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(共28张PPT)
第八章　一元二次方程
第2课时　一元二次方程的解及解的估算
1　一元二次方程
　一元二次方程的解及解的估算
1.(2025广西百色田阳期中)在下列数中,能使一元二次方程x2-
4x=0成立的x的值为 (　　　)
A.1　　　 B.2　　　 C.3　　　 D.4
D
解析　将x=4代入,得42-4×4=0,故D符合题意.故选D.
2.(2025广东梅州五华一模)若一元二次方程ax2+bx+c=0中的a,
b,c满足a+b+c=0,则方程必有根 (　　　)
A.x=0　　　 B.x=1
C.x=-1　　　 D.x=±1
B
解析　当x=1时,方程ax2+bx+c=0可化为a+b+c=0.故选B.
3.(2025山东青岛期中)根据表格中的对应值判断关于x的方程
ax2+bx+c=0的一个解x的范围是 (　　　)
A
x 1.1 1.2 1.3 1.4
ax2+bx+c -0.59 0.84 2.29 3.76
A.1.1C.1.3解析　当x=1.1时,ax2+bx+c=-0.59,
当x=1.2时,ax2+bx+c=0.84,
所以方程的一个解x的范围是1.1故选A.
4.【新考向·结论开放题】(2025浙江嘉兴期末)构造一个一元
二次方程,要求:①常数项是-6;②有一个根为2.这个一元二次
方程可以是_______________________.(写出一个即可)
x2+x-6=0(答案不唯一)
解析　∵22+2-6=0,
∴方程可以为x2+x-6=0.(答案不唯一)
5.(2025四川达州中考)已知关于x的方程x2+mx-3=0的一个根
是1,则m的值为_________.
2
解析　把x=1代入方程x2+mx-3=0,得1+m-3=0,解得m=2.
6.关于x的二次三项式ax2+bx+c满足下表中的对应关系:
x … -4 -2 -1 0 1 3 …
ax2+
bx+c … 0 -5 -6 -6 -5 0 …
则一元二次方程ax2+bx+c=0的两个整数根分别是___________.
x1=-4,x2=3
解析　当x=-4时,ax2+bx+c=0;当x=3时,ax2+bx+c=0,∴一元二次
方程ax2+bx+c=0的两个整数根分别是x1=-4,x2=3.
7.【学科特色·教材变式P53做一做】“一块矩形铁片,面积为
1 m2,长比宽多3 m,求该矩形铁片的长.”小华在做这道题时,
是这样考虑的:设铁片的长为x m,列出的方程为x(x-3)=1.小华
列出方程后,想知道铁片的长到底是多少,下面是他的探索过
程.
第一步:
x 1 2 3 4
x2-3x-1 -3 -3 　 　
所以______第二步:
x 3.1 3.2 3.3 3.4
x2-3x-1 -0.69 -0.36 　 　
所以______(1)请你帮小华填表格,完成他未完成的部分.
(2)通过以上探索,能估计出该矩形铁片的长x(m)的整数部分
为_______,十分位为_______.
解析 (1)-1;3;3;4;-0.01;0.36;3.3;3.4.
(2)3;3.
8.试估算方程x2+2x-1=0的解(结果精确到十分位).
解析　列表如下:
x -3 -2 -1 0 1
x2+2x-1 2 -1 -2 -1 2
所以-3进一步计算:
因此方程x2+2x-1=0的解x的大致范围为-2.50.5.
x -2.5 -2.4 … 0.4 0.5
x2+2x-1 0.25 -0.04 … -0.04 0.25

9.【学科特色·易错题】(2025山东济南外国语学校月考,★★
☆)若一元二次方程(k-2)x2+3x+k2-4=0的一个根为0,则k的值为
(　　　)
A.0　　　 B.2
C.-2　　　 D.2或-2
C
解析　根据题意,得k2-4=0,∴k=±2,
∵k-2≠0,∴k≠2,∴k=-2.
故选C.
易错警示
本题易漏掉k-2≠0而错选D.
10.(2025山东淄博张店科技苑中学月考改编,★★☆)观察下
列表格,一元二次方程ax2+bx=4.6的一个解可能为 (　　　)
B
x -1.13 -1.12 -1.11 -1.10 -1.09 -1.08 -1.07
ax2+
bx 4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 4.35
A.-1.123　　　 B.-1.117
C.-1.089　　　 D.-1.073
解析 x=-1.12时,ax2+bx=4.61,
x=-1.11时,ax2+bx=4.56,
∴方程的一个解x的范围为-1.12结合选项可知ax2+bx=4.6的一个解可能为-1.117.故选B.
11.【学科特色·换元法】(2025山东烟台一模,★★☆)若x=2 025是关于x的方程ax2+bx+1=0的一个根,则关于x的方程a(x+2)2+bx+
2b=-1必有一个根为 (　　　)
A.x=2 023　　　 B.x=2 024
C.x=2 025　　　 D.x=2 027
A
解析　将关于x的方程a(x+2)2+bx+2b=-1变形为a(x+2)2+b(x+2)
+1=0,
设t=x+2,∴at2+bt+1=0,
∵x=2 025是关于x的方程ax2+bx+1=0的一个根,
∴t=2 025是关于t的方程at2+bt+1=0的一个根,
∴x+2=2 025,解得x=2 023,
∴关于x的方程a(x+2)2+bx+2b=-1必有一个根为x=2 023.
故选A.
12.【学科特色·整体思想】(2024四川南充中考,★★☆)已知
m是方程x2+4x-1=0的一个根,则(m+5)(m-1)的值为_______.
　-4
解析　把x=m代入x2+4x-1=0,得m2+4m=1,
∴(m+5)(m-1)=m2-m+5m-5=m2+4m-5=1-5=-4.
13.【学科特色·多解法】(★★☆)已知实数a是一元二次方程
x2-2 016x+1=0的根,求代数式a2-2 015a- 的值.
解析　【解法一】整体代入法:∵a是方程x2-2 016x+1=0的一
个根,∴a2-2 016a+1=0,
∴a2+1=2 016a,a2-2 015a=-1+a,
∴a2-2 015a- =-1+a- =-1+a-a=-1.
【解法二】一般代入法:∵a是方程x2-2 016x+1=0的一个根,
∴a2-2 016a+1=0,∴a2=2 016a-1,
∴a2-2 015a- =2 016a-1-2 015a- =-1+a-a=-1.

14.【新课标·运算能力】(2025山东滨州邹平月考)阅读材料:
方程x2+3x-1=0两边同时除以x(x≠0),得x+3- =0,所以x- =-3.
因为 =x2+ -2,所以x2+ = +2=11.
根据材料解答下列问题:
(1)已知方程x2-4x-1=0(x≠0),则x- =_______;x2+ =________.
(2)若m(m≠0)是方程2x2-7x+2=0的一个根,求m2+ 的值.
解析 (1)方程x2-4x-1=0(x≠0)两边同时除以x,得x-4- =0,∴x-
=4,
∵ =x2+ -2,
∴x2+ = +2=18.
故答案为4;18.
(2)∵m(m≠0)是方程2x2-7x+2=0的一个根,
∴2m2-7m+2=0,
方程两边同时除以2m,得m- + =0,
∴m+ = ,
∵ =m2+ +2,
∴m2+ = -2= -2= -2= .
15.【新课标·应用意识】某大学计划在一块长80 m,宽60 m的
长方形场地中央建一个长方形网球场,网球场占地面积为3 50
0 m2,四周为宽度相等的人行道,如图,设人行道的宽为x m.
(1)请列出相应的方程.
(2)x的值可能小于0吗 写出你的理由.
(3)x的值可能大于40吗 可能大于30吗
写出你的理由.
(4)你知道人行道的宽是多少吗 写出你的求解过程.
解析 (1)依题意,得(80-2x)(60-2x)=3 500,整理得x2-70x+325=0.
(2)x的值不可能小于0,因为人行道的宽度不可能为负数.
(3)x的值不可能大于40,也不可能大于30,因为当x>30时,60-2x
<0,这是不符合实际的.
(4)人行道的宽为5 m,求解过程如下:
x 2 3 4 5 6 7
x2-70x+
325 189 124 61 0 -59 -116
显然,当x=5时,x2-70x+325=0,所以人行道的宽为5 m.(共18张PPT)
专项突破6　一元二次方程的五种解法
　直接开平方法
1.(2025山东淄博临淄期中)关于x的方程(x+m)2=n,下列说法正
确的是 (　　　)
A.有两个解,x1= ,x2=-
B.当n≥0时,有两个解,x1= -m,x2=- -m
C.当n≤0时,有两个解,x1= ,x2=-
D.当n≤0时,方程无实数解
B
解析　在方程(x+m)2=n中,(x+m)2≥0,所以当n≥0时,方程才有
意义,且x1= -m,x2=- -m.故选B.
2.(2025福建龙岩月考)解方程:
(1)x2- =0.
(2)4(x-1)2-16=0.
解析 (1)x2- =0,
x2= ,
x=± ,
x1= ,x2=- .
(2)4(x-1)2-16=0,
4(x-1)2=16,
(x-1)2=4,x-1=±2,
x1=3,x2=-1.
　配方法
3.解方程:
(1)x2+8x-9=0.
(2)2x2-4x-1=0.
解析 (1)移项,得x2+8x=9,
配方,得x2+8x+16=9+16,即(x+4)2=25,
开平方,得x+4=±5,解得x1=1,x2=-9.
(2)整理,得x2-2x= ,
配方,得x2-2x+1= +1,即(x-1)2= ,
开平方,得x-1=± ,解得x1=1+ ,x2=1- .
　公式法
4.(2025山东淄博张店龙凤苑中学期中)解方程:
(1)3x2-4x-1=0.
(2)2x2-5=4(x+1).
解析 (1)∵a=3,b=-4,c=-1,
∴Δ=(-4)2-4×3×(-1)=28>0,
则x= = ,
即x1= ,x2= .
(2)整理,得2x2-4x-9=0,
∵a=2,b=-4,c=-9,
∴Δ=(-4)2-4×2×(-9)=88>0,
则x= = ,即x1= ,x2= .
　因式分解法
5.解方程:
(1)x2-x=0.
(2)x2-2x-3=0.
(3)2x2-3x-5=0.
解析 (1)x2-x=0,
x(x-1)=0,x=0或x-1=0,即x1=0,x2=1.
(2)x2-2x-3=0,
(x-3)(x+1)=0,x-3=0或x+1=0,即x1=3,x2=-1.
(3)2x2-3x-5=0,
(x+1)(2x-5)=0,x+1=0或2x-5=0,即x1=-1,x2= .
6.阅读理解:
用“十字相乘法”分解因式2x2-x-3:
二次项系数2=1×2,
常数项-3=-1×3=1×(-3),
验算交叉相乘之和,如图所示:

发现第③个“交叉相乘之和”的结果为-1,等于一次项系数-1,
即(x+1)(2x-3)=2x2-3x+2x-3=2x2-x-3,则2x2-x-3=(x+1)(2x-3).像
这样,在十字交叉线的帮助下把二次三项式分解因式的方法,
叫做十字相乘法.
仿照以上方法分解因式并解方程:
(1)2x2+x-3=0.
(2)3x2+5x-12=0.
解析 (1)2x2+x-3=0,
∴(2x+3)(x-1)=0,∴2x+3=0或x-1=0,
解得x1=- ,x2=1.
(2)3x2+5x-12=0,
∴(x+3)(3x-4)=0,∴x+3=0或3x-4=0,
解得x1=-3,x2= .
　换元法
7.【新考向·阅读理解题】(2025贵州铜仁期末)阅读下列材料:
解方程:(x2-1)2-5(x2-1)+6=0.
解:设x2-1=y,则原方程化为y2-5y+6=0,
解得y1=2,y2=3.
当y=2时,x2-1=2,解得x=± ;
当y=3时,x2-1=3,解得x=±2.
∴原方程的解为x1= ,x2=- ,x3=2,x4=-2.
以上解一元二次方程的方法叫做换元法,通过换元法达到了
降次或者简化方程的目的,这体现了数学中的转化思想.
(1)请用上述方法解下列方程:
(2x-5)2-4(2x-5)+3=0.
(2)已知实数x,y满足(x2+y2+3)2-7x2-7y2-21=8,求x2+y2的值.
解析 (1)设2x-5=a,则原方程可化为a2-4a+3=0,
因式分解,得(a-1)(a-3)=0,
解得a1=1,a2=3,
当a=1时,2x-5=1,解得x=3,
当a=3时,2x-5=3,解得x=4,
∴原方程的解为x1=3,x2=4.
(2)原方程整理,得(x2+y2+3)2-7(x2+y2)-21=8,
设x2+y2=b,
则原方程化为(b+3)2-7b-21=8,
整理,得b2-b-20=0,
因式分解,得(b-5)(b+4)=0,
解得b1=5,b2=-4,
当b=5时,x2+y2=5,
当b=-4时,x2+y2=-4(不符合题意,舍去),
∴x2+y2=5.(共13张PPT)
第八章　一元二次方程
第2课时　平均增长（降低）率问题
6　一元二次方程的应用
　平均增长(降低)率问题
1.【学科特色·教材变式P75例1】(2025黑龙江龙东地区中考)
随着“低碳生活,绿色出行”理念的普及,新能源汽车已经逐
渐成为人们喜爱的交通工具.某品牌新能源汽车的月销售量
由一月份的8 000辆增加到三月份的12 000辆,设该汽车一月
至三月销售量月平均增长率为x,则可列方程为 (　　　)
B
A.8 000(1+2x)=1 200
B.8 000(1+x)2=12 000
C.8 000+8 000(1+x)+8 000(1+x)2=12 000
D.8 000×2(1+x)=12 000
解析　由题意可知,二月份该品牌新能源汽车销售量为8 000
(1+x)辆,三月份该品牌新能源汽车销售量为8 000(1+x)2辆,
∴8 000(1+x)2=12 000.故选B.
2.(2024云南中考)两年前生产1千克甲种药品的成本为80元,
随着生产技术的进步,现在生产1千克甲种药品的成本为60元.
设甲种药品成本的年平均下降率为x,根据题意,下列方程正确
的是 (　　　)
A.80(1-x2)=60　　　 B.80(1-x)2=60
C.80(1-x)=60 　　　 D.80(1-2x)=60
B
解析　由题意可知,1年前生产1千克甲种药品的成本为80(1-x)
元,现在生产1千克甲种药品的成本为80(1-x)2元,∴80(1-x)2=60.
故选B.
3.(2025辽宁朝阳二模)某种工业原料今年第一季度价格下降2
0%,价格下降后买50吨这种原料比原来便宜125万元.
(1)求该种工业原料下降后的价格.
(2)从第二季度开始,该种工业原料的价格开始回升,经过两个
季度,该种工业原料的价格上升到每吨14.4万元,求第二和第
三季度该种工业原料价格的平均增长率.
解析 (1)设该种工业原料原来的价格为x万元/吨,则下降后
的价格为(1-20%)x万元/吨,
根据题意,得50x-50(1-20%)x=125,
解得x=12.5,∴(1-20%)x=0.8×12.5=10.
答:该种工业原料下降后的价格为10万元/吨.
(2)设第二和第三季度该种工业原料价格的平均增长率为y,
根据题意,得10(1+y)2=14.4,
解得y1=0.2=20%,y2=-2.2(不合题意,舍去).
答:第二和第三季度该种工业原料价格的平均增长率为20%.

