资源简介 (共33张PPT)第六章自主检测时间：40分钟 满分：100分一、选择题(每小题4分,共32分)1.(2025山东淄博期末)下列说法正确的是 ( )A.对角线相等的四边形是平行四边形B.对角线互相垂直平分的四边形是矩形C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 D 解析 A.对角线相等的四边形不一定是平行四边形,故原说法错误;B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形,故原说法错误;C.对角线互相平分且相等的四边形是矩形,故原说法错误;D.对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形,故原说法正确.故选D.2.(2025山东聊城三模)如图,四边形ABCD是矩形,将一副三角尺按如图所示的方式放置,直角顶点重合于点A,则∠1-∠2= ( )A.45°B.30° B C.25°D.随△EAG的位置的变化而变化解析 ∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∴∠1=∠DGA,即∠1=∠2+∠AGE,由题意得∠AGE=30°,∴∠1=∠2+30°,∴∠1-∠2=30°.故选B.3.如图,在菱形ABCD中,CE⊥BD于点E,F为AD边的中点,连接EF,若菱形ABCD的周长为20,则线段EF的长为 ( ) A.5 B.4 C. D.2 C 解析 ∵菱形ABCD的周长为20,∴AB=BC=CD=AD=5,∵CE⊥BD,∴E是BD的中点,∵F为AD边的中点,∴EF是△ABD的中位线,∴EF= AB= .故选C.4.(2025陕西中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=20°,CD为AB边上的中线,DE⊥AC,则图中与∠A互余的角共有 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 C解析 ∵∠ACB=90°,CD为AB边上的中线,∴CD= AB=AD=BD,∴∠B=∠BCD,∵DE⊥AC,∴∠ADE=∠CDE,∵∠A+∠ADE=90°,∠A+∠B=90°,∴题图中与∠A互余的角有∠ADE,∠CDE,∠B,∠BCD,共4个.故选C.5.(2025山东潍坊期末)如图,在正方形ABCD外侧,以AD为一边向上作等边三角形ADE,连接BE,AC,相交于点F,则∠BFC的度数是 ( ) A.50° B.55°C.60° D.65° C 解析 ∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=AD,∠BAD=90°,∠BAC=45°,∵△ADE是等边三角形,∴AD=AE=DE,∠DAE=60°,∴AE=AB,∠BAE=∠BAD+∠DAE=150°,∴∠ABE=∠AEB= (180°-∠BAE)= ×(180°-150°)=15°,∴∠BFC=∠BAC+∠ABE=45°+15°=60°.故选C.6.【跨艺术·绘画作品】图①是艺术家埃舍尔的作品,他将数学与绘画完美结合,在平面上创造出立体效果.图②是一个菱形,将图②截去一个边长为原来的一半的菱形得到图③,用图③镶嵌得到图④,将图④着色后,再次镶嵌便得到图①,则图④中∠ABC的度数是 ( ) D A.45° B.90° C.75° D.60°解析 如图, ∵∠BAD=∠BAE=∠DAE,∠BAD+∠BAE+∠DAE=360°,∴∠BAD=∠BAE=∠DAE=120°,∵BC∥AD,∴∠ABC=180°-120°=60°,故选D.7.(2025山东德州德城期中)顺次连接四边形各边中点得到的四边形是矩形,则原四边形ABCD一定满足 ( )A.AC⊥BDB.四边形ABCD为正方形C.四边形ABCD为菱形D.AC=BD A 解析 如图,∵E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,∴EF,FG,GH分别为△ABC,△BCD,△ADC的中位线,∴EF∥AC,EF= AC,GH∥AC,GH= AC,FG∥BD,∴EF∥GH,EF=GH,∴四边形EFGH为平行四边形,当AC⊥BD时,∵EF∥AC,FG∥BD,∴EF⊥FG,∴∠EFG=90°,∴平行四边形EFGH为矩形,故选A.8.如图,将正方形ABCD的各边AB,BC,CD,DA分别顺次延长至E,F,G,H,且使BE=CF=DG=AH,则四边形EFGH是 ( ) A.平行四边形 B.菱形C.矩形 D.正方形 D 解析 ∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=DA,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°,∴∠FBE=∠GCF=∠HDG=∠EAH=90°,∵BE=CF=DG=AH,∴AB+BE=BC+CF=CD+DG=DA+AH,即AE=BF=CG=DH,在△FBE和△GCF中, ∴△FBE≌△GCF(SAS),∴EF=FG,∠BFE=∠CGF,∵∠GCF=90°,∴∠CGF+∠GFC=90°,∴∠BFE+∠GFC=90°,即∠EFG=90°,易证得△GCF≌△HDG≌△EAH≌△FBE,∴FG=GH=HE=EF,∴四边形EFGH是菱形,又∵∠EFG=90°,∴四边形EFGH是正方形.故选D.二、填空题(每小题4分,共16分)9.【新考向·中华优秀传统文化】李华在游玩的时候发现,中国古代建筑中的窗格图案美观大方,如图所示,李华认为窗格中的小四边形为菱形,请你用米尺帮李华设计一个检验的方案:___________________________________________________________________________________________________. 如果四条边的长度相等,那么这个小四边就是菱形 用米尺测量窗格中小四边形的四条边的长度是否相等,解析 四条边都相等的四边形是菱形.10.(2025山东淄博博山二模)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC边上的中线,且BC+AD=18,则BC的长为__________. 12 解析 ∵∠BAC=90°,AD是BC边上的中线,∴AD= BC,∵BC+AD=18,∴BC=12.11.(2024吉林中考)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E是OA的中点,点F是OD上一点,连接EF.若∠FEO=45°,则 的值为_________. 解析 ∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAC=∠DAC=45°,AD=BC,∵∠FEO=45°,∴∠FEO=∠DAC,∴EF∥AD,∵点E是OA的中点,∴点F是OD的中点,∴EF是△AOD的中位线,∴EF= AD,∴EF= BC,即 = .12.(2025山东泰安泰山学院附中三模)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点P为对角线AC上的一个动点(点P不与点A,点C重合),点P关于AB的对称点为E,点P关于BC的对称点为F,连接EF,EF经过点B,则在点P的运动过程中,线段EF长度的最小值等于___________. 9.6 解析 如图,连接BP,过点B作BH⊥AC于点H, ∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,在Rt△ABC中,由勾股定理得AC= = =10,由三角形的面积公式得S△ABC= AC·BH= AB·BC,∴BH= = =4.8,根据轴对称的性质得直线AB是线段PE的垂直平分线,直线BC是线段PF的垂直平分线,∴BE=BP,BF=BP,∴BE=BP=BF,∵EF经过点B,∴EF=2BP,当BP的长度最小时,EF的长度最小,根据垂线段最短得,点P与点H重合时,BP的长度最小,最小值为线段BH的长度,∴BP的最小值为4.8,∴EF的最小值为9.6.三、解答题(共52分)13.(2025山东济南商河二模)(14分)如图,在菱形ABCD中,CE⊥AB于点E,DF⊥BC交BC的延长线于点F.求证:CE=DF. 证明 ∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,∵CE⊥AB,DF⊥BC,∴菱形ABCD的面积=AB·CE=BC·DF,∴CE=DF.14.(2025山东烟台栖霞期中)(18分)如图,以△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角△ABD,等腰直角△BCE和等腰直角△ACF,连接DE,EF.当∠BAC满足什么条件时,四边形ADEF是矩形 请证明你的结论. 解析 当∠BAC=135°时,四边形ADEF是矩形.证明:∵△BCE和△ABD为等腰直角三角形,∴∠DBA=∠EBC=90°,∠BDA=∠BAD=45°,DB=BA,EB=BC,∴∠DBE+∠EBA=90°,∠ABC+∠EBA=90°,∴∠DBE=∠ABC,∴△DBE≌△ABC(SAS),∴DE=AC,∠EDB=∠BAC,∵△ACF为等腰直角三角形,∴FA=AC,∴DE=FA,∵∠EDA=∠EDB-∠BDA=∠BAC-45°,∠DAF=360°-∠FAC-∠BAD-∠BAC=360°-90°-45°-∠BAC=225°-∠BAC,∴∠EDA+∠DAF=180°,∴DE∥FA,∴四边形ADEF是平行四边形,当∠BAC=135°时,∠DAF=90°,∴平行四边形ADEF是矩形.15.(2025吉林延边延吉期中)(20分)如图,在矩形ABCD中,∠BAD的平分线交对角线BD于点M,交BC边于点N,ME⊥AB,MF⊥AD,垂足分别为E,F.(1)求证:四边形AEMF是正方形.(2)过点C作CG∥MN,若AB=4,BC=10,求四边形ANCG的面积. 解析 (1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°,∵ME⊥AB,MF⊥AD,∴∠AEM=∠AFM=90°,∴四边形AEMF是矩形,∵∠BAD的平分线交对角线BD于点M,∴∠EAM=∠FAM,在△AEM与△AFM中, ∴△AEM≌△AFM(AAS),∴AE=AF,∴矩形AEMF是正方形.(2)∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠DAN=∠ANB,∵∠BAD的平分线交对角线BD于点M,∴∠DAN=∠BAN,∴∠BAN=∠ANB,∴AB=BN=4,∴NC=BC-BN=10-4=6,∵CG∥MN,AD∥BC,∴四边形ANCG是平行四边形,∴四边形ANCG的面积=NC·AB=6×4=24.(共33张PPT)第六章 特殊平行四边形第2课时 矩形的判定2 矩形的性质与判定 矩形的判定1.【学科特色·易错题】(2025山东青岛莱西期末)我国古代有“不以规矩,不能成方圆”的说法,人们把“规矩”当作几何名词,“规”是圆,“矩”是方,所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”.木艺活动课上,小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形,现要判断这个四边形是不是矩形,以下测量方案正确的是 （ ） A A.