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(共26张PPT)
第七章自主检测
时间：40分钟 满分：100分
一、选择题(每小题4分,共32分)
1.(2025山东济南莱芜苗山中学月考)下列式子一定是二次根
式的为 （　　　）
A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D.
C
解析　∵x2≥0,∴x2+2>0,∴ 一定是二次根式.
故选C.
2.(2024四川绵阳中考)若式子 在实数范围内有意义,则x的
取值范围为 （　　　）
A.x<0　　　 B.x≤0　　　 C.x>0　　　 D.x≥0
C
解析　由题意得,x≥0且x≠0,解得x>0.故选C.
3.(2025山东烟台牟平期中)下列选项中,是最简二次根式的为
（　　　）
A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D.
B
解析 A. = ,故选项A不符合题意;
B. 是最简二次根式,故选项B符合题意;
C. 的被开方数是负数,没意义,故选项C不符合题意;
D. =2,故选项D不符合题意.故选B.
4.下列计算结果正确的是 （　　　）
A. - = 　　　 B. + =
C.3 - =2　　　 　 D.2 -4 =-2
D
解析 A. 与 不属于同类二次根式,不能进行减法运算,故
A计算错误;
B. + =3+2=5,故B计算错误;
C.3 - =2 ,故C计算错误;
D.2 -4 =-2 ,故D计算正确.故选D.
5.下列计算正确的是 （　　　）
A.(- )2=49　　　 B.- =-7
C. =±7　 D. =3
B
解析 A.(- )2=7;B.- =-7;C. =7;
D. = = .
故选B.
6.(2024四川乐山中考)已知1 （　　　）
A.-1　　　 B.1　　　 C.2x-3　　　 D.3-2x
B
解析　∵10,x-2<0,
∴ +|x-2|=x-1+2-x=1.故选B.
7.(2025重庆铜梁一模)已知m= × ,则实数m在
（　　　）
A.0和1之间　　　 B.1和2之间
C.2和3之间　　　 D.3和4之间
C
解析 m= × = - =2 - = ,
∵ < < ,∴2< <3,即2故选C.
8.【新考向·数学文化】(2025山西运城模拟)我国南宋著名数
学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中,给出了著名的
秦九韶公式,也叫三斜求积公式,即如果一个三角形的三边长
分别为a,b,c,则该三角形的面积为S= .
现已知△ABC的三边长分别为a= ,b=2,c= ,则△ABC的面
积为 （　　　）
A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D.
B
解析　由题意得,a2=3,b2=4,c2=5,
∴S=
=
=
= = .
故选B.
二、填空题(每小题4分,共16分)
9.(2025江苏泰州靖江三模)在实数范围内分解因式:2a2-16=____
_________________.
2(a+2 )(a-2 )
解析 2a2-16=2(a2-8)=2[a2-(2 )2]
=2(a+2 )(a-2 ).
10.(2025四川资阳二模)若 +|b-3|=0,则a+b=_________.
1
解析　∵ +|b-3|=0,
∴a+2=0,b-3=0,
∴a=-2,b=3,
∴a+b=-2+3=1.
11.(2025吉林长春四模) 与最简二次根式2 是同类二
次根式,则m的值为_________.
3
解析　∵ 与最简二次根式2 是同类二次根式,∴2m+
1=7,∴m=3.
12.在矩形ABCD中,CD= ,BC=3,则△ABC的周长为________.
3 +3
解析　如图,在矩形ABCD中,∠B=90°,AB=CD= ,BC=3,
∴AC= = =2 ,
∴△ABC的周长=AB+BC+AC= +3+2 =3 +3.

三、解答题(共52分)
13.(16分)计算:
(1) - + .
(2) ÷ × .
(3)(3 +1)(3 -1).
(4) × - .
解析 (1) - + =3 -6 +5 =2 .
(2) ÷ × = × = .
(3)(3 +1)(3 -1)=(3 )2-12=18-1=17.
(4) × - =2+1- =3- =3-1=2.
14.(2025山东淄博临淄期中)(10分)求代数式a+ 的
值,其中a=2 023.下面是小明的解题过程,小明检查时发现解
题过程中有错误.
解:a+ =a+ ,……第一步
当a=2 023时,原式=a+1-a=1.……第二步
(1)小明从第_______步开始出错的,原代数式的值为_________.
(2)求代数式b+2 的值,其中b= .
解析 (1)二;4 045.
(2)b+2 =b+2 ,
∵b= ,∴b-3<0,
∴b+2 =b+2(3-b)=6-b=6- .
15.(2025山东济宁高新区期中)(12分)有一块矩形木板,木工采
用如图所示的方式,在木板上截出两块面积分别为18 dm2和32
dm2的正方形木板.
(1)截出的两块正方形木板的边长分别是_______dm,______
____dm.
(2)求剩余木板的面积.
(3)如果木工想从剩余的木板中截出长为1 dm,
宽为0.7 dm的长方形木条,最多能截出多少根
这样的木条
解析 (1)3 ;4 .
(2)由题意得,(3 +4 )×4 -18-32=6(dm2),
∴剩余木板的面积为6 dm2.
(3)4 -3 = (dm),
∴剩余木板的长为3 dm,宽为 dm,
∵1×4<3 <1×5,0.7×2< <0.7×3,
∴最多能截出4×2=8(根)这样的木条.
16.【新考向·阅读理解题】(2025山东淄博张店重庆路中学期
中)(14分)已知a= ,求2a2-8a+1的值.小明是这样分析的:
∵a= = =2- ,
∴a-2=- ,
∴(a-2)2=3,即a2-4a+4=3,
∴a2-4a=-1,
∴2a2-8a+1=2(a2-4a)+1=2×(-1)+1=-1.
请你根据小明的分析过程,解决如下问题:
(1)若a= ,求3a2-12a-1的值.
(2)求 + + +…+ 的值.
(3)比较 - 与 - 的大小,并说明理由.
解析 (1)∵a= = = +2,
∴a-2= ,
∴(a-2)2=5,即a2-4a+4=5,
∴a2-4a=1,
∴3a2-12a-1=3(a2-4a)-1=3×1-1=2.
(2) + + +…+
= + + +…+

