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(共42张PPT)
第八章
章复习　能力整合与素养提升
立体几何初步
要点回顾·连点成面
考法聚焦·核心突破
考法
1
空间几何体的表面积和体积
　　　如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为 (　　)
A．　 B． C．　 D．
1
【解析】
　　　　如图，过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，易求得EG＝HF＝，AG＝GD＝BH＝HC＝．取AD的中点O，连接GO，易得GO＝，所以S△AGD＝S△BHC＝×1＝，所以多面体的体积V＝VE ADG＋VF BCH＋VAGD BHC＝2VE ADG＋VAGD BHC＝2×＋×1＝．
A
【类题固法】
1．若正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥C1 CBD的体积为 (　　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】
　　　　＝×S△BDC×CC1＝×1×1×1＝．
A
2．如图，已知长方体ABCD A'B'C'D'中，A'B'＝，B'C'＝1，A'B与平面ACC'A'所成角的正弦值为，则该长方体的外接球的表面积为 (　　)
A．4π　 B．16π
C．π　 D．π
B
【解析】
　　　　如图，作BE⊥AC，垂足为E，连接A'E，因为平面ABC⊥平面ACC'A'，平面ABC∩平面ACC'A'＝AC，BE 平面ABC，所以BE⊥平面ACC'A'，所以∠BA'E是A'B与平面
ACC'A'所成的平面角．在Rt△ABC中，BE＝＝＝．又A'B＝＝，所以 sin
∠BA'E ＝＝＝，解得AA'＝2，故该长方体的体对角线为A'C＝＝4．设该长方体的外接球的半径为R，则2R＝4，解得R＝2，所以该长方体的外接球的表面积为S＝4πR2＝16π．
3．已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面积是780 cm2，则其体积是____________．
【解析】
　　　　如图，A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，连接EE1，则E1E为斜高．设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形，所以S侧＝4××(10＋20)×EE1＝780(cm2)，解得EE1＝13 cm．在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝·A1B1＝5 cm，OE＝AB＝10
cm，所以O1O＝＝12(cm)．故该正四棱台的体积为V＝×12×(102＋202＋10×20)＝2 800(cm3)．
2 800 cm3
4．如图给出两个几何体：
(1) 画出两个几何体的平面展开图；
【解答】
　　　　(1) 展开图如图所示．
图(1)
图(2)
4．如图给出两个几何体：
(2) 图(1)是侧棱长为2的正三棱锥D ABC，∠ADB＝∠BDC＝∠CDA＝40°，过点A作截面AEF分别交BD，CD于点E，F，求截面三角形AEF周长的最小值．
【解答】
　　　　(2) 将三棱锥沿侧棱DA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长即为所求△AEF周长的最小值．取AA1的中点G，连接DG，则DG⊥AA1，又∠ADG＝60°，计算得AG＝3，则AA1＝6，即截面三角形AEF周长的最小值为6．
图(1)
图(2)
考法
2
空间中的平行关系
　　　如图，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA．在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．
2
【解答】
　　　　当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD．证明如下：如图，连接BD，交AC于点O，连接FO，因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是BD的中点，所以OF∥PD．又OF 平面PMD，PD 平面PMD，所以OF∥平面PMD．又MA綉PB，所以PF綉MA，所以四边形AFPM是平行四边形，所以AF∥PM．又AF 平面PMD，PM 平面PMD，所以AF∥平面PMD．又AF∩OF＝F，AF，OF 平面AFC，所以平面AFC∥平面PMD．
【类题固法】
1．(多选)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的有 (　 　)
A．若m∥n，n α，m α，则m∥α
B．若m∥α，α∥β，则m∥β
C．若m∥α，n∥α，则m∥n
D．若α∥β，m α，则m∥β
AD
2．(多选)如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是AP，AB的中点，则下列说法正确的有(　　　)
A．PC∥平面DMN
B．若四棱锥P ABCD的体积为V1，三棱锥D AMN的体积为V2，则＝
C．若平面PCD与平面PAB的交线记为l1，则直线l1∥平面ABCD
D．若平面PDA与平面PBC的交线记为l2，则直线l2∥平面DMN
【解析】
　　　　对于A，连接AC，设AC∩DN＝O，连接MO，由AB∥CD，且AB＝2CD，N为AB的中点，得＝＝1，则O是AC的中点，而M是AP的中点，于是MO∥PC，又MO 平面DMN，PC 平面DMN，所以PC∥平面DMN，故A正确；对于B，＝＝3，由M是PA的中点，得点P
到平面ABCD的距离是点M到平面ABCD的距离h的2倍，而VD AMN＝VM ADN，因此＝＝6，故B错误；
对于C，CD∥AB，AB 平面PAB，CD 平面PAB，则CD∥平面PAB，而平面PCD∩平面PAB＝l1，CD 平面PCD，于是l1∥CD，而CD 平面ABCD，l1 平面ABCD，因此直线l1∥平面ABCD，故C正确；对于D，延长AD，BC交于点E，连接PE，直线PE即为直线l2，由AB∥CD，且AB＝2CD，得D为AE的中点，而M是PA的中点，则DM∥PE，又
DM 平面DMN，PE 平面DMN，因此直线PE∥平面DMN，即l2∥平面DMN，故D正确．
【答案】ACD
3．(多选)如图是某正方体的平面展开图，关于这个正方体，下列判断正确的有 (　　　)
A．CN∥DE
B．BM∥平面ADE
C．平面BDM∥平面AFN
D．DM，BF是异面直线
【解析】