测量是否有三个角是直角B.测量对角线是否相等C.测量两组对边是否分别相等D.测量对角线是否互相垂直解析 ∵有三个角是直角的四边形是矩形,∴要判断这个四边形是不是矩形,可以测量是否有三个角是直角.故选A.易错分析此题易忽视前提条件是“四边形”,而不是“平行四边形”,从而误选B.2.(2025四川德阳中考)如图,要使平行四边形ABCD是矩形,需要增加的一个条件可以是 （ ） A.AB∥CD B.AB=BC C.∠B=∠D D.AC=BD D 解析 根据“对角线相等的平行四边形是矩形”,可知增加条件AC=BD能使平行四边形ABCD是矩形.故选D.3.【新考向·条件开放题】(2025北京顺义月考)如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边BC,AD上,BE=DF.只需添加一个条件即可证明四边形AECF是矩形,这个条件可以是____________________(写出一个即可). 案不唯一) AE⊥BC(答解析 这个条件可以是AE⊥BC,理由如下:∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,AD=BC,∵BE=DF,∴BC-BE=AD-DF,即CE=AF,∴四边形AECF是平行四边形,又∵AE⊥BC,∴∠AEC=90°,∴四边形AECF是矩形.4.(2025广东深圳模拟)如图,将平行四边形ABCD的边DC延长到点E,使CE=DC,连接AE,交BC于点F,连接BE,AC.添加一个条件,使四边形ABEC是矩形.下列四个条件:①∠DAC=∠EAC;②AD=AE;③AB=AD;④∠AFC=2∠ABC中,你认为可选择的是________.(填上所有满足条件的序号) ①②④ 解析 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,AD=BC,AB=CD,∵CE=CD,∴CE=AB,∴四边形ABEC是平行四边形.①∵AD∥BC,∴∠ACF=∠DAC,∵∠DAC=∠EAC,∴∠ACF=∠EAC,∴FC=AF,∵四边形ABEC是平行四边形,∴AF= AE,CF= BC,∴AE=BC,∴四边形ABEC是矩形,故①符合题意.②∵AD=AE,AD=BC,∴AE=BC,∵四边形ABEC是平行四边形,∴四边形ABEC是矩形,故②符合题意.④∵∠AFC=2∠ABC,∠AFC=∠ABC+∠BAF,∴∠ABC=∠BAF,∴BF=AF,∵四边形ABEC是平行四边形,∴AF= AE,BF= BC,∴AE=BC,∴四边形ABEC是矩形,故④符合题意.③由AB=AD不能推出四边形ABEC是矩形.综上,可选择的条件是①②④.5.【学科特色·多解法】如图,在 ABCD中,∠ACB=90°,过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E.求证:四边形ACED是矩形. 证明 【证法一】∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB=90°,∵∠ACB=90°,∴∠ACE=180°-90°=90°,∵DE⊥BE,∴∠DEC=90°,∴∠ACE=∠DAC=∠DEC=90°,∴四边形ACED是矩形.【证法二】∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,∵DE⊥BE,∴∠DEC=90°,∵∠ACB=90°,∴∠DEC=∠ACB,∴DE∥AC,∴四边形ACED是平行四边形,又∵∠DEC=90°,∴平行四边形ACED是矩形.6.(2025云南中考)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,O是AC的中点.延长BO至点D,使OD=OB,连接AD,CD.记AB=a,BC=b,△AOB的周长为l1,△BOC的周长为l2,四边形ABCD的周长为l3.(1)求证:四边形ABCD是矩形.(2)若l2-l1=2,l3=28,求AC的长. 解析 (1)证明:∵O是AC的中点,∴OA=OC,∵OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形,∵∠ABC=90°,∴平行四边形ABCD是矩形.(2)∵AB=a,BC=b,△AOB的周长为l1,△BOC的周长为l2,四边形ABCD的周长为l3,∴l2-l1=BC-AB=b-a=2,l3=2(AB+BC)=2(a+b)=28,∴ ∴ ∴AB=6,BC=8,∴在Rt△ABC中,AC= =10. 7.(2025四川凉山中考,★★☆)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,E是边CD的中点,过点E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G,连接FG,若AC=12,BD=16,则FG的长为_________. 5 解析 如图,连接OE, ∵四边形ABCD是菱形,AC=12,BD=16,∴AC⊥BD,OC= AC=6,OD= BD=8,∴∠COD=90°,在Rt△COD中,由勾股定理得CD= = =10,∵E是边CD的中点,∴OE是Rt△OCD斜边上的中线,∴OE= CD=5,∵EF⊥BD,EG⊥AC,∴∠OGE=∠OFE=∠COD=90°,∴四边形OGEF是矩形,∴FG=OE=5.8.【学科特色·方程思想】(2025江苏南京江宁月考,★★☆)如图,矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm,E,F是对角线AC上的两个动点,分别从A,C同时出发,相向而行,速度均为2 cm/s,运动时间为t s(0≤t≤5,且t≠2.5),若G,H分别是AB,DC的中点,当以E,G,F,H为顶点的四边形是矩形时,t的值为_______________. 0.5或4.5 解析 如图,连接GH,易知GH=BC=8 cm, ∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,AB∥CD,∠B=90°,∴∠GAE=∠HCF,AC= = =10(cm),∵G,H分别是AB,DC的中点,∴AG=CH,∵E,F是对角线AC上的两个动点,分别从A,C同时出发,相向而行,速度均为2 cm/s,∴AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,即AF=CE,在△AFG与△CEH中, ,∴△AFG≌△CEH(SAS),∴GF=HE,在△AGE与△CHF中, ,∴△AGE≌△CHF(SAS),∴GE=HF,∴四边形EGFH是平行四边形,∴当EF=GH=8 cm时,四边形EGFH是矩形,分两种情况:①当0≤t<2.5时,EF=(10-4t)cm,易得10-4t=8,解得t=0.5;②当2.5易得4t-10=8,解得t=4.5.综上,当以E,G,F,H为顶点的四边形为矩形时,t的值为0.5或4.5.故答案为0.5或4.5.思想解读方程思想在解决数学问题时,有一种从未知转化为已知的手段就是设元,寻找已知与未知之间的等量关系,构造方程或方程组,然后求解方程或方程组,完成从未知向已知的转化,这种解决问题的思想称为方程思想.9.(2025山东青岛市南二模,★★☆)如图,四边形ABCD是平行四边形,延长CD至E,延长AB至F,使DE=BF,连接AE,CF.(1)证明:△ADE≌△CBF.(2)若D是CE的中点,AD平分∠EAF,则边AB与BC满足什么数量关系时,四边形AECF是矩形 证明你的结论. 解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,∠ADC=∠CBA,∴∠ADE=∠CBF,在△ADE和△CBF中, ∴△ADE≌△CBF(SAS).(2)BC= AB时,四边形AECF是矩形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,AB∥CD,∵DE=BF,D为CE的中点,∴DE=CD=AB=BF,∴CE=AF,∴四边形AECF是平行四边形,∵AD平分∠EAF,∴∠EAD=∠BAD,∵AB∥CD,∴∠BAD=∠ADE,∴∠EAD=∠EDA,∴AE=DE,∵BC= AB,∴AD= ED,∴AE2+DE2=AD2,∴∠AED=90°,∴四边形AECF是矩形.10.【学科特色·教材变式P18T2】【学科特色·双角平分线模型】(★★☆)如图,在△ABC中,O是边AC上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,交∠ACB的平分线于点E,交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.(1)求证:OE=OF.(2)若CE=12,CF=5,求OC的长.(3)连接AE,AF,当点O在边AC的什么位置时,四边形AECF是矩形 请说明理由.解析 (1)证明:∵CE平分∠ACB,∴∠ACE=∠ECB,∵MN∥BC,∴∠ECB=∠OEC,∴∠ACE=∠OEC,∴OC=OE,同理可得OC=OF,∴OE=OF.(2)∵CE,CF分别平分∠ACB和∠ACD,∴∠ACE= ∠ACB,∠ACF= ∠ACD,∴∠ACE+∠ACF= ∠ACB+ ∠ACD= ∠BCD= ×180°=90°,∴EF= = =13,由(1)知OE=OF=OC,∴OC= EF=6.5.(3)当O为AC的中点时,四边形AECF是矩形.理由:∵O为AC的中点,∴OA=OC,由(1)可知,OC=OE=OF,∴四边形AECF是平行四边形,∵OA=OC=OE=OF,∴AC=EF,∴四边形AECF为矩形. 11.【新课标·推理能力】(2025湖北武汉硚口期中)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,且DE∥BC,∠ABC的平分线BF和它的邻补角的平分线BG分别交直线DE于点F和G,连接AF,AG.则下列结论错误的是 （ ） D A.当AF∥BG时,四边形AGBF为矩形B.当AD=BD时,四边形AGBF为矩形C.当AB=FG时,四边形AGBF为矩形D.当BF=BG时,四边形AGBF为菱形解析 ∵∠ABC的平分线BF和它的邻补角的平分线BG分别交直线DE于点F和G,∴∠DBG=∠GBM= ∠ABM,∠DBF=∠FBC= ∠ABC,∴∠DBG+∠DBF= (∠ABM+∠ABC)= ∠MBC,∵∠MBC=180°,∴∠GBF=90°,∵GE∥BC,∴∠DFB=∠FBC,∠DGB=∠GBM,∴∠DFB=∠DBF,∠DGB=∠DBG,∴DG=DB=DF.当AF∥BG时,∠FAD=∠DBG,∵∠ADF=∠BDG,∴△ADF≌△BDG(AAS),∴AF=BG,∴四边形AGBF为平行四边形,又∵∠GBF=90°,∴四边形AGBF为矩形,故A不符合题意;当AD=BD时,∵DG=DF,∴四边形AGBF为平行四边形,∵∠GBF=90°,∴四边形AGBF为矩形,故B不符合题意;当AB=FG时,∵BD=DG=DF= FG,∴BD= AB,∴AD=BD,∴四边形AGBF为矩形,故C不符合题意;当BF=BG时,△GBF是等腰直角三角形,∵DG=DF,∴AB⊥FG,不能证得四边形AGBF是平行四边形,∴当BF=BG时,四边形AGBF不一定为菱形,故D符合题意.故选D.