= -1+ - + - +…+ -
= -1
=10-1
=9.
(3) - < - .理由如下:
=
= + ,

=
= + ,
∵ + > + ,
∴ > ,
∴ - < - .(共13张PPT)
第七章　二次根式
第1课时　二次根式的性质（1）
2　二次根式的性质
的性质
1.(2025山东烟台龙口期中)若 =a-4,则a的取值范围是
（　　　）
A.a<4　　　 B.a≤4　　　 C.a>4　　　 D.a≥4
D
解析　∵ =|a-4|=a-4,
∴a-4≥0,解得a≥4.故选D.
2.【学科特色·多解法】(2024四川德阳中考)化简: =_____.
3
解析　【解法一】利用“ =|a|”: =|-3|=3.
【解法二】直接计算法: = =3.
3.【学科特色·教材变式P35例1】计算:
(1) .　　　　 (2) .
(3) .　　　 (4) -|2-π|.
解析 (1) = =|5|=5.
(2) =|-7|=7.
(3) =|- |= .
(4) -|2-π|=|3.14-π|-|2-π|=-(3.14-π)+(2-π)=π-3.14+2-π=
-1.14.
　积的算术平方根的性质
4.(2025广西河池宜州期中)使 = · 成立
的条件是 （　　　）
A.x≤3　　　 B.x≥-2
C.-2≤x≤3　　　 D.-2 C
解析　∵二次根式中的被开方数是非负数,
∴ 解得-2≤x≤3.故选C.
5.(2025湖南中考)化简: =__________.
2
解析 = = × =2 .
6.化简:
(1) .
(2) (m≥0,n≥0).
(3) .
(4) .
解析 (1)原式= = × =10 .
(2)因为m≥0,n≥0,所以原式= = · =3m .
(3)原式= = × =8×9=72.
(4)原式= =
= × =13×11=143.

7.(2025江苏南京建邺模拟,★★☆)下列各式中,一定成立的是
（　　　）
A. =( )2
B. =( )2
C. =a-1
D. = ·
A
解析 A. =( )2,故A符合题意;
B.当a<0时, 没有意义,故B不符合题意;
C.当a-1<0时, =1-a,故C不符合题意;
D.当a≥3时, = · ,故D不符合题意.故选A.
8.【学科特色·数形结合思想】(2024内蒙古呼伦贝尔中考,★
★☆)实数a,b在数轴上对应的点的位置如图所示,则 -
(b-a-2)的化简结果是 （　　　）

A.2　　　 B.2a-2
C.2-2b　　　 D.-2
A
解析　由题中数轴可知,-3∴a-b<0,∴原式=b-a-b+a+2=2.故选A.
9.(★★☆)若ab<0,则化简二次根式 的结果是 ( )
A.b 　　　 B.-b
C.b 　　　 D.-b
D
解析　∵ab<0,-a2b3≥0,∴a>0,b<0,
则原式= ·(-ab) =-b .故选D.
10.【新考向·代数推理】(2025山东菏泽东明二中月考,★★☆)
已知y= -x+3,当x分别取1,2,3,…,2 022时,所对应的y
值的总和是_____________.
2 024
解析　当x<2时,y=2-x-x+3=5-2x,
即当x=1时,y=5-2×1=3;
当x≥2时,y=x-2-x+3=1,
即当x分别取2,3,…,2 022时,y的值均为1.
∴当x分别取1,2,3,…,2 022时,所对应的y值的总和是3+2 021×
1=2 024.(共31张PPT)
第七章　二次根式
3　二次根式的加减

　同类二次根式
1.下列说法正确的是 （　　　）
A.被开方数不同的二次根式一定不是同类二次根式
B.只有被开方数完全相同的二次根式才是同类二次根式
C.同类二次根式一定都是最简二次根式
D.两个最简二次根式不一定是同类二次根式
D
解析　被开方数不同的二次根式可以是同类二次根式,故A选
项不符合题意;化简后被开方数完全相同的二次根式才是同
类二次根式,故B选项不符合题意;同类二次根式不都是最简
二次根式,故C选项不符合题意;两个最简二次根式不一定是
同类二次根式,故D选项符合题意.
故选D.
2.(2025山东临沂莒南期中)下列二次根式中,可与 进行合并
的二次根式为 （　　　）
A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D.
A
解析 A. =4 ,可以与 合并,故此选项符合题意;
B. 不可以与 合并,故此选项不符合题意;
C. =3 ,不可以与 合并,故此选项不符合题意;
D. 不可以与 合并,故此选项不符合题意.
故选A.
3.(2025陕西西安模拟) , , , 中,与 是同类二次根
式的是_________.
解析　∵ =3, =2 ,
∴与 是同类二次根式的是 .
4.【学科特色·方程思想】(2025山东烟台龙口培基学校期中)
最简二次根式 与最简二次根式 可以合并,则a的值为
_________.
3
解析　∵最简二次根式 与最简二次根式 可以合并,
∴2a=a+3,解得a=3.
5.【学科特色·易错题】(2025甘肃平凉庄浪月考)是否存在实
数m,使最简二次根式 与 是同类二次根式 若存
在,求出m的值;若不存在,请说明理由.
解析　不存在.理由如下:
若最简二次根式 与 是同类二次根式,则m-2=26-
m,解得m=14,当m=14时,m-2=12,
∴ 与 都不是最简二次根式.
故不存在实数m,使最简二次根式 与 是同类二次
根式.
易错警示
解此题时易因未把m的值代入原式,看是否符合题意而出错.
　二次根式的加减
6.【学科特色·教材变式P41想一想】(2025重庆彭水期中)下
列计算正确的是 （　　　）
A. - = 　　　 B. + =
C.2 -6 =-4　　　 D.3 - =2
D
解析 A. 和- 不是同类二次根式,无法合并,故A不符合题
意;
B. + =2+3=5≠ ,故B不符合题意;
C.2 -6 =-4 ≠-4,故C不符合题意;
D.3 - =2 ,故D符合题意.故选D.
7.(2025四川自贡中考)计算: -3 =_________.
0
解析 -3 =3 -3 =0.
8.(2025河北邯郸模拟)若 + =3 ,则a=__________.
12
解析　由题意得, =3 - =2 = ,
∴a=12.
9.计算:
(1)9 +7 -5 .
(2) + - .
(3) + + .
(4)3 -5 +7 .
解析 (1)原式=9 +14 -5×4 =3 .
(2)原式=2 +2 - = +2 .
(3)原式= + + = = .
(4)原式=3 -5×2 +7×3 =14 .
10.王师傅有一根长为45 m的钢材,他想将它锯断后焊成三个
面积分别为2 m2,18 m2,32 m2的正方形铁框,问王师傅的钢材
够用吗 请通过计算说明理由.
解析　王师傅的钢材不够用.理由如下:
∵正方形铁框的面积是2 m2,
∴它的边长是 m,
∴所耗费的钢材是4× =4 (m),
∵正方形铁框的面积是18 m2,
∴它的边长是3 m,
∴所耗费的钢材是4×3 =12 (m),
∵正方形铁框的面积是32 m2,
∴它的边长是4 m,
∴所耗费的钢材是4×4 =16 (m),
∴所耗费的钢材的总长度是4 +12 +16 =32 (m),
∵32 ≈45.3,45.3>45,
∴王师傅的钢材不够用.

