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(共25张PPT)
专项突破1　二次根式的6个误区
　概念不清
1.(2025义乌月考)下列各式中,是最简二次根式的是 ( )
A. 　 B. 　 C. 　 D.
C
解析
A 被开方数含能开得尽方的因数4,不是最简二次根式
B 被开方数含分母,不是最简二次根式
C 是最简二次根式
D 被开方数含能开得尽方的因式x2,不是最简二次根式
易错警示　易因对最简二次根式的概念理解不清而出错.最
简二次根式需满足的条件:(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
2.给出下列式子:① ;② ;③ ;④ ;⑤ ;⑥
.其中一定是二次根式的是________(填序号).
　①③⑤
解析　根据二次根式的定义逐项分析判断:
① 是二次根式
② 根指数是3,不是二次根式
③ 是二次根式
④ 当x<0时,不是二次根式
⑤ a2+5>0,是二次根式
⑥ -2a2-1<0,不是二次根式
　混淆性质
3.下列化简正确的是 ( )
A. =3 　　　 B. =-16
C. =7　　　 D. =±5
C
解析 = = ,故A错误;
=|-16|=16,故B错误;
=|7|=7,故C正确;
= =|5|=5,故D错误.
4.下列各式成立的是 ( )
A. = ·
B. = ·
C. =4+3=7
D. = ×
D
解析
A a<-4时, 与 无意义,等式不成立
B m<0时, 与 无意义,等式不成立
C = = =5,等式不成立
5.(2025宁波镇海蛟川书院月考)计算:
+ .
解析 +
= + = + =2.
　忽视范围
6.(2025山东济南期中)把(x-2) 中根号外的因式移到根号
内,为 ( )
A. 　　　 B.
C.- 　　　 D.-
C
解析　由二次根式的定义可知2-x>0,∴x-2<0,
∴(x-2) =- =- .故选C.
易错警示　将因式移到根号内时,易忘记判断因式的正负性
而出错.由式子(x-2) 可知,x-2<0,所以(x-2) <0,故将x-2从二次根号外移到二次根号内时,二次根号外应该有一个负号.
7.已知a,b,c为三角形的三边长,则 + +
=_____________.
a+b+c
解析　∵a,b,c为三角形的三边长,
∴a+b>c,b-ca,
∴ + + =|a+b-c|+|b-c-a|+|b+c-a|
=a+b-c+a+c-b+b+c-a=a+b+c.
8.已知ab≠0且a　-a
解析　∵ 有意义,ab≠0,
∴-a3b>0,∴a3b<0,-ab>0,
∵a∴ = · =|a| =-a .
9.已知xy<0,化简:x =_________.
解析　∵x 有意义,∴-y≥0,且x2>0,∴y≤0,
∵xy<0,∴y<0,x>0.
∴x =x· =x· =x· = .
10.(2025杭州观成教育集团期中)学习了二次根式的乘除后,
老师给同学们出了这样一道题,已知a= ,求 的值.
小观想了想,很快就算出来了,下面是他的解题过程:
解: = = .
∵a= ,∴ = .∴原式= .
请你判断小观的解法是否正确,如果不正确,请你给出正确的
解答过程.
解析　小观的解法不正确.
正确的解答过程如下:
∵a= <1,∴a-1<0,
∴原式= = =- .
∵a= ,∴原式=- .
11.(2025安徽合肥月考)已知实数a,b,c在数轴上的位置如图所
示,化简: -|a+c|+ - .
解析　由题意得c∴a+c<0,c-b<0,b-a>0,
∴原式=-a+a+c+b-c-(b-a)
=-a+a+c+b-c-b+a=a.
　化简不彻底
12.化简: =__________; =__________.
4
6
解析 = =6 .
= =4 .
　运算顺序错误或去括号时符号不正确
13.计算:(2 +4)÷( +2)× .
解析　原式=2( +2)× × =
= =2- .
易错警示　易因先计算后面的乘法,导致计算错误.
14.下面是小明进行二次根式运算的过程,请认真阅读并完成
相应任务:
解: - ×
= - × 第一步
= -3 ×2 +3 ×3 第二步
= -12 +6 第三步
=- . 第四步
任务一:以上步骤中,第一步化简的依据用文字语言叙述为____
__ ____.
任务二:小明的运算过程从第_______步开始出现错误,错误
的原因是______ _.
任务三:请写出本题正确的运算过程.
解析　任务一:两个非负数商的算术平方根等于这两个数算
术平方根的商.
任务二:小明的运算过程从第二步开始出现错误,错误的原因
是括号前是“-”,去括号时第二项没有变号.
任务三:原式= - ×
= -3 ×2 -3 ×3
= -12 -6
=- .
　用错运算律
15.小明在计算 ÷ 时,想起分配律,于是他运用分
配律进行计算,解答过程如下:
解:原式= ÷ - ÷ =3 -4 =- .
(1)他的解法正确吗 若不正确,请说明理由.
(2)请写出正确的解答过程.
解析 (1)他的解法不正确.理由:除法没有分配律.
(2)原式= ÷ = ÷ = × =12 =12 .
16.下面是嘉琪计算 ×( +2)+( -1)2的解答过程:
解: ×( +2)+( -1)2
=( )2+2 +( )2-1 ①
=5+2 +5-1 ②
=9+2 . ③
嘉琪的解答过程是否有错 如果有错误,请指出错误的步骤序
号,并写出正确的解答过程.
解析　有错误,第①步错误.正确的过程如下:
×( +2)+( -1)2=( )2+2 +( )2-2 +1
=5+2 +5-2 +1
=11.(共25张PPT)
第1章　二次根式
1.3　二次根式的运算
第3课时　二次根式的实际应用
　坡比(坡度)问题
1.(2025温州龙港期中)如图,小龙与小温站在坡比为1∶2的斜
坡上,若两人所站位置的垂直高度差AC为25米,则两人的坡面
距离AB为( )
A.25 米　　　 B.25 米
B
C.50米　　　 D.50 米
解析　由题意得 = .∵AC=25米,∴BC=50米,
∴AB= = =25 (米).故选B.
2.(2025温州实验中学期中)如图所示的是一架儿童滑梯的截
面示意图,过道CD与地面AB平行,扶梯AD的坡比为1∶1,滑梯
BC的坡比为1∶2,若扶梯AD长为4米,则滑梯CB的长为 ( )
B
A.4 米　　　 B.2 米
C.4 米　　　 D.4 米
解析　如图,
∵CD∥AB,DE⊥AB,CF⊥AB,∴DE=CF.
∵扶梯AD的坡比为1∶1,∴ =1,
∴AE=DE= AD=2 米,∴CF=2 米.
∵滑梯BC的坡比为1∶2,∴ = ,∴BF=4 米,
∴BC= = =2 (米).故选B.
　几何图形问题
3.【学科特色·教材变式】(2025杭州上城月考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D.已知AC∶BC=5∶2,AB的长为
cm,求△ABC的面积及CD的长.

