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(共13张PPT)
专项突破6　分式化简求值中的特殊方法
　凑值代入求值
1.若m2+3m=-1,则m- =_______.
-2
解析　由m2+3m=-1,得m2+m=-1-2m,
∴m- = = = =-2.
2.若 - =2,则分式 的值为_________.
6
解析　∵ - = =2,
∴n-m=2mn,∴m-n=-2mn,
∴ = = =6.
　特殊值法求值
3.(2024福建泉州期中)若abc=1,则 + +
的值是 ( )
A.1　　 B.2　　 C.-1　　 D.-2
A
解析　由abc=1,设a=1,b=1,c=1,则原式= + + =1.
方法解读　特殊值法常在填空、选择题中运用,解答题一般
不用该方法.
　设参法求值
4.(2025江苏宿迁宿豫月考)已知 = ,则 的值为______
-
解析　由 = ,可设x=2k,y=3k(k≠0),
∴ = = =- .
5.已知 = = ,求 的值.
解析　设 = = =k,则x=2k,y=3k,z=5k,
∴ = = =- .
　倒数法求值
6.(2025江苏连云港海州期中节选)在学习阶段,我们
常常会利用一些变形技巧来简化式子,解答问题.
材料:在解决某些分式问题时,倒数法是常用的变形技巧之一,
所谓倒数法,就是把式子变成其倒数形式,从而运用约分化简,
以达到计算目的.
例:若 = ,求代数式x2+ 的值.
解:∵ = ,∴ =4,即 + =4,∴x+ =4,
∴x2+ = -2=16-2=14.
根据材料回答问题:
(1)已知 = ,求x2+ 的值.
(2)已知x,y,z为实数, =-2, = , =- ,求 的
值.
解析 (1)∵ = ,∴ =4,
即 - + =4,∴x+ =5,
∴x2+ = -2=25-2=23.
(2)∵ =-2,∴ =- ,∴ + =- ,
同理可得 + =- , + = ,
∴ + + + + + =- + + =- ,
∴ + + =- ,∴ = + + =- ,
∴ =-4.
　裂项相消法求值
7.先观察下列等式,然后用你发现的规律解答下列问题:
=1- , = - , = - ,……
(1)探究 + + +…+ =_______.
(用含有n的式子表示)
(2)请你直接用(1)中所得的结论,求当x=1时,代数式 +
+ +…+ 的值.
解析 (1) .
详解: + + +…+ =1- + - + - +…+ -
=1- = .
(2)原式= - + - + - +…+ -
= - = ,
当x=1时,原式= = .(共20张PPT)
专项突破2　四边形中的折叠问题
　平行四边形中的折叠问题
1.(2025江苏苏州期中)如图,将 ABCD沿对角线BD折叠,使点
C落在点E处.若∠1=50°,∠2=58°,则∠A的度数为 ( )
A.101°　　 B.108°　　 C.110°　　 D.120°
A
解析　∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,∴
∠CBE=∠2=58°,∠ABD=∠1=50°,由折叠的性质可得∠CBD=
∠EBD= ∠CBE=29°,∴∠ADB=∠CBD=29°,∴∠A=180°-∠ADB-
∠ABD=180°-29°-50°=101°.故选A.
2.(2025甘肃中考)如图,把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC
折叠,点B落在点B'处,B'C与AD相交于点E,此时△CDE恰为等
边三角形.若AB=6 cm,则AD=__________cm.
12
解析　∵△CDE为等边三角形,∴DE=DC=EC,∠D=∠CED=60°,根据折叠的性质,得∠BCA=∠B'CA,∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,CD=AB=6 cm,∴∠EAC=∠BCA,∴∠EAC=∠ECA,
∵∠CED=∠EAC+∠ECA,∴∠EAC=30°,∴∠ACD=90°,∴AD
=2CD=12 cm.故答案为12.
　矩形中的折叠问题
3.【学科特色·方程思想】如图,将矩形ABCD沿着对角线BD
折叠,使点C落在C'处,BC'交AD于点E.
(1)若∠DBC=25°,求∠ADC'的度数.
(2)若AB=4,AD=8,求△BDE的面积.
解析 (1)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠C=90°,AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC=25°,
由折叠可知∠BDC'=∠BDC=90°-25°=65°,
∴∠ADC'=∠BDC'-∠ADB=65°-25°=40°.
(2)由折叠可知∠CBD=∠EBD,
∵AD∥BC,∴∠CBD=∠EDB,∴∠EBD=∠EDB,
∴BE=DE,设DE=BE=x,则AE=8-x,
∵在Rt△ABE中,由勾股定理得AB2+AE2=BE2,
∴42+(8-x)2=x2,解得x=5,∴DE=5,
∴S△BDE= DE·AB= ×5×4=10.
　菱形中的折叠问题
4.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,E是CD上一点,将△ADE沿
AE翻折,点D的对应点为点D',AD'与BC交于点F,若F为BC的中
点,则∠AED=___________.