11.(2025山东烟台栖霞期中,★★☆)下列二次根式中,是同类
二次根式的为 （　　　）
A. 与 　　　 B. 与
C.2b 与b 　　　 D. 与
B
解析 A. =2 , =2 ,所以 与 不是同类二次根
式,故此选项不符合题意;
B. =x , =3 ,所以 与 是同类二次根式,
故此选项符合题意;
C.b =b· = ,所以2b 与b 不是同类二次根式,故此
选项不符合题意;
D. =|a| , =|b| ,所以 与 不是同类二次根
式,故此选项不符合题意.故选B.
12.(2025河北廊坊安次期中,★★☆)若a+ = ,则表示实
数a的点会落在数轴的 （　　　）

A.段①上　　　 B.段②上
C.段③上　　　 D.段④上
B
解析　∵a+ = ,
∴a= - =3 -2 = ,
∵ < < ,∴1< <2,即1故表示实数a的点会落在数轴的段②上.
故选B.
13.(2025河北模拟,★★☆)若3 - =a - =b ,则a+b的
值为__________.
11
解析　∵3 - =3×2 - =6 - =5 ,∴a=6,b=5,∴a+
b=6+5=11.
14.【学科特色·易错题】(2025山东烟台莱州期中,★★☆)若
与最简二次根式 是同类二次根式,则a的值为_____.
4
解析　∵ 与最简二次根式 是同类二次根式, =2
,∴a-1=3,∴a=4.
易错警示
解此题时易出现未将 化简就令12=a-1的情况,得到错解a=13.
15.(2025山东济南莱芜苗山中学月考,★★☆)三角形的三边
长分别为 cm, cm, cm,则这个三角形的周长为____
___________cm.
(5 +2 )
解析　这个三角形的周长为 + + =2 +2 +3 =
(5 +2 ) cm.
16.(2025山东烟台牟平期中,★★☆)实数a,b在数轴上对应的
点的位置如图所示,则代数式 +|b+ |化简的结果为
_________.

　-a-b
解析　观察题中数轴可知,b<- <0∴a- <0,b+ <0,
∴ +|b+ |
= -a+(-b- )
= -a-b-
=-a-b.
17.(2025上海静安期末,★★☆)计算:a -2a2 +3 .
解析 a -2a2 +3
=2a -2a2· +3a
=2a - a +3a
= a .
18.【新考向·新定义题】(2025湖南张家界桑植期中,★★☆)
规定:无理数m的整数部分记为[m],小数部分记为{m},例如:
[ ]=2,{ }= -2.请根据上面的规定解答下列问题.
(1)[ ]=_______;{ }=_______.
(2)求{4+ }+{4- }的值.
解析 (1)3; -5.
(2)∵1< <2,
∴-2<- <-1,
∴5<4+ <6,2<4- <3,
∴{4+ }+{4- }
=4+ -5+4- -2
=4+4-5-2+ -
=1.