解析　∵AC∶BC=5∶2,
∴设AC=5x cm,则BC=2x cm,
∵∠ACB=90°,∴AC2+BC2=AB2,又AB= cm,
∴(5x)2+(2x)2=( )2,解得x2= ,
∴S△ABC= = =5x2=5× = (cm2),
∵CD⊥AB,∴S△ABC= ,∴ = ,解得CD= cm,
综上,△ABC的面积是 cm2,CD的长为 cm.
4.(2025绍兴柯桥联盟期中)某居民小区有一块长方形绿地
ABCD,长方形绿地的长BC为 m,宽AB为 m,现要在
长方形绿地中间修建一个长方形花坛(即图中阴影部分),长方
形花坛的长为( +1)m,宽为( -1)m.
(1)长方形ABCD的周长是多少 (结果化为最简二次根式)
(2)除去修建花坛的地方,其他地方全修建成通道,通道上要铺
上造价为50元/m2的地砖,若铺完整个
通道,则购买地砖需要花费多少元
解析 (1)长方形ABCD的周长=2×( + )=2(9 +8 )
=34 (m),
答:长方形ABCD的周长是34 m.
(2)购买地砖的花费=50×[9 ×8 -( +1)×( -1)]=50×
(144-12)=50×132=6 600(元).
答:购买地砖需要花费6 600元.
　距离问题
5.一艘快艇的航线如图所示,从O港出发,1小时后回到O港,若
行驶中快艇的速度保持不变,AB∥x轴,则快艇驶完AB这段路
程所用的时间约为多少分钟 ( ≈1.4)
解析　如图,

∵∠AOC=45°,∠BOD=45°,∴∠AOB=90°,
∵AB∥x轴,
∴∠BAO=∠AOC=45°,∠ABO=∠BOD=45°,
∴△AOB为等腰直角三角形,且OA=OB,
∴AB= = OA,
设行驶OA段所用的时间为a分钟,则行驶OB段所用的时间为a
分钟,行驶AB段所用的时间为 a分钟,
∵从O港出发,1小时后回到O港,∴a+a+ a=60,
解得a=30(2- ),∴ a=60( -1)≈24.
答:快艇驶完AB这段路程所用时间约为24分钟.