75°
解析　如图,连接AC交D'E于点G,

∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,∠B=∠D,AD∥BC,
∵∠B=60°,∴△ABC是等边三角形,∠BAD=120°,∴AB=AC,
∵F为BC中点,∴AF⊥BC,∠BAF=∠CAF=30°,
由折叠可知∠DAE=∠FAE,
∴∠DAE= (∠BAD-∠BAF)=45°,
∴在△AED中,∠AED=180°-60°-45°=75°.
5.【学科特色·方程思想】如图,已知菱形ABCD的边长为3,∠
A=60°,点E,F分别在边AB,AD上.若将△AEF沿直线EF翻折,使
得点A恰好落在CD边的中点G处,则AF=___________.
2.1
解析　过点F作FH⊥CD,交CD的延长线于点H,如图,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB∥CD,
∴∠HDF=∠A=60°,
∵FH⊥CD,
∴∠HFD=90°-60°=30°,
∴DF=2HD.
设HD=x,则DF=2x,
∴FH= x,由折叠可知AF=GF=3-2x,
∵G为CD的中点,∴DG= DC=1.5,∴HG=x+1.5,
∴在Rt△FGH中,(x+1.5)2+( x)2=(3-2x)2,
解得x=0.45,∴AF=3-0.45×2=2.1.
　正方形中的折叠问题
6.(2025江苏徐州泉山月考)如图,在正方形ABCD中,AB=6,点E
在边CD上,且CE=2DE,将△ADE沿AE翻折得到△AFE,延长
EF交边BC于点G,连接AG,CF,则BG的长为 ( )

A.2　　 B. 　　 C.3　　 D.
C
解析　∵四边形ABCD是正方形,∴AD=BC=DC=AB=6,∠B=
∠D=90°,由折叠得AF=AD,∠AFE=∠D=90°,∴∠AFG=90°=
∠B,AF=AB,
在Rt△ABG和Rt△AFG中, ∴Rt△ABG≌Rt△AFG
(HL),∴BG=GF,∵CE=2DE,∴DE=2,CE=4,设BG=x,则CG=6-x,
GE=GF+EF=BG+DE=x+2,∵在Rt△ECG中,由勾股定理得CG2
+CE2=EG2,∴(6-x)2+42=(x+2)2,解得x=3,∴BG=3.
7.(2025江苏扬州二模)如图,在正方形纸片ABCD中,点E是边
CD上一点,连接AE,折叠该纸片,使点A落在AE上的点G处,并
使折痕经过点B,得到折痕BF,若AD=12,DE=5,则GE的长为____
_____.

解析　如图,设AE与BF的交点为H,

∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD=12,∠BAD=∠D=90°,
∴∠ABF+∠AFB=90°,
由折叠及轴对称的性质可知△ABF≌△GBF,BF⊥AG,AH=GH.
∴∠DAE+∠AFH=90°,∴∠ABF=∠DAE,
在△ABF和△DAE中,
∴△ABF≌△DAE(ASA),∴AF=DE=5,BF=AE,
∴在Rt△ABF中,BF= = =13,
∴AE=13,
∵S△ABF= AB·AF= BF·AH,
∴AH= = = ,
∴GE=AE-2AH=13-2× = .故答案为 .(共27张PPT)
专项突破3　四边形中的动点问题
　平行四边形中的动点问题
1.(2024四川自贡中考)如图,在 ABCD中,∠B=60°,AB=6 cm,
BC=12 cm.点P从点A出发,以1 cm/s的速度沿A→D运动,同时
点Q从点C出发,以3 cm/s的速度沿C→B→C→…往复运动,当
点P到达端点D时,点Q随之停止运动.在此运动过程中,线段
PQ=CD出现的次数是 ( )
B
A.3　　 B.4　　 C.5　　 D.6
解析　由题可知点P从点A运动到点D需要12 s,点Q从点C运
动到点B需要4 s.①当0≤t≤4时,若点Q在点P右侧,如图(1) ,过
点Q作QH⊥AD于点H,过点C作CG⊥AD于点G,则AP=t,CQ=3t
=GH.∵PD∥CQ,PQ=CD,∴四边形CQPD是等腰梯形,∴∠
QPH=∠D=∠B=60°.∵PQ=CD=AB=6,∴PH= PQ=3,DG=
CD=3.∵AP+PH+GH+DG=AD=BC=12,∴t+3+3t+3=12,解得t=1.5.
若点Q在点P左侧,如图(2),易知此时四边形CQPD是平行四边
形,∴此时PD=CQ=3t,∴AP+PD=t+3t=12,解得t=3.②当4时,若点Q在点P左侧,如图(3),此时四边形CQPD是平行四边
形,BQ=3(t-4),AP=t.∵AD=BC,PD=CQ,∴BQ=AP,∴3(t-4)=t,解
得t=6.若点Q在点P右侧,此时QC=3(8-t),同理可得t+3+3(8-t)+3
=12,解得t=9(不符合题意,舍去).③当8左侧,如图(4),此时四边形CQPD是平行四边形,CQ=3(t-8),PD=
12-t,∴3(t-8)=12-t ,解得t=9.若点Q在点P右侧,不符合题意.综
上线段PQ=CD出现的次数为4.