19.【新课标·运算能力】观察下列等式,并回答问题.
①|1- |= -1;
②| - |= - ;
③| - |= - ;
④| - |= - ;
……
(1)请写出第⑤个等式:_______.
(2)写出你猜想的第n个等式:_____________(用含n的
式子表示).
(3)计算:|1- |+| - |+…+| - |.
解析 (1)| - |= - .
(2)| - |= - .
(3)|1- |+| - |+…+| - |
= -1+ - +…+ - + -
= -1=45-1=44.(共27张PPT)
第七章　二次根式
1　二次根式
　二次根式的概念
1.“ ”表示的是一个二次根式,则“△”不可能是　
(　　　)
A.-1　　　 B.4　　　 C.2　　　 D.π
A
解析　∵“ ”表示的是一个二次根式,∴△≥0,
∴A选项中-1不符合条件,故选A.
2.(2025山东济宁微山期中)下列式子中,一定是二次根式的是
(　　　)
A. 　　　 B.
C. 　　　 　 D.
D
解析 A.-2 025<0,则 不是二次根式,故此项不符合题
意;
B. 是三次根式,故此项不符合题意;
C.只有当a-1≥0,即a≥1时, 才是二次根式,故此项不符合
题意;
D.因为a2+1>0,所以 一定是二次根式,故此项符合题意.
故选D.
3.二次根式 与二次根式 相等,求a,b的值.
解析　因为二次根式 与二次根式 相等,
所以 解得
　二次根式有意义的条件
4.(2025福建中考)若 在实数范围内有意义,则实数x的值
可以是 (　　　)
A.-2　　　 B.-1　　　 C.0　　　 D.2
D
解析　由题意,得x-1≥0,∴x≥1,
∴实数x的值可以是2.故选D.
5.【学科特色·易错题】(2025山东烟台栖霞期中)若代数式
有意义,则x的取值范围是 (　　　)
A.x>-3　　　 B.x≥-3
C.x>-3且x≠5　　　 D.x≥-3且x≠5
D
解析　由题意,得x+3≥0且5-x≠0,
解得x≥-3且x≠5.故选D.
易错警示
此题易忽略分母不为0而错选B.
6.【新考向·条件开放题】(2025山东烟台龙口期中)请写出一
个二次根式:______________________,使它满足只含有一个字
母x,且当x≥-2时有意义.
(答案不唯一)
解析　答案不唯一,如 , 只含有一个字母x,且
有意义的条件是x+2≥0,即x≥-2.
7.(2024山东烟台中考)若代数式 在实数范围内有意义,
则x的取值范围为___________.
x>1
解析　∵代数式 在实数范围内有意义,
∴x-1>0,解得x>1.
　二次根式的非负性
8.(2025广东东莞期中)化简( )2的结果是 (　　　)
A.3　　　 B.6　　　 C.9　　　 D.
A
解析 ( )2=a(a≥0),∴( )2=3.故选A.
9.把9 写成一个正数的平方的形式是(　　　)
A. 　　　 B. 或
C. 　　　 D. 或
C
解析 9 = ,把 写成一个正数的平方的形式为 .故
选C.
10.(2025吉林长春八十七中月考)当x=_________时, -7取得最
小值,其最小值为_______.
　-7
3
解析　当 =0时, -7取得最小值-7,此时x-3=0,解得x=
3.
11.(2025上海华东师大二附中期中)在实数范围内分解因式:
5x2-1=____________________.
( x+1)( x-1)
解析 5x2-1=( x)2-12=( x+1)( x-1).
12.【学科特色·教材变式P34T2】计算:
(1)( )2.　　　　　 (2)-( )2.
(3) .　　　 　 (4)( )2.
解析 (1)( )2=9.
(2)-( )2=-11.
(3) =9× =6.
(4)( )2=a2.
13.(2025江西南昌月考)已知 +|x-1|=0.
(1)求x与y的值.
(2)求x+y的平方根.
解析 (1)∵ +|x-1|=0,
∴x-1=0,x+2y-7=0,解得x=1,y=3.
(2)x+y=1+3=4.
∵4的平方根为±2,
∴x+y的平方根为±2.

14.(2025山东烟台牟平期中,★★☆)使式子 + 在
实数范围内有意义的整数x有 (　　　)
A.5个　　　 B.3个　　　 C.4个　　　 D.2个
C
解析　∵式子 + 在实数范围内有意义,
∴ 解得-3又∵x要取整数值,∴x的值为-2,-1,0,1,即符合条件的x的值有4
个.故选C.
15.(2025山西吕梁文水期中,★★☆)化简( )2-|1-x|的结果
是 (　　　)
A.1-2x　　　 B.2x-1
C.3-4x　　　 D.4x-3
A
解析　∵2-3x≥0,∴x≤ ,∴1-x>0,
则原式=2-3x-1+x=1-2x.故选A.
16.(2025山东淄博张店期中,★★☆)已知a满足|2 018-a|+
=a,则a-2 0182= (　　　)
A.0　　　 B.1　　　 C.2 018　　　 D.2 019
D
解析　∵a-2 019≥0,∴a≥2 019,
∴原式可变形为a-2 018+ =a,
∴ =2 018,∴a-2 019=2 0182,
∴a-2 0182=2 019.故选D.
17.(2025山东济南莱芜期中,★★☆)已知实数a,b满足a=
,求a+b的平方根.
解析　∵b2-9≥0,9-b2≥0,
∴b2-9=0,∴b=±3,
∵b+3≠0,∴b≠-3,∴b=3,∴a=1,
∴± =± =±2,即a+b的平方根为±2.

18.【新课标·运算能力】(2025广东广州黄埔期中)新定义:若
无理数 的被开方数T(T为正整数)满足n2正整数),则称无理数 的“青一区间”为(n,n+1);同理,规定
无理数- 的“青一区间”为(-n-1,-n).例如:因为12<2<22,所以
1< <2,所以 的“青一区间”为(1,2),- 的“青一区间”
为(-2,-1).
请解答下列问题:
(1) 的“青一区间”是_______;- 的“青一区间”是
_______.
(2)若无理数- (a为正整数)的“青一区间”为(-3,-2),
的“青一区间”为(3,4),求 的值.
(3)实数x,y,m满足关系式 + =
+ ,求m的算术平方根的“青一区
间”.
解析 (1)(4,5);(-5,-4).
(2)∵无理数- 的“青一区间”为(-3,-2),
∴2< <3,
∴22∵ 的“青一区间”为(3,4),
∴3< <4,∴32∴6∵a为正整数,∴a=7或a=8,
当a=7时, = = =2,
当a=8时, = = ,
∴ 的值为2或 .
(3)∵ + = + ,
∴x+y-2 024≥0,2 024-x-y≥0,
∴x+y-2 024=0,∴x+y=2 024,
∴ + =0,
∴2x+3y-m=0,3x+4y-2m=0,
两式相减,得x+y-m=0,
∴m=x+y=2 024,∴m的算术平方根为 ,
∵442<2 024<452,∴44< <45,
∴m的算术平方根的“青一区间”是(44,45).(共27张PPT)
第七章　二次根式
第2课时　二次根式的性质（2）
2　二次根式的性质
　商的算术平方根的性质
1.(2025云南保山腾冲三模)等式 = 成立的条件是
（　　　）
A.x<3　　　 B.x≤3　　　 C.0≤x<3　　　 D.x≥0
C
解析　由题意,得x≥0且3-x>0,解得0≤x<3.
故选C.
2.下列各式中,化简正确的是 （　　　）
A. =4 　　　 B. =
C. = 　　　 D. =
D
解析 A.原式= = ,故该选项化简错误;
B.原式= = ,故该选项化简错误;
C.原式= × = ,故该选项化简错误;
D.原式= × = ,故该选项化简正确.故选D.
3.(2025山东济南期末) =_________.
解析 = = = .
4.化简下列二次根式:
(1) .　　　 (2) .
(3) (x>0,y>0,z>0).
解析 (1) = = = = .
(2) = = = = .
(3) = = = .
　最简二次根式
5.(2025山东济宁曲阜期中)下列二次根式中,属于最简二次根
式的是 （　　　）
A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D.
D
解析 A. =2,故 不属于最简二次根式,选项A不符合题
意;
B. = ,故 不属于最简二次根式,选项B不符合题意;
C. =2 ,故 不属于最简二次根式,选项C不符合题意;
D. 的被开方数不含分母,且被开方数不含能开得尽方的因
数,故 属于最简二次根式,选项D符合题意.故选D.
6.【新考向·条件开放题】写出一个整数x,使 是最简二次
根式,则x可以是______________.
　-1(答案不唯一)
解析　当x=-1时, = , 是最简二次根式.答案不唯一.
7.【学科特色·教材变式P39随堂练习T3】下列根式中,哪些是
最简二次根式 把不是最简二次根式的化成最简二次根式.
(1) .(2) .(3) .
(4) (x>0).(5) .(6) .
解析 (1)(5)是最简二次根式.
(2)(3)(4)(6)不是最简二次根式, =6 ,
=5a , = (x>0), =(a+b) .