6.(★★☆)如图所示的是引拉线固定电线杆的示意图,已知CD
⊥AB,CD=5 m,∠CAB=∠CBA=60°,则拉线AC的长是 ( )

A.10 m　　　 B. m　　　 C. m　　 D.5 m
B
解析　∵∠CAB=∠CBA=60°,
∴∠ACB=180°-∠CBA-∠CAB=60°,
∴AC=BC=AB,△ABC是等边三角形.
∵CD⊥AB,∴CD是AB边上的中线,∴AD= AB.
设AC=x m,则AD= x m,
∴ +52=x2,解得x1= ,x2=- (舍去),
∴拉线AC的长是 m.故选B.
7.(2025金华月考,★★☆)图①是一张等腰直角三角形纸片,
AC=BC=24 cm,现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为
6 cm的长方形纸条,用这些纸条为一幅正方形美术作品
EFGH镶边(纸条不重叠,纸条可以剪拼,且纸条的宽度不变),如
图③,则正方形美术作品的面积为( )
C
A. cm2　　　 B.12 cm2　　 C.27 cm2　　 D. cm2
解析　如图①,∵∠ACB=90°,AC=BC=24 cm,
∴∠A=∠B=45°.∵要求按照图①的方法裁剪宽度为6 cm
的长方形纸条,

∴能裁剪的纸条的条数为 -1=3,
∵PQ=CU=6 cm,PQ⊥BC,
∴△BPQ是等腰直角三角形,且BP=PQ=6 cm,
∴CP=BC-BP=24 -6 =18 (cm).
同理可得,另外两条纸条的长分别为18 -6 =12 (cm),
12 - 6 =6 (cm),
∴长方形纸条的总长度为18 +12 +6 =36 (cm),如图
②,用这些纸条为一幅正方形美术作品EFGH镶边(纸条不重
叠,纸条可以剪拼,且纸条的宽度不变),

∴EL=6 cm,FL=36 ÷4=9 (cm),
∴EF=FL-EL=3 cm,
∴正方形美术作品的面积为(3 )2=27(cm2).
故选C.
8.(2025广东深圳宝安模拟,★★☆)如图,在大正方形纸片中放
置两个小正方形,已知两个小正方形的面积分别为S1=18,S2=
12,重叠部分是一个正方形,其面积为2,则空白部分的面积为
____________.

8 -8
解析　∵三个小正方形的面积分别为18,12,2,
∴三个小正方形的边长分别为 =3 , =2 , ,由题图
知大正方形的边长为3 +2 - =2 +2 ,
∴S空白= -(18+12-2)
=8+12+8 -(18+12-2)=8 -8.
9.(2025台州玉环期中,★★☆)如图,在一次课外活动中,同学
们要测量某公园人工湖两侧A,B两个凉亭之间的距离,已知
CD⊥BD,现测得AC=20 m,BC=60 m,CD=30 m,请计算A,B
两个凉亭之间的距离.
解析　∵CD⊥BD,∴∠D=90°.
在Rt△CDA中,AD= =10 (m),
在Rt△BCD中,BD= =30 (m),
∴AB=BD-AD=20 m.
答:A,B两个凉亭之间的距离为20 m.