　　　　如图，将平面展开图还原成正方体，易知CN与DE是异面直线，故A错误．在正方体中，易知BM∥AN，因为AN 平面ADE，BM 平面ADE，所以BM∥平面ADE，故B正确．在正方体中，易知BD∥FN，BM∥AN，BD 平面BDM，FN 平面BDM，故FN∥平面BDM．同理AN∥平面BDM，又AN∩FN
＝N，AN，FN 平面AFN，所以平面BDM∥平面AFN，故C正确．在正方体中，DM与BF既不相交也不平行，满足异面直线的定义，所以DM，BF是异面直线，故D正确．
【答案】BCD
4．如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN ∥平面ABC．
【解答】
　　　　因为M，N分别是EA，EC的中点，所以MN∥AC．又因为AC 平面ABC，MN 平面ABC，所以MN∥平面ABC．因为DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，所以BD∥EC．因为N为EC中点，EC＝2BD，所以NC綉BD，所以四边形BCND为平行四边形，所以DN∥BC．因为DN 平面ABC，BC 平面ABC，所以DN∥平面ABC．又因为MN∩DN＝N，MN，DN 平面DMN，所以平面DMN∥平面ABC．
考法
3
空间中的垂直关系
　　　如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别为CD和PC的中点．
(1) 求证：PA⊥底面ABCD；
3
【解答】
　　　　因为平面PAD⊥底面ABCD，PA在平面PAD内且垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD．
　　　如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别为CD和PC的中点．
(2) 求证：BE∥平面PAD；
3
【解答】
　　　　因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE，所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD．又因为BE 平面PAD，AD 平面PAD，所以BE∥平面PAD．
　　　如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别为CD和PC的中点．
(3) 求证：平面BEF⊥平面PCD．
3
【解答】
　　　　因为AB⊥AD，四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD．由(1)知PA⊥底面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD．又PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD．因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF．因为BE∩EF＝E，BE，EF 平面BEF，所以CD⊥平面BEF．因为CD 平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD．
变式　如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
(1) 求证：CD⊥AE；
【解答】
　　　　因为PA⊥底面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD．因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，所以CD⊥平面PAC．因为AE 平面PAC，所以CD⊥AE．
变式　如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
(2) 求证：PD⊥平面ABE．
【解答】
　　　　由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得△ABC为正三角形，AC＝AB＝PA．因为E是PC的中点，所以AE⊥PC．由(1)知AE⊥CD，又PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，所以AE⊥平面PCD．因为PD 平面PCD，所以AE⊥PD．因为PA⊥底面ABCD，AB 底面ABCD，所以PA⊥AB．又因为AB⊥AD且PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，所以AB⊥平面PAD，而PD 平面PAD，所以AB⊥PD．又因为AB∩AE＝A，AB，AE 平面ABE，所以PD⊥平面ABE．
　　　如图，在四棱锥P ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2．
(1) 求异面直线AP与BC所成角的余弦值；
4
【解答】
　　　　因为AD∥BC，故∠DAP(或其补角)即为异面直线AP与BC所成的角．因为AD⊥平面PDC，PD 平面PDC，所以AD⊥PD．在Rt△PDA中，AP＝＝，故cos∠DAP＝＝．所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为．
空间角问题
新视角
　　　如图，在四棱锥P ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥ BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2．
(2) 求证：PD⊥平面PBC；
4
【解答】
　　　　由(1)知AD⊥PD，因为BC∥AD，所以PD⊥BC．又PD⊥PB，BC∩PB＝B，BC，PB 平面PBC，所以PD⊥平面PBC．
　　　如图，在四棱锥P ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥ BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2．
(3) 求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
4
【解答】
　　　　如图，过点D作AB的平行线，交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP
为直线DF和平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，所以四边形ABFD为平行四边形，所以BF＝AD＝1．由已知，得CF＝BC BF＝2．又AD⊥DC，故BC⊥DC.