8.(2025山东德州武城期中,★★☆)化简二次根式(x-3)·
得 （　　　）
A. 　　　 B. 　　　 C.- 　　　 D.-

C
解析　由题意,得3-x>0,∴(x-3)· =(x-3)· =(x-3)×
× =(x-3)× × =- .故选C.
9.(2025山东菏泽东明月考,★★☆)若 是最简二次根
式,且m为整数,则m的最小值是_________.
2
解析　由题意,得3m-4≥0,解得m≥ ,
又∵m为整数,
∴当m=2时, = 是最简二次根式.
10.(2025山东泰安高新区月考,★★☆)比较下列两个数的大
小:5 ______6 .(用“>”或“<”填空)
　<
解析 5 =5× = ,6 =6× = ,
∵ < ,∴5 <6 .
11.【跨物理·自由落体】(2025山东济宁鱼台期中,★★☆)高
空抛物是一种不文明的危险行为,据研究,从高处坠落的物品,
其下落的时间t(s)和高度h(m)近似满足公式t= (不考虑阻力
的影响).
(1)求物体从60 m的高空落到地面的时间.
(2)小明说物体从120 m的高空落到地面的时间是(1)中所求时
间的2倍,他的说法正确吗 请说明理由.
(3)已知从高空坠落的物体所带能量(单位:J)=10×物体质量
(kg)×高度(m),一个质量为0.06 kg的鸡蛋从高空坠落,经过5 s
落在地上,这个鸡蛋在下落过程中所带能量有多大 你能得到
什么启示 (注:杀伤无防护人体只需要65 J的能量)
解析 (1)当h=60 m时,t= = = =2 (s).
(2)不正确.
理由:当h=120 m时,t= = =2 (s).
∵2 ≠2×2 ,∴小明的说法不正确.
(3)当t=5 s时,5= ,解得h=125 m.
∴鸡蛋在下落过程中所带能量=10×0.06×125=75(J).
启示:严禁高空抛物,一个鸡蛋都可能会砸伤人(答案不唯一,
合理即可).