图(1) 图(2)
图(3) 图(4)
　矩形中的动点问题
2.(2024江苏无锡新吴期末)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,
BD相交于点O,AD=2,∠DAC=60°,点F在线段AO上从点A向点
O运动,连接DF,以DF为边作等边△DFE,点E和点A分别位于
DF两侧,连接CE.
(1)当点F运动到点O时,求CE的长.
(2)点F在线段AO上从点A到点O运动的过程中,求CE的最小值.
解析 (1)如图,连接OE.
∵在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,
∴OA=OD,
∵∠DAC=60°,∴△ODA为等边三角形,
∴∠ADO=∠AOD=60°,OD=AD,∴∠COD=120°,
∵△DFE为等边三角形,∴DF=DE,∠EDF=60°,
∴∠ADF=∠ODE=60°-∠ODF,
∴△ADF≌△ODE(SAS),∴∠DOE=∠DAF=60°,
∴∠COE=60°=∠DOE,
∵在矩形ABCD中,OC=OD,
∴△COE≌△DOE(SAS),∴CE=DE=DF,
∴当点F运动到点O时,CE=DF=DO=AD=2.
(2)由(1)可得CE=DF,∴当DF取得最小值时,CE有最小值,∵点
F在线段AO上从点A向点O运动,
∴当DF⊥AO时,DF有最小值,
∵在Rt△ADF中,∠DAF=60°,AD=2,
∴AF= AD=1,∴DF= ,∴CE的最小值为 .
3.(2025湖北孝感孝昌期中)如图1,在矩形ABCD中,AB=4 cm,
AD=2AB,AC的垂直平分线EF分别交AD,BC于点E,F,垂足为O,
连接AF,CE.
(1)求证:四边形AFCE为菱形.
(2)求AF的长.
(3)如图2,动点P,Q分别从A,C两点同时出发,沿△AFB和△
CDE各边匀速运动一周后停止,即点P沿A→F→B→A运动,点
Q沿C→D→E→C运动,在运动过程中,已知点P的速度为5 cm/
s,点Q的速度为4 cm/s,运动时间为t s,当以A,C,P,Q四点为顶点
的四边形是平行四边形时,求t的值.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠OAE=
∠OCF,∠OEA=∠OFC,∵EF垂直平分AC,∴OA=OC,∴△
OAE≌△OCF(AAS),∴OE=OF,∴四边形AFCE是平行四边
形,∵EF⊥AC,∴平行四边形AFCE是菱形.
(2)∵四边形ABCD是矩形,AB=4 cm,AD=2AB,
∴∠B=90°,BC=AD=2×4=8 cm,∵四边形AFCE是菱形,∴AF=
CF,设AF=CF=x cm,则BF=BC-CF=(8-x)cm,∵AF2=BF2+AB2,∴
x2=(8-x)2+42,解得x=5,即AF=5 cm.
(3)由题意知,只有当点P在BF上,点Q在DE上时,以A,C,P,Q四
点为顶点的四边形才可能是平行四边形,此时AQ=PC,∴AD-
AQ=BC-CP,即DQ=BP,由(2)得BF=3 cm,∵DQ=(4t-4)cm,BP=3-
(5t-5)=(8-5t)cm,∴4t-4=8-5t,解得t= .
故当以A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,t= .
　菱形中的动点问题
4.(2024江苏扬州宝应开学测试)如图,在面积为96的菱形
ABCD中,对角线BD=16,点O是线段BD上的动点,OE⊥AB于点
E,OF⊥AD于点F,则OE+OF=___________.
9.6
解析　如图,连接AC交BD于点P,延长EO交CD于点G,
∵菱形ABCD的面积是96,
∴ BD·AC=96,
∵BD=16,∴AC=12,
由菱形的性质可知∠APB=90°,AP= AC=6,BP= BD=8,DB平
分∠ADC,AB∥CD,
∴AB= = =10,
∵OE⊥AB,∴OG⊥CD,
∵DB平分∠ADC,OF⊥AD,∴OF=OG,
∴OE+OF=OE+OG=EG,
∵菱形ABCD的面积是96,∴AB·EG=96,
∴10EG=96,解得EG=9.6,即OE+OF=9.6.
5.如图1,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC=6 cm,
BD=8 cm,分别过点B,C作AC与BD的平行线相交于点E.
(1)判断四边形BOCE的形状并证明.
(2)点G从点A沿线段AC的方向以2 cm/s的速度运动了t s,连接
BG,当S△ABG=2S△OBG时,求t的值.
(3)如图2,点G在直线AC上运动,求BG+EG的最小值.
解析 (1)四边形BOCE是矩形.
证明:∵BE∥OC,EC∥OB,
∴四边形BOCE是平行四边形,
∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,
∴∠BOC=90°,∴平行四边形BOCE是矩形.