4.(2025四川凉山中考,★★☆)某钢铁厂一月份生产钢铁560
吨,月平均增长率相同,第一季度共生产钢铁1 860吨,若设月平
均增长率为x,那么可列出的方程是 (　　　)
A.560(1+x)2=1 860
B.560+560(1+x)+560(1+2x)=1 860
C.560+560(1+x)+560(1+x)2=1 860
D.560+560(1+2x)2=1 860
C
解析　由题意可知,该钢铁厂二月份生产钢铁560(1+x)吨,三
月份生产钢铁560(1+x)2吨,
又∵该钢铁厂第一季度共生产钢铁1 860吨,
∴列方程为560+560(1+x)+560(1+x)2=1 860.
故选C.
5.【学科特色·辅元法】(★★☆)某工厂为了提高产品的销售
量,决定降价销售,计划用两个月的时间使价格下降到原来的6
4%,则平均每个月降低的百分率为___________.
20%
解析　设初始价格为a,平均每个月降低的百分率为x,根据题
意,得a(1-x)(1-x)=a×64%,
即(1-x)2=0.64,解得x1=0.2,x2=1.8,
∵x为下降率,故0∴x=0.2,即平均每个月降低20%.
6.(2025四川泸州中考,★★☆)某超市购进甲、乙两种商品,20
22年甲、乙两种商品每件的进价均为125元,随着生产成本的
降低,甲种商品每件的进价年平均下降25元,乙种商品2024年
每件的进价为80元.
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率.
(2)2024年该超市用不超过7 800元的资金一次购进甲、乙两
种商品共100件,求最少购进多少件甲种商品.
解析 (1)设乙种商品每件进价的年平均下降率为x,
根据题意,得125(1-x)2=80,
解得x1=0.2=20%,x2=1.8(不符合题意,舍去).
答:乙种商品每件进价的年平均下降率为20%.
(2)设购进y件甲种商品,则购进(100-y)件乙种商品,
根据题意,得(125-25×2)y+80(100-y)≤7 800,
解得y≥40,
∴y的最小值为40.
答:最少购进40件甲种商品.(共25张PPT)
第八章　一元二次方程
第4课时　动点问题
6　一元二次方程的应用
　动点问题
1.【学科特色·教材变式P79T2】(2025安徽宿州泗县期中)如
图,△ABC中,∠C=90°,AB=10 cm,AC=8 cm,点P从点A出发向
点C以2 cm/s的速度移动,点Q从点B出发向点C以1 cm/s的速
度移动,P,Q分别同时从A,B出发,点P到达点C后,P,Q两点同时
停止运动,当四边形APQB的面积是△ABC面积的 时,运动的
时间为 (　　　)
A
A.2 s　　　 B.4.5 s　　　 C.8 s　　　 D.7 s
解析　∵△ABC中,∠C=90°,
∴△ABC是直角三角形,
由勾股定理,得BC= = =6(cm).
设t s后四边形APQB的面积是△ABC面积的 ,
则CQ=BC-BQ=(6-t)cm,PC=AC-AP=(8-2t)cm.
∵四边形APQB的面积是△ABC面积的 ,
∴S△PCQ= S△ABC,
∴ CQ·PC= × AC·BC,
即 (6-t)(8-2t)= × ×8×6,
解得t=2或t=8(舍去).
故选A.
2.如图,在矩形ABCD中,AB=10 cm,AD=8 cm,点P从点A出发沿
AB以2 cm/s的速度向点B运动,同时点Q从点B出发沿BC以1
cm/s的速度向点C运动,点P到达终点后,P,Q两点同时停止运
动,问几秒时,△BPQ的面积是6 cm2

解析　设运动时间为t 秒,则PB=(10-2t)cm,BQ=t cm,根据题意,
得 (10-2t)t=6,
整理,得t2-5t+6=0,解得t1=2,t2=3.
∴2秒或3秒时,△BPQ的面积是6 cm2.
3.(2025山东东营广饶期中)如图,△ABC中,∠B=90°,AB=12
cm,BC=18 cm,点P从点A开始沿边AB向终点B以2 cm/s的速度
移动,与此同时,点Q从点B开始沿边BC向终点C以3 cm/s的速
度移动,当点Q运动到点C时,两点都停止运动.设运动时间为t s.
(1)填空:BQ=_______cm,PB=_______cm.(用含t的代数式表
示)
(2)当t为何值时,PQ的长度为10 cm
解析 (1)3t;(12-2t).
(2)由题意,得18-3t≥0,
∴t≤6,
易知三角形PBQ为直角三角形,由勾股定理,得PQ2=BP2+BQ2=
(12-2t)2+(3t)2=100,
∴t1=2,t2= ,
∴当t=2或t= 时,PQ的长度为10 cm.
4.如图,一轮船以40 km/h的速度由西向东航行,在途中点C处
接到台风警报,台风中心点B正以20 km/h的速度由南向北移
动.已知距台风中心200 km的区域(包括边界)都属于受台风影
响区.当轮船接到台风警报时,测得CB=500 km,AB=300 km.(假
定轮船不改变航向).
(1)如果这艘轮船不改变航向,经过11小时,轮船与台风中心相
距多远 此时,轮船是否受到台风影响
(2)如果这艘轮船受到台风影响,请求出轮船受到台风影响一
共经历了多少小时

解析 (1)∵CB=500 km,AB=300 km,
∴AC= = =400(km),
=40 (km),
∵40 <200,∴此时,轮船受到台风影响.
答:轮船与台风中心相距40 km.此时,轮船受到台风影响.
(2)设轮船接到台风警报后航行时间为t h.
由题意得(400-40t)2+(300-20t)2=2002,解得t1=7,t2=15,
轮船受到台风影响的时间为15-7=8(h),
答:轮船受到台风影响一共经历了8小时.

5.(2025天津河东二模,★★☆)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=
12 mm,BC=24 mm,动点P从点A开始沿边AB向点B以2 mm/s的
速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 mm/s的速度移
动,P,Q两点分别从A,B两点同时出发,设出发时间为t s,有下列
结论:①当t=2时,PQ=8 mm;②△PBQ的面积可以为35 mm2;
③t=1时四边形APQC的面积大于t=5时四边形APQC的面积.
其中,正确的结论有 (　　　)
C

A.0个　　　 B.1个　　　 C.2个　　　 D.3个
解析　①当t=2时,AP=2×2=4(mm),BQ=4×2=8(mm),BP=AB-
AP=12-4=8(mm),
∴PQ= = =8 (mm),
故结论①正确;
②假设△PBQ的面积可以为35 mm2,
当运动时间为t s时,AP=2t mm,BQ=4t mm,
则BP=AB-AP=(12-2t)mm,
根据题意,得 BP·BQ=35,
即 (12-2t)·4t=35,
整理,得4t2-24t+35=0,
解得t1= ,t2= ,
∴假设成立,
∴△PBQ的面积可以为35 mm2,
故结论②正确;
③当t=1时,AP=2×1=2(mm),BQ=4×1=4(mm),
则BP=AB-AP=12-2=10(mm),
∴S四边形APQC=S△ABC-S△PBQ= ×12×24- ×10×4=124(mm2),
当t=5时,AP=2×5=10(mm),BQ=4×5=20(mm),
则BP=AB-AP=12-10=2(mm),
∴S四边形APQC=S△ABC-S△PBQ= ×12×24- ×2×20=124(mm2),
∵124=124,
∴t=1时四边形APQC的面积等于t=5时四边形APQC的面积,
故结论③不正确.
综上所述,正确的结论有2个.
故选C.
6.(★★☆)如图,在矩形ABCD中,AB=16 cm,BC=6 cm,动点P,Q
分别以3 cm/s,2 cm/s的速度从点A,C同时出发,沿规定路线移
动.
(1)若点P从点A移动到点B停止,点Q随点P的停止而停止移动,
经过多长时间,P,Q两点之间的距离是10 cm
(2)若点P沿着AB→BC→CD移动,点Q
从点C移动到点D停止,点P随点Q的停止
而停止移动,经过多长时间,△PBQ的面积为
12 cm2
解析 (1)如图,过点P作PE⊥CD于点E,

设x s时,点P和点Q之间的距离是10 cm,
由勾股定理得(16-2x-3x)2+62=102,
∴x1= ,x2= ,
∴经过 s或 s,P,Q两点之间的距离是10 cm.
(2)如图,连接BQ.设经过y s,△PBQ的面积为12 cm2,
①当0≤y≤ 时,PB=(16-3y)cm,
∴ PB·BC=12,即 ×(16-3y)×6=12,解得y=4;
②当 ∴ BP·CQ= (3y-16)·2y=12,
解得y1=6,y2=- (舍去);
③当 QP=CQ-PC=2y-(3y-22)=(22-y)cm,
则 QP·CB= (22-y)×6=12,
解得y=18(舍去).
综上所述,经过4 s或6 s,△PBQ的面积为12 cm2.

7.【新课标·模型观念】如图,在矩形ABCD中,BC=20 cm,点P,
Q,M,N分别从点A,B,C,D出发,沿AD,BC,CB,DA方向在矩形的
边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点
时,运动即停止.已知在相同时间内,若BQ=x cm(x≠0),则AP=2
x cm,CM=3x cm,DN=x2 cm.
(1)当x为何值时,点P,N重合
(2)当x为何值时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形
　
解析 (1)依题意,得2x+x2=20,
∴x1= -1,x2=- -1(舍去),
∴当x= -1时,点P,N重合.
(2)∵当点N到达点A时,x=2 ,此时点M和点Q还未相遇,
∴点Q只能在点M的左侧.
①当点P在点N的左侧时,
依题意,得20-(x+3x)=20-(2x+x2),
解得x1=0(舍去),x2=2,
当x=2时,四边形PQMN是平行四边形.
②当点P在点N的右侧时,
依题意,得20-(x+3x)=(2x+x2)-20,
解得x1=-10(舍去),x2=4,
当x=4时,四边形NQMP是平行四边形.
综上,当x=2或x=4时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边
形.(共22张PPT)
第八章　一元二次方程
第1课时　几何图形问题
6　一元二次方程的应用
　列一元二次方程解应用题的一般步骤
1.(2025山东滨州邹平月考)直角三角形两条直角边长的和是
7,面积是6,则斜边长是 (　　　)
A. 　　　 B.5　　　 C. 　　　 D.7
B
解析　设其中一条直角边的长为x,则另一条直角边的长为7-x,
由题意,得 x(7-x)=6,
解得x1=3,x2=4,
由勾股定理,得斜边长为 =5.
故选B.
2.某校象棋比赛实行单循环制,单循环比赛共进行了45场,共
有多少名棋手参加比赛
解析　设共有x名棋手参加比赛,
根据题意,得 =45,
解得x=10 或 x=-9(舍),
∴共有10名棋手参加比赛.
3.【新考向·数学文化】(2025山东济宁高新区期中)印度古算
书中有一首用韵文写成的诗:“一群猴子分两队,高高兴兴在
游戏,八分之一再平方,蹦蹦跳跳树林里.其余十二高声喊,充满
活跃的空气.告我总数共多少,两队猴子在一起 ”大意是一群
猴子分成两队,一队猴子数是猴子总数的 的平方,另一队猴
子数是12,那么这群猴子的总数是多少
解析　设这群猴子的总数是x,
根据题意,得 +12=x,
整理,得x2-64x+768=0,
解得x1=16,x2=48.
答:这群猴子的总数是16或48.
　几何图形问题
4.(2025福建中考)为加强劳动教育,增加学生实践机会,某校拟
用总长为5米的篱笆,在两边都足够长的直角围墙的一角,围出
一块6平方米的矩形菜地作为实践基地,如图所示.设矩形的一
边长为x米,根据题意可列方程为 (　　　)
A.5x2=6　　　 　 B.5(1+x2)=6
C.x(5-x)=6　　　 D.5(1+x)2=6
C
解析　矩形的一边长为x米,则其邻边长为(5-x)米,根据矩形的
面积公式可得x(5-x)=6.故选C.
5.【新考向·数学文化】(2025山东济南章丘期末)《增删算法
统宗》中记载:“今有门厅一座,不知门广高低,长竿横进使归
室,争奈门狭四尺,随即竖竿过去,亦长二尺无疑,两隅斜去恰方
齐,请问三色各几 ”其大意是今有一房门,不知宽与高,长竿
横着进门,门的宽度比竿小4尺进不了;将竿竖着进门,竿比门
长2尺;将竿斜着穿过门的对角,恰好进门.试问门的宽、高和
竿长各是多少 如图,若设竿长AC为x尺,依题意可列方程为____
____________________.
(x-4)2+(x-2)2=x2

解析　因为竿长AC为x尺,所以BC为(x-4)尺,AB为(x-2)尺,根据
题意,得(x-4)2+(x-2)2=x2.
6.(2025山东菏泽牡丹期中」一张长30 cm,宽20 cm的矩形纸
片如图1所示,将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正
方形后,把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒,如图2所示,
如果折成的长方体纸盒的底面积为264 cm2,那么剪掉的正方
形纸片的边长为____________.