在Rt△DCF中，DF＝＝2．在Rt△DPF中，sin∠DFP＝＝．所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．
变式　已知△ABC所在平面外有一点S，已知SC⊥AB，SC与底面ABC所成角为θ，二面角S AB C的大小为φ，且θ＋φ＝90°，求二面角C SB A的大小．
【解答】
　　　　如图，作SO⊥平面ABC于点O，连接CO并延长交AB于点D，连接SD，则∠SCO是SC与平面ABC所成的角，所以∠SCO＝θ．因为SO⊥平面ABC，AB 平面ABC，所以SO⊥AB．又因为SC⊥AB，SO∩SC＝S，SC，SO 平面SDC，所以AB⊥平面
SDC．因为SD，CD 平面SDC，所以AB⊥CD，AB⊥SD，所以∠SDO是二面角S AB C的平面角，即∠SDO＝φ．因为θ＋φ＝90°，所以SC⊥SD．又因为SC⊥AB，AB∩SD＝D，AB，SD 平面SAB，所以SC⊥平面SAB．又因为SC 平面SBC，所以平面SBC⊥平面SAB，所以二面角C SB A的大小为90°．
【类题固法】
1．如图，在正方体ABCD A'B'C'D'中，E，F分别为平面A'B'C'D'与AA'D'D的中心，则EF与CD所成角的度数是(　　)
A．30°　 B．45°
C．60°　 D．90°
【解析】
　　　　连接B'D'，则E为B'D'的中点，连接AB'，则EF∥AB'，又CD∥AB，所以∠B'AB为异面直线EF与CD所成角，即∠B'AB＝45°．
B
2．已知△ABC为等腰直角三角形，P为空间一点，且AC＝BC＝5，PC⊥AC，PC⊥BC，PC＝5，AB的中点为M，则PM与平面ABC所成的角为______．
【解析】
　　　　因为PC⊥AC，PC⊥BC，AC∩BC＝C，所以PC⊥平面ABC，所以PM在平面ABC内的射影为CM，故∠PMC为PM与平面ABC所成的角，因为AC＝BC＝5，∠ACB＝90°，AB的中点为M，所以CM＝5，又PC＝5，所以△PCM为等腰直角三角形，所以∠PMC＝45°，即PM与平面ABC所成的角为45°．
45°
3．在棱长为2的正四面体ABCD中，二面角B AC D的余弦值是 (　　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】
　　　　如图，取AC中点O，连接BO，DO，易得BO⊥ AC，DO⊥AC，∠BOD为二面角B AC D的平面角．在△BOD中，BO＝OD＝，由余弦定理得cos∠BOD＝＝＝．
C
考法
5
空间的距离问题
　　　如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧面BCC1B1，ABB1A1均为正方形，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，D是棱A1C1的中点，O为A1B与AB1的交点．
(1) 求证：BC1∥平面AB1D；
5
【解答】
　　　　如图，连接OD．由O是A1B与AB1的交点，且四边形ABB1A1为正方形，知O为BA1的中点．又D是A1C1的中点，所以OD∥BC1，又OD 平面AB1D，BC1 平面AB1D，所以BC1∥平面AB1D．
　　　如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧面BCC1B1，ABB1A1均为正方形，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，D是棱A1C1的中点，O为A1B与AB1的交点．
(2) 求点A1到平面AB1D的距离．
5
【解答】
　　　　在三棱柱ABC A1B1C1中，由AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，且△ABC≌△A1B1C1，可知△A1B1C1是等腰直角三角形．又D是棱A1C1的中点，所以A1C1＝A1B1＝，A1D＝A1C1＝．由四边形ABB1A1为正方形，得AA1＝AB＝1，则AD
＝ ＝＝．
因为AA1⊥A1B1，CC1⊥B1C1且CC1∥AA1，所以AA1⊥B1C1，又A1B1∩B1C1＝B1，A1B1，B1C1 平面A1B1C1，所以AA1⊥平面A1B1C1，而DB1 平面A1B1C1，所以AA1⊥DB1，又DB1⊥C1A1，AA1∩C1A1＝A1，AA1，C1A1 平面ACC1A1，所以DB1⊥平面ACC1A1，又AD 平面ACC1A1，故DB1⊥AD，所以＝
DB1·AD＝．由＝DB1·A1D＝，得＝AA1·＝．而＝，设若A1到平面AB1D的距离为d，则d·＝，解得d＝．