(2)∵四边形ABCD是菱形,AC=6 cm,
∴AC⊥BD,OA=OC=3 cm,
∵S△ABG=2S△OBG,∴AG=2OG,∴2t=2(3-2t)或2t=2(2t-3),
解得t=1或t=3,∴t的值为1或3.
(3)∵四边形ABCD是菱形,∴OB=OD,AC⊥BD,
∵四边形BOCE是矩形,
∴BE=OC=3 cm,∠EBO=90°,
如图,连接ED,交AC于点H,连接DG,
易知BG=DG,∴BG+EG=DG+EG≥DE,
∴当E,G,D三点共线,即点G与点H重合时,BG+EG有最小值,最
小值为线段DE的长,
在Rt△EBD中,DE= = = (cm),
∴BG+EG的最小值为 cm.
　正方形中的动点问题
6.(2024四川泸州中考)如图,在边长为6的正方形ABCD中,点E,
F分别是边AB,BC上的动点,且满足AE=BF,AF与DE交于点O,
点M是DF的中点,点G是边AB上的点,AG=2GB,则OM+ FG的
最小值是 ( )

B
A.4　　 B.5　　 C.8　　 D.10
解析　∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB,∠DAB=∠ABC=90°,
又∵AE=BF,∴△ADE≌△BAF(SAS),
∴∠ADE=∠BAF,
∴∠DOF=∠ADO+∠DAO=∠BAF+∠DAO=∠DAB=90°,
∵点M是DF的中点,∴OM= DF.
如图所示,在线段AB的延长线上截取BH=BG,连接FH,DH,

∵FB=FB,∠FBG=∠FBH=90°,BG=BH,
∴△FBG≌△FBH(SAS),
∴FH=FG,∴OM+ FG= DF+ HF= (DF+HF),
∴当H,F,D三点共线时,DF+HF有最小值,即此时OM+ FG有
最小值,最小值为DH的长的一半,
∵AG=2GB,AB=6,∴BH=BG=2,∴AH=8,
在Rt△ADH中,由勾股定理得DH= =10,∴OM+
FG的最小值为5,故选B.
7.如图1,正方形ABCD中,O是对角线AC的中点,P是线段AO上
(不与A,O重合)的一个动点,过点P作PE⊥PB,交CD于点E.
(1)求证:PB=PE.
(2)过点E作EF⊥AC于点F,如图2,若正方形ABCD的边长为2,
则在点P运动的过程中,PF的长度是否发生变化 若不变,请直
接写出这个不变的值;若变化,请说明理由.
解析 (1)证明:如图①,过P作MN∥AD,交AB于点M,交CD于点
N,∵PB⊥PE,∴∠BPE=90°,∴∠MPB+∠EPN=90°,∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=∠D=90°,∵AD∥MN,∴∠BMP=∠BAD=∠PNE=∠D=90°,∴∠MPB+∠MBP=90°,∴∠EPN=∠MBP,∵∠PCN=45°,∴△PNC是等腰直角三角形,∴PN=CN,∵∠BMP=∠PNC=∠ABC=90°,∴四边形MBCN是矩形,∴BM=CN,∴BM=PN,∴△BMP≌△PNE(ASA),∴PB=PE.
(2)在点P运动的过程中,PF的长度不变,PF= .
理由:如图②,连接OB,∵O是正方形ABCD对角线AC的中点,∴
OB=OA,OB⊥AC,∴∠AOB=90°,∴∠OBP+∠BPO=90°,∵EF⊥AC,∴
∠EFP=90°=∠AOB,∵∠BPE=90°,∴∠BPO+∠OPE=90°,
∴∠OBP=∠OPE,由(1)得PB=PE,∴△OBP≌△FPE(AAS),∴
PF=OB,∵在Rt△AOB中,OB=OA,AB=2,∴2OB2=4,∴OB= ,
∴PF= ,∴PF为定值,为 .(共10张PPT)
专项突破5　分式化简求值中的常见题型
　化简后直接求值
1.(2025江苏无锡梁溪一模)先化简,再求值: + · ,
其中x=2.
解析 + ·
= + ·
= + = ,
当x=2时,原式= =3.
　自选条件代入求值
2.(2025江苏盐城二模)先化简,再求值: ÷ ,其
中a从1,2,3中选一个恰当的数代入求值.
解析 ÷ = · = ,
∵a-2≠0,a-3≠0,∴a≠2,a≠3,∴a=1,
∴原式= =-1.
3.先化简,再求值: ÷ ,其中a与2,3为△ABC
的三边长,且a为整数.
解析　原式= ÷ = · =2a2-4a.∵
a与2,3为△ABC的三边长,
∴3-2=0(舍去),当a=4时,a-4=0(舍去),当a=3时,a-2=1≠0,故a的值只
能为3.当a=3时,原式=2×32-4×3=6.
4.先化简: ÷ ÷ ,再从不等式组
的整数解中选取一个适当的数代入求值.
解析　原式= ÷ ·
= · · = ,
解不等式组得-2原式有意义,则x≠-1,0,2,-2,∴x=1或3.