(共28张PPT)第六章 特殊平行四边形第1课时 菱形的性质1 菱形的性质与判定 菱形的定义1.(2025山东德州五中期中改编)依据所标注的数据,下列平行四边形一定为菱形的是 （ ） C 解析 C中,根据三角形的内角和定理可得另一个角为180°-70°-55°=55°,∴四边形中一组邻边相等,∵四边形是平行四边形,∴C中图形是菱形,故选C.方法归纳此题通过代数计算来解决几何问题,达到了“以数解形”的目的.2.(2025山东枣庄峄城一模)如图,在平行四边形ABCD中,点F在边AD上,AB=AF,连接BF,点O为BF的中点,AO的延长线交边BC于点E,连接EF.求证:四边形ABEF是菱形. 证明 ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠AFO=∠EBO,∵O是BF的中点,∴OB=OF,又∵∠AOF=∠EOB,∴△AOF≌△EOB(ASA),∴OA=OE,∴四边形ABEF是平行四边形,∵AB=AF,∴四边形ABEF是菱形. 菱形的性质3.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）A.对角线互相平分 B.对角线相等C.对角线互相垂直 D.四个角都相等 C 解析 根据菱形和平行四边形的性质可知菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是四条边都相等,对角线互相垂直,故选C.4.(2025山东淄博高青期中)如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,连接AC,若AC=6,则菱形ABCD的周长为__________. 24 解析 ∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,∵∠B=60°,∴△ABC为等边三角形,∴AB=BC=AC=6,∴菱形ABCD的周长为6×4=24.故答案为24.5.(2024上海中考)在菱形ABCD中,∠ABC=66°,则∠BAC=____°. 57解析 如图,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,∴∠BAC=∠BCA,∵∠ABC=66°,∴∠BAC= ×(180°-66°)=57°. 6.(2025云南中考)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O.若AC=6,BD=5,则菱形ABCD的面积是__________. 15 解析 ∵四边形ABCD是菱形,AC=6,BD=5,∴菱形ABCD的面积= AC·BD= ×6×5=15.7.(2025四川泸州中考)如图,在菱形ABCD中,E,F分别是边AB,BC上的点,且AE=CF.求证:AF=CE. 证明 ∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,∵AE=CF,∴AB-AE=BC-CF,即BE=BF,在△ABF和△CBE中, ∴△ABF≌△CBE(SAS),∴AF=CE. 8.(2024海南中考,★★☆)如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC=120°,边AB在数轴上,将AC绕点A顺时针旋转,点C落在数轴上的点E处,若点E表示的数是3,则点A表示的数是 （ ） A.1 B.1- C.0 D.3-2 D 解析 如图,过点C作AE的垂线,垂足为点F, ∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=2,AC平分∠DAB,AD∥BC,∴∠DAB+∠ABC=180°,∴∠DAB=180°-∠ABC=60°,∴∠CAB= ∠DAB=30°,∴AC=2CF,∵∠ABC=120°,∴∠CBF=60°,∴∠BCF=30°,∴BF= BC=1,∴CF= = = ,∴AC=2CF=2 ,由旋转的性质可知,AE=AC=2 .∵点E表示的数是3,∴点A表示的数是3-2 .故选D.9.【学科特色·教材变式P8例3】(2025山东枣庄台儿庄古城学校月考,★★☆)如图,四边形ABCD是菱形,CD=5,BD=8,AE⊥BC于点E,则AE的长是 （ ） A. B.6 C. D.12 A 解析 ∵四边形ABCD是菱形,CD=5,BD=8,∴BC=CD=5,BO=DO=4,OA=OC,AC⊥BD,∴∠BOC=90°,在Rt△OBC中,由勾股定理,得OC= = =3,∴AC=2OC=6,∵菱形ABCD的面积=AE·BC= BD·AC=OB·AC,∴AE= = = ,故选A.10.(2025内蒙古中考改编,★★☆)如图,在菱形ABCD中,AB=10,对角线BD的长为16,E是AD的中点,F是BD上一点,连接EF.若BF=4,则EF的长为_________. 解析 如图,连接AC交BD于点O, ∵在菱形ABCD中,BD=16,∴BO=DO=8,∠AOD=90°.取DO的中点H,连接EH,则DH=HO=4,FH=OB+OH-BF=8,∵E是AD的中点,AB=10,∴DE= AD= AB=5,EH∥AO,∴∠EHD=∠AOD=90°,∴EH= = =3,∴EF= = = . 11.【新课标·推理能力】(2025山东烟台栖霞期中)在菱形ABCD中,∠A=60°,点E,F分别是边AB,BC上的点.【尝试初探】(1)如图1,若∠EDF=60°,求证:DE=DF.【深入探究】(2)如图2,点G,H分别是边CD,AD上的点,连接EG与FH相交于点O,且∠EOF=60°,求证:EG=FH.证明 (1)如图1,连接BD,∵菱形ABCD中,∠A=60°,∴AB=AD=CB=CD,∠C=60°,AD∥BC,AB∥CD,∴△ABD和△BCD都是等边三角形,∴AD=BD,∠ADB=60°,∠DBF=60°,∴∠A=∠DBF,∵∠EDF=60°,∴∠ADE=∠BDF,∴△ADE≌△BDF(ASA),∴DE=DF. (2)如图2,连接BD,过点D作DP∥EG交AB于点P,DQ∥FH交BC于点Q,则∠PDQ=∠EOF=60°,四边形DPEG和四边形DHFQ都是平行四边形,∴DP=EG,DQ=FH,易知△ADP≌△BDQ,∴DP=DQ,∴EG=FH.微专题 含60°角的菱形方法指引当菱形中出现60°角时,就会产生等边三角形,可借助等边三角形的性质来解决问题.1.(2025陕西铜川模拟)如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,连接AC,点O为AC的中点,OE∥BC交AB于点E,OF∥AB交BC于点F,则图中的等边三角形共有 （ ） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 A 解析 ∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,∠B=∠D=60°,∴△ABC,△ADC都是等边三角形,∴∠BAC=∠ACB=60°,∵OE∥BC,OF∥AB,∴∠AEO=∠B=60°,∠OFC=∠B=60°,∴△AEO,△COF都是等边三角形,∴题图中的等边三角形共有4个.故选A.2.(2025山东济南章丘质检)如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,AD=4,点P是AB边上的一个动点,点E,F分别是DP,BP的中点,则线段EF的长为 （ ） A.2 B.4 C.2 D.2 A 解析 如图,连接BD, ∵四边形ABCD是菱形,∴AD=AB=4,∵∠A=60°,∴△ABD是等边三角形,∴BD=AD=4,∵点E,F分别是DP,BP的中点,∴EF为△PBD的中位线,∴EF= BD=2,故选A.方法归纳当题目中出现两个中点时,通过构造中位线、中线等方法,将分散的条件整合,从而解决线段平行、长度比例、位置关系等问题.(共27张PPT)专项突破2 特殊平行四边形折叠问题的三种类型 菱形中的折叠问题1.(2025江苏连云港东海期中)如图,菱形ABCD的边长为1,∠B=120°,将菱形折叠使点A,C都落在对角线AC上的点G处,折痕分别为EF,MN,则阴影部分的周长为_________. 3 解析 设MN交AC于点L(图略),由折叠得GM=CM,GN=CN,∠CLM=∠GLM=∠CLN=∠GLN=90°,∵四边形ABCD是边长为1的菱形,∠B=120°,∴AB=CB=CD=AD=1,∠BCA=∠BAC=∠DCA,∠BAD=∠BCD=180°-∠B=60°,在△CLN和△CLM中, ∴△CLN≌△CLM(ASA),∴CN=CM,∴GM=CM=GN=CN,∴四边形CMGN是菱形,∵CN=CM,∠NCM=60°,∴△CMN是等边三角形,同理,四边形AEGF是菱形,△AEF是等边三角形,∴GM∥CN∥ED,GE∥AF∥MD,∴四边形DMGE是平行四边形,∴DM=GE=AE,∴DM+DE=AE+DE=AD=1,∵EF=AF,MN=CN,∴EF+BF=AF+BF=AB=1,BN+MN=BN+CN=CB=1,∴DM+DE+EF+BF+BN+MN=1+1+1=3,∴阴影部分的周长为3.2.在数学兴趣小组活动中,同学们对菱形的折叠问题进行了探究.如图1,在菱形ABCD中,∠B为锐角,点E为BC的中点,连接DE,将菱形ABCD沿DE折叠,得到四边形A'B'ED,点A的对应点为点A',点B的对应点为点B'.(1)A'D与B'E的位置关系为_________.(2)连接B'C,判断∠DEC与∠B'CE是否相等,并说明理由.(3)如图2,延长DC交A'B'于点G,连接EG,请探究∠DEG的度数,并说明理由. 图1 图2解析 (1)A'D∥B'E.(2)∠DEC=∠B'CE.理由:连接BB'(图略),由翻折可知EB=EB',∵E为BC的中点,∴EC=EB=EB',∴∠BB'C=90°,∴BB'⊥B'C,由翻折可知BB'⊥直线DE,∴DE∥CB',∴∠DEC=∠B'CE.(3)∠DEG=90°.理由:如图,连接DB,DB',B'B, 由翻折的性质可知∠BDE=∠B'DE,设∠BDE=∠B'DE=x,∠A=∠A'=y.∵四边形ABCD是菱形,∴∠ADB=∠CDB=∠A'DB'=∠ABD=∠EBD=∠EB'D,∴∠A'DB'-∠B'DG=∠BDC-∠B'DC,∴∠A'DG=∠BDB'=2x,∴∠DGA'=180°-2x-y,易得∠BEB'=∠EBD+∠EB'D+∠BDB',∠EBD+∠EB'D=∠EBD+∠ABD=∠ABC=180°-∠A=180°-y,∴∠BEB'=180°-y+2x,∵EC=EB',∴∠EB'C=∠ECB'= ∠BEB'=90°- y+x,∴∠GB'C=∠A'B'E-∠EB'C=180°-y- 90°- y+x =90°- y-x,∴∠DGA'=2∠GB'C,∵∠CGA'=∠GB'C+∠GCB',∴∠GB'C=∠GCB',∴GC=GB',∵EB'=EC,∴EG⊥CB',∵DE∥CB',∴DE⊥EG,∴∠DEG=90°. 矩形中的折叠问题3.(2025山东东营广饶期末)将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,得到菱形AECF.若AB=3,则BC的长为 ( ) A.1 B.2 C. D. D 解析 由题意得,AC=2BC,∠B=90°,∴AC2=AB2+BC2,∴(2BC)2=32+BC2,∴BC= .故选D.4.