.
7.(2025江苏徐州贾汪期中)等式 = 成立的条件是
( )
A.x≥-1　　 B.x≤3
C.-1≤x≤3　　 D.-1D
解析　由题意得 解得-1
8.(2025江苏苏州相城期中,★★☆)下列各式从左到右的变形
正确的有 ( )
① = · ;② = ;③ · = ;④ = .
A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个
B
解析　①当a≥0,b≥0时, = · ,故原变形错误;
②当a≥0,b>0时, = ,故原变形错误;
③ · = ,故原变形正确;④ = ,故原变形正确.∴从
左到右的变形正确的有2个.故选B.
9.(2025江苏南京江宁期中,★★☆)已知 = ,且x为
偶数,求 · 的值.
解析　∵ = ,∴
解得6 · = · = · ,
∵x=8,∴1+x>0,x-4>0,
∴原式= ·
= = = =2.(共25张PPT)
第11章　二次根式
第2课时　二次根式的混合运算
11.3　二次根式的加减
　二次根式的混合运算
1.(2025江苏徐州中考)下列计算错误的是 ( )
A. + = 　　 B. × =
C. ÷ =2　　 D. =3
A
解析 和 不能合并,故A选项计算错误.故选A.
2.(2025河北中考)计算( + )( - )= ( )
A.2　　 B.4　　 C.6　　 D.8
B
解析 ( + )( - )=10-6=4,故选B.
3.按下图所示的运算程序计算,若输入“3”,则输出的结果是
_________.
3
解析　依题意得3÷ - = - <1.
( - )( + )=( - )(3 +3 )=
3( - )( + )=3×(3-2)=3.
4.(2025江苏无锡锡山期末)对于任意正实数a,b,定义一种新的
运算:a b= - ,如3 4= - =- ,则7 9= .
-2
解析　∵a b= - ,∴7 9= - = -3 =-2 ,故
答案为-2 .
5.计算:
(1)(7 - )× +5 ÷ .
(2)(3+ )(3- )+ .
(3) ÷ +(2- )× .
(4)( + )2 026×( - )2 026.
解析 (1)原式=7 -6+5 × =7 +5 -6=12 -6.
(2)原式=9-3+3-4 +4=13-4 .
(3)原式= ÷ +2+ = - +2+ = .
(4)原式= =(2-3)2 026=(-1)2 026=1.
6.先化简,再求值:2(a+ )(a- )-a(a-6)+6,其中a= -1.
解析 2(a+ )(a- )-a(a-6)+6=2(a2-3)-a2+6a+6=2a2-6-a2+6a+
6=a2+6a,
当a= -1时,原式= +6×( -1)=2-2 +1+6 -6=4 -
3.

7.(2025江苏泰州滨江学校月考,★★☆) ×( - )的值在
( )
A.3到4之间　　 B.4到5之间
C.5到6之间　　 D.6到7之间
B
解析 ×( - )
= -
=6- ,
∵ < < ,即1< <2,∴-2<- <-1,
∴4<6- <5.故选B.
8.(★★☆)计算:( - + )( - - ).
解析 ( - + )( - - )
=( - )2-( )2
=( )2-2× × +( )2-5
=3-2 +2-5
=-2 .
9.(2025江苏张家港常青藤联盟月考,★★☆)已知a=2+ ,b=
-2.
(1)求a2+b2-ab的值.
(2)若m为a的整数部分,n为b的小数部分,求 的值.
解析 (1)∵a=2+ ,b= -2,
∴a-b=2+ - +2=4,
ab=(2+ )( -2)=1,
∴a2+b2-ab
=(a-b)2+ab
=42+1
=17.
(2)∵ < < ,∴2< <3,
∴4<2+ <5,0< -2<1,
∵m为a的整数部分,n为b的小数部分,
∴m=4,n= -2,
∴ = = =4 +8.
10.【跨物理·自由落体】(2025江苏淮安期中,★★☆)行文明
之举,向高空抛物说“不”.为进一步研究高空抛物的危害,小
亮请教了物理老师,得知高空抛物下落的速度v(单位:m/s)和
高度h(单位:m)近似满足公式v= (不考虑风速的影响,g取1
0 m/s2),已知小亮家所住楼层的高度是15 m.
(1)假如一个物品从小亮家坠落,求该物品落地时的速度(结果
保留根号).
(2)小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍,所以两个相同
的物品分别从他家和小亮家坠落,从他家坠落的物品落地时
的速度将是从小亮家坠落的物品落地时速度的2倍,请问小明
的说法正确吗 判断并说明理由.
解析 (1)把h=15 m,代入v= ,得v= = =10
(m/s),
∴该物品落地时的速度为10 m/s.
(2)不正确,理由如下:
∵小明家所住楼层的高度是小亮家的2倍,
∴h小明=2×15=30 m,
将h小明=30 m代入v= ,
得v小明= =10 (m/s),
∴ = = ≠2,
即从小明家坠落的物品落地时的速度是从小亮家坠落的物品
落地时速度的 倍,而不是2倍,因此,小明的说法不正确.