当x=1时,原式= =1.
　条件化简后代入求值
5.(2025重庆綦江期末)先化简,再求值: ÷ ,其
中x= +3.140.
解析　原式= ÷
= ÷ = · = ,
∵x= +3.140=4+1=5,
∴原式= = .
6.先化简,再求值: ÷ - ,其中a,b满足(a+1)2
+ =0.
解析 ÷ - = ·
- = - =- ,
∵(a+1)2+ =0,∴a+1=0,b-2=0,
∴a=-1,b=2,∴原式=- = .(共17张PPT)
专项突破7　分式中的易错点
　顾上不顾下
1.(2025江苏南京鼓楼期末)若分式 的值为0,则实数a的值
为_______.
　-2
解析　∵分式 的值为0,∴a2-4=0,a-2≠0,解得a=-2.
易错警示 本题的易错之处是只注意分子为0,忽略分母不能
为0,从而得出a=±2.
2.(2025河南开封期末)先化简 ÷ ,再从0≤x
≤4中选一个适合的整数代入求值.
解析 ÷ = ÷ =
· = ,∵0≤x≤4,x为整数,x≠0,3,4,∴x=
1或2,当x=1时,原式= = .当x=2时,原式= = .(答案不
唯一,任选1或2,代入求值即可)
易错警示 取适合的整数时,既要考虑x-3≠0,又要考虑2x2-8x
≠0.
　顾左不顾右
3.解分式方程 =1- 时,去分母后正确的是 ( )
A.2=1-x(x-1)　　 B.2=x2-1-x(x-1)
C.2=x2-1-x(x+1)　　 D.2(x+1)=x2-1-x
B
解析　方程两边同乘(x+1)(x-1),得2=x2-1-x(x-1),故选B.
易错警示 本题的易错之处是去分母时容易漏乘常数项.
4.(2025福建晋江期中)解方程:
- =1.
解析　方程两边同乘(x-1)(x+2),
得x(x+2)-3=(x-1)(x+2),
解得x=1,经检验,当x=1时,x-1=0,
∴x=1是方程的增根,∴原方程无解.
　顾明不顾暗
5.(2025江苏宿迁宿豫期末)已知关于x的方程 =3的解是
正数,则m的取值范围为 ( )
A.m<6　　 B.m<6且m≠-4
C.m>-6　　 D.m>-6且m≠-4
D
解析　去分母、去括号,得2x+m=3x-6,移项、合并同类项,得x
=m+6,∵方程 =3的解是正数,∴x>0,即m+6>0,∴m>-6,∵
x-2≠0,∴x≠2,即m+6≠2,∴m≠-4,∴m的取值范围为m>-6且m
≠-4,故选D.
易错警示 本题的易错之处是遗漏题目的隐含条件x-2≠0.
6.某校为了进一步开展“阳光体育”活动,计划用2 000元购
买乒乓球拍,用2 800元购买羽毛球拍.已知每副羽毛球拍比每
副乒乓球拍贵14元.该校购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量
能相同吗
(1)根据题意,甲和乙两同学都先假设该校购买的乒乓球拍与
羽毛球拍的数量能相同,分别列出的方程如下:
甲: = ;
乙: - =14.
根据两位同学所列的方程,请你分别指出未知数x,y表示的意义:
甲:x表示_____________;
乙:y表示_____________.
(2)该校购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量能相同吗 说明理
由(写出完整的解答过程).
解析 (1)每副乒乓球拍的价格;购买羽毛球拍或乒乓球拍的
数量.
(2)不能相同.理由如下:
假设能相同,设每副乒乓球拍的价格是x元,
则每副羽毛球拍的价格是(x+14)元.
根据题意得 = ,解得x=35.
经检验,x=35是原方程的解,
但是当x=35时,2 000÷35不是一个整数,这不符合实际情况,∴
该校购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量不能相同.
易错警示 本题的易错之处是忽略该题目的隐含条件:球拍
的数量是一个整数.(共19张PPT)
专项突破1　正方形中的三大模型
　十字架模型
1.如图,在正方形ABCD中,点E为边BC上一点,FG⊥AE交AB于
点F,交CD于点G,垂足为O,连接OD,若BE=1,FG= ,∠ODA=
2∠BAE,求OD的长.
解析　如图,作DH⊥AE交AE于点L,交AB于点H,则∠DLO=∠
DLA=90°,

∵FG⊥AE,∴DH∥FG,
∵四边形ABCD是正方形,
∴DG∥FH,AB=DA,
∴四边形DHFG是平行四边形,
∴DH=FG= ,
∵∠BAE+∠DAE=90°,∠ADH+∠DAE=90°,
∴∠BAE=∠ADH,
在△BAE和△ADH中,
∴△BAE≌△ADH(ASA),∴AE=DH= ,
∵BE=1,∴AD=AB= = =3,
∵∠ODA=2∠BAE,∴∠ODA=2∠ADL,
∴∠ODL=∠ADL,∵DH⊥AE,∴OD=AD=3.