(2025河北中考)如图,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,点A落在A'处,A'D交BC于点E.将△CDE沿DE折叠,点C落在△BDE内的C'处,下列结论一定正确的是 ( ) A.∠1=45°-α B.∠1=αC.∠2=90°-α D.∠2=2α D 解析 ∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠C=90°,∴∠ADB=∠1,∵将矩形ABCD沿对角线BD折叠,∴∠ADB=∠A'DB,∴∠1=∠A'DB,∵∠DEC=90°-α,即2∠1=90°-α,∴∠1=45°- α,故A不正确.∵∠BDE与∠CDE不一定相等,∴∠1不一定等于α,故B不一定正确.∵将△CDE沿DE折叠,点C落在△BDE内的C'处,∴∠C'ED=∠CED,∴∠2=180°-2∠CED=180°-2(90°-α)=2α,故C不正确,D正确.故选D.5.(2025山东淄博张店期中改编)如图,将矩形ABCD沿EF折叠,使顶点C恰好落在AB边的中点C'处.已知AB=6,BC=9,AC'=D'E.(1)求证:△AC'G≌△D'EG.(2)求BF的长. 解析 (1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠D=90°,由折叠的性质得∠D'=∠D=90°,∴∠A=∠D',在△AC'G和△D'EG中, ∴△AC'G≌△D'EG(AAS).(2)∵将长方形ABCD沿EF折叠,使顶点C恰好落在AB边的中点C'处,∴BC'= AB=3,CF=C'F,在Rt△BC'F中,C'F2=BF2+C'B2,∴CF2=(9-CF)2+32,∴CF=5,∴BF=4. 正方形中的折叠问题6.如图,正方形ABCD的边长为6,E是边DC的中点,将正方形ABCD沿着AE折叠,点D落在点F处,连接EF并延长,交BC于点G,连接AG.(1)求证:△ABG≌△AFG.(2)求BG的长. 解析 (1)证明:在正方形ABCD中,∠B=∠D=90°,根据折叠知,∠AFE=∠D=∠B=90°,AF=AD=AB,在Rt△ABG和Rt△AFG中, ∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL).(2)∵Rt△ABG≌Rt△AFG,∴BG=FG,∠AFG=∠B=90°,∵将正方形ABCD沿着AE折叠,点D落在点F处,∴DE=EF,设BG=FG=x,∴CG=6-x,∵EF=DE=CE= CD=3,∴EG=x+3,∵在Rt△ECG中,EG2=CG2+CE2,∴(x+3)2=(6-x)2+32,∴x=2,∴BG的长为2.7.【新考向·实践探究题】图形变化是的重要内容,某兴趣学习小组的同学利用所学知识,进行了一系列的图形变化操作实践活动,让我们一起来体验他们的探究过程吧!(1)轴对称:将正方形纸片ABCD折叠,使边AD,AB都落在对角线AC上,展开得折痕AE,AF,连接EF,如图1,求∠EAF的大小.(2)旋转:将图1中的∠EAF绕点A旋转,使它的两边分别交边BC,CD于点H,G,连接GH,如图2,则线段BH,GH,DG之间存在的数量关系为___________,并证明你的结论.(3)计算:在图2中,连接正方形ABCD的对角线BD,分别交∠GAH的两边AH,AG于点M,N,如图3,若BM=3,DN=4,求正方形ABCD的面积. 图1 图2 图3解析 (1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,由折叠得∠CAF=∠BAF= ∠BAC,∠CAE=∠DAE= ∠DAC,∴∠EAF=∠CAF+∠CAE= (∠BAC+∠DAC)= ×90°=45°.(2)BH+DG=GH.证明:如图,将△ADG绕点A顺时针旋转90°得到△ABI, 由旋转可知AI=AG,BI=DG,∠BAI=∠DAG,∠ABI=∠D=90°,∴∠ABI+∠ABC=180°,∴I,B,H三点在同一条直线上,∵∠BAD=90°,∠GAH=45°,∴∠IAH=∠BAI+∠BAH=∠DAG+∠BAH=∠BAD-∠HAG=90°-45°=45°,∴∠IAH=∠GAH,∵AH=AH,∴△IAH≌△GAH(SAS),∴IH=GH,∵IH=BH+BI=BH+DG,∴BH+DG=GH.(3)如图,将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABJ,连接JM, 由旋转可知AJ=AN,BJ=DN=4,∠BAJ=∠DAN,∠ADN=∠ABJ,∵AB=AD,∠BAD=90°,∴∠ABD=∠ADB=45°,∴∠ABJ=∠ADN=45°,∴∠MBJ=∠ABJ+∠ABD=90°,∵∠BAD=90°,∠GAH=45°,∴∠MAJ=∠BAJ+∠BAH=∠DAN+∠BAH=∠BAD-∠GAH=90°-45°=45°,∴∠MAJ=∠MAN,∵AM=AM,∴△MAJ≌△MAN(SAS),∴MJ=MN,∵BM=3,∠MBJ=90°,∴MN=MJ= = =5,∴BD=BM+MN+DN=3+5+4=12,∵四边形ABCD为正方形,∴AC=BD=12,∴S正方形ABCD= BD·AC=72.(共25张PPT)第六章 特殊平行四边形第2课时 正方形的判定3 正方形的性质与判定 正方形的判定1.【学科特色·教材变式P30T19】(2025山东滨州无棣一模)小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图,(1)(2)(3)(4)处需要添加条件,则下列条件添加错误的是 ( ) D A.(1)处可填∠A=90° B.(2)处可填AD=ABC.(3)处可填DC=CB D.(4)处可填∠B=∠D解析 A.有一个角是直角的平行四边形是矩形,∴题图中(1)处可填∠A=90°,故该选项不符合题意;B.有一组邻边相等的矩形是正方形,∴题图中(2)处可填AD=AB,故该选项不符合题意;C.有一组邻边相等的平行四边形是菱形,∴题图中(3)处可填DC=CB,故该选项不符合题意;D.有一个角是直角的菱形是正方形,由∠B=∠D无法判定两角是直角,故该选项符合题意.故选D.2.(2025福建厦门六中期中)如图,已知四边形ABCD的对角线相交于O,则下列条件能判定它是正方形的是 ( ) A.AO=CO,BO=DO,AC⊥BD,AB∥CDB.AB=BC=CD,AD∥BCC.AB=BC=CD=DA,AC=BDD.AB∥CD,AD∥BC,∠ABC=∠BCD,AC=BD C 解析 A.∵AO=CO,BO=DO,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形,故不符合题意;B.∵AB=BC=CD,AD∥BC,∴四边形ABCD可能是等腰梯形,不能判定四边形ABCD是正方形,故不符合题意;C.∵AB=BC=CD=DA,∴四边形ABCD是菱形,∵AC=BD,∴四边形ABCD是正方形,故符合题意;D.∵AB∥CD,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AC=BD(或∠ABC=∠BCD),∴四边形ABCD是矩形,故不符合题意.故选C.3.【新考向·条件开放题】(2024黑龙江龙东地区中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,请添加一个条件:________________________,使得菱形ABCD为正方形. AC=BD(答案不唯一) 解析 答案不唯一,如添加AC=BD,由对角线相等的菱形是正方形判定菱形ABCD为正方形.4.(2025北京海淀期末)在初三数学志趣课活动中,老师把一张长方形纸片按如图所示的方式折一下,就可以裁出正方形纸片,你知道这是为什么吗 理由:__________________的矩形是正方形. 有一组邻边相等 解析 如图, ∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAF=90°,∠B=90°,由折叠得AB=AF,∠AFE=∠B=90°,∴四边形ABEF是矩形,∵AB=AF,∴四边形ABEF是正方形,判定依据为有一组邻边相等的矩形是正方形.故答案为有一组邻边相等.5.(2025山东济南莱芜期中)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,AN是△ABC的外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点E.(1)求证:四边形ADCE为矩形.(2)当△ABC满足________时(添加一个条件),四边形ADCE是正方形,并证明. 解析 (1)证明:在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC,∵AN是∠CAM的平分线,∴∠MAE=∠CAE= ∠CAM,∴∠DAE=∠CAD+∠CAE= (∠BAC+∠CAM)= ×180°=90°,∵AD⊥BC,CE⊥AN,∴∠ADC=∠CEA=90°,∴四边形ADCE为矩形.(2)答案不唯一,如:当△ABC满足∠BAC=90°时,四边形ADCE是正方形.证明:∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ACB=∠B=45°,∵AD⊥BC,∴∠CAD=∠ACD=45°,∴DC=AD,又∵四边形ADCE为矩形,∴矩形ADCE是正方形. 中点四边形6.(2025山东德州期中)如图,AC,BD是四边形ABCD的对角线,点E,F分别是AD,BC的中点,点M,N分别是AC,BD的中点,连接EM,MF,FN,NE,要使四边形EMFN为正方形,则需添加的条件是 ( )A.AB=CD,AB⊥CD A B.AB=CD,AD=BCC.AB=CD,AC⊥BDD.AB=CD,AD∥BC解析 ∵点E,F分别是AD,BC的中点,点M,N分别是AC,BD的中点,∴EN,NF,FM,ME分别是△ABD,△BCD,△ABC,△ACD的中位线,∴EN∥AB∥FM,ME∥CD∥NF,EN= AB=FM,ME= CD=NF,∴四边形EMFN为平行四边形.若AB=CD,则EN=FM=ME=NF,∴平行四边形EMFN是菱形.若AB⊥CD,则EN⊥ME,∴∠MEN=90°,∴菱形EMFN是正方形.故选A. 7.(2025山东泰安新泰期中,★★☆)如图,在△ABC中,点D,E,F分别在边BC,AB,CA上,且DE∥CA,DF∥BA.下列四种说法:①四边形AEDF是平行四边形;②如果∠BAC=90°,那么四边形AEDF是矩形;③如果AD平分∠BAC,那么四边形AEDF是菱形;④如果AD⊥BC,且AB=AC,那么四边形AEDF是正方形.其中,正确的有( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析 ①∵DE∥CA,DF∥BA,∴四边形AEDF是平行四边形,故说法①正确;②∵∠BAC=90°,∴平行四边形AEDF为矩形,故说法②正确;③∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠FAD,∵DE∥CA,∴∠EDA=∠FAD,∴∠EAD=∠EDA,∴AE=DE,∴平行四边形AEDF为菱形,故说法③正确;④∵AB=AC,AD⊥BC,∴AD平分∠BAC,可得平行四边形AEDF为菱形,故说法④错误.综上,正确的有3个.故选C.8.