【类题固法】
1．在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是AB和BC的中点，则MN到平面A1C1D的距离为 (　　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】
　　　　如图，延长MN交DC的延长线于点Q，连接A1Q，C1Q，AC．因为M，N分别是AB和BC的中点，所以MN∥AC．由正方体的性质可得AC∥A1C1，所以MN∥A1C1，又A1C1 平面A1C1D，MN 平面A1C1D，所以MN∥平面A1C1D．故MN到平面A1C1D的距离即为点Q到平面A1C1D的距
离，设为h，则＝．因为正方体的棱长为1，所以DQ＝，A1D＝DC1＝A1C1＝，所以·h＝·A1D1，即×h＝×1×1，解得h＝．
【答案】C
2．(多选)如图，四棱锥S ABCD的底面为菱形，AB＝SD＝3，∠DAB＝60°，SD⊥底面ABCD，P是SC上任意一点(不含端点)，则下列结论正确的有 (　　　)
A．当P为SC的中点时，SA∥平面PBD
B．若SA∥平面PBD，则P为SC的中点
C．点B到平面SAC的距离为
D．当P为SC的中点时，过点P，A，B的截面为等腰三角形
【解析】
　　　　对于A，由题意，O为AC的中点，因为P为SC的中点，所以OP∥SA，又OP 平面PBD，SA 平面PBD，所以SA∥平面PBD，故A正确；对于B，因为SA∥平面PBD，SA 平面SAC，平面PBD∩平面SAC＝PO，所以SA∥PO，则P为SC的中点，故B正确；对于C，设点B到平面SAC的距离为h，而SA＝SC＝3，AC
＝3，由VB SAC＝VS ABC，即h××3＝×3××3×3× ，解得h＝，即点B到平面SAC的距离为，故C正确；对于D，如图，取SD的中点M，连接PM，AM，BM，因为P为SC的中点，所以PM∥CD，PM＝CD，又AB∥CD且AB＝CD，所以PM∥AB且PM＝AB，所以过点P，A，B的截面为梯形ABPM，故D错误．
【答案】ABC
3．用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体．已知正六面体ABCD
A1B1C1D1的棱长为4，则平面AB1D1与平面BC1D间的距离为_______．
【解析】
　　　　由题意知正六面体ABCD A1B1C1D1是棱长为4的正方体，有AD∥B1C1且AD＝B1C1，则四边形ADC1B1为平行四边形，所以AB1∥C1D．又AB1 平面BC1D，C1D 平面BC1D，所以AB1∥平面BC1D．同理得B1D1∥平面BC1D，又AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1 平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面BC1D．如图，连
接A1C．因为B1D1⊥A1C1，B1D1⊥AA1，A1C1∩AA1＝A1，A1C1，AA1 平面AA1C1C，所以B1D1⊥平面AA1C1C，又A1C 平面AA1C1C，所以B1D1⊥A1C．
积法求得A1E＝＝，所以平面AB1D1与平面BC1D间的距离为4＝．
同理可证AD1⊥A1C．又B1D1，AD1 平面AB1D1，B1D1∩AD1＝D1，所以A1C⊥平面AB1D1，所以A1C⊥平面BC1D，设垂足分别为E，F，则平面AB1D1与平面BC1D间的距离为EF．正方体的体对角线长为＝4．在三棱锥A1 AB1D1中，＝，易知AB1＝AD1＝B1D1＝4，则由等体章末复习　能力整合与素养提升
考法1　空间几何体的表面积和体积
例1　如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为(　A　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】如图，过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，易求得EG＝HF＝，AG＝GD＝BH＝HC＝．取AD的中点O，连接GO，易得GO＝，所以S△AGD＝S△BHC＝×1＝，所以多面体的体积V＝VE ADG＋VF BCH＋VAGD BHC＝2VE ADG＋VAGD BHC＝2×＋×1＝．
【类题固法】
1．若正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥C1 CBD的体积为(　A　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】＝×S△BDC×CC1＝×1×1×1＝．