12.【新课标·推理能力】(2025山东济宁汶上期中)观察下列
各式:
=2 , =3 , =4 ,……
按照以上规律,写出第10个式子:_____________.
=11
解析　∵第1个式子为 =2 ,
第2个式子为 =3 ,
第3个式子为 =4 ,
……
∴第n个式子为 =(n+1) ,
∴第10个式子为 =11 .
13.【新课标·运算能力】阅读下面的解题过程.
例:若代数式 + 的值是2,求a的取值范围.
解:原式=|a-1|+|a-3|,
当a<1时,原式=(1-a)+(3-a)=4-2a=2,解得a=1(舍去);
当1≤a≤3时,原式=(a-1)+(3-a)=2,符合条件;
当a>3时,原式=(a-1)+(a-3)=2a-4=2,解得a=3(舍去).
所以,a的取值范围是1≤a≤3.
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法,请你根据上述解
题过程,解答下列问题:
(1)当2≤a≤5时,化简: + =_______.
(2)若等式 + =4成立,则a的取值范围是_____.
(3)若 + =8,求a的值.
解析 (1)∵2≤a≤5,∴a-2≥0,a-5≤0,
∴原式=|a-2|+|a-5|=a-2-(a-5)=3.
(2)由题意可知|3-a|+|a-7|=4,
当a<3时,3-a>0,a-7<0,∴原等式可化为3-a-(a-7)=4,解得a=3(舍
去);
当3≤a≤7时,3-a≤0,a-7≤0,∴原等式可化为-(3-a)-(a-7)=4,符
合题意;
当a>7时,3-a<0,a-7>0,∴原等式可化为-(3-a)+(a-7)=4,解得a=7
(舍去).
∴a的取值范围是3≤a≤7.
(3)原等式可化为|a+1|+|a-5|=8,
当a≤-1时,a+1≤0,a-5<0,∴原等式可化为-a-1-(a-5)=8,∴a=-2,
符合题意;
当-10,a-5<0,∴原等式可化为(a+1)-(a-5)=8,此方
程无解,故-1当a≥5时,a+1>0,a-5≥0,∴原等式可化为a+1+a-5=8,∴a=6,符
合题意.
综上所述,a=-2或a=6.
微专题　含字母的二次根式的化简
(2025山东临沂兰山期中)已知ab≠0,且a根式 的结果是________.
　-a
例题
解析　∵-a2b≥0,∴a2b≤0,
∵ab≠0,∴a2b<0,
∵a2>0,∴b<0,
∵a∴ =|a| =-a .
变式1 已知m>0,n<0,化简 =_________.
　-mn
解析　∵m>0,n<0,∴mn<0,
∴ = · =|mn| =-mn .
变式2 (2025山东烟台栖霞期中)当ab<0时,化简 的结果
是________.
　-b
解析　∵ab2≥0,ab<0,
∴a>0,b<0,∴ =-b .
变式3 (2025山东淄博张店重庆路中学月考改编)已知xy>0,
化简二次根式-y 的正确结果为_________.
解析　∵- >0,xy>0,∴x<0,y<0,
∴-y = = .(共18张PPT)
专项突破4　二次根式化简求值的十种方法
　直接代入法
1.(2025山东济宁邹城期中)已知a是 的小数部分,求代数式a
2-( +1)a+2 的值.
解析　∵a是 的小数部分,∴a= -1,
∴a2-( +1)a+2
=( -1)2-( +1)( -1)+2
=3-2 +1-3+1+2
=2.
2.(2025山东烟台龙口期中)已知x=2- ,求代数式(7+ )x2+(2
+ )x+ 的值.
解析　原式=(7+ )(2- )2+(2+ )(2- )+
=(7+ )(7-4 )+(2+ )(2- )+
=49+7 -28 -12+4-3+
=38-20 .
　整体代入法
3.(2025上海杨浦月考)已知a+b=-3,ab=1,求a +b 的值.
解析　∵ab=1>0,a+b=-3<0,
∴a<0,b<0,a2+b2=(a+b)2-2ab=7,
∴a +b =a· +b·
=- -
=-
=-
=-7.
4.(2025山东烟台莱阳期中)已知x= - ,y= + ,求x2+y2-3
xy-5x+5y的值.
解析　∵x= - ,y= + ,
∴x-y=( - )-( + )=-2 ,xy=( - )·( + )=5-3=2,
∴x2+y2-3xy-5x+5y
=x2+y2-2xy-xy-5(x-y)
=(x-y)2-xy-5(x-y)
=(-2 )2-2-5×(-2 )
=12-2+10
=10+10 .
　因式分解法
5.化简: .
解析 = = .
6.化简: .
解析 = = =
= .
　配方法
7.(2025福建泉州七中模拟)已知x= +2,求代数式x2-4x-2的值.
解析　∵x= +2,
∴x2-4x-2
=x2-4x+4-4-2
=(x-2)2-6
=( +2-2)2-6
=( )2-6=5-6=-1.
　整体倒数法
8.已知a= ,求 的值.
解析　∵ 的倒数= =a+
= +
= +
= ,
∴ = = .
　拆项变形法
9.计算: .
解析 = =
= = -1.
10.计算: .
解析 =
= +
= +
= +
=( - )+( - )= - + - = - .
　设参换元法
11.计算: .
解析　设a= ,b= ,c= ,
则ab= ,a2+b2=c2,即a2+b2-c2=0,
所以 = = =
=a+b-c= + - .
　约分法
12.计算: + .
解析　原式= + =2 = = .
　平方法
13.计算: - .
解析　设y= - ,则y2=2- -2×1+2+ =2,
∴y=± ,∵y<0,∴y=- ,∴ - =- .
　辅元法
14.已知 = ,求 的值.
解析　设 =3k(k>0), =2k(k>0),则a+1=9k2,a-1=4k2,
∴ = = .(共16张PPT)
专项突破5　二次根式的六大易错点
　概念不清
1.(2025山东东营利津期中)下列式子中,一定是二次根式的是
（　　　）
A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D.
A
解析 A. 是二次根式,符合题意;
B. 的被开方数小于0,不是二次根式,不符合题意;
C.当x+2<0,即x<-2时, 不是二次根式,不符合题意;
D. 的根指数是3,不是二次根式,不符合题意.
故选A.
2.(2025山东泰安新泰期中)下列各式属于最简二次根式的是
（　　　）
A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D.
B
解析 A. = ,不是最简二次根式;
B. 是最简二次根式;
C. = ,不是最简二次根式;
D. =2 ,不是最简二次根式.故选B.
　混淆性质
3.(2025山东淄博张店期中)下列运算正确的是 （　　　）
A. =±2　　　 　B.( )2=4
C. =-4　　　 D.(- )2=-4
B
解析 A. =2,故A不符合题意;
B.( )2=4,故B符合题意;
C. =4,故C不符合题意;
D.(- )2=4,故D不符合题意.故选B.
4.已知1解析　∵1∴a-2<0,1-a<0,a+1>0,
∴ - +( )2
=|a-2|-|1-a|+a+1
=2-a-(a-1)+a+1
=2-a-a+1+a+1=4-a.
　忽视范围
5.(2025山东滨州沾化期末)实数a,b在数轴上对应的点的位置
如图所示,则化简 - - 的结果是 （　　　）

A.-2b　　　 B.-2a
C.2b-2a　　　 D.0
A
解析　由题中数轴可得,1>b>0>a>-1,所以a-b<0,
所以 - - =-a-b-(b-a)=-a-b-b+a=-2b.故选A.
6.(2025山东淄博沂源期中)把(a-1) 中根号外的因式移入
根号内,结果是 （　　　）
A. 　　　 B.- 　　　 C. 　　　 D.-
B
解析　由题意得,1-a>0,即a-1<0,
所以(a-1) =- =- .故选B.
易错警示
本题易忽视化简的前提是 有意义,即 >0.
　化简不彻底
7.化简:
(1) .
(2) .
(3) .
解析 (1) = =6 .
(2) = = .
(3) = = = .
　运算顺序问题
8.计算:(2 +4)÷( +2)× .
解析　原式=2×( +2)× × =
= =2- .
　违背运算律
9.计算:(1) ÷( + ).
(2)2 ÷ .
解析 (1)原式= = =3 -2 .
(2)原式=2 ÷
=2 ×
=2 ×
=2 ×
=3 -3 .
易错警示
易误用乘法分配律而导致计算错误.除法没有分配律.(共33张PPT)
第七章　二次根式
第2课时　二次根式的混合运算
4　二次根式的乘除
　二次根式的混合运算
1.(2024山东济宁中考)下列运算正确的是 (　　　)
A. + = 　　　 B. × =
C.2÷ =1　　　 　D. =-5
B
解析 A. 和 不是同类二次根式,不能合并,运算错误,不
合题意;
B. × = ,运算正确,符合题意;
C.2÷ = ≠1,运算错误,不合题意;
D. =5,运算错误,不合题意.
故选B.
2.(2025河北模拟)已知 ≈1.414,则计算 - + 的结果
的近似值为 (　　　)
A.7.070　　　 B.5.656　　　 C.4.242　　　 D.2.828
B
解析 - + =2 - +3 =4 ,
∵ ≈1.414,∴原式=4 ≈5.656.故选B.
3.(2024山东威海中考)计算: - × =________.
　-2
解析　原式=2 - =2 -4 =-2 .
4.(2025天津中考)计算( +1)( -1)的结果为__________.
60
解析 ( +1)( -1)=( )2-12=61-1=60.
5.不等式2 x- >0的解集是___________.
x>
解析　∵2 x- >0,∴2 x> ,
∴x> ,即x> .
6.【学科特色·教材变式P47复习题T3】计算:
(1)(2025甘肃中考) - × .
(2)【学科特色·多解法】( - )× .
(3)( -2)×( +2)- ×(2 -2).
解析 (1)原式=2 - = .
(2)【解法一】运用乘法分配律:( - )×
= - = - =3-2=1.
【解法二】按运算顺序:( - )×
=(3 -2 )× = × =1.
(3)原式=[( )2-22]-(6-2 )=2 -4.
7.(2025山东济南历下期末)已知a=1+ ,b=1- .
(1)求代数式ab的值.
(2)求代数式a2+b2的值.
解析 (1)∵a=1+ ,b=1- ,
∴ab=(1+ )(1- )=1-3=-2.
(2)∵a+b=2,
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=22-2×(-2)=8.
8.小明家正在装修,电视背景墙的长BC= m,宽AB= m,
中间要镶一个长为2 m,宽为 m的大理石图案(图中阴影
部分).除去大理石图案部分,其他部分贴壁布,求壁布的面积.
(结果化为最简二次根式)