4 cm
解析　设剪掉的正方形纸片的边长为x cm.
由题意,得(30-2x)(20-2x)=264.
OU整理,得x2-25x+84=0.解方程,得x1=4,x2=21.
∵x=21>20,不符合题意,应舍去,∴x=4,
∴剪掉的正方形纸片的边长为4 cm.

7.【学科特色·多解法】(2025山东威海中考,★★☆)如图,某
校有一块长20 m、宽14 m的矩形种植园.为了方便耕作管理,
在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路(图中阴影部分).
小路把种植园分成面积均为24 m2的9块矩形地块,请你求出小
路的宽度.

解析　【解法一】设小路的宽度为x m,则9块矩形地块可合
成长为(20-4x)m,宽为(14-4x)m的矩形,
根据题意,得(20-4x)(14-4x)=24×9,
整理,得2x2-17x+8=0,
解得x1= ,x2=8(不符合题意,舍去).
答:小路的宽度为 m.
【解法二】设小路的宽度为x m,根据题意,得
20×14-14x×4-20x×4+16x2=24×9,
整理,得2x2-17x+8=0,
解得x1= ,x2=8(不符合题意,舍去).
答:小路的宽度为 m.
8.【学科特色·教材变式P74T2】(2025浙江宁波余姚期末,★
★☆)小明准备进行如下实验操作:把一根长为32 cm的铁丝
剪成两段,并将每一段铁丝分别做成一个正方形,如图所示.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于34 cm2,则这两个正方
形的边长分别是多少
(2)小明认为,这两个正方形的面积之和不可能等于30 cm2.你
认为他的说法正确吗 请说明理由.
解析 (1)设其中一个正方形的边长为x cm,则另一个正方形
的边长为(8-x)cm,
根据题意,得x2+(8-x)2=34,
解得x1=3,x2=5,
∴这两个正方形的边长分别是3 cm,5 cm.
(2)说法正确.
理由:若两个正方形的面积和为30 cm2,
则x2+(8-x)2=30,
∴x2-8x+17=0,
∵b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4<0,
∴此方程无解,
∴两个正方形的面积之和不可能等于30 cm2,即小明的说法正
确.

9.【新课标·应用意识】(2025山东烟台莱州期中)如图1,为美化校园环境,某校计划在一块长为100 m、宽为60 m的长方形空地上修建一个长方形花圃,并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道,设通道宽a m.
(1)用含a的式子表示花圃的面积.
(2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的 ,求出通道
的宽.
(3)已知某园林公司修建通道的价格是50元/m2,花圃的造价y
(元)与花圃的修建面积S(m2)之间的函数关系如图2所示,并且
a的值能使关于x的方程 x2-ax+25a-150=0有两个相等的实数
根,并要求修建的通道的宽度不少于5 m且不超过12 m,如果学
校决定由该公司承建此项目,请求出通道和花圃的造价和.

解析 (1)由题图可知,花圃的面积为(100-2a)(60-2a)=(4a2-320
a+6 000)m2.
(2)根据题意,得100×60-(100-2a)(60-2a)= ×100×60,
解得a1=5,a2=75(舍去),
∴通道的宽为5 m.
(3)∵方程 x2-ax+25a-150=0有两个相等的实数根,
∴Δ=a2-25a+150=0,解得a1=10,a2=15,
∵5≤a≤12,
∴a=10.
花圃的修建面积为80×40=3 200(m2),
花圃的造价为55 625÷1 000×3 200=178 000(元),
通道的修建面积为100×60-3 200=2 800(m2),
通道的造价为2 800×50=140 000(元),
通道和花圃的造价和为178 000+140 000=318 000(元).(共26张PPT)
第八章　一元二次方程
第1课时　一元二次方程
1　一元二次方程
　一元二次方程的定义
1.(2025山东济宁任城期中)下列方程中,是一元二次方程的为
(　　　)
A.2x+1=0　　　 B.2x2+3x=3
C.x-y=4　　　 D.x+ =2
B
解析 A.方程2x+1=0中未知数的最高次数是1,不是一元二次
方程,故此选项错误;
B.方程2x2+3x=3是一元二次方程,故此选项正确;
C.方程x-y=4中含有2个未知数,不是一元二次方程,故此选项
错误;
D.方程x+ =2是分式方程,不是一元二次方程,故此选项错误.
故选B.
方法归纳
一元二次方程必须同时满足三个条件:(1)整式方程,即等号两
边都是整式,方程中如果有分母,那么分母中必须没有未知数;
(2)只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2.
2.(2025安徽六安霍邱期中)若方程□-2=x是关于x的一元二次
方程,则“□”可以是 (　　　)
A.-2x　　　 B.22
C.2x2　　　 D.2y2
C
解析 A.-2x-2=x,是一元一次方程,此选项不符合题意;
B.22-2=x,是一元一次方程,此选项不符合题意;
C.2x2-2=x,是一元二次方程,此选项符合题意;
D.2y2-2=x,是二元二次方程,此选项不符合题意.
故选C.
3.(2025广西河池期末)若关于x的方程(m-1)x2+mx-3=0是一元
二次方程,则m的取值范围是___________.
m≠1
解析　∵关于x的方程(m-1)x2+mx-3=0是一元二次方程,
∴二次项系数不为0,即m-1≠0,∴m≠1.
4.小明说:“关于x的方程(m2+m-2)xm+1+3x=6不可能是一元二次
方程.”你认为小明的话有道理吗 为什么
解析　有道理.理由:若关于x的方程(m2+m-2)xm+1+3x=6是一元
二次方程,则m+1=2,解得m=1,
此时m2+m-2=0,
故关于x的方程(m2+m-2)xm+1+3x=6不可能是一元二次方程.
　一元二次方程的一般形式
5.(2025山东德州禹城月考)将一元二次方程-3x+4=2x2化为一
般形式为 (　　　)
A.2x2-3x+4=0　　　 B.2x2-3x-4=0
C.2x2+3x-4=0　　　 D.2x2+3x+4=0
C
解析　将一元二次方程-3x+4=2x2化为一般形式为2x2+3x-4=0.
故选C.
6.【学科特色·教材变式P51T2】(2025浙江杭州拱墅月考)将
一元二次方程2x2-8x=5化成一般形式后,二次项系数为______,
一次项系数为_______,常数项为_______.
　-5
　-8
2
解析　将方程化成一般形式为2x2-8x-5=0,∴二次项系数为2,
一次项系数为-8,常数项为-5.
　根据实际问题列一元二次方程
7.(2025山东济南莱芜期末)用14米长的铝材制成一个矩形窗
框,使它的面积为10平方米.若设它的一条边长为x米,则根据
题意可列出关于x的方程为 (　　　)
A.x(7+x)=10　　　 B.x(7-x)=10
C.x(14-x)=10　　　 D.x(14-2x)=10
B
解析　∵铝材的总长为14米,且制成的矩形窗框的一条边长
为x米,
∴制成的矩形窗框与长为x米的边相邻的一条边长为 -x=(7-
x)米,
又∵制成的矩形窗框的面积为10平方米,
∴可列出方程为x(7-x)=10.故选B.
8.【新考向·数学文化】(2025江苏扬州广陵模拟)我国南宋数
学家杨辉所著的《田亩比类乘除捷法》中有这样一道题:
“直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二步,问阔及长各
几步 ”意思是一块矩形田地的面积为864平方步,只知道它
的宽比长少12步,问它的长和宽各是多少步 设这块田地的宽
为x步,可列方程为___________________.
x(x+12)=864
解析　这块田地的宽为x步,则长为(x+12)步,根据题意,得x(x+
12)=864.

9.(2025山东淄博高新区期末,★★☆)已知关于x的方程(k+2)x|k|+
x+1=0是一元二次方程,则k的值应为 (　　　)
A.±2　　　 B.-2
C.2　　　 　 D.不能确定
C
解析　根据题意,得|k|=2且k+2≠0,
解得k=2.故选C.
10.(2025山东淄博淄川期中,★★☆)关于x的一元二次方程(m-
1)x2+5x+m2-1=0的常数项为0,则m的值为 (　　　)
A.1　　　 B.-1
C.2　　　 D.±1
B
解析　根据题意,得m2-1=0且m-1≠0,
解得m=-1.故选B.
11.【学科特色·数形结合思想】(2025山东烟台莱阳期末,★
★☆)如图所示的是某地下停车场的平面示意图,停车场的长
为40 m,宽为22 m.停车场内车道的宽度都相等,若停车位的占
地面积为520 m2,求车道的宽度.设停车场内车道的宽度为x m,
根据题意所列方程为 (　　　)
B
A.(40-2x)(22-x)=520
B.(40-x)(22-x)=520
C.(40-x)(22-2x)=520
D.(40-x)(22+x)=520
解析　停车场内车道的宽度为x m,则停车位(题图中阴影部
分)可合成长为(40-x)m,宽为(22-x)m的矩形,
根据题意,得(40-x)(22-x)=520.故选B.
12.【新考向·新定义题】(2024江苏扬州邗江梅岭中学模拟,
★★★)关于x的一元二次方程a1(x-m)2+k=0与a2(x-m)2+k=0称
为“同族二次方程”.如2(x-3)2+4=0与3(x-3)2+4=0是“同族二
次方程”.现有关于x的一元二次方程2(x-1)2+1=0与(a+2)x2+(b
-4)x+8=0是“同族二次方程”,那么代数式ab的值为________.
　-50
解析　∵2(x-1)2+1=0与(a+2)x2+(b-4)x+8=0是“同族二次方
程”,
∴(a+2)x2+(b-4)x+8=(a+2)(x-1)2+1,
即(a+2)x2+(b-4)x+8=(a+2)x2-2(a+2)x+a+3,
∴ 解得 ∴ab=-50.

13.【新课标·运算能力】将一元二次方程a(x+1)2+b(x+1)+c=0
化为一般形式后为3x2+2x-1=0,试求a2+b2-c2的值的算术平方
根.
解析　整理a(x+1)2+b(x+1)+c=0,
得ax2+(2a+b)x+(a+b+c)=0,
则 解得
∴a2+b2-c2=9+16=25,
∴a2+b2-c2的值的算术平方根是5.
微专题　围墙问题
(2025新疆中考)如图,小明在数学综合实践活动中,利
用一面墙(墙足够长)和24 m长的围栏围成一个面积为40 m2的
矩形场地.设矩形场地的宽为x m,根据题意可列方程为 ( )

A.x(24-2x)=40 B.x(24-x)=40

A
例题
C.2x(24-2x)=40 D.2x(24-x)=40
解析　∵围栏的长度为24 m,矩形场地的宽为x m,∴矩形场地
的长为(24-2x)m.
根据题意,得x(24-2x)=40.故选A.
变式1 (2025湖北十堰丹江口期末)如图,小康的爸爸借助一
段墙(墙足够长),用长21米的篱笆围成矩形鸡舍ABCD,并在边
BC上留一个1米宽的门EF.当鸡舍的长和宽分别为多少米时,
鸡舍的面积为36平方米 设宽AB为x米,则可列方程为
___________________.

x(22-2x)=36
解析　宽AB为x米,则长BC为(21-2x+1)米,
根据题意,得x(22-2x)=36.
变式2　如图,用120米长的围网围建一个面积为560平方米的
矩形养殖场.为了节省材料,养殖场的一边靠墙(墙足够长),并
在如图所示的两个位置各开出一个1米宽的门(门不用围网
做).设矩形的边AB长为x米,请依题意列方程:_______________.