2．如图，已知长方体ABCD A'B'C'D'中，A'B'＝，B'C'＝1，A'B与平面ACC'A'所成角的正弦值为，则该长方体的外接球的表面积为(　B　)
A．4π　 B．16π
C．π　 D．π
【解析】如图，作BE⊥AC，垂足为E，连接A'E，因为平面ABC⊥平面ACC'A'，平面ABC∩平面ACC'A'＝AC，BE 平面ABC，所以BE⊥平面ACC'A'，所以∠BA'E是A'B与平面ACC'A'所成的平面角．在Rt△ABC中，BE＝＝＝．又A'B＝＝，所以sin∠BA'E＝＝＝，解得AA'＝2，故该长方体的体对角线为A'C＝＝4．设该长方体的外接球的半径为R，则2R＝4，解得R＝2，所以该长方体的外接球的表面积为S＝4πR2＝16π．
3．已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面积是780 cm2，则其体积是__2 800 cm3__．
【解析】如图，A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，连接EE1，则E1E为斜高．设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形，所以S侧＝4××(10＋20)×EE1＝780(cm2)，解得EE1＝13 cm．在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝·A1B1＝5 cm，OE＝AB＝10 cm，所以O1O＝＝12(cm)．故该正四棱台的体积为V＝×12×(102＋202＋10×20)＝2 800(cm3)．
4．如图给出两个几何体：
图(1)
图(2)
(1) 画出两个几何体的平面展开图；
(2) 图(1)是侧棱长为2的正三棱锥D ABC，∠ADB＝∠BDC＝∠CDA＝40°，过点A作截面AEF分别交BD，CD于点E，F，求截面三角形AEF周长的最小值．
【解答】(1) 展开图如图所示．
(2) 将三棱锥沿侧棱DA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长即为所求△AEF周长的最小值．取AA1的中点G，连接DG，则DG⊥AA1，又∠ADG＝60°，计算得AG＝3，则AA1＝6，即截面三角形AEF周长的最小值为6．
考法2　空间中的平行关系
例2　如图，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA．在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由．
【解答】当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD．证明如下：如图，连接BD，交AC于点O，连接FO，因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是BD的中点，所以OF∥PD．又OF 平面PMD，PD 平面PMD，所以OF∥平面PMD．又MA綉PB，所以PF綉MA，所以四边形AFPM是平行四边形，所以AF∥PM．又AF 平面PMD，PM 平面PMD，所以AF∥平面PMD．又AF∩OF＝F，AF，OF 平面AFC，所以平面AFC∥平面PMD．
【类题固法】
1．(多选)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的有(　AD　)
A．若m∥n，n α，m α，则m∥α
B．若m∥α，α∥β，则m∥β
C．若m∥α，n∥α，则m∥n
D．若α∥β，m α，则m∥β
2．(多选)如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M，N分别是AP，AB的中点，则下列说法正确的有(　ACD　)
A．PC∥平面DMN
B．若四棱锥P ABCD的体积为V1，三棱锥D AMN的体积为V2，则＝
C．若平面PCD与平面PAB的交线记为l1，则直线l1∥平面ABCD
D．若平面PDA与平面PBC的交线记为l2，则直线l2∥平面DMN