　半角模型
2.(2025河南郑州期中)如图1,正方形ABCD的边长为3,点E,F分
别是边AB,BC上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋
转90°,得到△DCM.
(1)求证:EF=AE+CF.
(2)当AE=1时,求CF的长.
(3)探究延伸:如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180
°,BC+CD=8.点E,F分别是边BC,CD上的点,且∠EAF= ∠
BAD,求△CEF的周长.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=∠ADC=∠BCD=90°,DC=AD,
由旋转的性质得△DCM≌△DAE,∠EDM=90°,
∴∠DCM=∠A=90°,∠CDM=∠ADE,DM=DE,CM=AE,∴F,C,
M三点共线,
∵∠EDF=45°,
∴∠MDF=∠FDC+∠CDM=∠FDC+∠ADE=45°,
∴∠MDF=∠EDF,
在△DEF和△DMF中,
∴△DEF≌△DMF(SAS),
∴EF=MF=CM+CF=AE+CF.
(2)由(1)知CM=AE=1,设CF=x,则EF=1+x,
∵正方形ABCD的边长为3,∴AB=BC=3,
∴BE=2,BF=3-x,
∵在Rt△BEF中,BE2+BF2=EF2,
∴22+(3-x)2=(1+x)2,解得x= .
∴CF的长为 .
(3)如图,将△ADF绕点A顺时针旋转,得到△ABH,
由旋转的性质可得AH=AF,BH=DF,∠BAH=∠DAF,∠ABH=
∠D,∵∠EAF= ∠BAD,
∴∠HAE=∠BAH+∠BAE=∠DAF+∠BAE= ∠BAD,
∴∠HAE=∠EAF,
∵∠ABH+∠ABE=∠D+∠ABE=180°,
∴点H,B,E三点共线,
在△AEH和△AEF中,
∴△AEH≌△AEF(SAS),
∴EF=HE=HB+BE=DF+BE,
∵BC+CD=8,∴BE+EC+CF+DF=8,
∴(BE+DF)+EC+CF=8,则EF+EC+CF=8,
∴△CEF的周长为8.
方法解读 半角模型:共顶点的一个小角是另一个大角的一
半且大角两边相等的基本几何模型.常见的半角模型有“45°
半角模型”“60°半角模型”,基本图形如下:

解半角模型的一般步骤:①找旋转中心(含半角的角的顶点),
构造旋转;②证全等;③利用全等得到边角关系.
　手拉手模型
3.如图1,正方形ABCD中,AC为对角线,点P在线段AC上运动,
连接PD,以PD为边作正方形DPFE,连接CE.
(1)AP与CE的数量关系是_______,AP与CE的位置关系为____
______.
(2)当点P在对角线AC的延长线上运动时.
①如图2,探究线段CD,CP和CE之间的数量关系,并说明理由.
②如图3,连接AE,PE,若AB= ,AE= ,求四边形DCPE的面积.
解析 (1)AP=CE;AP⊥CE.
详解:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=DC,∠ACD=∠DAC=45°,∠ADC=90°,
∵四边形DPFE是正方形,
∴DP=DE,∠PDE=∠ADC=90°,∴∠ADP=∠CDE,
在△ADP和△CDE中,
∴△ADP≌△CDE(SAS),∴AP=CE,∠DCE=∠DAC=45°,
∴∠ACE=90°,∴AP⊥CE.
(2)①CE-CP= CD.
理由:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=DC,∠ADC=90°,∴AC= = CD,
∵四边形DPFE是正方形,∴DP=DE,∠PDE=90°=∠ADC,
∴∠ADC+∠CDP=∠PDE+∠CDP,即∠ADP=∠CDE,
在△ADP和△CDE中,
∴△ADP≌△CDE(SAS),
∴AP=CE,∴CE-CP=AP-CP=AC= CD.
②由(2)①知△ADP≌△CDE,
∴∠DCE=∠DAP=45°,
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=90°,
∵AB= ,∴CD=AB= ,AC=2,
∴CE= = =5,
∴AP=CE=5,∴PC=5-2=3,
∴PE= = = ,
∵PE2=DE2+DP2,DE=DP,∴DE=DP= ,
∴S△PDE= ×( )2= ,
∵S△PDC= ×3× AC= ,
∴S四边形DCPE=S△PDE+S△PDC= + =10.(共8张PPT)
专项突破8　二次根式中的代数推理
　用代数推理解决新定义问题
1.(2025江苏盐城亭湖三模)【代数推理】代数推理指从一定
条件出发,依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性
质、不等式的性质等证明已知结果或结论.
【发现问题】小明在计算时发现:对于任意两个连续的正整
数m,n,它们的乘积q(q=mn)与较大数的和一定为较大数的平
方.
(1)举例验证:当m=4,n=5时,q+n=4×5+5=25=52.
(2)推理证明:小明同学做了如下的证明:
设m∵q=mn,∴q+n=mn+n=n(m+1)=n2.
∴q+n一定是较大数n的平方.