x(122-2x)=560
解析　∵围网的总长为120米,且矩形的边AB长为x米,
∴矩形的边BC长为(120+2-2x)米.
依题意可列方程为x(122-2x)=560.(共21张PPT)
第八章　一元二次方程
第3课时　销售问题
6　一元二次方程的应用
　销售问题
1.【学科特色·教材变式P76例2】(2025山东烟台莱州期中)一
商店销售某种进价为20元/件的商品,当销售单价为60元时,平
均每天可售出20件.为了扩大销售,增加盈利,该店采取了降价
措施.经过一段时间销售,发现销售单价每降低1元,平均每天
可多售出4件,若该商店每天销售该商品要实现1 400元的利
润,每件需降价多少元 设每件商品降价x元,由题意可列方程
为 (　　　)
B
A.(60-x)(20+4x)=1 400
B.(40-x)(20+4x)=1 400
C.(60-x)(20+2x)=1 400
D.(40-x)(20+0.5x)=1 400
解析　由题意,得(60-20-x)(20+4x)=1 400,
即(40-x)(20+4x)=1 400.故选B.
2.(2025浙江杭州上城期中)商场某种商品每件进价为120元,
售价为130元时,每天可销售70件;销售单价高于130元时,每涨
价1元,日销售量就减少1件.据此,当销售单价为_____________
元时,商场每天销售该种商品盈利1 500元.
150或170
解析　设销售单价为x元,则每天可销售70-(x-130)=(200-x)件,
根据题意,得(x-120)(200-x)=1 500,
整理,得x2-320x+25 500=0,
解得x1=150,x2=170.
当销售单价为150或170元时,商场每天销售该种商品盈利
1 500元.
3.(2025江苏泰州兴化期末)端午节来临,某超市打算购进一批
粽子进行销售.若用80 000元购进的猪肉粽和用60 000元购进
的豆沙粽盒数相同,且猪肉粽每盒的进价比豆沙粽每盒的进
价多10元.
(1)求猪肉粽每盒的进价.
(2)经过市场调研,该超市发现,当猪肉粽按每盒50元进行销售
时,每天可售200盒;销售单价每涨1元,销售量将减少10盒,同时
上级部门要求,商品涨价幅度不能超过进价的15%,若该商品
当日盈利2 160元,求猪肉粽当日每盒售价.
解析 (1)设猪肉粽每盒的进价为a元,则豆沙粽每盒的进价为
(a-10)元,
根据题意,得 = ,
解得a=40,经检验,a=40是方程的解.
答:猪肉粽每盒的进价为40元.
(2)设猪肉粽当日每盒涨价m元,
依题意,得(50+m-40)(200-10m)=2 160,
解得m1=2,m2=8,
∵m≤40×15%,即m≤6,
∴m=2,∴50+m=52.
答:猪肉粽当日每盒售价为52元.
4.【问题】某商店以每件50元的价格购进若干件衬衫,第一个
月以单价80元销售,售出200件,第二个月为增加销售量,且能
够让顾客得到更大的实惠,决定降价处理,经市场调查,______
____,如何定价,才能使以后每个月的利润为7 920元
【解析】设……
根据题意,得(80-50-x) =7 920,
……
根据上面所列方程,完成下列任务:
(1)【问题】中横线处缺少的条件是_____________.
(2)所列方程中未知数x的实际意义是_____________.
(3)请写出上面的数学问题的完整解题过程.
解析 (1)单价每降低2元,月销售量增加40件.
(2)单价降低了x元.
(3)设单价降低了x元,
根据题意,得(80-50-x) =7 920,
整理,得x2-20x+96=0,
解得x1=8,x2=12,
∵要让顾客得到更大的实惠,∴x=12,
∴80-x=80-12=68.
答:定价为每件68元时,才能使以后每个月的利润为7 920元.

5.(★★☆)某商店从厂家以每件18元的价格购进一批商品.该
商品可以自行定价.据市场调查,该商品的售价与销售量的关
系是若每件商品的售价为a元,则可卖出(320-10a)件,但物价部
门要求每件商品加价不能超过进货价的25%,若商店计划要
获利400元,则每件商品的售价应定为(　　　)
A.22元　　　 B.24元　　　 C.26元　　　 D.28元
A
解析　根据题意,得(a-18)(320-10a)=400,
整理,得a2-50a+616=0,
解得a1=22,a2=28.
∵物价部门要求每件商品加价不能超过进货价的25%,
∴每件的售价不能超过18×(1+25%)=22.5(元).
∴a=22.∴每件商品的售价应定为22元.
故选A.
6.(2025广东深圳模拟,★★☆)某商家销售一种儿童服装,其进
价为50元/件,现在的销售单价为80元,每周可卖出200件,店庆
期间,商家决定降价让利促销,经过市场调查发现,单价每降低
1元,每周可多卖出20件.
(1)若想满足每周销售利润为7 500元,同时尽可能让利于顾客,
则每件儿童服装应降价多少元
(2)该商家每周可能盈利10 000元吗 请说明理由.
解析 (1)设每件儿童服装应降价x元,
根据题意,得(80-50-x)(200+20x)=7 500,
整理,得x2-20x+75=0,
解得x1=5,x2=15,
∵尽可能让利于顾客,
∴x=15.
答:每件儿童服装应降价15元.
(2)该商家每周不可能盈利10 000元,
理由:假设该商家每周可能盈利10 000元,
则(80-50-x)(200+20x)=10 000,
整理,得x2-20x+200=0,
∵Δ=(-20)2-4×200=-400<0,
∴该方程没有实数根,
故该商家每周不可能盈利10 000元.

7.【新课标·应用意识】【新考向·项目探究题】(2025山东德
州平原一模)某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价
与日销售量开展项目式学习活动,请你参与活动,并与他们共
同完成该项目任务.
项目主题:商品销售策略的制定
驱动问题:某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩
具,请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的
要求,帮助他制定这种益智玩具的销售策略.
任务一:市场调查
调查附近A,B,C,D,E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销
售单价x(元)和日销售量y(个)的情况,记录如表:
玩具店 A B C D E
销售单
价x/元 61 60 59 58 57
日销售
量y/个 28 30 32 34 36
任务二:模型建立
(1)该益智玩具的日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为
_________.
任务三:问题解决
(2)如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为3
00元,该玩具店老板想要每天获得200元的利润,同时尽快减少
库存,那么该益智玩具的销售单价应定为多少元
解析 (1)由题意可知,该益智玩具的日销售量y与销售单价x
之间为一次函数关系,
设该益智玩具的日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为
y=kx+b(k≠0),
根据题意,得 解得
∴该益智玩具的日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为
y=150-2x,
故答案为y=150-2x.
(2)根据题意,得(150-2x)(x-40)-300=200,
整理,得x2-115x+3 250=0,
解得x1=65,x2=50.
当x=65时,150-2x=20;
当x=50时,150-2x=50.
∵尽快减少库存,
∴x=50.
答:该益智玩具的销售单价应定为50元.(共28张PPT)
第八章　一元二次方程
第2课时　用配方法解一元二次方程
2　用配方法解一元二次方程
　用配方法解一元二次方程
1.(2025河北石家庄模拟)用配方法解方程x2-4x=2时,左右两边
需同时加上的常数是 (　　　)
A.16　　　 B.4
C.2　　　 D.1
B
解析　用配方法解方程x2-4x=2时,左右两边需同时加上的常
数是4.故选B.
2.(2025山东烟台牟平期中)一元二次方程t2-t- =0配方后可化
为 (　　　)
A. =1　　　 B. =
C. =1　　　 D. =
C
解析　移项,得t2-t= ,
配方,得t2-t+ = + ,
即 =1.故选C.
3.(2025山东济宁微山期中)用配方法解方程3x2-2x=4x+4,配方
后得到的方程是 (　　　)
A.(x+1)2= 　　　 B.(x+1)2=
C.(x-1)2= 　　　 D.(x-1)2=
D
解析 3x2-2x=4x+4,
移项,得3x2-6x=4,
两边同时除以3,得x2-2x= ,
配方,得x2-2x+1= +1,
即(x-1)2= .故选D.
4.某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方
程,每人负责完成一个步骤,如图所示,老师看后,发现有一位同
学所负责的步骤是错误的,则这位同学是 (　　　)

A.甲　　　 B.乙
C.丙 　　　 D.丁
D
解析 x2-2x-8=0,移项,得x2-2x=8,配方,得x2-2x+1=8+1,即(x-1)2=
9,∴x-1=±3,解得x1=4,x2=-2,∴丁同学所负责的步骤是错的.故
选D.
5.【学科特色·教材变式P58随堂练习T1】填上适当的数,使下
列等式成立:
(1)a2+6a+_________=(a+_________)2.
(2)4x2-20x+__________=(2x-_________)2.
5
25
3
9
解析 (1)a2+6a+9=a2+2×a×3+32=(a+3)2.
(2)4x2-20x+25=(2x)2-2×2x×5+52=(2x-5)2.
6.(2025山东烟台莱芜期末)已知方程x2-6x+a=0可以配方成(x-
3)2=4的形式,那么a的值为_________.
5
解析 x2-6x+a=0,
∴x2-6x=-a,
∴x2-6x+9=-a+9,
∴(x-3)2=-a+9,
∴-a+9=4,
∴a=5.
7.解方程:
(1)(2024江苏徐州中考)x2+2x-1=0.
(2)2x2-3=2 x.
(3)3(x-1)(x+2)=x+4.
解析 (1)x2+2x-1=0,
∴x2+2x=1,
∴x2+2x+1=1+1,
∴(x+1)2=2,
∴x+1=± ,
∴x1= -1,x2=- -1.
(2)原方程可化为2x2-2 x+1=4,∴( x-1)2=4,
∴ x=±2+1,∴x1= ,x2=- .
(3)原方程可化为3x2+2x-10=0,
方程两边同时除以3,得x2+ x- =0,
移项,得x2+ x= ,
配方,得x2+ x+ = + ,
即 = ,∴x+ =± ,
∴x1= ,x2= .

8.(2024山东东营中考,★★☆)用配方法解一元二次方程x2-2x-
2 023=0,将它转化为(x+a)2=b的形式,则ab的值为 (　　　)
A.-2 024　　　 B.2 024
C.-1　　　 　 D.1
D
解析 x2-2x-2 023=0,
∴x2-2x=2 023,
∴x2-2x+1=2 023+1,
∴(x-1)2=2 024,
∴a=-1,b=2 024,
∴ab=(-1)2 024=1.故选D.
9.(2025陕西西安碑林期中,★★☆)已知x=4a2+4ab+14,y=b2-6b-
12a,则x+y的最小值是 (　　　)
A.14　　　 B.5 C.9　　　 D.不存在
B
解析 x+y=4a2+4ab+14+b2-6b-12a
=(4a2+4ab+b2)-6(2a+b)+14
=[(2a+b)2-6(2a+b)+9]+5
=(2a+b-3)2+5.
∵(2a+b-3)2≥0,
∴x+y的最小值是5.故选B.
10.(2025江苏无锡期中,★★☆)若一元二次方程x2-4 100 625=
0的两根为x1=2 025,x2=-2 025,则方程x2-4x-4 100 621=0的两根
为__________________________.
x1=2 027,x2=-2 023
解析 x2-4x-4 100 621=0,
∴x2-4x=4 100 621,
∴x2-4x+4=4 100 625,
∴(x-2)2=4 100 625,
∴x-2=±2 025,
∴x1=2 027,x2=-2 023.
11.【新考向·象限中的一元二次方程】(★★☆)已知点(5-k2,2
k+3)在第四象限内,且在第四象限的角平分线上,则k=_______.
　-2
解析　∵点(5-k2,2k+3)在第四象限内,
∴ 解得- ∵点(5-k2,2k+3)在第四象限的角平分线上,
∴5-k2=-2k-3,即k2-2k=8,
配方,得k2-2k+1=9,即(k-1)2=9,
开平方,得k-1=±3,
∴k1=4(不合题意,舍去),k2=-2.∴k=-2.