【解析】对于A，连接AC，设AC∩DN＝O，连接MO，由AB∥CD，且AB＝2CD，N为AB的中点，得＝＝1，则O是AC的中点，而M是AP的中点，于是MO∥PC，又MO 平面DMN，PC 平面DMN，所以PC∥平面DMN，故A正确；对于B，＝＝3，由M是PA的中点，得点P到平面ABCD的距离是点M到平面ABCD的距离h的2倍，而VD AMN＝VM ADN，因此＝＝6，故B错误；对于C，CD∥AB，AB 平面PAB，CD 平面PAB，则CD∥平面PAB，而平面PCD∩平面PAB＝l1，CD 平面PCD，于是l1∥CD，而CD 平面ABCD，l1 平面ABCD，因此直线l1∥平面ABCD，故C正确；对于D，延长AD，BC交于点E，连接PE，直线PE即为直线l2，由AB∥CD，且AB＝2CD，得D为AE的中点，而M是PA的中点，则DM∥PE，又DM 平面DMN，PE 平面DMN，因此直线PE∥平面DMN，即l2∥平面DMN，故D正确．
3．(多选)如图是某正方体的平面展开图，关于这个正方体，下列判断正确的有(　BCD　)
A．CN∥DE
B．BM∥平面ADE
C．平面BDM∥平面AFN
D．DM，BF是异面直线
【解析】如图，将平面展开图还原成正方体，易知CN与DE是异面直线，故A错误．在正方体中，易知BM∥AN，因为AN 平面ADE，BM 平面ADE，所以BM∥平面ADE，故B正确．在正方体中，易知BD∥FN，BM∥AN，BD 平面BDM，FN 平面BDM，故FN∥平面BDM．同理AN∥平面BDM，又AN∩FN＝N，AN，FN 平面AFN，所以平面BDM∥平面AFN，故C正确．在正方体中，DM与BF既不相交也不平行，满足异面直线的定义，所以DM，BF是异面直线，故D正确．
4．如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC．
【解答】因为M，N分别是EA，EC的中点，所以MN∥AC．又因为AC 平面ABC，MN 平面ABC，所以MN∥平面ABC．因为DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，所以BD∥EC．因为N为EC中点，EC＝2BD，所以NC綉BD，所以四边形BCND为平行四边形，所以DN∥BC．因为DN 平面ABC，BC 平面ABC，所以DN∥平面ABC．又因为MN∩DN＝N，MN，DN 平面DMN，所以平面DMN∥平面ABC．
考法3　空间中的垂直关系
例3　如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别为CD和PC的中点．
(1) 求证：PA⊥底面ABCD；
【解答】因为平面PAD⊥底面ABCD，PA在平面PAD内且垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD．
(2) 求证：BE∥平面PAD；
【解答】因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE，所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD．又因为BE 平面PAD，AD 平面PAD，所以BE∥平面PAD．
(3) 求证：平面BEF⊥平面PCD．
【解答】因为AB⊥AD，四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD．由(1)知PA⊥底面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD．又PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD．因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF．因为BE∩EF＝E，BE，EF 平面BEF，所以CD⊥平面BEF．因为CD 平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD．
变式　如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
(1) 求证：CD⊥AE；
【解答】因为PA⊥底面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD．因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，所以CD⊥平面PAC．因为AE 平面PAC，所以CD⊥AE．
(2) 求证：PD⊥平面ABE．
【解答】由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得△ABC为正三角形，AC＝AB＝PA．因为E是PC的中点，所以AE⊥PC．由(1)知AE⊥CD，又PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，所以AE⊥平面PCD．因为PD 平面PCD，所以AE⊥PD．因为PA⊥底面ABCD，AB 底面ABCD，所以PA⊥AB．又因为AB⊥AD且PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，所以AB⊥平面PAD，而PD 平面PAD，所以AB⊥PD．又因为AB∩AE＝A，AB，AE 平面ABE，所以PD⊥平面ABE．