【类比猜想】小红同学提出:任意两个连续正整数m,n的乘积
q(q=mn)与较小数的差是较小数的平方.
请你举例验证并推理证明.
【深入思考】若p= + (m,n为两个连续奇数,0解析　【类比猜想】举例验证:当m=4,n=5时,
q-m=4×5-4=16=42.
推理证明:
设m∵q=mn,∴q-m=mn-m=m(n-1)=m2.
∴q-m一定是较小数m的平方.
【深入思考】证明:∵m,n为两个连续奇数,0∴n=m+2,∴q=mn=m2+2m,
∴p= +
= +
= +
=|m+2|+|m|
=2m+2
=2(m+1),
∴p一定是偶数.
　用代数推理解决数形结合问题
2.(2025河南郑州高新区月考)如图,将边长分别为1,1+ ,1+2
,1+3 的正方形的面积记为S1,S2,S3,S4.
(1)计算:S2-S1=_______,S3-S2=_______,S4-S3=_______.
(2)把边长为1+(n-1) 的正方形的面积记作Sn,其中n是正整
数,从(1)中计算结果,你能猜出Sn+1-Sn等于多少吗 你的猜想是
否正确,请说明理由.
(3)若将边长变为a,a+ ,a+2 ,…,a+(n-1) ,试求Sn+1-Sn的值.
解析　 (1)S2-S1=(1+ )2-12=(1+ +1)(1+ -1)=2+2 ;
S3-S2=(1+2 )2-(1+ )2=(1+2 +1+ )(1+2 -1- )=6+2
;
S4-S3=(1+3 )2-(1+2 )2=(1+3 +1+2 )(1+3 -1-2 )=10
+2 .
故答案为2+2 ;6+2 ;10+2 .
(2)Sn+1-Sn=4n-2+2 .
理由:∵Sn=[1+(n-1) ]2,∴Sn+1=(1+n )2,
∴Sn+1-Sn=(1+n )2-[1+(n-1) ]2=[1+n +1+(n-1) ][1+n -
1-(n-1) )=[2+(2n-1) ]× =4n-2+2 .
(3)Sn+1-Sn=(a+n )2-[a+(n-1) ]2=[a+n +a+(n-1) ][a+n -
a-(n-1) )=[2a+(2n-1) ]× =2nb-b+2a .(共19张PPT)
专项突破4　构造三角形中位线的常用方法
　连接两点构造中位线
1.【学科特色·多解法】(2025江苏连云港期中)如图,BD,CE是
△ABC的中线,BD,CE交于点G,点M,N分别是BG,CG的中点.求
证:EM∥DN.
证明　【证法一】如图,连接AG,
∵BD,CE是△ABC的中线,
∴E是AB的中点,D是AC的中点,
∵点M,N分别是BG,CG的中点,
∴EM是△BAG的中位线,DN是△CAG的中位线,
∴EM∥AG,DN∥AG,∴EM∥DN.
【证法二】如图,连接ED,MN,
∵BD,CE是△ABC的中线,
∴E是AB的中点,D是AC的中点,
∴ED∥BC,ED= BC,
∵点M,N分别是BG,CG的中点,
∴MN∥BC,MN= BC,∴ED∥MN,ED=MN,
∴四边形EDNM是平行四边形,∴EM∥DN.
2.如图,在四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,分别与
MN相交于点F,E,AC=BD,M,P,N分别是边AB,BC,CD的中点,Q
是MN的中点,连接PQ.求证:PQ⊥MN.
证明　如图,连接PM,PN.

∵M,P分别是边AB,BC的中点,
∴PM∥AC,PM= AC.
∵N,P分别是边CD,BC的中点,∴PN∥BD,PN= BD,
又∵AC=BD,∴PM=PN.
∵Q是MN的中点,∴PQ⊥MN.
　取一边中点构造中位线
3.(2025山东济南槐荫期末)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点
D在AB的延长线上,点E为BC上一点,连接DE,点M,N分别为
AC,DE的中点,连接MN,若AD=10,EC=4,则MN的长为_______.
解析　如图,连接CD,取CD的中点F,连接MF,NF,
∵点M,N,F分别为AC,DE,CD的中点,
∴NF,MF分别是△CDE,△ACD的中位线,
∴NF∥BC,NF= EC=2,MF∥AD,MF= AD=5,
∵∠ABC=90°,MF∥AD,∴MF⊥BC,
∵NF∥BC,∴NF⊥MF,
在Rt△MNF中,由勾股定理得MN= = = .
故答案为 .
　利用角平分线、垂线构造中位线
4.(2025江苏镇江丹阳期中)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,
CD⊥AD,垂足为D,点G是BC的中点.
(1)求证:DG∥AB.
(2)若DG=2,AC=5,求AB的长.
解析 (1)证明:如图,延长CD交AB于点E,
∵AD平分∠BAC,CD⊥AD,
∴△AEC是等腰三角形,
∴CD=DE,即点D是CE的中点,
∵点G是BC的中点,∴DG是△CEB的中位线,
∴DG∥AB.