12.【新课标·运算能力】(2025安徽马鞍山期中改编)我们定义:一个整式能表示成a2+b2(a,b是整式)的形式,则称这个整式为“完全式”.例如:M=x2+2xy+2y2=(x+y)2+y2(x,y是整式),所以M为“完全式”.若S=x2+9y2+4x-6y+k(x,y是整式,k为常数)为“完全式”,则当S=0时,y2-k的值为_______.
　-
解析 S=x2+9y2+4x-6y+k
=x2+4x+4+9y2-6y+1+k-5
=(x+2)2+(3y-1)2+k-5,
∵S=x2+9y2+4x-6y+k为“完全式”,∴k=5,
当S=0时,(x+2)2+(3y-1)2=0,
∴x+2=0,3y-1=0,
∴x=-2,y= ,∴y2-k= -5=- .
13.【新课标·运算能力】【新考向·阅读理解题】(2025山东
淄博张店重庆路中学月考)小明在学习配方法时,发现一个有
趣的现象:对于关于x的多项式x2-2x+3,由于x2-2x+3=(x-1)2+2,
所以当x-1取任意一对互为相反数的数时,多项式x2-2x+3的值
是相等的.例如:当x-1=±1,即x=2或0时,x2-2x+3的值均为3;当
x-1=±2,即x=3或-1时,x2-2x+3的值均为6.
于是小明给出一个定义:对于关于x的多项式,若当x-t取任意一
对互为相反数的数时,该多项式的值相等,就称该多项式关于x=t对称,例如x2-2x+3关于x=1对称.
请你结合小明的思考过程,运用此定义解决下列问题:
(1)多项式x2-4x+6关于x=_______对称.
(2)若关于x的多项式x2+2bx+3关于x=3对称,求b的值.
(3)整式(x2+8x+16)(x2-4x+4)关于x=_______对称.
解析 (1)∵x2-4x+6=(x-2)2+2,
∴多项式关于x=2对称.故答案为2.
(2)∵x2+2bx+3=(x+b)2-b2+3,
∴关于x的多项式x2+2bx+3关于x=-b对称,
∴-b=3,
∴b=-3.
(3)(x2+8x+16)(x2-4x+4)
=(x+4)2(x-2)2
=[(x+4)(x-2)]2
=(x2+2x-8)2
=[(x+1)2-9]2,
∴整式(x2+8x+16)(x2-4x+4)关于x=-1对称.
微专题　用配方法比较代数式的大小
方法指引　比较两个代数式的大小,常用作差法:先求它们的
差,再利用配方法得到一个含完全平方式的代数式,并运用完
全平方式的非负性判断差的正负,从而比较出两个代数式的
大小.
1.(2025江苏无锡锡山期中改编)若P= x- ,Q=x2- x,则P,Q的
大小关系为 (　　　)
A.<　　　 B.>
C.≤　　　 D.≥
C
解析　∵P= x- ,Q=x2- x,∴P-Q= - =- x2- x
+ =- ≤0,
∴P≤Q.故选C.
2.已知M=2x2-2x+3,N=4x2-3x+4,请比较M和N的大小.
解析　∵M=2x2-2x+3,N=4x2-3x+4,
∴M-N=(2x2-2x+3)-(4x2-3x+4)=2x2-2x+3-4x2+3x-4=-2x2+x-1=-2
- <0,∴M第八章自主检测
时间：40分钟 满分：100分
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.(2025山东烟台龙口期中)下列方程中,属于一元二次方程的
是 (　　　)
A.x2=3x　　　 B.x-3y=0
C.x2+ =1　　　 D.2x-3=0
A
解析 x2=3x符合一元二次方程的定义,故A符合题意;
x-3y=0中含有2个未知数,故B不符合题意;
x2+ =1中 不是整式,故C不符合题意;
2x-3=0中未知数的次数为1,故D不符合题意.
故选A.
2.(2025山东东营广饶期中)方程x2-6x-1=0的二次项系数、一
次项系数和常数项分别是 (　　　)
A.1,-6,-1　　　 B.1,6,1
C.0,-6,1　　　 D.0,6,-1
A
解析　方程x2-6x-1=0的二次项系数、一次项系数、常数项分
别是1,-6,-1.故选A.
3.(2025山东济南一模)用配方法解方程x2-6x-5=0时,下列配方
结果正确的是 (　　　)
A.(x-3)2=14　　　 B.(x-3)2=5
C.(x+3)2=14　　　 D.(x+3)2=5
A
解析　移项,得x2-6x=5,
则x2-6x+9=5+9,即(x-3)2=14.故选A.
4.(2025江苏扬州中考)关于一元二次方程x2-3x+1=0的根的情
况,下列结论正确的是 (　　　)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断根的情况
A
解析　∵Δ=(-3)2-4×1×1=5>0,
∴方程x2-3x+1=0有两个不相等的实数根.故选A.
5.【新考向·新定义题】在正数范围内定义一种运算“*”,其
规则为a*b=a+b2,根据这个规则,方程x*(x+1)=5的解是 ( )
A.5　　　 B.1
C.-4,1　　　 D.4,-1
B
解析　根据规则,方程x*(x+1)=5变形为x+(x+1)2=5,
∴x2+3x-4=0,∴(x-1)(x+4)=0,∴x-1=0或x+4=0,
解得x1=1,x2=-4(不合题意,舍去).
∴方程的解是1.故选B.
6.已知a为方程x2+2x-2 025=0的根,那么a3+a2-2 027a+2 025的
值为 (　　　)
A.-2 025　　　 B.0　　　 C.2 025　　　 D.4 050
B
解析　∵a为方程x2+2x-2 025=0的根,
∴a2+2a-2 025=0,
∴a2+2a=2 025,
∴原式=a3+2a2-a2-2a-2 025a+2 025
=a(a2+2a)-(a2+2a)-2 025a+2 025
=2 025a-2 025-2 025a+2 025
=0.
故选B.
7.(2025云南中考)某书店今年3月份盈利6 000元,5月份盈利6
200元.设该书店每月盈利的平均增长率为x.根据题意,选项中
方程正确的是(　　　)
A.6 000(1+x)2=6 200　　　 B.6 000(1-x)2=6 200
C.6 000(1+2x)=6 200　　　 D.6 000x2=6 200
A
解析　由题意得,该书店4月份盈利6 000(1+x)元,5月份盈利
6 000(1+x)2元,再结合该书店5月份盈利6 200元,列出一元二次
方程为6 000(1+x)2=6 200.故选A.
8.【新考向·数学文化】(2025山东聊城阳谷二模)韦达是法国
杰出的数学家,其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的
关系,如一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两实数根分别为x1,x2,则方程可写成a(x-x1)(x-x2)=0,即ax2-ax(x1+x2)+ax1x2=0,容易发
现根与系数的关系:x1+x2=- ,x1x2= ,设一元三次方程ax3+bx2+
cx+d=0(a≠0)的三个非零实数根分别x1,x2,x3,现给出以下结论:
①x1+x2+x3=- ;②x1x2x3=- ;③x1x2+x2x3+x1x3= ;④ + + =
- .其中,正确的是 (　　　)
A
A.①②③④　　B.②③ C.①②　　　D.①③
解析　∵一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)的三个非零实
数根分别x1,x2,x3,
∴a(x-x1)(x-x2)(x-x3)=0,
∴a[x2-(x1+x2)x+x1x2](x-x3)=0,
∴ax3-a(x1+x2+x3)x2+a(x1x2+x2x3+x1x3)x-ax1x2x3=0,
∴-a(x1+x2+x3)=b,a(x1x2+x2x3+x1x3)=c,-ax1x2x3=d,
∴x1+x2+x3=- ,x1x2+x2x3+x1x3= ,x1x2x3=- ,∴①②③都正确.
∵ + + = = =- ,
∴④正确.
故选A.
二、填空题(每小题4分,共16分)
9.(2025山东枣庄山亭二模)关于x的一元二次方程x2-3x+m=0
的一个根为1,则m=_________.
2
解析　∵关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的一个根为1,
∴x=1满足一元二次方程x2-3x+m=0,
∴1-3+m=0,
解得m=2.
10.(2025上海青浦期末)方程x2=5的根是__________________.
x1= ,x2=-
解析 x2=5,
则x=± ,
∴x1= ,x2=- .
11.探索一元二次方程x2+3x-5=0的一个正数解的过程如下表:
x -1 0 1 2 3 4
x2+3x-5 -7 -5 -1 5 13 23
从表中可以看出方程x2+3x-5=0的一个正数解在相邻整数a和
b之间,则整数a,b分别是___________.
1,2
解析　根据题表中的数据,可以发现当x=1时,x2+3x-5=-1<0,当
x=2时,x2+3x-5=5>0,
∵方程x2+3x-5=0的一个正数解在相邻整数a和b之间,∴a,b分
别是1,2.
12.(2025四川广安中考)已知方程x2-5x-24=0的两根分别为a和
b,则代数式a2-4a+b的值为__________.
29
解析　∵方程x2-5x-24=0的两根分别为a,b,
∴a+b=5,a2-5a-24=0.
∴a2-5a=24,
∴a2-4a+b=a2-5a+a+b=24+5=29.
三、解答题(共52分)
13.(2025山东济南钢城期末)(10分)解方程:
(1)x2-4x+3=0.
(2)2x2-5x-1=0.
解析 (1)x2-4x+3=0,
(x-1)(x-3)=0,
x-1=0或x-3=0,
∴x1=1,x2=3.
(2)这里a=2,b=-5,c=-1,
∵Δ=(-5)2-4×2×(-1)=25+8=33>0,
∴x= ,
∴x1= ,x2= .
14.(2025山东济南槐荫期末)(12分)如图,某社区计划将一个长
12米、宽8米的长方形花坛扩建为公共休息区.扩建方案是在
花坛四周修建一条宽度相同的小道,使扩建后的长方形公共
休息区的总面积为192平方米.
(1)求这条小道的宽度.
(2)如果用篱笆围住扩建后的休息区,需要多少米篱笆

解析 (1)设这条小道的宽度为x米,
由题意,得(8+2x)(12+2x)=192,
整理,得x2+10x-24=0,
解得x1=2或x2=-12<0(不合题意,舍去).
答:这条小道的宽度为2米.
(2)由(1)可知,扩建后的长方形公共休息区的长为12+2×2=12+
4=16(米),宽为8+2×2=8+4=12(米),
则2×(12+16)=2×28=56(米).
答:如果用篱笆围住扩建后的休息区,需要56米篱笆.
15.(2025山东淄博高青期末)(14分)已知关于x的一元二次方程
x2-x+2m-4=0有两个实数根.
(1)求m的取值范围.
(2)若方程的两根x1,x2满足(x1-3)(x2-3)=m2-1,求m的值.
解析 (1)根据题意,得Δ=(-1)2-4(2m-4)≥0,
解得m≤ .
(2)根据题意得x1+x2=1,x1x2=2m-4,
∵(x1-3)(x2-3)=m2-1,
∴x1x2-3(x1+x2)+9=m2-1,
∴2m-4-3×1+9=m2-1,
∴m2-2m-3=0,解得m1=-1,m2=3(不合题意,舍去).
故m的值是-1.
16.(2025山东淄博二模)(16分)某建筑公司承包了一项某旅游
景点的改造工程,经公开招标,最终确定由甲和乙两个工程队
共同参与改造.已知乙队的工作效率是甲队的 ,甲队先单独
做了4天,之后甲队和乙队又一起做了12天,正好如期完成了整
项改造工程.
(1)求甲队单独完成整项工程需要多少天.
(2)改造工程结束后,正逢五一假期,该旅游景点为吸引游客,发
售了代表该景点的特色套装纪念品,每套纪念品进价为30元,
为合理定价,发售前进行了市场调查,销售单价为40元时,每天
可卖800套,销售单价每涨3元,日销售量就减少60套,若想每天
获利12 000元,且销售单价不超过55元,那么该纪念品的销售
单价应为多少元
解析 (1)设甲队单独完成整项工程需要x天,则甲队的工作效
率为 ,乙队的工作效率为 ,
由题意,得 +12 =1,
解得x=25,
经检验,x=25是原方程的解,且符合题意.
答:甲队单独完成整项工程需要25天.
(2)设该纪念品的销售单价应为m元,
由题意,得(m-30) =12 000,
整理,得m2-110m+3 000=0,
解得m1=50,m2=60(不合题意,舍去).
答:该纪念品的销售单价应为50元.(共31张PPT)
第八章　一元二次方程
4　用因式分解法解一元二次方程

　用因式分解法解一元二次方程
1.(2025山东青岛六十一中月考)方程(3x-1)(2x+4)=0的解是
(　　　)
A.x1= ,x2=-2　　　 B.x=-2
C.x= 　　　 　　 D.x1= ,x2=2
A
解析　∵(3x-1)(2x+4)=0,
∴3x-1=0或2x+4=0,
∴x1= ,x2=-2.故选A.
2.(2025湖南湘西州模拟)已知一元二次方程(x+3)(x+k)=0有一
个根是2,则k的值为 (　　　)
A.2　　　 B.-2　　　 C.3　　　 D.-3
B
解析　∵(x+3)(x+k)=0,
∴x+3=0或x+k=0,
∴x1=-3,x2=-k,
∵一元二次方程(x+3)(x+k)=0有一个根是2,
∴-k=2,∴k=-2.故选B.
3.方程2x2-3x+1=0的根的符号是 (　　　)
A.两根一正一负　　　 B.两根都是负数
C.两根都是正数　　　 D.无法确定
C
解析　∵2x2-3x+1=0,
∴(2x-1)(x-1)=0,解得x1= ,x2=1,
∴方程2x2-3x+1=0的两根都是正数.
故选C.
4.【学科特色·易错题】(2025山东淄博临淄期中)方程x2=2x的
根为_________________.
x1=0,x2=2
解析 x2=2x,
x2-2x=0,
x(x-2)=0,
x=0或x-2=0,
∴x1=0,x2=2.
易错警示
解此题时,易发生将方程两边同时除以x,忽视因式为0的情况,
从而漏解.这类题目的正确解法是先移项,再提取公因式求解.
5.用因式分解法解下列方程:
(1)(2024山东滨州中考)x2-4x=0.
(2)(2x-1)2-4=0.
(3)【学科特色·多解法】(x-2)2=4(x+3)2.
解析 (1)∵x2-4x=0,∴x(x-4)=0,
∴x=0或x-4=0,∴x1=0,x2=4.
(2)原方程可化为(2x-1)2-22=0,
∴(2x-1+2)(2x-1-2)=0,即(2x+1)(2x-3)=0,
∴2x+1=0或2x-3=0,∴x1=- ,x2= .
(3)【解法一】∵(x-2)2=4(x+3)2,
∴x-2=2(x+3)或x-2=-2(x+3),
解得x1=-8,x2=- .
【解法二】∵(x-2)2=4(x+3)2,
∴(x-2)2-4(x+3)2=0,
∴[(x-2)+2(x+3)][(x-2)-2(x+3)]=0,
即(3x+4)(-x-8)=0,
∴3x+4=0或-x-8=0,∴x1=- ,x2=-8.
6.【学科特色·教材变式P69T2】(2025江苏无锡期末)已知一
个数的平方与10的差等于这个数与10的和,求这个数.
解析　设这个数为x,
由题意,得x2-10=x+10,
整理,得x2-x-20=0,
因式分解,得(x-5)(x+4)=0,
∴x-5=0,x+4=0,
解得x1=5,x2=-4.
综上所述,这个数为5或-4.
　用合适的方法解一元二次方程
7.(2025山东德州宁津期中)解方程2(x-1)2=3(x-1)最合适的方
法是 (　　　)
A.直接开平方法　　　 B.配方法
C.公式法　　　 D.因式分解法
D
解析 2(x-1)2=3(x-1),
移项,得2(x-1)2-3(x-1)=0,
∵2(x-1)2与-3(x-1)中有共同的因式x-1,
∴最合适的方法是因式分解法.故选D.
8.我们学习了一元二次方程的四种解法:①直接开平方法;②
配方法;③因式分解法;④公式法.请认真观察(1)~(3)中的几个
方程,选出较为合适的方法.(填序号)
(1)x2+16x=5,选用方法_______较合适.
(2)2(x+2)(x-1)=(x+2)(x+4),选用方法_______较合适.
(3)2x2-3x-3=0,选用方法_______较合适.
(4)请从以下一元二次方程中任选两个,并选择你认为合适的
方法解这两个方程.
①(x+1)2=4x;②3x2-6x=0;③x2+x-1=0;
④ x2+x+1=0;⑤2x2-6x+8=0.
解析 (1)②.(2)③.(3)④.
(4)选择②3x2-6x=0,用因式分解法.
方程左边因式分解,得3x(x-2)=0,
所以x1=0,x2=2.
选择③x2+x-1=0,用公式法.
a=1,b=1,c=-1,
∴Δ=b2-4ac=12-4×1×(-1)=5,
∴x= = ,
∴x1= ,x2= .
答案不唯一,其他选择略.