考法4　空间角问题
例4　如图，在四棱锥P ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2．
(1) 求异面直线AP与BC所成角的余弦值；
【解答】因为AD∥BC，故∠DAP(或其补角)即为异面直线AP与BC所成的角．因为AD⊥平面PDC，PD 平面PDC，所以AD⊥PD．在Rt△PDA中，AP＝＝，故cos∠DAP＝＝．所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为．
(2) 求证：PD⊥平面PBC；
【解答】由(1)知AD⊥PD，因为BC∥AD，所以PD⊥BC．又PD⊥PB，BC∩PB＝B，BC，PB 平面PBC，所以PD⊥平面PBC．
(3) 求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
【解答】如图，过点D作AB的平行线，交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．由于AD∥BC，DF∥AB，所以四边形ABFD为平行四边形，所以BF＝AD＝1．由已知，得CF＝BC BF＝2．又AD⊥DC，故BC⊥DC．在Rt△DCF中，DF＝＝2．在Rt△DPF中，sin∠DFP＝＝．所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为．
变式　已知△ABC所在平面外有一点S，已知SC⊥AB，SC与底面ABC所成角为θ，二面角S AB C的大小为φ，且θ＋φ＝90°，求二面角C SB A的大小．
【解答】如图，作SO⊥平面ABC于点O，连接CO并延长交AB于点D，连接SD，则∠SCO是SC与平面ABC所成的角，所以∠SCO＝θ．因为SO⊥平面ABC，AB 平面ABC，所以SO⊥AB．又因为SC⊥AB，SO∩SC＝S，SC，SO 平面SDC，所以AB⊥平面SDC．因为SD，CD 平面SDC，所以AB⊥CD，AB⊥SD，所以∠SDO是二面角S AB C的平面角，即∠SDO＝φ．因为θ＋φ＝90°，所以SC⊥SD．又因为SC⊥AB，AB∩SD＝D，AB，SD 平面SAB，所以SC⊥平面SAB．又因为SC 平面SBC，所以平面SBC⊥平面SAB，所以二面角C SB A的大小为90°．
【类题固法】
1．如图，在正方体ABCD A'B'C'D'中，E，F分别为平面A'B'C'D'与AA'D'D的中心，则EF与CD所成角的度数是(　B　)
A．30°　 B．45°
C．60°　 D．90°
【解析】连接B'D'，则E为B'D'的中点，连接AB'，则EF∥AB'，又CD∥AB，所以∠B'AB为异面直线EF与CD所成角，即∠B'AB＝45°．
2．已知△ABC为等腰直角三角形，P为空间一点，且AC＝BC＝5，PC⊥AC，PC⊥BC，PC＝5，AB的中点为M，则PM与平面ABC所成的角为__45°__．
【解析】因为PC⊥AC，PC⊥BC，AC∩BC＝C，所以PC⊥平面ABC，所以PM在平面ABC内的射影为CM，故∠PMC为PM与平面ABC所成的角，因为AC＝BC＝5，∠ACB＝90°，AB的中点为M，所以CM＝5，又PC＝5，所以△PCM为等腰直角三角形，所以∠PMC＝45°，即PM与平面ABC所成的角为45°．
3．在棱长为2的正四面体ABCD中，二面角B AC D的余弦值是(　C　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】如图，取AC中点O，连接BO，DO，易得BO⊥AC，DO⊥AC，∠BOD为二面角B AC D的平面角．在△BOD中，BO＝OD＝，由余弦定理得cos∠BOD＝＝＝．
考法5　空间的距离问题
例5　如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧面BCC1B1，ABB1A1均为正方形，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，D是棱A1C1的中点，O为A1B与AB1的交点．
(1) 求证：BC1∥平面AB1D；
【解答】如图，连接OD．由O是A1B与AB1的交点，且四边形ABB1A1为正方形，知O为BA1的中点．又D是A1C1的中点，所以OD∥BC1，又OD 平面AB1D，BC1 平面AB1D，所以BC1∥平面AB1D．