10.【新课标·运算能力】在《九章算术》中有求三角形面积
公式“底乘高的一半”,但是在实际丈量土地面积时,量出高
并非易事,所以古人想到了利用三角形的三条边的长来求面
积.我国南宋著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”(利
用三角形三边长求三角形面积的方法),简称为秦九韶公式.在
海伦的著作《测地术》中也记录了利用三角形三边长求三角
形面积的公式,故我国称这个公式为海伦-秦九韶公式.它的表
述如下:若三角形三边长分别为a,b,c,则三角形的面积S=
(其中p为半周长,即周长的一半).
(1)求三边长分别为3,6,7的三角形的面积.
(2)如图,在四边形ABCD中,AB=3,BC=4,CD=7,AD=6,∠B=90°,
求四边形ABCD的面积.
解析 (1)∵ ×(3+6+7)=8,∴三边长分别为3,6,7的三角形的
面积为 =4 .
(2)如图,连结AC.∵AB=3,BC=4,∠B=90°,
∴AC=5,△ABC的面积= ×3×4=6,
∴ (AC+AD+CD)= ×(5+6+7)=9,
∴△ACD的面积= =6 ,
∴四边形ABCD的面积为6+6 .(共27张PPT)
第1章　二次根式
1.3　二次根式的运算
第2课时　二次根式的加减及混合运算
　二次根式的加减
1.(2025杭州拱墅朝晖中学期中)下列二次根式中,不能与 合
并的是 ( )
A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D.
C
解析 A. = ,能与 合并;
B. =2 ,能与 合并;
C. =2 ,不能与 合并;
D. =3 ,能与 合并.故选C.
2.已知m= - ,则实数m的取值范围是 ( )
A.2 B
解析 m= - =3 - =2 = ,
∵ < < ,∴3< <4,∴3方法归纳　二次根式相加减,先把各个二次根式化成最简二
次根式,再把被开方数相同的二次根式进行合并,合并方法为
系数相加减,根式不变.
3.(2025宁波外国语学校期末)下列计算正确的是( )
A. + = 　　　 B. - =1
C.3 - = 　　　 D.3+ =3
C
解析 3 - =3 -2 = ,故C选项正确.
故选C.
4.(2025山东青岛模拟)计算 - 的结果是_________.
解析 - =2 - = .
5.【学科特色·教材变式】计算:
(1)- +6 - .
(2)21 -15 + .
解析 (1)- +6 -
=-2 +6× -5
=-2 +2 -5=-5.
(2)21 -15 +
=21× -15× +3
=7 -5 +3
=10 -5 .
　二次根式的混合运算
6.计算 ÷(- )的结果为( )
A.5　　　 B.-5　　　 C.7　　　 D.-7
A
解析 ÷(- )=( -6 )÷(- )
=(-5 )÷(- )=5.
7.(2025重庆巴蜀中学二模)已知m=(2 -2 )× ,则实数m的
范围为 ( )
A.1C.3 B
解析 m=(2 -2 )× =2 × -2 × =4 -4,
∵4 = ,36<48<49,
∴6< <7,即6<4 <7,
∴2<4 -4<3,∴28.若方程ax= -2的解是有理数,则a的值可以是 ( )
A. 　　　 B. +1 　　　 C. +2　　　 D.2-
D
解析 A.当a= 时,原方程为 x= -2,解得x=1- ,解不是
有理数,所以A不符合题意;
B.当a= +1时,原方程为( +1)x= -2,解得x=4-3 ,解不是
有理数,所以B不符合题意;
C.当a= +2时,原方程为( +2)x= -2,解得x=2 -3,解不是
有理数,所以C不符合题意;
D.当a=2- 时,原方程为(2- )x= -2,解得x=-1,解是有理数,
所以D符合题意.故选D.
9.计算:
(1) - × ÷ .
(2) × - + .
(3)(2025杭州保俶塔教育集团期中)( -1)2+(2+ )(2- ).
解析 (1)原式= - ÷ = - = -6.
(2)原式=3 -2 +2= +2.
(3)原式=3-2 +1+4-2=6-2 .
10.(2025台州玉环期中)已知x= - ,y= + ,求代数式x2y+
xy2的值.
解析　∵x= - ,y= + ,
∴xy=1,x+y=2 ,
∴x2y+xy2=xy(x+y)=1×2 =2 .