9.(2025山东德州德城期中,★★☆)已知方程2x2-5x-k=0的两根
为x1=3,x2=- ,那么二次三项式-2x2+5x+k分解因式得 (　　　)
A.(x-3) 　　　 B.-2(x+3)
C.-(x-3)(x+1)　　　 D.-(x-3)(2x+1)
D
解析　∵方程2x2-5x-k=0的两根为x1=3,x2=- ,
∴2x2-5x-k=(x-3)(2x+1),
∴-2x2+5x+k=-(2x2-5x-k)=-(x-3)(2x+1).
故选D.
10.(2025广东揭阳榕城模拟,★★☆)关于x的方程x2-2mx+m2=4
的两个根x1,x2满足x1=2x2+3,且x1>x2,则m的值为 (　　　)
A.-3　　　 B.1　　　 C.3　　　 D.9
C
解析　∵x2-2mx+m2=4,
∴(x-m+2)(x-m-2)=0,
∴x-m+2=0或x-m-2=0,
∵x1>x2,
∴x1=m+2,x2=m-2,
∵x1=2x2+3,
∴m+2=2(m-2)+3,
解得m=3.故选C.
11.(2025山东淄博桓台期中,★★☆)若菱形两条对角线的长
度是方程x2-12x+32=0的两根,则该菱形的边长为 (　　　)
A.2 　　　 B.8　　　 C.50　　　 D.10
A
解析　∵x2-12x+32=0,
∴(x-4)(x-8)=0,
∴x-4=0或x-8=0,
解得x1=4,x2=8,
∵菱形两条对角线的长度是方程x2-12x+32=0的两根,
∴菱形两条对角线的长度分别是4和8,
又∵菱形的两条对角线互相垂直平分,
∴菱形的边长为 =2 .故选A.
12.(2025山东烟台招远期中,★★☆)若三角形的两边长分别
为4和7,第三边的长是方程x2-7x+12=0的一个根,则这个三角
形的周长为__________.
15
解析　原方程因式分解,得(x-3)(x-4)=0,
∴x-3=0或x-4=0,
解得x1=3,x2=4,
当x=3时,3+4=7,不符合三角形的三边关系,故舍去,
当x=4时,4+4=8>7,符合三角形的三边关系,
则三角形的三边长分别为7,4,4,故三角形的周长是7+4+4=15.
13.(2025山东德州乐陵期中,★★☆)小华设计了一个魔术盒,
将任意实数对(a,b)放入其中,会得到一个新的实数a2-2b-3.若
将实数对(2x,-x)放入其中得到实数-1,则x的值为_________.
　-1或
解析　由题意,得(2x)2-2(-x)-3=-1,
整理,得2x2+x-1=0,
(x+1)(2x-1)=0,
x+1=0或2x-1=0,
x1=-1,x2= ,
∴x的值为-1或 .
14.(★★☆)解下列方程:
(1)【学科特色·多解法】x2-2x-15=0.
(2)(2x-1)2-2(2x-1)=3.
解析 (1)【解法一】配方法:
原方程可化为x2-2x=15,
x2-2x+1=16,
(x-1)2=16,∴x-1=4或x-1=-4,∴x1=5,x2=-3.
【解法二】因式分解法:
原方程可化为(x-5)(x+3)=0,∴x-5=0或x+3=0,∴x1=5,x2=-3.
(2)(2x-1)2-2(2x-1)=3,
令2x-1=m,则原方程可化为m2-2m=3,解得m1=3,m2=-1,
∴2x-1=3或2x-1=-1,∴x1=2,x2=0.

15.【新课标·运算能力】【新考向·阅读理解题】阅读下列材
料,完成相应任务.
我们已经学习过利用“配方法、公式法、因式分解法”解一
元二次方程,对于关于x的一元二次方程x2+px+q=0,还可以利
用下面的方法求解.
将方程整理,得x(x+p)=-q, 第1步
变形,得 =-q, 第2步
∴ - =-q, 第3步
∴ = -q,即 = , 第4步
当p2-4q≥0时,x+ =± , 第5步
∴x1= ,x2= , 第6步
当p2-4q<0时,该方程无实数解. 第7步
学习任务:
(1)上述材料第2步到第3步的依据是___________.
(2)请用材料中提供的方法,解下列方程:2x2+6x-3=0.
解析 (1)平方差公式.
(2)2x2+6x-3=0,
移项,二次项系数化为1,得x2+3x= ,
整理,得x(x+3)= ,
变形,得 = ,
∴ - = ,∴ = ,
∴x+ =± ,解得x1= ,x2= .(共28张PPT)
第八章　一元二次方程
第1课时　用公式法解一元二次方程
3　用公式法解一元二次方程
　用公式法解一元二次方程
1.(2025山东德州宁津月考)用公式法解一元二次方程3x2+3=-
2x时,首先要确定a,b,c的值,下列选项正确的是 (　　　)
A.a=3,b=2,c=3
B.a=-3,b=2,c=3
C.a=3,b=2,c=-3
D.a=3,b=-2,c=3
A
解析　∵3x2+3=-2x,
∴3x2+2x+3=0,
这里a=3,b=2,c=3.故选A.
2.(2025贵州贵阳月考)求方程2x2+7x+2=0的根时,由求根公式
得x= ,则m的值为(　　　)
A.- 　　　 B.
C.-7　　　 D.7
C
解析　∵求方程2x2+7x+2=0的根时,由求根公式得x=
,∴m=-7.故选C.
3.(2025山东临沂费县月考)关于x的一元二次方程bx2-cx-a=0(b≠0)的解是 (　　　)
A.x= 　　　 B.x=
C.x= 　　　 D.x=
B
解析　关于x的方程bx2-cx-a=0(b≠0)的二次项系数为b,一次
项系数为-c,常数项为-a,代入求根公式可得x= .故
选B.
4.如果一元二次方程x2+px+q=0能用公式法求解,那么必须满
足的条件是 (　　　)
A.p2-4q≥0　　　 B.p2-4q≤0
C.p2-4q>0　　　 D.p2-4q<0
A
解析　∵a=1,b=p,c=q,
∴b2-4ac=p2-4q≥0时,一元二次方程x2+px+q=0能用公式法求
解.
故选A.
5.(2025安徽合肥月考)若x= 是一元二次方程
ax2+bx+c=0的根,则a+b-c的值为_________.
2
解析　由题意,得a=3,b=-2,c=-1,
∴a+b-c=3-2+1=2.
6.(2025湖南娄底月考)若x2+2与x-3互为相反数,则x的值为
________________.
或

解析　由题意,得x2+2+x-3=0,
整理,得x2+x-1=0,
∴a=1,b=1,c=-1,
∴b2-4ac=12-4×1×(-1)=1+4=5>0,
∴x= ,
∴x1= ,x2= ,
∴x的值为 或 .
7.【学科特色·教材变式P63习题T1】解下列方程:
(1)(2025山东聊城期末)3x2-6x+1=0.
(2)(2025山东日照岚山期中)2x2+3=7x.
(3)(x-3)(x+3)=2x.
解析 (1)由方程可知a=3,b=-6,c=1,
∴b2-4ac=(-6)2-4×3×1=36-12=24>0,
∴x= = = ,
即x1= ,x2= .
(2)方程整理,得2x2-7x+3=0,
∴a=2,b=-7,c=3,
∴b2-4ac=(-7)2-4×2×3=49-24=25>0,
∴x= = ,
即x1= ,x2=3.
(3)方程整理,得x2-2x-9=0,
∴a=1,b=-2,c=-9,∴b2-4ac=4+36=40>0,
∴x= =1± ,即x1=1+ ,x2=1- .
8.(2025河北保定徐水期末)嘉嘉解一元二次方程x2-3x=1的过
程如下:
解:整理,得x2-3x-1=0,…①
∴a=1,b=3,c=1,…②
∴b2-4ac=5>0,…③
∴x= ,…④
∴x1= ,x2= .…⑤
(1)嘉嘉解方程的方法是_______,他的求解过程从第______
步开始出现错误.
(2)请你写出这个方程正确的解题步骤.
解析 (1)公式法;②.
(2)整理,得x2-3x-1=0,
∴a=1,b=-3,c=-1,
∴b2-4ac=13>0,
∴x= = ,
∴x1= ,x2= .

9.(2025福建三明三元期中改编,★★☆)在计算正数a的平方
时,某同学误算成a与2的积,求得的答案比正确答案小1,那么
正数a的值为 (　　　)
A.1+ 　　　 B.1-
C.1+ 或1- 　　　 D.1
A
解析　由题意知,a2-2a=1,∴a2-2a-1=0,
∵(-2)2-4×1×(-1)=8>0,
∴a= ,∴a1=1+ ,a2=1- ,
∵a为正数,∴a=1+ .故选A.
10.(2025江苏南通月考,★★☆)已知关于x的一元二次方程ax2
-2(a-2)x+a-4=0(a>0),设方程的两个实数根分别为x1,x2(其中x1>
x2),若y是关于a的函数,且y=x1-ax2,y>0,则 (　　　)
A.0C.a>3　　　 D.a>5
B
解析　∵ax2-2(a-2)x+a-4=0(a>0)是关于x的一元二次方程,[-2
(a-2)]2-4a(a-4)=16>0,
∴x= = ,∴x=1或x=1- ,
∵a>0,x1>x2,∴x1=1,x2=1- ,
∴y=x1-ax2=1-a =1-a+4>0,解得a<5,∴0故选B.
11.【新考向·数学文化】(★★☆)如图,已知小长方形的长、
宽之和为p,面积为q,设小长方形的宽为x,根据图形面积的关
系可构造方程x(p-x)=q.我国数学家赵爽借助下图(由四个全等
的小长方形围成一个大正方形,中空的部分是一个小正方形)
将x用p,q表示为x= (p- ),从而得到形如-x2+px=q的一
元二次方程其中一个根的求根公式.结合下图,x的表达式中
所表示的几何量是_________________.

小正方形的边长
解析　∵p2为大正方形的面积,4q为4个小长方形的面积和,
∴ 为小正方形的边长.
12.(2025山东青岛育才中学一模,★★☆)对于三个实数a,b,c,
用M{a,b,c}表示这三个数的平均数,用min{a,b,c}表示这三个
数中最小的数.例如:M{1,2,9}=4,min{1,2,-3}=-3,min{3,1,1}=1.
若M{5x,x2,-3}=min{x2,-3},则x=_______.
-2或-3
解析　∵x2≥0,∴x2>-3,∴min{x2,-3}=-3,
∵M{5x,x2,-3}=min{x2,-3},
∴ =-3,
整理,得x2+5x+6=0,
∴b2-4ac=52-4×1×6=1>0,
∴x= ,∴x1=-2,x2=-3.故答案为-2或-3.