(2025福建福州闽侯期中,★★☆)正方形ABCD的边长为4,点M,N在对角线AC上(可与点A,C重合),MN=2,点P,Q在正方形ABCD的边上.下面四个结论:①存在无数个四边形PMQN是平行四边形;②存在无数个四边形PMQN是菱形;③存在无数个四边形PMQN是矩形;④至少存在一个四边形PMQN是正方形.所有正确结论的序号是________. ①②④ 解析 如图,作线段MN的垂直平分线交AD于点P,交AB于点Q. ∴PM=PN,QM=QN,∵四边形ABCD是正方形,∴∠PAN=∠QAN=45°,∴∠APQ=∠AQP=45°,∴AP=AQ,∴AC垂直平分线段PQ,∴MP=MQ,∴PM=PN=QM=QN,∴四边形PMQN是菱形,在MN的运动过程中,这样的菱形有无数个,当点M与A或C重合时,四边形PMQN是正方形,∴至少存在一个四边形PMQN是正方形,∵当点M与A或C重合时,四边形PMQN是正方形(即矩形),且MN=2,∴不可能存在无数个四边形PMQN是矩形,∴①②④正确.故答案为①②④.9.(2025山东青岛弘毅中学质检,★★☆)已知:如图,四边形ABCD是菱形,点E,F分别在边BC,CD上,且BE=DF,连接AE,AF,过点F作AE的平行线交对角线AC的延长线于点G,连接EG.(1)求证:四边形AEGF是菱形.(2)如果∠B=∠BAE=30°,求证:四边形AEGF是正方形. 证明 (1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,∠B=∠D,∠BAC=∠DAC,在△ABE和△ADF中, ∴△ABE≌△ADF(SAS),∴AE=AF,∠BAE=∠DAF,∴∠EAG=∠FAG,∵FG∥AE,∴∠EAG=∠FGA,∴∠FAG=∠FGA,∴FG=AF=AE,∵FG∥AE,FG=AE,∴四边形AEGF是平行四边形,又∵AF=AE,∴平行四边形AEGF是菱形.(2)∵四边形ABCD是菱形,∴BC∥AD,∴∠B+∠BAD=180°,∴∠BAD=180°-∠B=150°,由(1)得△ABE≌△ADF,∴∠BAE=∠DAF=30°,∴∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF=150°-30°-30°=90°,又∵四边形AEGF是菱形,∴四边形AEGF是正方形. 10.【新课标·推理能力】已知:如图,在矩形ABCD中,M,N分别是AD,BC的中点,P,Q分别是BM,DN的中点.(1)求证:BM∥DN.(2)求证:四边形MPNQ是菱形.(3)矩形ABCD的边AB与AD满足什么数量关系时,四边形MPNQ为正方形 请说明理由. 解析 (1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AD=BC,∵M,N分别是AD,BC的中点,∴DM=BN,∴四边形DMBN是平行四边形,∴BM∥DN.(2)证明:由(1)得,四边形DMBN是平行四边形,∴BM=DN,BM∥DN,∵P,Q分别是BM,DN的中点,∴MP=NQ,∴四边形MPNQ是平行四边形,如图,连接MN, ∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AD=BC,∠C=90°,∵M,N分别是AD,BC的中点,∴DM=CN,∴四边形DMNC是矩形,∴∠DMN=90°,∵在Rt△DMN中,Q是DN的中点,∴MQ=NQ,∴四边形MPNQ是菱形.(3)当AB= AD时,四边形MPNQ为正方形.理由:∵AB= AD,∴CD= AD,∴CD=DM,∴矩形DMNC是正方形,∵Q为正方形DMNC的对角线DN的中点,∴∠MQN=90°,又∵四边形MPNQ是菱形,∴四边形MPNQ是正方形.(共15张PPT)专项突破1 正方形中的三大模型 十字架模型1.(2025山东济宁兖州期中)正方形ABCD中,点E为BC边上的任意一点(点E不与点B,C重合),点P为线段AE上一动点,过点P作直线l⊥AE.(1)如图1,当直线l经过点D时,直线l交AB边于点F,求证:DF=AE.(2)如图2,当直线l分别交AB边,CD边于点M,点N时,如果AE=6,求MN的长. 解析 (1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=∠ABC=90°,AD=AB,∴∠BAE+∠AEB=90°,∵l⊥AE,∴∠APF=90°,∴∠BAE+∠AFD=90°,∴∠AEB=∠AFD,∴△AEB≌△DFA(AAS),∴DF=AE.(2)如图,过点M作MH⊥CD于点H,∴∠MHN=90°,∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=∠ADC=∠ABE=90°,AD=AB,∴四边形AMHD是矩形,∴∠AMH=∠AMP+∠NMH=90°,MH=AD=AB,∵l⊥AE,∴∠APM=90°,∴∠BAE+∠AMP=90°,∴∠BAE=∠NMH,∴△BAE≌△HMN(ASA),∴MN=AE=6. 半角模型2.(2025山东聊城模拟改编)如图,正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,且∠EAF=45°,连接EF.若∠BAE=α,则∠FEC的度数是 ( ) A.45°-α B.2αC.90°-α D.60°-α B 解析 在正方形ABCD中,AD=AB,∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°,将△ADF绕点A顺时针旋转90°,得△ABG,易知G,B,E三点共线,如图所示, 则AF=AG,∠DAF=∠BAG,∵∠EAF=45°,∴∠BAE+∠DAF=45°,∴∠BAE+∠BAG=∠GAE=45°=∠FAE,在△FAE和△GAE中, ,∴△FAE≌△GAE(SAS),∴∠AEF=∠AEG,∵∠BAE=α,∴∠AEB=90°-α.∴∠AEF=∠AEB=90°-α,∴∠FEC=180°-∠AEF-∠AEB=180°-2×(90°-α)=2α.故选B.3.如图,在正方形ABCD中,AB=12,E是AB边上一点,BE=4,且∠GCE=45°,则GE的长为__________. 10 解析 如图,将△CBE绕点C顺时针旋转90°,得△CDF,易知A,D,F三点共线. ∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD,∠B=∠ADC=∠BCD=90°,由旋转得,BE=DF=4,CE=CF,∠BCE=∠DCF,∵∠GCE=45°,∠BCD=90°,∴∠BCE+∠DCG=45°,∴∠DCF+∠DCG=∠GCF=45°.在△GCE和△GCF中, ∴△GCE≌△GCF(SAS),∴GE=GF.∵AB=12,∴AE=AB-BE=12-4=8,设AG=x,则GD=12-x,∴GE=GF=GD+DF=12-x+4=16-x,在Rt△AEG中,AE2+AG2=GE2,∴82+x2=(16-x)2,解得x=6,∴GE=16-6=10.故答案为10. 手拉手模型4.(2025山东滨州阳信期中改编)如图,点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点,以线段AG为边作一个正方形AEFG,线段EB和GD相交于点H.(1)求证:EB=GD.(2)判断EB与GD的位置关系,并说明理由. 解析 (1)证明:∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形,∴AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90°,∴∠BAD+∠EAD=∠EAG+∠EAD,∴∠BAE=∠DAG,在△BEA和△DGA中, ,∴△BEA≌△DGA(SAS),∴EB=GD.(2)EB与GD的位置关系是EB⊥GD.理由:设AD与BE相交于点P,如图, 由(1)可知,△BEA≌△DGA,∴∠ABE=∠ADG,在△ABP中,∠ABE+∠BAD+∠BPA=180°,在△DPH中,∠ADG+∠DHP+∠DPH=180°,又∵∠BPA=∠DPH,∴∠DHP=∠BAD=90°,∴EB⊥GD.(共31张PPT)第六章 特殊平行四边形第1课时 正方形的性质3 正方形的性质与判定 正方形的定义1.(2025山东青岛二十六中期中)四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,下列条件能使四边形ABCD是正方形的是 （ ）A.∠D=90° B.AB=CDC.BC=CD D.AC=BD C 解析 四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°,则四边形ABCD是矩形,能使矩形ABCD是正方形的是BC=CD.故选C. 正方形的性质2.如图,已知四边形ABCD是正方形,对角线AC,BD相交于点O,则图中与△AOB全等的三角形有 （ ） A.1个 B.2个C.3个 D.4个 C 解析 ∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OB=OC=OD,AB=BC=CD=DA,∴△AOB≌△BOC≌△COD≌△DOA,∴与△AOB全等的三角形有3个.故选C.3.(2024山东枣庄中考)如图,已知AB,BC,CD是正n边形的三条边,在同一平面内,以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN.若∠ABN=120°,则n的值为 （ ） A.12 B.10 C.8 D.6 A 解析 ∵四边形BCMN是正方形,∴∠NBC=90°,∵∠ABN=120°,∴∠ABC=360°-90°-120°=150°,∴正n边形的一个外角为180°-150°=30°,∴n的值为 =12.故选A.4.(2025山东济宁任城期中)如图,正方形ABCD的对角线AC是菱形AEFC的一边,则∠FAB等于 （ ） A.135° B.45° C.22.5° D.30° C 解析 ∵AC是正方形ABCD的对角线,∴∠BAC= ×90°=45°,∵AF是菱形AEFC的对角线,∴∠FAB= ∠BAC= ×45°=22.5°.故选C.5.正方形的对角线长为8,则该正方形的面积为__________. 32 解析 ∵正方形的对角线长为8,∴正方形的面积为 ×8×8=32.6.(2024江苏常州中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于原点O.若点A的坐标是(2,1),则点C的坐标是_______________. (-2,-1) 解析 过点A,C分别作x轴的垂线AE,CF,如图, ∴∠AEO=∠CFO=90°,∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OC,∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF(AAS),∴OE=OF,AE=CF,∵点A的坐标是(2,1),∴OE=OF=2,AE=CF=1,∴点C的坐标为(-2,-1).7.【学科特色·一线三等角模型】如图,直线l经过正方形ABCD的顶点A,分别过该正方形的顶点B,D作BE⊥l于E,DF⊥l于F.若BE=3,DF=6,则EF的长为_________. 