11.【新课标·运算能力】阅读下面这道例题的解法,并回答问
题.
例如:化简 .
解: = = =|1+ |=1+ .
(1)依据上述方法,填空:
=_______, =_______.
(2)根据上述方法求值: + + +…+
.
解析 (1) = = =2+ .
= = =4 -3.
(2) + + +…+ = -1+( -
)+(2- )+…+(10- )=10-1=9.
微专题　巧用完全平方公式进行简便计算
1.(2025江苏扬州江都月考)若a=3- ,则代数式a2-6a-9的
值是_____________.
2 007
解析　∵a=3- ,∴a-3=- ,
∴a2-6a-9=(a-3)2-18=2 025-18=2 007.
故答案为2 007.
2.(2025江苏南京金陵中学期中节选)阅读下面内容:我们已经
学习了“二次根式”和“乘法公式”,可以发现:
当a>0,b>0时,∵( - )2=a-2 +b≥0,∴a+b≥2 ,当且仅
当a=b时取等号.
请利用上述结论解决以下问题:
(1)当x>0时,x+ 的最小值为_________.
(2)当x>0时, 的最小值为_________.
(3)当x>4时, 的最小值为_________.
2
6
2
解析 (1)根据题意得x+ ≥2 =2,
当且仅当x= 时,取等号,
即当x>0时,x+ 的最小值为2.
(2)根据题意得 =x+ ≥2 =6,
当且仅当x= 时,取等号,
即当x>0时, 的最小值为6.
(3) = =x-4+ ≥2 =2,
当且仅当x-4= 时,取等号,
即当x>4时, 的最小值为2.
3.(2025江苏南京雨花台期中)已知x= ,y= ,求下
面各代数式的值:
(1)x2+3xy+y2.
(2) + .
解析 (1)∵x= ,y= ,
∴x+y= ,xy=1.
∴x2+3xy+y2
=(x+y)2+xy
=( )2+1=8.
(2)由(1)知,x+y= ,xy=1,
∴ + = =
= =5.(共17张PPT)
第11章　二次根式
第1课时　二次根式的加减运算
11.3　二次根式的加减
　同类二次根式
1.(2025江苏泰州姜堰期末)下列二次根式中,与 不是同类二
次根式的是 ( )
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.
B
解析 A. = ,与 是同类二次根式;
B. =2,与 不是同类二次根式;
C. =2 ,与 是同类二次根式;
D. =3 ,与 是同类二次根式.故选B.
2.(2025江苏镇江期中)若最简二次根式 与 是
同类二次根式,则4a+3b=_________.
7
解析　由题意得 解得
∴4a+3b=7.故答案为7.
　二次根式的加减运算
3.(2025浙江义乌期末)下列计算正确的是 ( )
A.2+ =2 　　 B.2 + =3
C.2 - =2　　 D. + =
B
解析 2与 不是同类二次根式,不能合并,2 + =3 ,2
- = , 与 不是同类二次根式,不能合并.故选B.
4.设m=5 - ,则实数m的取值范围是 ( )
A.m<-5　　 B.-5C.-4-3
B
解析 m=5 - = -3 = -3 =-2 =- ,∵16<
20<25,∴ < < ,即4< <5,∴-5<- <-4,∴-54.故选B.
5.(2025吉林中考)计算 + =__________.
3
解析 + = +2 =3 .故答案为3 .
6.(2025江苏南京二模)化简2 - =__________.
3
解析 2 - =2×2 - =4 - =3 ,故答案为3 .
7.【学科特色·教材变式】计算:
(1)9 +7 -5 .
(2) + - .
(3) + + .
(4)3 -5 +7 (x≥0).
解析 (1)原式=9 +14 -5×4 =3 .
(2)原式=2 +2 - = +2 .
(3)原式= × + × + × = × = .
(4)原式=3× -5×2× +21× =14 .