13.【新课标·运算能力】(2025湖南湘西州凤凰期末)复数是
数学中的一个重要概念,它在各个领域中都有广泛应用.复数
由实部和虚部组成,可以用a+bi的形式表示,其中a为实部,b为
虚部,i为虚数单位,且规定i2=-1,即 =i.如: =2i, = i.
复数的运算符合加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘
法结合律、乘法对加法的分配律以及加减乘除运算法则.
如:(1-2i)+(-3+5i)=(1-3)+(-2+5)i=-2+3i;
(-1+3i)(2-5i)=-2+5i+6i+15=13+11i.
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴,水平的数轴
代表复数的实部,竖直的数轴代表复数的虚部,这样的平面我
们称它为复平面.在复平面内,每一个复数和复平面内的点之
间构成一一对应关系,a+bi对应复平面内点的坐标记为(a,b).
请根据上述材料,解决下列问题:
问题1:在复平面内点A对应的复数为3+4i,将点A绕原点O逆时
针旋转90°,得对应点B,则点B对应的复数为_______.
问题2:利用乘法公式计算:(-3+4i)2.
问题3:根据复数的性质,在复数范围内求解一元二次方程:
x2-x+2=0.
解析　问题1:∵在复平面内点A对应的复数为3+4i,
∴3+4i对应复平面内点的坐标为(3,4),
∴将点A绕原点O逆时针旋转90°所得的对应点B的坐标为(-4,
3),
∴点B对应的复数为-4+3i.故答案为-4+3i.
问题2:(-3+4i)2
=(-3)2+2×(-3)×4i+(4i)2
=9-24i+16i2
=-7-24i.
问题3:∵a=1,b=-1,c=2,
∴b2-4ac=(-1)2-4×1×2=1-8=-7,
由求根公式可得x= = ,
∴x1= ,x2= .(共27张PPT)
第八章　一元二次方程
第2课时　一元二次方程根的判别式
3　用公式法解一元二次方程
　一元二次方程根的判别式
1.(2025湖北武汉洪山月考)一元二次方程x2-5x-1=0的根的判
别式的值是 (　　　)
A.21　　　 B.29　　　 C. 　　　 D.
B
解析　由题意得Δ=(-5)2-4×1×(-1)=29.故选B.
2.(2025河南中考)一元二次方程x2-2x=0的根的情况是 (　　　)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
A
解析　由题意得Δ=(-2)2-4×1×0=4>0,
∴方程有两个不相等的实数根.故选A.
3.(2024上海中考)下列一元二次方程有两个相等实数根的是
(　　　)
A.x2-6x=0　　　 　B.x2-9=0
C.x2-6x+6=0　　　 D.x2-6x+9=0
D
解析　由x2-6x=0知Δ=36-0=36>0,∴x2-6x=0有两个不等实数
根,故A不符合题意;x2-9=0的根为x=3或x=-3,∴x2-9=0有两个不
等实数根,故B不符合题意;由x2-6x+6=0知Δ=36-24=12>0,∴x2-
6x+6=0有两个不等实数根,故C不符合题意;由x2-6x+9=0知Δ=
36-36=0,∴x2-6x+9=0有两个相等的实数根,故D符合题意.
故选D.
4.已知点P(a,c)在第二象限,则一元二次方程ax2+bx+c=0的根
的情况为 (　　　)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.不能判断
A
解析 ∵点P(a,c)在第二象限,∴ac<0,∴Δ=b2-4ac>0,
∴一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.故选A.
5.【学科特色·教材变式P67随堂练习T2】(2024山东中考)若
关于x的方程4x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m的值为
_________.
解析　∵关于x的方程4x2-2x+m=0有两个相等的实数根,
∴Δ=b2-4ac=22-4×4×m=4-16m=0,解得m= .
6.已知关于x的方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0,当k取什么值时.
(1)方程有两个不相等的实数根.
(2)方程有两个相等的实数根.
(3)方程没有实数根.
解析　∵a=2,b=-(4k+1),c=2k2-1,
∴Δ=b2-4ac=[-(4k+1)]2-4×2×(2k2-1)=8k+9.
(1)∵方程有两个不相等的实数根,
∴Δ>0,即8k+9>0,解得k>- .
(2)∵方程有两个相等的实数根,
∴Δ=0,即8k+9=0,解得k=- .
(3)∵方程没有实数根,
∴Δ<0,即8k+9<0,解得k<- .
7.(2025山东青岛莱西期中)已知关于x的一元二次方程ax2+bx-
(a+b)=0(a,b为常数,a≠0),请判断方程的根的情况.
解析　由题意得Δ=b2-4×a×[-(a+b)]=(2a+b)2,
∴①当b=-2a时,Δ=0,原方程有两个相等的实数根;
②当b≠-2a时,Δ>0,原方程有两个不相等的实数根.

8.(2025山东聊城模拟,★★☆)关于x的一元二次方程x2-(k+1)x+
k-1=0的根的情况是 (　　　)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
A
解析　由题意得Δ=[-(k+1)]2-4(k-1)=k2+2k+1-4k+4=k2-2k+1+4=
(k-1)2+4>0,
∴方程有两个不相等的实数根.故选A.
9.(2025山东枣庄峄城三模,★★☆)关于x的一元二次方程x2+x
-2=m,下列说法正确的是 (　　　)
A.当m=0时,此方程有两个相等的实数根
B.当m>0时,此方程有两个不相等的实数根
C.当m<0时,此方程没有实数根
D.此方程的根的情况与m的值无关
B
解析　∵x2+x-2=m,∴x2+x-2-m=0,
∴Δ=12-4×1×(-2-m)=4m+9.
A.当m=0时,Δ=9>0,∴此方程有两个不相等的实数根,故A说法
错误,不合题意;
B.当m>0时,Δ=4m+9>0,∴此方程有两个不相等的实数根,故B
说法正确,符合题意;
C.当m<0时,Δ=4m+9的符号不能确定,∴此方程的根的情况不
能确定,故C说法错误,不合题意;
D.此方程的根的情况与m的值有关,故D说法错误,不合题意.
故选B.
10.(★★☆)已知a,b,c是三角形的三边长,则方程(a+b)x2+2cx+a
+b=0的根的情况是_________.
　无实数根
解析　∵a,b,c是三角形的三边长,∴a+b>0,c+a+b>0,c-a-b<0,
∴方程(a+b)x2+2cx+a+b=0为一元二次方程,∴Δ=(2c)2-4(a+b)
(a+b)=4c2-4(a+b)2=4(c+a+b)(c-a-b)<0,∴原方程无实数根.
11.(2025山东潍坊坊子二模,★★☆)从-5,0,3三个数中,选取1
个数作为p的值代入方程x2-px+1=0.若该方程有两个正实数
根,则选取的p的值为_________.
3
解析　∵方程x2-px+1=0有两个实数根,
∴Δ=b2-4ac=p2-4≥0,
∴p≥2或p≤-2.
当p=0时,原方程无实数根,不符合题意.
当p=-5时,原方程为x2+5x+1=0,Δ=25-4=21,∴x1= ,x2=
,
∵x1,x2都小于0,∴p=-5不符合题意.
当p=3时,原方程为x2-3x+1=0,Δ=9-4=5,
∴x1= ,x2= ,
∵x1,x2都大于0,∴p=3符合题意.
故答案为3.
12.(2025山东淄博沂源期中,★★☆)若等腰三角形的一边长
是4,另两边的长是关于x的方程x2-6x+n=0的两个根,求n的值.
解析　当4为腰长时,将x=4代入x2-6x+n=0,得42-6×4+n=0,解得
n=8,
当n=8时,原方程为x2-6x+8=0,
解得x1=2,x2=4,
∵2+4>4,
∴n=8符合题意;
当4为底边长时,关于x的方程x2-6x+n=0有两个相等的实数根,
∴Δ=(-6)2-4×1×n=0,解得n=9,
当n=9时,原方程为x2-6x+9=0,解得x1=x2=3,
∵3+3>4,
∴n=9符合题意.
综上,n的值为8或9.
13.(2025山东东营利津期中改编,★★☆)已知关于x的方程x2+
2kx+k2-1=0.
(1)试说明无论k取何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)如果方程有一个根为3,试求2k2+12k+2 025的值.
解析 (1)证明:由题意得Δ=(2k)2-4×1×(k2-1)=4k2-4k2+4=4>0,
∴无论k取何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)∵方程有一个根为3,
∴9+6k+k2-1=0,即k2+6k=-8,
∴2k2+12k+2 025=2(k2+6k)+2 025=-16+2 025=2 009.

14.【新课标·运算能力】【新考向·新定义题】定义:若一元二
次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足b=a+c,则称该方程为“和谐方
程”.
(1)下列属于和谐方程的是_______.
①x2+2x+1=0;②x2-2x+1=0;③x2+x=0.
(2)求证:“和谐方程”总有实数根.
(3)已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)为“和谐方程”,若该
方程有两个相等的实数根,求a,c的数量关系.
解析 (1)①③.
(2)证明:∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)为“和谐方程”,
∴b=a+c,
∴Δ=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0,
∴“和谐方程”总有实数根.
(3)∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)为“和谐方程”,
∴b=a+c,∵“和谐方程”ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根,
∴Δ=(a+c)2-4ac=(a-c)2=0,
∴a=c.
微专题　根据一元二次方程根的个数求参数的取值范围
方法指引　对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),其判别式为
Δ=b2-4ac.当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根:x=
;当Δ=0时,方程有两个相等的实数根:x1=x2=- ;
当Δ<0时,方程无实数根.
1.(2025四川内江中考)若关于x的一元二次方程(a-1)x2+2x+1=0
有实数根,则实数a的取值范围是 (　　　)
A.a≤2　　　 　B.a<2
C.a≤2且a≠1　　　 D.a<2且a≠1
C
解析　∵关于x的一元二次方程(a-1)x2+2x+1=0有实数根,
∴
解得a≤2且a≠1,
∴实数a的取值范围是a≤2且a≠1.故选C.
2.(2025上海中考)已知一元二次方程2x2+x+m=0没有实数根,
则m的取值范围是___________.
m>
解析　∵一元二次方程2x2+x+m=0没有实数根,
∴Δ=12-4×2×m=1-8m<0,解得m> ,
∴m的取值范围是m> .(共16张PPT)
第八章　一元二次方程
第1课时　用直接开平方法解一元二次方程
2　用配方法解一元二次方程
　用直接开平方法解一元二次方程
1.(2025山东临沂沂南期中)一元二次方程x2-1=0的根为 (　　　)
A.x=-1　　　 B.x=1
C.x1=1,x2=-1　　　 D.x=0
C
解析 x2-1=0,∴x2=1,∴x=±1,
∴x1=1,x2=-1.故选C.
2.(2025广东江门新会期末)若方程(x-4)2=a有实数解,则a的取
值范围是 (　　　)
A.a≤0　　　 B.a≥0　　　 C.a>0　　　 D.a<0
B
解析　∵方程(x-4)2=a有实数解,
∴a≥0.故选B.
3.(2025浙江温州瑞安开学测试)方程(x-1)2=5的解为
_________________.
x1=1+ ,x2=1-
解析 (x-1)2=5,
∴x-1=± ,
∴x1=1+ ,x2=1- .
4.【学科特色·易错题】(2025青海西宁期末)已知(x2+y2+1)2=81,
则x2+y2=_________.
8
解析　∵(x2+y2+1)2=81,
∴x2+y2+1=±9,
∴x2+y2=8或x2+y2=-10(舍去).
易错警示
此题易忽略x2+y2≥0而得错解为8或-10.
5.【学科特色·教材变式P56随堂练习T2】用直接开平方法解
下列方程:
(1)(2024四川攀枝花中考)(x+1)2-4=0.
(2)8(x-3)2=72.
(3)x2+25+10x=49.
(4)(2025山东济南商河期中)2(x-4)2-32=0.
解析 (1)移项,得(x+1)2=4,
直接开平方,得x+1=±2,
∴x1=1,x2=-3.
(2)两边同时除以8,得(x-3)2=9,
直接开平方,得x-3=±3,∴x1=0,x2=6.
(3)整理,得(x+5)2=49.
直接开平方,得x+5=7或x+5=-7,∴x1=2,x2=-12.
(4)移项,得2(x-4)2=32,
两边同时除以2,得(x-4)2=16,
直接开平方,得x-4=±4,
∴x1=0,x2=8.

6.(2025山东青岛三十九中月考,★★☆)如图,这是一个简单的
数值运算程序,则输入x的值为 (　　　)
输入x (x-1)2 ×2 输出8
A.2或-2　　　 B.3或-3
C.3或-1　　　 D.-3或1
C
解析　由题意,得2(x-1)2=8,
两边同时除以2,得(x-1)2=4,
直接开平方,得x-1=2或x-1=-2,
解得x=3或-1.故选C.
7.(2025山东临沂临沭石门中学月考,★★☆)关于x的方程m(x+h)2+
k=0(m,h,k均为常数,m≠0)的解是x1=-3,x2=2,则关于x的方
程m(x+h-3)2+k=0的解是 (　　　)
A.x1=-6,x2=-1　　　 B.x1=0,x2=5
C.x1=-3,x2=5　　　 D.x1=-6,x2=2
B
解析　解方程m(x+h)2+k=0(m,h,k均为常数,m≠0)得,x=-h± ,
∵此方程的解是x1=-3,x2=2,
∴-h- =-3,-h+ =2,
∵方程m(x+h-3)2+k=0的解是x=3-h± ,
∴x1=3-3=0,x2=3+2=5.故选B.
8.【新考向·新定义题】(2025山东济南天桥月考,★★☆)将4
个数a,b,c,d排成2行2列,两边各加一条竖直线记成 ,定义
=ad-bc,上述记号就叫做2阶行列式.若 =6,则x=
____________.
或-
解析　由题意,得(x+1)2-(x-1)(1-x)=6,
整理,得x2=2,
∴x=± ,∴x1= ,x2=- .
9.(2025山东烟台招远期中,★★☆)关于x的一元二次方程mx2+
mx=3x+12中不含x的一次项,则此方程的解为______________.
x1=2,x2=-2
解析　将mx2+mx=3x+12整理,得mx2+(m-3)x-12=0,
∵该方程不含x的一次项,
∴m-3=0,解得m=3,
∴3x2-12=0,∴3x2=12,∴x2=4,∴x=±2,
∴x1=2,x2=-2.
10.(★★☆)解关于x的方程:(m-2)2x2-4=0(m>2).
解析 (m-2)2x2-4=0,
所以(m-2)2x2=4,
所以x2= ,
因为m>2,
所以x=± ,
所以x1= ,x2=- .(共27张PPT)
第八章　一元二次方程
＊5　一元二次方程的根与系数的关系