(2) 求点A1到平面AB1D的距离．
【解答】在三棱柱ABC A1B1C1中，由AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，且△ABC≌△A1B1C1，可知△A1B1C1是等腰直角三角形．又D是棱A1C1的中点，所以A1C1＝A1B1＝，A1D＝A1C1＝．由四边形ABB1A1为正方形，得AA1＝AB＝1，则AD＝＝＝．因为AA1⊥A1B1，CC1⊥B1C1且CC1∥AA1，所以AA1⊥B1C1，又A1B1∩B1C1＝B1，A1B1，B1C1 平面A1B1C1，所以AA1⊥平面A1B1C1，而DB1 平面A1B1C1，所以AA1⊥DB1，又DB1⊥C1A1，AA1∩C1A1＝A1，AA1，C1A1 平面ACC1A1，所以DB1⊥平面ACC1A1，又AD 平面ACC1A1，故DB1⊥AD，所以＝DB1·AD＝．由＝DB1·A1D＝，得＝AA1·＝．而＝，设若A1到平面AB1D的距离为d，则d·＝，解得d＝．
【类题固法】
1．在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是AB和BC的中点，则MN到平面A1C1D的距离为(　C　)
A．　 B．
C．　 D．
【解析】如图，延长MN交DC的延长线于点Q，连接A1Q，C1Q，AC．因为M，N分别是AB和BC的中点，所以MN∥AC．由正方体的性质可得AC∥A1C1，所以MN∥A1C1，又A1C1 平面A1C1D，MN 平面A1C1D，所以MN∥平面A1C1D．故MN到平面A1C1D的距离即为点Q到平面A1C1D的距离，设为h，则＝．因为正方体的棱长为1，所以DQ＝，A1D＝DC1＝A1C1＝，所以·h＝·A1D1，即×h＝×1×1，解得h＝．
2．(多选)如图，四棱锥S ABCD的底面为菱形，AB＝SD＝3，∠DAB＝60°，SD⊥底面ABCD，P是SC上任意一点(不含端点)，则下列结论正确的有(　ABC　)
A．当P为SC的中点时，SA∥平面PBD
B．若SA∥平面PBD，则P为SC的中点
C．点B到平面SAC的距离为
D．当P为SC的中点时，过点P，A，B的截面为等腰三角形
【解析】对于A，由题意，O为AC的中点，因为P为SC的中点，所以OP∥SA，又OP 平面PBD，SA 平面PBD，所以SA∥平面PBD，故A正确；对于B，因为SA∥平面PBD，SA 平面SAC，平面PBD∩平面SAC＝PO，所以SA∥PO，则P为SC的中点，故B正确；对于C，设点B到平面SAC的距离为h，而SA＝SC＝3，AC＝3，由VB SAC＝VS ABC，即h××3＝×3××3×3×，解得h＝，即点B到平面SAC的距离为，故C正确；对于D，如图，取SD的中点M，连接PM，AM，BM，因为P为SC的中点，所以PM∥CD，PM＝CD，又AB∥CD且AB＝CD，所以PM∥AB且PM＝AB，所以过点P，A，B的截面为梯形ABPM，故D错误．
3．用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体．已知正六面体ABCD A1B1C1D1的棱长为4，则平面AB1D1与平面BC1D间的距离为____．
【解析】由题意知正六面体ABCD A1B1C1D1是棱长为4的正方体，有AD∥B1C1且AD＝B1C1，则四边形ADC1B1为平行四边形，所以AB1∥C1D．又AB1 平面BC1D，C1D 平面BC1D，所以AB1∥平面BC1D．同理得B1D1∥平面BC1D，又AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1 平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面BC1D．如图，连接A1C．因为B1D1⊥A1C1，B1D1⊥AA1，A1C1∩AA1＝A1，A1C1，AA1 平面AA1C1C，所以B1D1⊥平面AA1C1C，又A1C 平面AA1C1C，所以B1D1⊥A1C．同理可证AD1⊥A1C．又B1D1，AD1 平面AB1D1，B1D1∩AD1＝D1，所以A1C⊥平面AB1D1，所以A1C⊥平面BC1D，设垂足分别为E，F，则平面AB1D1与平面BC1D间的距离为EF．正方体的体对角线长为＝4．在三棱锥A1 AB1D1中，＝，易知AB1＝AD1＝B1D1＝4，则由等体积法求得A1E＝＝，所以平面AB1D1与平面BC1D间的距离为4＝．

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