解析　根据题意,得 × -2 × =3 ×2 -2 × =
6 -2 =4 (m2).
答:壁布的面积为4 m2.

9.(2025山东日照期中,★★☆)在算式“( +1)□( -1)”的
“□”中填上一种运算符号,使其运算结果为有理数,则
“□”中可能为 (　　　)
A.+　　　 B.÷　　　 C.+或×　　　 D.-或×
D
解析 ( +1)+( -1)=2 ,结果不是有理数,故A,C不符合题
意;
( +1)÷( -1)= =3+2 ,结果不是有理数,故B
不符合题意;
( +1)×( -1)=2-1=1,结果是有理数,( +1)-( -1)=2,结果
是有理数,故D符合题意.故选D.
10.【新考向·新定义题】(2025福建福州仓山期中,★★☆)数
学中,形如 的式子叫做二阶行列式,规定其运算法则为
=ad-bc,如 =2× -4×(- )=6 ,则计算 +
的结果为 (　　　)
A.3 　　　 B.4 　　　 C.15 　　　 D.16
C
解析 +
=2 -2 ×(-3)+15 -4 ×2
=2 +6 +15 -8 =15 .
故选C.
11.(2025山东淄博淄川期中,★★☆)如图,在大正方形纸片中
放置两个面积分别为S1,S2的小正方形,若S1=48,S2=32,重叠部
分的面积为8,则空白部分的面积为 (　　　)

A.16 -16　　　 B.8 -6
C.16 -6　　　 D.6 -8
A
解析　∵重叠部分的长和宽都是两个小正方形的边长的和减
去大正方形的边长,
∴重叠部分也是正方形,
∵三个小正方形的面积分别为48,32,8,
∴三个小正方形的边长分别为 =4 , =4 , =2 ,
∴大正方形的边长为4 +4 -2 =4 +2 ,
∴S空白=(4 +2 )2-(48+32-8)
=48+8+16 -72
=16 -16.
故选A.
12.(2025山东青岛市南二模,★★☆)计算: + =
_________.
　-6-
解析　原式=2- +(-8)=-6- .
13.【新考向·数学文化】(2025山东烟台栖霞期中,★★☆)幻
方是一种中国传统游戏,类比幻方,我们给出如图所示的方格,
要使方格中同一行、同一列和同一对角线上的三个实数相乘
的结果都相等,则(A+B)×D+C的值为____________.

12+
解析　由题意可得,
A= × ×5 ÷(5× )=2 ,
B= × ×5 ÷(10× )=1,
C= × ×5 ÷(5× )=2,
D= × ×5 ÷(10× )= ,
则(A+B)×D+C=(2 +1)× +2
=10+ +2=12+ .
14.【学科特色·多解法】(★★☆)计算:|- |+ - +
2.
解析　【解法一】利用完全平方公式:原式= +
-
= + -
= +2- + -2- -
=- .
【解法二】利用平方差公式:原式= + - + + ×
= +2 ×(-1)= -2 =- .
15.(2025山东烟台芝罘期中,★★☆)已知x= + ,y= -
.
(1)分别求x+y,xy的值.
(2)利用(1)的结果求下列代数式的值:
①x2y+xy2;② + .
解析 (1)∵x= + ,y= - ,
∴x+y= + + - = ,
xy= = - = - =1.
(2)由(1)知,x+y= ,xy=1,
①x2y+xy2
=xy(x+y)
=1×
= .
② +
=
=
=( )2-2
=11-2
=9.

16.【新课标·抽象能力】【新考向·代数推理】观察下列各式:
=12+3×1+1,
=22+3×2+1,
=32+3×3+1,
……
(1)猜想:① =___________;
② =_______,其中n为正整数.
(2)请证明(1)中②的等式.
(3)计算: + +
+…+ .
解析 (1)①2 0152+3×2 015+1.
②n2+3n+1.
(2)证明:∵[ ]2=n4+6n3+11n2+6n+1,(n2+3n
+1)2=n4+6n3+11n2+6n+1,
∴ =n2+3n+1.
(3) + + +…+