　一元二次方程的根与系数的关系
1.(2025广西中考)已知x1,x2是方程x2-20x-25=0的两个实数根,
则x1+x2= (　　　)
A.-25　　　 B.-20
C.20　　　 D.25
C
解析　根据一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=- =20.
故选C.
2.(2025山东枣庄台儿庄月考)已知一元二次方程x2-10x+24=0
的两个根为x1和x2,则x1x2的值为 (　　　)
A.10　　　 B.-10
C.24　　　 D.-24
C
解析　根据一元二次方程根与系数的关系得x1x2= =24.故选
C.
3.已知一元二次方程x2+bx+c=0的两根分别为x1,x2,且x1+x2=3,
x1x2=2,则b,c的值分别是 (　　　)
A.3,2　　　 　B.-3,2
C.-3,-2　　　 D.3,-2
B
解析　∵一元二次方程x2+bx+c=0的两根分别为x1,x2,
∴x1+x2=-b,x1x2=c.
∵x1+x2=3,x1x2=2,∴-b=3,c=2,∴b=-3.
故选B.
4.(2025广东东莞期末)已知实数x1,x2满足x1+x2=7,x1x2=12,则以x1,x2为根的一元二次方程是 (　　　)
A.x2-7x+12=0　　　 B.x2+7x+12=0
C.x2+7x-12=0　　　 D.x2-7x-12=0
A
解析　四个选项中一元二次方程的判别式均大于0.
A.x1+x2=7,x1x2=12,符合题意;
B.x1+x2=-7,x1x2=12,不符合题意;
C.x1+x2=-7,x1x2=-12,不符合题意;
D.x1+x2=7,x1x2=-12,不符合题意.故选A.
5.(2025河北中考)若一元二次方程x(x+2)-3=0的两根之和与两
根之积分别为m,n,则点(m,n)在平面直角坐标系中位于 (　　)
A.第一象限　　　 B.第二象限
C.第三象限　　　 D.第四象限
C
解析　原方程整理,得x2+2x-3=0,
∴m=- =-2,n= =-3,
∴点(m,n)在第三象限.故选C.
6.(2025江苏苏州中考)已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2x-
m=0的两个实数根,其中x1=1,则x2=_______.
　-3
解析　∵x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2x-m=0的两个实数
根,
∴x1+x2=-2,
又∵x1=1,
∴x2=-2-x1=-2-1=-3.
7.【学科特色·教材变式P71例题】设方程4x2-7x-3=0的两个根
为x1,x2,求各式的值:
(1)(x1-3)(x2-3).
(2) + .
解析　根据题意,得x1+x2= ,x1x2=- .
(1)原式=x1x2-3(x1+x2)+9=- -3× +9=3.
(2)原式= = =
=- .
8.(2025山东淄博沂源期末)已知关于x的一元二次方程x2-(2k+
1)x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1,x2.
(1)求k的取值范围.
(2)若x1+x2=3,求方程的根.
解析 (1)根据题意得Δ=[-(2k+1)]2-4(k2+1)>0,解得k> ,
即k的取值范围为k> .
(2)根据一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=2k+1,
∵x1+x2=3,
∴2k+1=3,解得k=1,
∵k> ,
∴k的值为1,∴原方程化为x2-3x+2=0,
解得x1=1,x2=2.
9.(2025山东潍坊高密三模)已知关于x的一元二次方程x2-2x+k-1=0有两个实数根x1和x2.
(1)求实数k的取值范围.
(2)若两个实数根x1和x2满足x1+x2-x1x2<4,求k的整数值.
解析 (1)根据题意得Δ=(-2)2-4(k-1)≥0,解得k≤2.
(2)根据一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=2,x1x2=k-1,
∵x1+x2-x1x2<4,
∴2-(k-1)<4,
解得k>-1,
∵k≤2,
∴-1∴k的整数值为0,1,2.

10.(2025山东济宁微山三模,★★☆)关于x的方程x2+kx=2(k为
常数)的根的情况,下列结论正确的是(　　　)
A.两个正根　　　
B.两个负根
C.一个正根,一个负根
D.无实数根
C
解析　原方程整理,得x2+kx-2=0,
∵Δ=k2-4×(-2)=k2+8>0,
∴方程有两个不相等的实数根,
∵两根之积为-2,
∴方程有一个正根,一个负根.故选C.
11.(2024山东日照中考,★★☆)已知实数x1,x2(x1≠x2)是关于x
的方程kx2+2kx+1=0(k≠0)的两个根.若 + =2,则k的值为
(　　　)
A.1　　　 B.-1　　　 C. 　　　 D.-
B
解析　根据根与系数的关系得x1+x2=- =-2,x1x2= ,
∵ + =2,
∴x1+x2=2x1x2,
∴-2=2× ,
解得k=-1,
∴原方程化为-x2-2x+1=0,∵Δ=(-2)2-4×(-1)×1=8>0,
∴方程有两个不相等的实数根,
∴k的值为-1.故选B.
12.(2025四川泸州中考,★★☆)若一元二次方程2x2-6x-1=0的
两根为α,β,则2α2-3α+3β的值为__________.
10
解析　将x=α代入原方程,得2α2-6α-1=0,
∴2α2-6α=1.
根据一元二次方程根与系数的关系得α+β=3,
∴2α2-3α+3β=(2α2-6α)+3(α+β)=1+3×3=10.
13.(2025山东聊城东昌府月考,★★☆)已知关于x的一元二次
方程4x2-4(m+1)x+m2+2m=0.
(1)【学科特色·多解法】求证:无论m取何值,方程都有两个不
相等的实数根.
(2)设该方程的两个实数根为a,b,若a2+b2=5,求m的值.
解析 (1)证明:【证法一】运用根的判别式法:
∵Δ=[-4(m+1)]2-4×4(m2+2m)
=16m2+32m+16-16m2-32m
=16>0,
∴无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根.
【证法二】求解法:4x2-4(m+1)x+m2+2m=0,
∴(2x-m)[2x-(m+2)]=0,
∴x1= ,x2= ,
∵ ≠ ,
∴无论m取何值,方程都有两个不相等的实数根.
(2)根据根与系数的关系得a+b=m+1,ab= (m2+2m),
∵a2+b2=5,
∴(a+b)2-2ab=5,
∴(m+1)2-2× (m2+2m)=5,
即m2+2m-8=0,解得m=2或m=-4,
∴m的值为2或-4.

14.【新课标·运算能力】(2025山东淄博高青期中)若x1,x2是一
元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根,且满足|x1-x2|=1,
则此类方程称为“差根方程”.根据“差根方程”的定义,解
决下列问题:
(1)判断下列方程是不是“差根方程”:
①x2-4x+4=0;
②2x2-2 x+1=0.
(2)已知关于x的方程x2+2ax=0是“差根方程”,求a的值.
(3)若关于x的方程ax2+bx+1=0(a,b是常数,a>0)是“差根方
程”,请写出a与b之间的数量关系.
解析 (1)①设x1,x2是一元二次方程x2-4x+4=0的两个实数根,
∴x1+x2=4,x1x2=4,
∴|x1-x2|= = =0,
∴方程x2-4x+4=0不是“差根方程”.
②设x1,x2是一元二次方程2x2-2 x+1=0的两个实数根,
∴x1+x2= ,x1x2= ,
∴|x1-x2|= = =1,
∴方程2x2-2 x+1=0是“差根方程”.
(2)x2+2ax=0,
x(x+2a)=0,
解得x1=0,x2=-2a,
∵关于x的方程x2+2ax=0是“差根方程”,
∴|x1-x2|=|2a|=1,即2a=±1,∴a=± .
(3)设x1,x2是一元二次方程ax2+bx+1=0(a,b是常数,a>0)的两个
实数根,
∴x1+x2=- ,x1x2= ,
∵关于x的方程ax2+bx+1=0(a,b是常数,a>0)是“差根方程”,
∴|x1-x2|=1,
∴|x1-x2|= =1,
即 =1,
∴b2=a2+4a.(共20张PPT)
专项突破7　一元二次方程的八种应用
　分裂问题
1.【跨生物·有益菌分裂】某生物实验室需培育一群有益菌,
现有90个活体样本,经过两轮培育后,总和达36 000个,其中每
个有益菌每轮可分裂成若干个相同数目的有益菌.
(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成多少个有益菌
(2)按照这样的分裂速度,经过三轮培育后有多少个有益菌
解析 (1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成x个有益菌,
依题意,得90x2=36 000,
解得x1=20,x2=-20(不合题意,舍去).
答:每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成20个有益菌.
(2)36 000×20=720 000(个).
答:按照这样的分裂速度,经过三轮培育后有720 000个有益菌.
　传染问题
2.(2025山东临沂费县期中)冬春季是传染病高发季节,据统计,
去年冬春之交,某地有2人患了流感,在没有采取医疗手段的情
况下,经过两轮传染后共有128人患流感.
(1)求每轮传染中平均一个人传染了多少人.
(2)若不及时控制,则第三轮传染后,患流感的共有多少人
解析 (1)设每轮传染中平均一个人传染了x人,
依题意,得1+x+(1+x)x= ,
解得x1=7,x2=-9(不合题意,舍去).
答:每轮传染中平均一个人传染了7人.
(2)第三轮传染的人数为128×7=896,
∴第三轮传染后,患流感的总人数为896+128=1 024.
答:第三轮传染后,患流感的共有1 024人.
　握手问题
3.在一次聚会上,规定每两个人必须握一次手.
(1)若参加聚会的人数为5,则共握手_______次.
(2)若参加聚会的人共握手28次,则参加聚会的有多少人
(3)由握手问题联想到数学问题,如图,在线段AB上取点P1,P2,
…,Pm,这个图形上的线段共有66条,则m=_______.

解析 (1)10.
(2)设参加聚会的有x人,则每人需和另外(x-1)人握手,总握手次
数为 ,
∴ =28,
解得x1=8,x2=-7(不符合题意,舍去).
答:参加聚会的有8人.
(3)10.
　数字问题
4.(2025宁夏中卫七中期中)一个两位数的十位数字比个位数
字大2,把这个两位数的个位数字和十位数字交换一下后平方,
所得数值比原来的两位数大138,求原来的两位数.
解析　设原来两位数的个位数字为x,则十位数字为x+2,
由题意,得[10(x+2)+x]+138=(10x+x+2)2,
整理得11x2+3x-14=0,
解得x1=1,x2=- (不合题意,舍去),
∴原来的两位数是31.
　日历问题
5.(2025黑龙江双鸭山期末)如图所示的是2025年1月的月历,
用虚线方框按如图所示的方法任意框出四个数,请解答下列
问题.
(1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180,求最小数.
(2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为8
0吗 若能,请求出最小数;若不能,请说明理由.

解析 (1)设最小数为x,则最大数为x+8,
由题意,得(x+8)x=180,
整理,得x2+8x-180=0,
解得x1=-18(不合题意,舍去),x2=10,
由题图可知,10是第2行第6个数,符合要求,
∴最小数为10.
(2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能
为80,理由如下:
设最小数为y,则另外三个数分别是y+1,y+7,y+8,
由题意,得y(y+8)+y+(y+1)+(y+7)+(y+8)=80,
整理,得y2+12y-64=0,
解得y1=-16(不合题意,舍去),y2=4,
由题图可知,4在最后一列,
∴虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为
80.
　储蓄问题
6.李宁同学将1 000元压岁钱第一次按一年定期存入银行,到
期后将本息和取出,并将其中的220元捐给希望小学,剩余的全
部按一年定期存入银行,年利率不变,这样到期后可得本息和8
16元,求这两次一年期存款的年利率.
解析　设这两次一年期存款的年利率为x,根据题意,得[1 000
(1+x)-220](1+x)=816,
整理,得1 000x2+1 780x-36=0,
解得x1=0.02=2%,x2=-1.8(舍去).
答:这两次一年期存款的年利率为2%.
　函数问题
7.如图,已知直线AC的函数解析式为y= x+8,点P从点A开始沿
AO方向以1个单位长度/秒的速度运动,点Q从O点开始沿OC
方向以2个单位长度/秒的速度运动.如果P,Q两点分别从点A,
点O同时出发,多少秒时,△POQ的面积为8个平方单位

解析　∵直线AC的函数解析式为y= x+8,
∴当x=0时,y=8,当y=0时,x=-6,
∴点C(0,8),点A(-6,0).
设运动时间为t秒,则PO=|t-6|,OQ=2t,
根据题意,得 ×2t×|t-6|=8,即t|t-6|=8.
当t≤6时,t(6-t)=8,即t2-6t+8=0,
解得t1=2,t2=4;
当t>6时,t(t-6)=8,即t2-6t-8=0,
解得t3=3- (舍去),t4=3+ .
∴2秒或4秒或(3+ )秒时,△POQ的面积为8个平方单位.
　情境问题
8.为丰富学生的学习生活,某校九年级某班组织学生参加“人
文之旅”泰山两日春游活动,所联系的旅行社收费标准如下:

活动结束后,该班共支付该旅行社活动费用3 520元,该班共有
多少人参加这次春游活动
解析　∵24人的费用为24×120=2 880元<3 520元,
∴参加这次春游活动的人数超过24,
设该班参加这次春游活动的人数为x,
根据题意,得[120-2(x-24)]x=3 520,
整理,得x2-84x+1 760=0,
解得x1=44,x2=40,
当x=44时,120-2(x-24)=80<85,不合题意,舍去;
当x=40时,120-2(x-24)=88>85,符合题意.
答:该班共有40人参加这次春游活动.

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