(2)由(1)可知,AE=AC,DG是△CEB的中位线,
∴DG= BE,
∵DG=2,AC=5,∴AE=5,BE=4,
∴AB=AE+BE=5+4=9.
　利用倍长法构造中位线
5.如图,四边形ABCD中,AC⊥BC,AD∥BC,BC=3,AC=4,AD=6,
M是BD的中点,则CM的长为 ( )
A. 　　　 B.2
C
C. 　　　　 D.3
解析　如图,延长BC到点E,使BE=AD,连接DE,
∵AD∥BC,∴四边形ABED是平行四边形,∵BC=3,BE=AD=6,
∴CE=BC=3,即点C为BE的中点,∵M是BD的中点,∴CM= DE
= AB,
∵AC⊥BC,∴AB= = =5,∴CM= .
6.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,BD⊥AC于点D,CE平
分∠ACB,交AB于点E,交BD于点F.求证:
(1)△BEF是等腰三角形.
(2)BD= (BC+BF).
证明 (1)∵CE平分∠ACB,∴∠DCF=∠BCF,
∵∠ABC=90°,∴∠BEF=90°-∠BCF,
∵BD⊥AC,∴∠DFC=90°-∠DCF,
∴∠BEF=∠DFC=∠BFE,
∴BE=BF,∴△BEF是等腰三角形.
(2)如图,延长AB至M,使得BM=AB,连接CM,
∵AB=BC,BD⊥AC,∴D是AC的中点,
∴BD∥MC,BD= MC,∴∠BFE=∠MCE,
由(1)得∠BEF=∠BFE,BE=BF,
∴∠BEF=∠MCE,∴ME=MC,
∵AB=BC,∴BM=BC,
∴BD= MC= ME= (MB+BE)= (BC+BF).(共8张PPT)
专项突破9　二次根式的跨物理应用
1.(2025江苏南京建邺期末)发生交通事故后,交通警察通常根
据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度,所用的经验
公式是v=16 ,其中v表示车速(单位:km/h),d表示刹车后车
轮滑过的距离(单位:m),f表示摩擦因数.在某次交通事故调查
中,测得d=20 m,f=1.2,则肇事汽车的车速大约是多少 ( ≈2.
45,结果精确到1 km/h)
解析　将d=20 m, f=1.2代入v=16 ,
得v=16 =32 ≈32×2.45≈78(km/h).
答:肇事汽车的车速大约是78 km/h.
2.(2025江苏镇江经开区月考)“欲穷千里目,更上一层楼”
,说的是登得高看得远.如图所示的是地球示意图,若观
测点的高度为h(单位:km),观测者视线能达到的最远距
离为d(单位:km),则d≈ ,其中R是地球半径,约为6 400 km.
(1)小丽站在海边的一幢高楼楼顶上,眼睛离海平面的高度h为
80 m,她观测到远处一艘船刚露出海平面,求此时观测的最远
距离.
(2)已知一座山的海拔为320 m,这座山的山巅到海边的最短距
离为60 km,天气晴朗时站在山巅能否看到大海 请说明理由.
解析 (1)∵h=80 m=0.08 km,R≈6 400 km,
∴d≈ =32(km),
∴此时观测的最远距离约为32 km.
(2)能看到,理由如下:
∵h=320 m=0.32 km,R≈6 400 km,
∴d≈ =64 km>60 km,
∴站在山巅能看到大海.
3.(2025江苏南京鼓楼期末改编)海啸是一种破坏力极强的海浪,在广阔的海面上,海啸的行进速度可近似地按公式v= 计算,其中v表示海啸的行进速度(m/s),d表示海水的深度(m),g表示重力加速度,g取9.8 m/s2.( ≈1.414, ≈1.732, ≈2.236)
(1)根据海啸的行进速度公式,完成下表.
海水深度d/m 500 1 000 1 500 2 000 2 500
海啸行进速度v/(m/s) 　 70 70 140 70
(2)如果测得海啸在海面两处的行进速度分别为14 m/s和28 m
/s,那么这两处的海水深度的差值是多少
(3)下列关于海啸行进速度的描述:
①随着海水深度的增加,海啸行进速度逐渐增大;
②当海水的深度是100 m的k倍时,海啸的行进速度是70 m/
s;
③随着海水深度的增加,海啸行进速度的增加幅度会越来越
小.
结合(1)中表格中数据进行分析,其中描述正确的序号是_____.
　
解析 (1)当d=500时,
v= = =70,故答案为70.
(2)设这两处约海水深度分别为d1 m,d2 m,
∵v= ,g取9.8 m/s2,
∴当v=14时,14= ,
即196=9.8d1,解得d1=20;
当v=28时,28= ,
即784=9.8d2,解得d2=80.
∴这两处的海水深度的差值为80-20=60(m).
(3)①由(1)中表格数据可知描述①正确;
②当d=100k m时,
v= = = =14 ,故描述②错误;
③由(1)中表格数据可知描述③正确.故答案为①③.

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