8.(2025江苏南京秦淮外国语学校月考,★☆☆)下列二次根式
(a>0,b>0,c>0)中,是同类二次根式的是 ( )
A. 与 　　 B. 与
C. 与 　　 D. 与
A
解析 A. = , = ,∴ 与 是同类二次
根式,故此选项符合题意;
B. =ab ,∴ 与 不是同类二次根式,故此选项不
符合题意;
C. =2a ,∴ 与 不是同类二次根式,故此选项不
符合题意;
D. = , =ab ,∴ 与 不是同类二次根式,故
此选项不符合题意.故选A.
9.(2025江苏无锡宜兴期末,★★☆)设9- 的整数部分为a,小
数部分为b,则(a+ )(b+1)的值是 ( )
A.7- 　　 B.12　　 C.-3　　 D.-8
B
解析　∵ < < ,∴3< <4,
∴-4<- <-3,∴5<9- <6,
∴9- 的整数部分为a=5,
小数部分为b=9- -5=4- ,
∴(a+ )(b+1)=(5+ )(4- +1)=(5+ )(5- )=25-13=1
2,故选B.
10.(2025江苏盐城建湖期末,★★☆)如图,用一根铁丝首尾相
接可以围成一个长为 π、宽为 π的矩形.若将这根铁丝展
开重新首尾相接围成一个圆形,则该圆的半径是 ( )

A.2 　　 B.6 　　 C.2 　　 D.3
D
解析　由题意,得这根铁丝的长为2( π+ π)=6 π,∴将这
根铁丝展开重新首尾相接围成一个圆形,该圆的半径是
=3 .故选D.
11.(2025江苏苏州草桥中学月考,★★☆)实数a,b在数轴上对
应点的位置如图所示,M= - - .
(1)化简M.
(2)若a= -1,b=- -1,求M的值.
解析 (1)由数轴可得0∴a-2<0,b+2<0,∴M= - -
=|a-2|-|b+2|-|a|
=-(a-2)+(b+2)-a
=-2a+b+4.
(2)∵a= -1,b=- -1,M=-2a+b+4
=-2( -1)+(- -1)+4
=-2 +2- -1+4
=-3 +5.(共13张PPT)
第11章　二次根式
第2课时　二次根式的性质
11.1　二次根式的概念
　利用二次根式的性质进行化简
1.(2025江苏南京秦淮月考)已知aA.a+b-3　　 B.a-b-3
C.3-a-b　　 D.a-b-1
C
解析　由a0,
∴原式=|b-1|+|2-a|=-(b-1)+2-a=3-a-b.故选C.
2.(2025江苏淮安月考)由数轴可知,c______0,b-a______0,a+b____
_____0,b+c______0(填“>”“<”或“=”).化简: -|b-a|+
-|b+c|=________.
　-3b
　>
<