= + + +…+

= + + +…+
= + + +…+
= ×
= × = × = .
微专题　确定二次根式的整数部分与小数部分
方法指引　确定一个实数的整数部分与小数部分,应先判断
已知实数的取值范围,从而确定其整数部分,然后再确定其小
数部分.对于正实数,即实数>0时,整数部分直接取与其最接近
的两个整数中较小的正整数,小数部分=原数-整数部分.如实
数 ,因为1< <2,所以 的整数部分为1,小数部分为 -1.
1.(2025广东广州外国语期中)若6+ 的整数部分是m,小数部
分是n,则|n-m|为 (　　　)
A. -10　　　 B.10- 　　　 C. -2　　　 D.8
B
解析　∵ < < ,∴2< <3,
∴8<6+ <9,
∴6+ 的整数部分是8,小数部分是6+ -8= -2,
∴m=8,n= -2,
∴|n-m|=| -2-8|=| -10|=10- .故选B.
2.(2025湖南长沙雨花期末)若9+ 与9- 的小数部分分别
为a和b,则(a+3)(b-4)的值为________.
　-13
解析　∵3< <4,
∴12<9+ <13,-4<- <-3,
∴a=9+ -12= -3,5<9- <6,
∴b=9- -5=4- ,
∴(a+3)(b-4)=( -3+3)×(4- -4)=-13.(共25张PPT)
第七章　二次根式
第1课时　二次根式的乘除法
4　二次根式的乘除
　二次根式的乘法运算
1.(2025浙江杭州开学测试)如果 · = ,那么
（　　　）
A.x≥0　　　 B.x≥6
C.0≤x≤6　　　 D.x为一切实数
B
解析　∵ ∴x≥6.故选B.
2.【学科特色·多解法】(2025山东滨州滨城开学测试)计算
× 的结果是 （　　　）
A.9　　　 B.3　　　 C.3 　　　 D.
B
解析　【解法一】先化简再计算: × =3 × =3.
【解法二】直接利用法则计算: × = = =3.
故选B.
3.【学科特色·易错题】当a<0时,化简 · 的结果是(　　)
A.-4a　　　 B.4a　　　 C.-4a2　　　 D.4a2
A
解析　∵a<0,∴ · = =-4a.故选A.
易错警示
解此题时要注意a的取值范围.
4.【新考向·结论开放题】(2025山东淄博淄川期中)已知a,b都
是二次根式,且满足ab= .请写出一对满足条件的a,b的值.
你写的是___________________.
,2 (答案不唯一)
解析　答案不唯一,如当a= ,b= =2 时,ab= × = .
5.计算:
(1) × .　　　 (2) × .
(3) × × .　　　 (4) ×3 .
解析 (1) × = = =12.
(2) × = = =6 000.
(3) × × = = =10.
(4) ×3 = ×3× = × = .
　二次根式的除法运算
6.(2025湖北武汉汉阳期中) = 成立的条件是　
（　　　）
A.x≥-1　　　 B.x≤3
C.-1≤x≤3　　　 D.-1 D
解析　∵ = 成立,∴
解得-17.【学科特色·多解法】(2025江苏宿迁泗阳期末)计算 ÷
的结果正确的是 （　　　）
A.4　　　 B.3　　　 C.2　　　 D.
C
解析　【解法一】直接利用法则计算: ÷ = = =
=2.
【解法二】先化简再计算: ÷ = = =2.
故选C.
8.(2025山东济宁东方中学月考)化简 的结果是 (　　　)
A.- 　　　 B.- 　　　 C.- 　　　 D.-
C
解析　原式= =- =- .故选C.
9.【学科特色·教材变式P44T3】(2025天津宝坻三中月考)长
方形的面积为18,一边长为2 ,则其邻边长为_________.
解析　其邻边长为 = = .
10.计算:
(1) ÷ .　　　 (2) ÷ .
(3)-4 ÷ .
解析 (1) ÷ = =3.
(2) ÷ = = .
(3)-4 ÷ =
=
=-7 .

11.(2025山东烟台莱州期中,★★☆)已知 =a, =b,则
用含a,b的式子表示为 （　　　）
A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D.
D
解析　由题意,得 = = = .故选D.
12.(2025山东济宁经开区质检,★★☆)如图,△ABC的顶点A,B,
C在由边长为1的小正方形组成的网格的格点上,BD⊥AC于点
D,则BD的长为（　　　）

A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D.
C
解析　由勾股定理,得AC= = .
∵ BC×2= AC·BD,即 ×2×2= × BD,
∴BD= .故选C.
13.(2025山东青岛莱西期中,★★☆)计算: =__________.
2
解析 = = =2 .
14.(★★☆)如图,为打造莱西人“家门口的好去处”“城市
新空间”,园林部门计划将两块正方形小绿地整合成一个
“口袋公园”.已知正方形ABCD和正方形CEFG的面积分别
为45 m2,20 m2,则矩形口袋公园ABEH的面积为__________m2.

75
解析　∵正方形ABCD和正方形CEFG的面积分别为45 m2,20
m2,∴正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为 =3 m,
=2 m,
∴矩形口袋公园ABEH的长为3 +2 =5 (m),宽为3 m,
∴矩形口袋公园ABEH的面积为5 ×3 =75(m2).
15.(2025广东东莞期中,★★☆)计算:3 ÷2 × .
解析　原式= × = .
16.(2025山东泰安东平期中,★★☆)已知 = ,且x为
偶数,求 · 的值.
解析　∵ = ,∴
由①得x≤9,由②得x>6,
∴不等式组的解集为6∵x为偶数,∴x=8,
∴ · = ·
= · = · =
= = =2.

17.【新课标·运算能力】(2025山东烟台莱阳期中)有一块长
方形木板ABCD,采用如图所示的方式,将木板的长AD增加2
cm,宽AB增加7 cm,得到一个面积为192 cm2的正方形
AEFG.
(1)求长方形木板ABCD的面积.
(2)若从长方形木板ABCD中裁出一块面积为12 cm2,宽为
cm的小长方形木板,求该小长方形木板的长.
(3)若从长方形木板ABCD中裁出长为2 cm、宽为1.5 cm的长
方形木条,则最多能裁出多少根这样的木条
解析 (1)由题意得,正方形AEFG的边长为 =8 cm,
∴AD=8 -2 =6 (cm),AB=8 -7 = (cm),
∴长方形木板ABCD的面积为6 × =18(cm2).
(2)该小长方形木板的长为12÷ =12× =4 (cm).
(3)∵ =3 ,5<3 <6,1.5< <2,
∴从长方形木板ABCD中最多能裁出5根长为2 cm、宽为1.5
cm的长方形木条.

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