11.(2025金华义乌稠州中学月考,★★☆)计算( +3)2 026×
( -3)2 025的结果是 ( )
A. -3　 B. +3　 C.-3　 D.3
B
解析　原式=[( +3)×( -3)]2 025×( +3)=(10-9)2 025×( +
3)=1×( +3)= +3.故选B.
12.(2025安徽淮北五校联考期中,★★☆)若m为实数,在“(
+2)□m”的“□”中填一种运算符号(在“+”“-”“×”
“÷”中选择)后,其运算的结果为有理数,则m的值不可能是
( )
A. +2　　　 B. -2　　　 C.2 　　　 D.2-
C
解析　若“□”中填的是“+”,要使结果为有理数,则m可以
为2- ,故D不符合题意;
若“□”中填的是“-”,要使结果为有理数,则m可以为 +
2, -2,故A,B不符合题意;
若“□”中填的是“×”,要使结果为有理数,则m可以为 -
2,2- ,故B,D不符合题意;
若“□”中填的是“÷”,要使结果为有理数,则m可以为 +
2,故A不符合题意.故选C.
13.【学科特色·整体思想】(2025台州玉环期末,★★☆)已知a
+b=4,ab=2,则 + 的值为 ( )
A.2 　　　 B.2　　　 C. 　　　 D.1
A
解析　∵a+b=4,ab=2,∴ + = + = =
=2 .故选A.
14.(2025河南新乡期中,★★☆)规定一种新运算:a☉b=a2-
b,例如:3☉2=32- ×2=9-2 ,则(2 -1)☉ 的计算结果
是_____________.
21-6
解析　原式=(2 -1)2- ×
=20-4 +1- =20-4 +1-2 =21-6 .
15.(2025宁波期末,★★☆)若m= ,n= ,则m8+n8=______.
47
解析　由条件可知m+n=1,mn=-1,
∴m2+n2=(m+n)2-2mn=3,
∴m4+n4=(m2+n2)2-2(mn)2=9-2=7,
∴m8+n8=(m4+n4)2-2(mn)4=49-2=47.
16.(2025山东烟台期中,★★☆)已知A=2 ,B= ,C=
,其中A,B都是最简二次根式,且A+B=C,则a=______,
x=_________.
8
2
解析　∵A,B都是最简二次根式,A+B=C,
∴a+3=3a-1,解得a=2,
∴A=2 ,B= ,∴A+B=3 .
∵A+B=C,∴ =3 ,
∴5(x+1)=45,∴x=8.
17.(2025杭州期中,★★☆)定义:若两个二次根式a,b满足a·b
=c,且c是有理数,则称a与b是关于c的共轭二次根式.
(1)若3 与 是关于c的共轭二次根式,则c=_______.
(2)若a与 - 是关于4的共轭二次根式,求a的值.
(3)若3+ 与6+ m是关于12的共轭二次根式,求m的值.
解析 (1)∵3 与 是关于c的共轭二次根式,
∴c=3 × =6.故答案为6.
(2)∵a与 - 是关于4的共轭二次根式,
∴a( - )=4,
∴a= = =2 +2 .
(3)∵3+ 与6+ m是关于12的共轭二次根式,
∴(3+ )(6+ m)=12,∴18+3 m+6 +3m=12,
∴3 m+3m=-6 -6,
∴(3 +3)m=-2(3 +3),∴m=-2.

18.【新课标·运算能力】(2025宁波宁海浙派联盟期中)在数
学课外学习活动中,小明和他的同学遇到一道题:
已知a= ,求2a2-8a+1的值.
他是这样解答的:
∵a= = =2- ,
∴a-2=- ,∴(a-2)2=3,即a2-4a+4=3,∴a2-4a=-1.
∴2a2-8a+1=2(a2-4a)+1=2×(-1)+1=-1.
请你根据小明的解题过程,解决下列问题:
(1)计算: =_______.
(2)计算: + + +…+ =______.
(3)若a= ,求3a2-12a-2的值.
解析 (1) = = -1.
故答案为 -1.
(2)原式= + +…+