9 解析 ∵四边形ABCD是正方形,∴AD=AB,∠BAD=90°,∴∠EAB+∠FAD=90°,∵DF⊥l,∴∠FAD+∠FDA=90°,∴∠FDA=∠EAB,在△DAF和△ABE中, ∴△DAF≌△ABE(AAS),∴AE=DF=6,AF=BE=3,∴EF=AE+AF=6+3=9.模型解读一线三等角模型当一条线段上存在三个相等的角(锐角、直角或钝角),且有一组边相等时,考虑用“一线三等角模型”解题.如图,点P在线段AB上,∠1=∠2=∠3=90°,且AP=BD(或AC=BP或CP=PD),则△APC≌△BDP.8.【学科特色·教材变式P23随堂练习T2】(2025浙江中考)【问题背景】如图所示,某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分),点E在对角线BD上.【数学理解】(1)该机翼状纸板由两个全等三角形组成,请写出△ABE≌△CBE的证明过程.(2)若裁剪过程中满足DE=DA,求“机翼角”∠BAE的度数.解析 (1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CB,∠ABD=∠CBD,又∵BE=BE,∴△ABE≌△CBE(SAS).(2)∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,∠ADB=45°,∵DE=DA,∴∠DEA=∠DAE,∵∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°,∴∠DAE=∠DEA=67.5°,∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=22.5°. 9.(2025山东烟台招远期中,★★☆)如图所示的是平行四边形ABCD与正方形CEFG,其中E点在边AD上.若∠ECD=40°,∠AEF=15°,则∠B的度数为（ ） A.75° B.65° C.55° D.45° B 解析 ∵四边形CEFG是正方形,∴∠CEF=90°,∵∠AEF=15°,∴∠CED=180°-∠AEF-∠CEF=180°-15°-90°=75°,∵∠ECD=40°,∴∠D=180°-∠CED-∠ECD=180°-75°-40°=65°,∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠B=∠D=65°,∴∠B的度数为65°.故选B.10.(2025四川自贡中考,★★☆)如图,在平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD的边长为5,AB边在y轴上,B(0,-2).若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°,得到正方形A'B'C'D',则点D'的坐标为 （ ） A.(-3,5) B.(5,-3) A C.(-2,5) D.(5,-2)解析 ∵四边形ABCD是正方形,且边长为5,∴AB=BC=CD=AD=5,∵点B(0,-2),∴OB=2,∴OA=AB-OB=3,由旋转的性质得OA'=OA=3,且点A'在x轴的负半轴上,正方形A'B'C'D'的边长为5,∴点D'的坐标为(-3,5).故选A.11.(2025重庆中考,★★★)如图,正方形ABCD的边长为2,点E是BC边的中点,连接DE,将△DCE沿直线DE翻折到正方形ABCD所在的平面内,得△DFE,延长DF交AB于点G.∠ADG和∠DAG的平分线相交于点H,连接GH,则△DGH的面积为 （ ） A A. B. C. D. 解析 如图,连接GE, ∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠C=∠BAD=∠ADC=90°,AB=BC=CD=DA=2,∵点E是BC边的中点,∴BE=CE=1,∵将△DCE沿直线DE翻折得△DFE,∴∠EFD=∠C=90°,FE=CE=BE=1,DF=DC=2,∴∠GFE=∠GBE=90°,又∵GE=GE,∴Rt△EFG≌Rt△EBG(HL),∴GF=GB,设GB=GF=x,则AG=2-x,DG=2+x,根据勾股定理,得AG2+AD2=DG2,即(2-x)2+22=(2+x)2,解得x= ,∴DG= ,AG= ,∵∠ADG和∠DAG的平分线相交于点H,∴点H到AD,AG,GD的距离相等,∴S△GDH= ·S△ADG= × × ×2= .故选A.12.(2024北京中考,★★☆)如图,在正方形ABCD中,点E在AB上,AF⊥DE于点F,CG⊥DE于点G.若AD=5,CG=4,则△AEF的面积为_________. 解析 ∵四边形ABCD是正方形,∴AD=CD=5,∠ADC=∠DAE=90°,∵AF⊥DE,CG⊥DE,∴∠AFD=∠CGD=90°,∴∠ADF+∠CDG=∠ADF+∠DAF,∴∠CDG=∠DAF,∴△CDG≌△DAF(AAS),∴AF=DG= =3,DF=CG=4,设EF=x,则在Rt△AEF中,AE2=EF2+AF2=x2+9.在Rt△ADE中,DE2=AD2+AE2,∴(x+4)2=52+x2+9,解得x= ,∴S△AEF= AF·EF= . 13.【新课标·推理能力】(2025安徽中考)已知点A'在正方形ABCD内,点E在边AD上,直线BE是线段AA'的垂直平分线,连接A'E,A'B.(1)如图1,若BA'的延长线经过点D,AE=1,求AB的长.(2)如图2,点F是AA'的延长线与CD的交点,连接CA'.(i)求证:∠CA'F=45°.(ii)如图3,设AF,BE相交于点G,连接CG,DG,DA',若CG=CB,判断△A'DG的形状,并说明理由. 解析 (1)∵直线BE是线段AA'的垂直平分线,∴A'E=AE=1,BA'=BA,又∵BE=BE,∴△ABE≌△A'BE(SSS),∴∠BAE=∠BA'E=90°,∵四边形ABCD是正方形,∴∠ADB=45°,∴△A'DE是等腰直角三角形,∴A'D=A'E=1,∴DE= ,∴AD=AE+DE=1+ ,∴AB=AD=1+ .(2)(i)证明:由题意知,BA=BA'=BC,∴∠BAA'=∠BA'A,∠BCA'=∠BA'C,∴∠AA'C=∠AA'B+∠CA'B= (180°-∠ABA')+ (180°-∠CBA')=180°-45°=135°,∴∠CA'F=180°-∠AA'C=45°.(ii)△A'DG是等腰直角三角形,理由如下:如图,作CN⊥BG交BG于点M,交AB于点N, ∵CN⊥BG,CG=CB,∴M为BG的中点,∵直线BE是线段AA'的垂直平分线,∴AA'⊥BE,∴CN∥AF,∴MN是△ABG的中位线,∴BN= AB,∵∠ABE=90°-∠CBG=∠BCN,AB=BC,∠BAE=∠CBN=90°,∴△ABE≌△BCN(ASA),∴AE=BN= AB= AD,∴E为AD的中点,又∵AG=GA',∴EG∥A'D,∴∠DA'G=∠EGA=90°,易证△ADA'≌△BAG,∴A'D=AG=A'G,∴△A'DG是等腰直角三角形.(共27张PPT)专项突破3 特殊平行四边形动点问题的三种类型 菱形中的动点问题1.(2025北京北大附中期中)如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,E是线段BC上一动点(不与点B,C重合),连接AE,F在线段CD上,连接EF,满足∠CEF+∠AEB=120°.(1)依题意补全图形,用等式表示AB,EC和CF的数量关系,并证明.(2)连接AC,过F作BC的平行线,交AC于点G.写出一个 的值,使四边形ECFG为平行四边形,并证明. 解析 (1)补全图形如图所示: AB,EC和CF的数量关系是AB=EC+CF.证明:如图,连接AC,过点E作EG∥AB交AC于点G,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AB∥CD,∠D=∠B=60°,∴△ABC和△ADC都是等边三角形,∴∠ACB=60°,AB=AC,∠ACD=60°,∴∠ECF=∠ACB+∠ACD=120°,∵EG∥AB,∴∠GEC=∠B=60°,∴∠GEC=∠ACB=60°,∴△GEC是等边三角形,∴EG=EC=GC,∠EGC=60°,∴∠AGE=180°-∠EGC=120°,∴∠AGE=∠ECF=120°,∵∠CEF+∠AEB=120°,∴∠AEF=180°-(∠CEF+∠AEB)=60°,∴∠AEF=∠CEG=60°,∴∠1+∠GEF=∠GEF+∠2,∴∠1=∠2,在△AEG和△FEC中, ∴△AEG≌△FEC(ASA),∴AG=CF,∴AC=GC+AG=EC+CF,∴AB=EC+CF.(2)当 = 时,四边形ECFG为平行四边形.证明:如图, ∵ = ,∴设BE=a,AB=2a,∵BC=AB=2a,∴EC=a,由(1)可知,AB=EC+CF,∴2a=a+CF,∴CF=a,∴CE=CF=a,∵FG∥BC,∴∠FGC=∠ACB=60°,又∵∠ACD=60°,∴△FGC是等边三角形,∴FG=CF,∴FG=EC,∴四边形ECFG为平行四边形. 矩形中的动点问题2.(2025广东惠州惠城期中)长方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,点B的坐标为(8,4),点P从点C出发向点O移动,速度为每秒1个单位;点Q同时从点O出发向点A移动,速度为每秒2个单位.设运动时间为t秒.(1)直接写出点A,C的坐标.(2)几秒后,P,Q两点与原点之间的距离相等 (3)在点P,Q移动的过程中,四边形OPBQ的面积有何变化 说明理由.解析 (1)A(8,0),C(0,4).(2)由题意知CP=t,OQ=2t,∴OP=4-t,∵OP=OQ,∴4-t=2t,解得t= ,即 秒后,P,Q两点与原点之间的距离相等.(3)四边形OPBQ的面积不变.理由:如图,连接OB. ∵S四边形OPBQ=S△OPB+S△OQB= (4-t)×8+ ×2t×4=16-4t+4t=16,∴在点P,Q移动的过程中,四边形OPBQ的面积不变.3.(2025江苏南京玄武期中)如图,矩形ABCD中,BD的垂直平分线分别交AD,BC于E,F,垂足为O,连接BE,DF.(1)判断四边形EBFD的形状,并说明理由.(2)若AB=12 cm,BC=18 cm,动点P从点D出发沿折线D→F→B运动至点B停止,同时点Q从点E出发沿折线E→A→B→E运动至点E停止,设点P,Q的运动路程分别为a,b(单位:cm,ab≠0),当以E,F,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求a与b满足的数量关系式.解析 (1)四边形EBFD为菱形,理由如下:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠BDA=∠DBC,∠DEF=∠BFE,∵EF垂直平分BD,垂足为O,∴OD=OB,EF⊥BD,在△DOE和△BOF中, ∴△DOE≌△BOF(AAS),∴OE=OF,又∵OB=OD,EF⊥BD,∴四边形EBFD为菱形.(2)设菱形EBFD的边长为x cm,则DF=BF=x cm,∴CF=(18-x)cm,在Rt△DCF中,DC=12 cm,由勾股定理,得122+(18-x)2=x2,解得x=13,∴DF=13 cm,∴BE=DF=13 cm,∴AE= =5 cm,∴EA+AB+BE=5+12+13=30(cm),如图,当Q在BE上,P在DF上时,四边形EQFP是平行四边形,∴EQ=FP, ∵EQ=(30-b)cm,PF=(13-a)cm,∴30-b=13-a,∴b-a=17;如图,当Q在AE上,P在BF上时,四边形QPFE是平行四边形,∴QE=FP, ∵QE=b cm,FP=(a-13)cm,∴b=a-13,∴a-b=13.