　>
　>
解析　根据数轴可得a∴b-a>0,a+b<0,b+c>0,
∴ -|b-a|+ -|b+c|
=|c|-|b-a|+|a+b|-|b+c|
=c-(b-a)+(-a-b)-(b+c)
=c-b+a-a-b-b-c
=-3b.
故答案为>;>;<;>;-3b.
3.(2025江苏盐城毓龙路实验学校月考)计算:
(1)( )2- .
(2)(2 026-π)0- +| -3|.
解析 (1)原式=2-3=-1.
(2)原式=1-3+(3- )
=1- .

4.(2025江苏南通崇川期中,★★☆)如果 =1-5a,那么
( )
A.a< 　　 B.a≤ 　　 C.a≥ 　　 D.a>
B
解析　由题意得 =|5a-1|=1-5a,由绝对值的性质可得5
a-1≤0,解得a≤ ,故选B.
5.(2025江苏盐城期末,★★☆)实数x在数轴上对应点的位置
如图所示,则 可化简为 ( )

A.x+2　　 B.x-2　　 C.-x-2　　 D.2-x
D
解析　根据数轴可知1∴ = =|x-2|=2-x,故选D.
6.(2025江苏南京金陵中学三模,★★☆)下列各式中,一定成立
的是 ( )
A. =( )2　　
B. =( )2
C. =a-1　　
D. = ·
A
解析 A. =( )2=2.5,故该选项正确,符合题意;
B. =|a|,( )2=a,故该选项错误,不符合题意;
C. =|a-1|,故该选项错误,不符合题意;
D.当a≥3时, = · ,故该选项错误,不符合题意.
故选A.

7.【新课标·推理能力】【学科特色·分类讨论思想】(2025江
苏盐城大丰期中)阅读下面的解题过程:
例:若代数式 + 的值是2,求a的取值范围.
解:原式=|a-1|+|a-3|,
当a<1时,原式=(1-a)+(3-a)=4-2a=2,解得a=1(舍去);
当1≤a≤3时,原式=(a-1)+(3-a)=2,符合题意;
当a>3时,原式=(a-1)+(a-3)=2a-4=2,解得a=3(舍去).
∴a的取值范围是1≤a≤3.
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法,请你根据对上述
解题过程的理解,解答下列问题:
(1)当2≤a≤4时,化简: + =_______.
(2)若等式 + =4成立,求a的取值范围.
(3)若 + =10,求a的值.
解析 (1) + =|a-2|+|a-4|,
∵2≤a≤4,∴原式=a-2+4-a=2.故答案为2.
(2) + =|3-a|+|a-7|,
当a<3时,原式=3-a+7-a=10-2a=4,
解得a=3(舍去),
当3≤a≤7时,原式=a-3+7-a=4,符合题意,
当a>7时,原式=a-3+a-7=2a-10=4,
解得a=7(舍去),
∴a的取值范围是3≤a≤7.
(3) + =|a+1|+|a-5|,
当a<-1时,原式=-a-1+5-a=10,解得a=-3,
当-1≤a≤5时,原式=a+1+5-a=6,不符合题意,
当a>5时,原式=a+1+a-5=10,解得a=7,
∴a=-3或7.(共16张PPT)
第11章　二次根式
第1课时　二次根式的乘法
11.2　二次根式的乘除
　二次根式乘法的性质
1.(2025甘肃兰州中考)计算 × 的结果是 ( )
A.6　　 B. 　　 C. 　　 D.1
B
解析 × = = .故选B.
2.(2025江苏徐州铜山三模)矩形相邻两边长分别为 , ,设
其面积为S,则S的值在 ( )
A.1和2之间　　 B.2和3之间
C.3和4之间　　 D.4和5之间
C
解析 S= × = ,
∵9<15<16,∴ < < ,即3< <4,故S的值在3和4之间.
故选C.
3.(2025江苏淮安中考)计算 × =_________.
2
解析 × = = =2.故答案为2.
4.使 · = 成立的条件是___________.
-2≤x≤3
解析　∵二次根式中的被开方数是非负数,
∴ 解得-2≤x≤3.
5.【学科特色·教材变式】计算:
(1) × .
(2) × × .
(3) × .
(4)3 × × .
解析 (1)原式= = =4x2.
(2)原式= = =8.
(3)原式=- =- =-2.
(4)原式=3× × × × = × = ×6=9.
　二次根式乘法性质的逆用
6.下列各式正确的是 ( )
A. = ×
B. = ×
C. = ×
D. = ×
D
解析 , 无意义,A选项错误; ≠ × ,B选项
错误; = ≠ × ,C选项错误.故选D.
7.(2025江苏南京玄武一模)计算 的结果是 ( )
A.3　　 B.±3　　 C.3 　　 D.±3
C
解析 = = = × =3 .故选C.
8.(2025江苏淮安清河开明中学月考) × =__________.
2
解析 × = = = = × =2 .故答案为2
.
9.若 =-x ,则x的取值范围是___________.
-5≤x≤0
解析　由题意知x+5≥0,解得x≥-5,∴ = =
· =|x|· =-x ,
∴x≤0,∴-5≤x≤0.
10.【学科特色·教材变式】计算:
(1) .
(2)- .
(3) (m>0,n>0).
解析 (1) = × =12×10=120.
(2)- =- × × =- ×6× =-3 .
(3) = =3m .