= -1+ - + - +…+ -
= -1=45-1=44.
故答案为44.
(3)∵a= = = +2,
∴a-2= ,∴(a-2)2=5,即a2-4a+4=5,
∴a2-4a=1,
∴3a2-12a-2=3(a2-4a)-2=3×1-2=1.(共28张PPT)
第1章　二次根式
1.2　二次根式的性质
第2课时　积与商的算术平方根
　积的算术平方根
1.下列各式化简正确的是 ( )
A. =2 　　　 B. =4
C. =3 　　　 D. =12
C
解析 = = × =2 ,故A错误;
= = × =4 ,故B错误;
= = × =3 ,故C正确;
= = × =6 ,故D错误.
故选C.
方法指导　分离平方因数法,就是将被开方数进行因数分解,
将其表示为平方数与其他因数的积的形式,这样可以方便地
利用积的算术平方根的性质化简二次根式.
2.若 = · 成立,则x的取值范围是 ( )
A.x≥2　　 　 B.x≤3
C.2≤x≤3　　　 D.2 C
解析　根据题意得 解得2≤x≤3.故选C.
3.以下运算:① = × ;
② =-2 ;
③ = × =4×3=12;
④ = × =4 .
其中正确的有_______.(写序号)
　①④
解析 =2 ,故②错误;
= × =4×3=12,故③错误;
①④正确.
4.化简:
(1) =___________;
(2) =__________.
5
192
解析 (1) = × =12×16=192.
(2) = × =5 .
　商的算术平方根
5.(2025杭州拱墅启正中学月考)已知 = ,则a的取值
范围是 ( )
A.a≤0　　　 B.a<0 C.00
C
解析 由 = ,得a>0,且1-a≥0,解得06.【学科特色·教材变式】化简:
(1) . (2) . (3)3 . (4) .
解析 (1) = = .
(2) = = = .
(3)3 =3 =3× = .
(4) = = = = .
关键提醒　化简二次根式要注意:(1)被开方数若为带分数,要
先化为假分数;(2)被开方数若为小数,要先化为分数.
　最简二次根式
7.(2025舟山定海期中)下列式子中属于最简二次根式的是
( )
A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D.
B
解析
A 被开方数含有能开得尽方的因数9,不是最简二次根式
B 是最简二次根式
C 被开方数含有分母,不是最简二次根式
D 被开方数是小数,不是最简二次根式
方法归纳　最简二次根式满足下列条件:①被开方数不含分
母;②被开方数不含能开得尽方的因数或因式.若同时满足以
上两个条件就是最简二次根式,否则就不是.
8.写出一个实数x,使 是最简二次根式,则x可以是
________________.
6(答案不唯一)
解析　当x=6时, = = , 是最简二次根式.(答案
不唯一)
9.在下列各式中,哪些是最简二次根式 把不是最简二次根式
的化简成最简二次根式.
(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) .
解析 (2)(4)是最简二次根式,(1)(3)(5)不是最简二次根式.
=3 .
= = .
= = .

10.(2025杭州观成实验学校开学考试,★★☆)下列各式中属
于最简二次根式的是 ( )
A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D.
A
解析
A 符合最简二次根式的条件,是最简二次根式
B 被开方数里含有能开得尽方的因式x2,不是最简二次根式
C 被开方数里含有能开得尽方的因数4,不是最简二次根式
D 被开方数是小数,不是最简二次根式
11.(2025杭州西湖公益中学月考,★★☆)化简二次根式
的结果是 ( )
A.x 　　　 B.-x 　　　 C.x 　　　 D.-x
D
解析　由-x3≥0知x≤0,则原式=|x| =-x .故选D.
12.(2025安徽合肥月考,★★☆)在解决问题“已知 =a, =
b,用含a,b的代数式表示 ”时,甲的结果是 ;乙的结果是
;丙的结果是 ,则下列说法正确的是 ( )
A.甲、乙、丙都对　　　 B.只有甲、乙对
C.只有甲、丙对　　　 D.只有甲对
A
解析　∵ =a, =b,
∴ = = = = ,故甲同学的结果正确;
= =6 =6 = = ,故乙同学的结果正确;
= = = = × = × = ,故丙同学的结
果正确.故选A.
13.【跨科学·匀变速运动】(2025河南周口期中,★★☆)射击
时,子弹射出枪口时的速度可用公式v= 进行计算,其中a为
子弹的加速度,l为枪筒的长.如果a=5×105 m/s2,l=0.81 m,那么
子弹射出枪口时的速度(用科学记数法表示)为_________m/s.
9×102
解析 v= = = =9×102(m/s).
14.【新考向·数学文化】(2025杭州拱墅启正中学月考,★★☆)
我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中,
给出著名的三斜求积术,即一个三角形的三边长分别为a,b,c,
则该三角形的面积S= ,已知△ABC的
三边长分别为2,5, ,则△ABC的面积是_________.
解析　∵△ABC的三边长分别为2,5, ,∴a=2,b=5,c= ,
又∵三角形的面积S= ,
∴△ABC的面积是
= =
= = = .
15.(2025湖北孝感期中,★★☆)如图,正方形网格中的每个小
正方形的边长都是1.在图中以格点为顶点画一个三角形,使三
角形的三边长分别为 ,2 , .
解析　如图,△ABC即为所求(所画三角形的形状、大小是唯
一的,位置可以不一样).