综上所述,a与b满足的数量关系式是b-a=17或a-b=13(ab≠0). 正方形中的动点问题4.如图,点E为正方形ABCD内一动点,∠AEB=90°.过点B作BG⊥BE,且BG=BE,连接CG,DE.(1)求证:∠EAB=∠GCB.(2)延长AE交CG于点F,求证:EF=BE.(3)在(2)的条件下,若在点E运动的过程中,存在四边形CFBE为平行四边形,试探究此时DE,CD满足的数量关系.解析 (1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=90°,∴∠ABE+∠CBE=90°,∵BG⊥BE,∴∠CBE+∠CBG=90°,∴∠ABE=∠CBG,又∵BE=BG,∴△ABE≌△CBG(SAS),∴∠EAB=∠GCB.(2)证明:如图1,∵∠AEB=90°,∴∠BEF=90°,∵△EAB≌△GCB,∴∠AEB=∠CGB=90°,∵BG⊥BE,∴∠EBG=90°,∴四边形EBGF是矩形,又∵BE=BG,∴矩形EBGF是正方形,∴EF=BE.(3)DE=CD.理由如下:如图2,过点D作DK⊥AF交AF于点K,∴∠DKA=∠DKE=90°,∵∠AEB=90°,∴∠EAB+∠ABE=90°,∵∠DAB=90°,∴∠DAE+∠EAB=90°,∴∠DAE=∠ABE,又∵∠DKA=∠AEB,DA=AB,∴△KDA≌△EAB(AAS),又∵△EAB≌△GCB,∴△KDA≌△GCB,∴DK=CG,AK=BG,∵四边形EBGF是正方形,四边形CFBE为平行四边形,∴AK=BG=BE=FG=EF=CF,易得AE=CG,∴EK=BE,AE=DK,又∵∠DKE=∠AEB=90°,∴△KDE≌△EAB(SAS),∴DE=AB,∴DE=CD.5.(2025山东青岛月考)如图1,正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,点P是线段AO上(不与A,O重合)的一个动点,过点P作PE⊥PB交边CD于点E.(1)求证:PB=PE.(2)过点E作EF⊥AC于点F,如图2,若正方形ABCD的边长为2,则在点P运动的过程中,PF的长度是否发生变化 若不变,请直接写出这个不变的值;若变化,请说明理由.解析 (1)证明:如图1,过点P作MN∥AD,交AB于点M,交CD于点N, ∵PB⊥PE,∴∠BPE=90°,∴∠MPB+∠EPN=90°,∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°,∵AD∥MN,∴∠BMP=∠BAD=∠PNE=∠D=90°,∴∠MPB+∠MBP=90°,∴∠EPN=∠MBP,在Rt△PNC中,∠PCN=45°,∴△PNC是等腰直角三角形,∴PN=CN,∵∠BMP=∠PNC=∠ABC=90°,∴四边形MBCN是矩形,∴BM=CN,∴BM=PN,∴△BMP≌△PNE(ASA),∴PB=PE.(2)在点P运动的过程中,PF的长度不发生变化,PF的长度为 .详解:如图2,连接OB, ∵点O是正方形ABCD对角线AC的中点,∴OB⊥AC,∴∠AOB=90°,∴∠AOB=∠EFP=90°,∴∠OBP+∠BPO=90°,∵∠BPE=90°,∴∠BPO+∠OPE=90°,∴∠OBP=∠OPE,由(1)得,PB=PE,∴△OBP≌△FPE,∴PF=OB,∵AB=2,△ABO是等腰直角三角形,∴由勾股定理,得OB= ,∴PF= ,∴PF为定值,是 .(共33张PPT)第六章 特殊平行四边形第2课时 菱形的判定1 菱形的性质与判定 菱形的判定1.(2025山东临沂兰山期中)下列条件中,能判定四边形为菱形的是 （ ）A.对角线互相垂直B.对角线平分一组对角C.对角线互相垂直且平分D.对角线互相垂直且平分一组对角 C 解析 能判定四边形是菱形的是对角线互相垂直且平分.理由:如图所示, ∵OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).故选C.2.(2025山东临沂蒙阴三中月考)小明用四个全等的含30°角的三角尺拼成如图所示的三个图案,其中是菱形的有 （ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 D 解析 第一个四边形与第三个四边形的四条边都相等,∴第一个图案与第三个图案是菱形.如图, 由题意得,AD=BC=EF,CD=AB,∴四边形ABCD是平行四边形,∵∠ADF=∠FEB=30°,∠AFD=∠FBE=90°,∴AF= AD, BF= EF,∴AF+BF= (AD+EF)= ×2AD=AD,∴AB=AD,∴平行四边形ABCD是菱形,∴三个图案都是菱形.故选D.3.(2025山东济宁微山期中)如图,两个完全相同的含30°角的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动,可以添加一个条件,使四边形CBFE为菱形,下列选项中正确的是 （ ） A.BD=AE B.BD=BEC.BF⊥AD D.FE=2AE B 解析 由题意得∠FDE=30°,∠FED=∠CBA=60°,BC=EF,∠DFE=∠ACB=90°,∴BC∥EF,EF= DE,∴四边形BFEC为平行四边形.当BD=BE时,B为DE的中点,∴BE= DE=EF,∴△EFB为等边三角形,∴EF=BF,∴平行四边形BFEC为菱形,故B选项符合题意.故选B.4.【新课标·中华优秀传统文化】数学兴趣小组同学从“中国结”的图案(图1)中发现,用相同的菱形纵向排列放置,可得到更多的菱形.如图2,用2个相同的菱形放置,得到3个菱形.下面说法正确的是（ ） B A.用3个相同的菱形放置,最多能得到6个菱形B.用4个相同的菱形放置,最多能得到16个菱形C.用5个相同的菱形放置,最多能得到27个菱形D.用6个相同的菱形放置,最多能得到41个菱形解析 由题意可列下表,图形 最多得到菱形个数2个相同的菱形 33个相同的菱形 8图形 最多得到菱形个数4个相同的菱形 165个相同的菱形 296个相同的菱形 47∴B选项正确.5.【新考向·条件开放题】(2025黑龙江龙东地区中考)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,请添加一个条件:____________________,使平行四边形ABCD为菱形. AC⊥BD(答案不唯一) 解析 答案不唯一,如:∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形,∴添加条件AC⊥BD,可使平行四边形ABCD为菱形.6.(2025江苏扬州中考节选)如图,在 ABCD中,对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别相交于点E,F.求证:四边形AFCE是菱形. 证明 ∵直线EF是AC的垂直平分线,∴EA=EC,FA=FC,OA=OC,∠AOE=∠COF=90°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠OAE=∠OCF,在△OAE和△OCF中, ∴△OAE≌△OCF(ASA),∴EA=FC,∴EA=EC=FA=FC,∴四边形AFCE是菱形. 7.(2025湖南中考,★★☆)如图,在四边形ABCD中,对角线AC与BD互相垂直平分,AB=3,则四边形ABCD的周长为 ( ) A.6 B.9 C.12 D.18 C解析 ∵对角线AC与BD互相垂直平分,∴四边形ABCD为菱形,∵AB=3,∴四边形ABCD的周长为3×4=12.故选C.8.【新考向·尺规作图】(2025四川内江中考,★★☆)按如下步骤作四边形ABCD:(1)画∠EAF;(2)以点A为圆心,1个单位长为半径画弧,分别交AE,AF于点B,D;(3)分别以点B和点D为圆心,1个单位长为半径画弧,两弧交于点C;(4)连接BC,DC,BD.若∠A=40°,则∠BDC的度数是 （ ） D A.64° B.66° C.68° D.70°解析 由尺规作图可知,AB=AD=BC=DC,∴四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,∠BDC=∠ADB= ∠ADC,∴∠A+∠ADC=180°,∵∠A=40°,∴∠ADC=180°-∠A=140°,∴∠BDC=∠ADC=70°.故选D.9.【学科特色·教材变式P8做一做】(2024广西中考,★★☆)如图,两张宽度均为3 cm的纸条交叉叠放在一起,交叉形成的锐角为60°,则重合部分构成的四边形ABCD的周长为_________cm. 8 解析 如图,过点A作AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F, ∴∠AEB=∠AFD=90°,∵两张纸条宽度均为3 cm,∴四边形ABCD为平行四边形,且AE=AF=3 cm,∴∠ADF=∠ABE=60°,∴△ADF≌△ABE(AAS),∴AD=AB,∴四边形ABCD为菱形,在Rt△ADF中,∠ADF=60°,∴∠DAF=30°,∴AD=2DF,∵AD2-DF2=AF2,∴3DF2=32,∴DF= cm,∴AD=2 cm,∴四边形ABCD的周长为2 ×4=8 (cm).10.【新考向·尺规作图】(★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC,∠DAC是△ABC的一个外角.实验与操作:根据步骤要求进行尺规作图,并在图中标明相应字母(保留作图痕迹,不写作法):(1)作∠DAC的平分线AM;(2)作线段AC的垂直平分线,与AM交于点F,与BC边交于点E,连接AE,CF.猜想与证明:判断四边形AECF的形状并加以证明. 解析 实验与操作:如图所示. 猜想与证明:四边形AECF是菱形.证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵AM平分∠DAC,∴∠DAM=∠CAM,∵∠DAC=∠ABC+∠ACB,∴∠CAM=∠ACB,∴AF∥EC,∵EF垂直平分AC,∴OA=OC,∠AOF=∠COE=90°,在△AOF和△COE中, ∴△AOF≌△COE(ASA),∴AF=EC,∴四边形AECF为平行四边形,∵EF垂直平分AC,∴AF=FC,∴四边形AECF为菱形. 11.【新课标·推理能力】(2024黑龙江哈尔滨中考)四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AD∥BC,OA=OC,AB=BC.(1)如图1,求证:四边形ABCD是菱形.(2)如图2,AB=AC,CH⊥AD于点H,交BD于点E,连接AE,点G在AB上,连接EG交AC于点F,若∠FEC=75°,在不添加任何辅助线的情况下,直接写出四条与线段CE相等的线段(线段CE除外). 解析 (1)证明:∵AD∥BC,∴∠ADO=∠CBO,在△ADO和△CBO中, ∴△ADO≌△CBO(AAS),∴OD=OB,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AB=BC,∴四边形ABCD是菱形.(2)与线段CE相等的线段有AE,DE,AG,CF.