11.(2025江苏南京栖霞期末,★★★)已知 =a, =b,则
= ( )
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.
D
解析 = = = ,
∵ =a, =b,∴原式= .故选D.
12.(★★☆)计算:
(1) ×(- )× .
(2) · (a>0,b>0).
解析 (1)原式= × ×
= ×
= × = ×2×5×3×4=60.
(2)原式= × ×3×
=- =-9a2 .(共24张PPT)
第11章　二次根式
第3课时　分母有理化
11.2　二次根式的乘除
　分母有理化
1.(2025江苏宿迁经开区期中)计算 ÷ =_________.
解析 ÷ = = .故答案为 .
2.(2025江苏宿迁宿城期末)计算 ÷ =_________.
解析　原式= = = = ,故答案为 .
　最简二次根式
3.(2025江苏南京期末)下面各式是最简二次根式的是 ( )
A. 　　 B. 　　 C. 　　 D.
D
解析 =2 , = , =3,故选项A,B,C中的式子不是最
简二次根式; 是最简二次根式.故选D.
4.若最简二次根式 与最简二次根式 相等,则n=
_________,m=_________.
5
3
解析　由题意得 解得
5.将 化为最简二次根式,其结果是_________.
解析 = = .
6.将 (a>0,b>0,c>0)化为最简二次根式,其结果是 .
解析 = =
= = .
7.(2025河北石家庄二模)若 是最简二次根式,则整数a
的最小值为_________.
3
解析　由题意得2a-4≥0,解得a≥2,
∵a为整数,且 为最简二次根式,
∴当a=2时, =0,不是最简二次根式,
当a=3时, = ,是最简二次根式,
∴整数a的最小值为3,故答案为3.
8.【学科特色·教材变式】把下列二次根式化为最简二次根
式:
(1) .
(2) .
(3) (x>0).
(4) (x≥5).
(5) (a>0).
解析 (1)原式= = .
(2)原式= = .
(3)原式= = .
(4)原式= =x-5.
(5)原式= = .