16.(2025杭州临平月考,★★☆)高空抛物严重影响人们的安全,
是我们必须杜绝的行为.据研究,高空抛物下落的时间t(s)和高
度h(m)近似满足公式t= (不考虑风速的影响,g取10 m/s2).
(1)求某物体从60 m高处掉落到地上所用的时间(结果保留根号).
(2)已知高空抛物动能E(J)=10×物体质量m(kg)×高度h(m).某
质量为0.2 kg的玩具在高空被抛出后经过3 s落在地上,假设在
玩具即将落地时有行人经过,那么这个玩具产生的动能会伤
害到行人吗 请说明理由(注:无防护人体受到65 J的动能即会
受到伤害).
解析 (1)∵h=60 m,t= ,∴t= =2 (s).
答:某物体从60 m高处掉落到地上所用的时间为2 s.
(2)这个玩具产生的动能会伤害到行人.理由如下:
∵t=3 s,t= ,∴3= ,∴h=45 m.
∵E(J)=10×物体质量m(kg)×高度h(m),物体质量m=0.2 kg,
∴E=10×0.2×45=90(J).
∵90 J>65 J,∴这个玩具产生的动能会伤害到行人.

17.【新课标·抽象能力】【学科特色·教材变式】(2025宁波
鄞州期末)【阅读材料】
先来看一个有趣的现象: = = =2 ,这个根号里
的2经过适当的演变,竟然可以“跑”到根号的外面,我们不妨
把这种现象称为“穿墙”.具有这现象的数还有许多,例如:
=3 , =4 等.
【猜想】
(1) =_______,并证明你的猜想.
【推理证明】
(2)请你用含有正整数n(n为“穿墙”数,n≥2)的等式表示上
述规律,并给出证明.
【创新应用】
(3)按此规律,若 =a (a,b为正整数),则a+b的值为_____.
解析 (1)5 .
证明: = = =5 .
(2) =n .
证明: = = =n .
(3)由条件可知a=8,b=a2-1,∴b=82-1=63,∴a+b=8+63=71.
故答案为71.(共26张PPT)
第1章　二次根式
1.2　二次根式的性质
第1课时　二次根式的性质( )2=a(a≥0)与 =|a|
　二次根式的性质( )2=a(a≥0)
1.【学科特色·多解法】计算( )2的结果是 ( )
A.25　　　 B.±5　　　 C. 　　　 D.5
A
解析　本题考查了( )2=a(a≥0)的运用.
【解法一】根据运算顺序计算:( )2=52=25.
【解法二】直接利用二次根式的性质计算:( )2=25.故选A.
2.下列计算正确的是 ( )
A.-(+ )2=3　　　 B.(- )2=-3
C.( )2=9　　　　 D.-( )2=11
C
解析　-(+ )2=-3,所以A错误;(- )2=( )2=3,所以B错误;
( )2=9,所以C正确;-( )2=-11,所以D错误.故选C.
3.计算:
(1)( )2=_________;
(2) =_________;
(3)(± )2=_________.
π
0
解析 (1)( )2=0.
(2) = = .
(3)(± )2=( )2=π.
4.计算:
(1)| -2|-( )2; (2)(- )2+( )2.
解析 (1)原式=2- -2=- .
(2)原式=5+3=8.
　二次根式的性质 =|a|
5.(2025丽水龙泉期中)下列计算正确的是 ( )
A. =-3　　　 B. =
C. =3　　　 D. =-
C
解析 =|-3|=3.故选C.
6.(2025金华义乌期中)若 =3-b,则 ( )
A.b>3　　　 B.b<3　　　 C.b≥3　　　 D.b≤3
D
解析　∵ =3-b,∴3-b≥0,∴b≤3.故选D.
7.(2025绍兴诸暨期中)若a<1,则 -1= ( )
A.a　　　 B.-a　　　 C.a-2　　　 D.2-a
B
解析　∵a<1,∴ -1=|a-1|-1=1-a-1=-a.故选B.
8.(2025湖北孝感期中)用一个x的值说明“ =x”是错误的,
则x的值可以是________________.
　-2(答案不唯一)
解析　∵ =|x|,要说明“ =x”是错误的,只要x是负数即
可,∴x的值可以是-2(答案不唯一).
9.计算:
(1) ;　　　 (2)- ;
(3) ;　　　 (4) .
解析 (1) =|-6|=6.
(2)- =-|5|=-5.
(3) = =1 .
(4)∵3< ,∴3- <0,
∴ =|3- |= -3.
　两种性质的综合应用
10.(2025江苏常州期末)如图,已知数轴上A,B两点表示的数分
别是a,b,化简 +( )2的结果是___________.
b-a
解析　由数轴得a<0,b>0,∴ +( )2=|a|+b=-a+b=b-a.
11.【学科特色·教材变式】计算:
(1)( )2- + ;
(2)[ + ]× -5 ;
(3) + .
解析 (1)( )2- + =7-5+10=12.
(2)[ + ]× -5 =(5+ )× -5
=5 +5-5 =5.
(3) +
= - + - = - = .
归纳总结　(1)任何一个数的平方的算术平方根都等于这个
数的绝对值,即 =|a|.
(2)任何一个非负数的算术平方根的平方等于它本身,即( )2
=a(a≥0).