详解:由(1)知,四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AC⊥BD,∵AB=AC,∴AB=BC=CD=AD=AC,∴△ABC和△ADC为等边三角形,∵CH⊥AD,∴AH=DH,即直线CH为AD的垂直平分线,∴AE=DE.同理CE=AE,∴AE=DE=EC.∵△ADC为等边三角形,CH⊥AD,∴∠ACH= ∠ACD=30°,∵∠FEC=75°,∴∠EFC=180°-∠ACH-∠FEC=75°,∴∠EFC=∠FEC,∴CF=CE.∵△ABC为等边三角形,∴∠BAC=60°,∵CE=AE,∴∠EAC=∠ECA=30°,∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°,∠AEC=180°-∠EAC-∠ECA=120°,∴∠AEG=∠AEC-∠FEC=45°,∴△AGE为等腰直角三角形,∴AE=AG,∴AG=EC.(共31张PPT)第六章 特殊平行四边形第1课时 矩形的性质2 矩形的性质与判定 矩形的定义1.(2025山东济南高新区开学测试)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,过点A作AE∥BC,使AE=BD,连接BE.求证:四边形AEBD是矩形. 证明 ∵AE∥BC,AE=BD,∴四边形AEBD是平行四边形,∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∴四边形AEBD是矩形. 矩形的性质2.(2025山东泰安东平期中)矩形具有而菱形不一定具有的性质是 （ ）A.对角线互相平分B.对角线互相垂直C.对角线相等D.对角线平分一组对角 C 解析 对于选项A,∵矩形和菱形的对角线都互相平分,∴矩形和菱形都具有该性质,故选项A不符合题意;对于选项B,∵菱形的对角线互相垂直,矩形的对角线不一定互相垂直,∴菱形具有而矩形不一定具有该性质,故选项B不符合题意;对于选项C,∵矩形的对角线相等,菱形的对角线不一定相等,∴矩形具有而菱形不一定具有该性质,故选项C符合题意;对于选项D,∵菱形的对角线平分一组对角,矩形的对角线不一定平分一组对角,∴菱形具有而矩形不一定具有该性质,故D选项不符合题意.故选C.3.【学科特色·“猪蹄”模型】(2024江苏南通中考)如图,直线a∥b,矩形ABCD的顶点A在直线b上,若∠2=41°,则∠1的度数为 （ ） A.41° B.51° C.49° D.59° C 解析 如图,延长CB与直线b交于点M, ∵a∥b,∠2=41°,∴∠BMA=∠2=41°.∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,∴∠1+∠BMA=90°,∴∠1=90°-41°=49°.故选C.模型解读所谓“猪蹄”模型,就是两条平行线被第三条折线(含一个拐点)所截,形成类似“猪蹄”的“一主体两分叉”形状(如图). 条件:AB∥CD.结论:∠BED=∠B+∠D.4.【新考向·旋转中的矩形】(2024吉林中考)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-4,0),点C的坐标为(0,2).以OA,OC为边作矩形OABC.若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°,得到矩形OA'B'C',则点B'的坐标为 （ ） A.(-4,-2) B.(-4,2) C C.(2,4) D.(4,2)解析 此题借助旋转考查矩形的性质.∵点A的坐标为(-4,0),点C的坐标为(0,2),∴OA=4,OC=2,∵四边形OABC是矩形,∴BC=OA=4,∵将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°得到矩形OA'B'C',∴OC'=OC=2,B'C'=BC=4,B'C'⊥OC',∴点B'的坐标为(2,4).故选C.5.【学科特色·教材变式P14T2】(2025山东临沂莒南期中)矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AB=6 cm,∠AOB=60°,则这个矩形的对角线长是_____________. 12 cm 解析 如图, ∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OB=OC=OD,∵∠AOB=60°,∴△OAB是等边三角形,∴OA=OB=AB=6 cm,∴BD=2OB=12 cm,即该矩形的对角线的长是12 cm.6.(2025山东济南钢城一模)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BD于点E,DF⊥AC于点F.求证:BE=CF. 证明 ∵四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,∴OA=OC=OB=OD,∵AE⊥BD,DF⊥AC,∴∠AEO=∠DFO=90°,在△AOE和△DOF中, ∴△AOE≌△DOF(AAS),∴OE=OF,∴BO-OE=OC-OF,即BE=CF. 直角三角形斜边上的中线7.(2025四川德阳中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC沿CB边向右平移至△EGF处,使EF恰好过边AB的中点D,连接CD,若CD=1,则GE= （ ） A.3 B.2 C.1 D. B 解析 ∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是边AB的中点,∴CD是Rt△ABC斜边上的中线,∴AB=2CD,∵CD=1,∴AB=2,由平移得,GE=AB=2.故选B. 8.(★★☆)如图,一根竹竿AB斜靠在竖直的墙上,P是AB的中点,在竹竿的顶端沿墙面下滑的过程中,OP长度的变化情况是 （ ）A.不断增大 B.不断减小C.先减小后增大 D D.不变解析 ∵∠AOB=90°,P为AB的中点,∴OP= AB,即OP的长度在竹竿的顶端沿墙面下滑的过程中始终保持不变,故选D.9.【新考向·新定义题】(2024河北中考,★★☆)在平面直角坐标系中,我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”.如图,矩形ABCD位于第一象限,其四条边分别与坐标轴平行,则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是 ( ) B A.点A B.点B C.点C D.点D解析 设A(a,b),AB=m,AD=n,∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=n,AB=CD=m,∴D(a,b+n),B(a+m,b),C(a+m,b+n),∵ < < , < ,∴该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B,故选B.10.(2025山东德州齐河期中改编,★★☆)如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,过点O作BD的垂线分别交AD,BC于点E,F,点G是BF的中点,连接OG.若∠OGB=124°,则∠FOC的度数为 （ ） A.24° B.28° C.36° D.34° D 解析 ∵四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,∴OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-2∠OBC,∵EF经过点O,且EF⊥BD,∴∠BOF=90°,∵点G是BF的中点,∴OG=BG= BF,∴∠OBC=∠BOG,∴∠OGB=180°-∠OBC-∠BOG=180°-2∠OBC,∴∠BOC=∠OGB=124°,∴∠FOC=∠BOC-∠BOF=124°-90°=34°.故选D.11.(2025四川内江中考,★★☆)如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点E,F分别是边AD,CD上的动点,连接BE,EF,点G为BE的中点,点H为EF的中点,连接GH,则GH的最大值是_________. 5 解析 如图,连接BD,BF, ∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,在Rt△ABD中,AB=8,AD=6,∴BD= =10,∵点G为BE的中点,点H为EF的中点,∴BF=2GH,∴当BF取最大值时,GH取最大值,∵点F是边CD上的动点,∴当点F与点D重合时,BF有最大值,最大值为10,∴GH的最大值为5.12.【新考向·尺规作图】(2025山东烟台中考,★★☆)如图,BD是矩形ABCD的对角线,请按以下要求解决问题:(1)利用尺规作△BED,使△BED与△BCD关于直线BD成轴对称(不写作法,保留作图痕迹).(2)在(1)的条件下,若BE交AD于点F,AB=1,BC=2,求AF的长. 解析 (1)如图,△BED即为所求作的三角形. (2)如图,∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=2,AD∥BC,∠A=90°,∴∠ADB=∠CBD,∵△BED与△BCD关于直线BD成轴对称,∴∠EBD=∠CBD,∴∠FBD=∠FDB,∴FB=FD,设AF=x,则FB=FD=2-x,在Rt△ABF中,12+x2=(2-x)2,解得x= ,∴AF= . 13.【新课标·推理能力】【学科特色·分类讨论思想】(2024黑龙江牡丹江中考)矩形ABCD的面积是90,对角线AC,BD交于点O,点E是BC边的三等分点,连接DE,点P是DE的中点,OP=3,连接CP,则PC+PE的值为____________. 13或 解析 当CE>BE时,如图1,∵四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD交于点O,∴点O是BD的中点,∠BCD=90°,∵点P是DE的中点,∴BE=2OP=6,CP=PE=PD,∵点E是BC边的三等分点,∴CE=2BE=12,BC=3BE=18,∵矩形ABCD的面积是90,∴CD=5,∴DE= =13,∴PC+PE=DE=13; 当CE∵四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD交于点O,∴点O是BD的中点,∠BCD=90°,∵点P是DE的中点,∴BE=2OP=6,CP=PE=PD,∵点E是BC边的三等分点,∴CE= BE=3,BC= BE=9,∵矩形ABCD的面积是90,∴CD=10,∴DE= = ,∴PC+PE=DE= .综上,PC+PE的值为13或 . 展开更多...... 收起↑ 资源列表 04-专项突破1 正方形中的三大模型.pptx 05-专项突破2 特殊平行四边形折叠问题的三种类型.pptx 06-专项突破3 特殊平行四边形动点问题的三种类型.pptx 07-第六章自主检测.pptx 第1课时 菱形的性质.pptx 第2课时 菱形的判定.pptx 第1课时 矩形的性质.pptx 第2课时 矩形的判定.pptx 第1课时 正方形的性质.pptx 第2课时 正方形的判定.pptx
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