9.(2025江苏连云港三模,★★☆)式子 , , , ,
中,最简二次根式有 ( )
A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个
A
解析 是最简二次根式; = ,不是最简二次根式;
= = ,不是最简二次根式; =2 ,不是最简二次根
式; =0.9,不是最简二次根式.故最简二次根式有1个,故选
A.
10.(2025江苏南京江宁期末,★★☆)已知 =5 , =n
,且m,n均为整数,则m-n= ( )
A.0　　 B.2　　 C.25　　 D.42
A
解析　∵ = =5 ,∴m=7,
∵ = =7 ,∴n=7,
∴m-n=7-7=0,故选A.
11.(2025江苏扬州江都期中,★★☆)当x>0时, 化简得
( )
A.xy 　　 B.-xy
C.-xy 　　 D.xy
C
解析　∵x>0,-x3y3≥0,∴y≤0,
∴ =
= · · =|x|·|y|·
=-xy ,故选C.
12.【学科特色·数形结合思想】(2025江苏淮安外国语学校月
考,★★☆)有一块矩形木板ABCD,木工甲采用如
图所示的方式,将木板的长AD增加2 cm,宽AB
增加7 cm,得到一个面积为128 cm2的正方形
AEFG.
(1)正方形AEFG的边长为_______cm.(填最简二次根式)
(2)求矩形木板ABCD的面积.
(3)木工乙想从矩形木板ABCD中截出长为2.0 cm,宽为1.0 cm
的矩形木条,最多能截出_______根这样的木条.
解析 (1)正方形AEFG的边长为 =8 (cm).故答案为8
.
(2)由题意知,AD=8 -2 =6 (cm),
AB=8 -7 = (cm),
∴AD·AB=6 × =12(cm2),
即矩形木板ABCD的面积为12 cm2.
(3)∵4×2<6 <5×2,1< <2,
∴最多能截出的木条数量为4×1=4(根),
故答案为4.
13.(2025江苏淮安中考,★★☆)先化简,再求值: ÷
,其中a= +1.
解析　原式= ÷
= ·
= .
当a= +1时,
原式= = = .
14.【新考向·过程性学习题】(2025江苏扬州邗江月考,★★
☆)在数学课外学习活动中,小丽遇到一道题:已知a= ,求
a2-4a+3的值.
她采用的解法为因为a= = =2- ,所以a-2
=- ,所以(a-2)2=(- )2,即a2-4a+4=3,所以a2-4a=-1,所以a2-4a+
3=-1+3=2.
请根据小丽的解题方法解决下列问题:
(1) =_______, =_______.
(2)化简: + + +…+ .
(3)若a= ,请按照小丽的方法求2a2-4a+1的值.
解析 (1) = = - , =
= ,
故答案为 - ; .
(2) + + +…+
= ×( -1+ - + - +…+ - )
= ×(-1+ )=2.
(3)a= = = +1,
∴a-1= ,∴(a-1)2=( )2,
即a2-2a+1=2,∴a2-2a=1,
∴2a2-4a+1=2(a2-2a)+1=2×1+1=3.

15.【新课标·运算能力】(2025江苏宿迁泗洪一模改编)阅读
下列材料,然后回答问题.
【思维启迪】
材料1:在进行二次根式运算时,我们有时会碰上 这样的
式子,其实我们还可以将其进一步化简: = =
= -1.
以上这种化简的步骤叫作分母有理化.
材料2:∵ < < ,即2< <3,
∴1< -1<2.
∴ -1的整数部分为1.
∴ -1的小数部分为 -2.
【学以致用】
(1)已知 的整数部分为a,小数部分为b.
①求a,b的值.
②求a2+b2的值.
(2)已知m是 的小数部分,求 的值.
解析 (1)① = = =2+ ,
∵ < < ,即1< <2,
∴3<2+ <4,
∴a=3,b=2+ -3= -1.
②∵a=3,b= -1,
∴a2+b2=32+( -1)2=9+3-2 +1=13-2 .
(2)∵ < < ,即2< <3,
∴m= -2,
原式= = ,
∵m= -2,
∴ = = = +2,∴ >m,
∴原式=- =-m+ =-( -2)+( +2)=4.

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