12.(2025台州玉环期中,★★☆)已知 是正整数,则自然数n
的最小值为 ( )
A.12　　　 B.4　　　 C.3　　　 D.2
C
解析　∵ 是正整数,∴12n是完全平方数,∵12×3=36=62,
∴自然数n的最小值为3.故选C.
13.(2025天津河东月考,★★☆)已知y= -x+5,当x分别
取1,2,3,…,2 026时,所对应的y值的总和是 ( )
A.2 038　　　 B.2 039　　　 C.2 040　　　 D.2 041
A
解析 y= -x+5=|x-4|-x+5,
当x=1时,y=|1-4|-1+5=7,
当x=2时,y=|2-4|-2+5=5,
当x=3时,y=|3-4|-3+5=3,
当x=4时,y=|4-4|-4+5=1,
当x>4时,y=x-4-x+5=1,
7+5+3+1+1×(2 026-4)=16+2 022=2 038.
故选A.
14.(★★☆)已知实数m满足 + = ,则m的值为
_________.
8
解析　由m-4≥0,得m≥4,则原等式可化简为m-2+ =m,整
理,得 =2,解得m=8.
15.(★★☆)已知 =5,( )2=5,则a+b的值为____________.
0或10
解析　∵ =5,( )2=5,
∴a=±5,b=5,∴a+b的值为0或10.
16.(2025金华永康三中月考,★★☆)实数a,b在数轴上的位置
如图所示,化简: + - .
解析　由题图可得-2∴a+1<0,b-1>0,a-b<0,
∴原式=-(a+1)+(b-1)+(a-b)=-a-1+b-1+a-b=-2.
17.(2025江苏南京期中,★★☆)已知三角形的两边长分别为3
和5,第三边长为c,化简: - .
解析　由三角形的三边关系可得3+5>c,5-3c>2,∴原
式= - =|c-2|- |c-8|=c-2- (8-c)= c-6.

18.【新课标·推理能力】(2025湖北襄阳期中)阅读下列解题
过程:
例:若代数式 + 的值为2,求a的取值范围.
解:原式=|a-2|+|a-4|,
当a<2时,原式=(2-a)+(4-a)=6-2a=2,解得a=2(舍去);
当2≤a<4时,原式=(a-2)+(4-a)=2,符合题意;
当a≥4时,原式=(a-2)+(a-4)=2a-6=2,解得a=4.
综上所述,a的取值范围是2≤a≤4.
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法,请你根据上述内
容,解答下列问题.
(1)若3≤a≤7,化简: + .
(2)若代数式 + 的值为6,求a的值.
(3)请直接写出满足 + =5的a的取值范围:_____
_____.
解析 (1)∵3≤a≤7,∴3-a≤0,a-7≤0,
∴ + =|3-a|+|a-7|=a-3+7-a=4.
(2)原式=|a+1|+|a-3|,
当a<-1时,原式=-a-1+3-a=-2a+2=6,
解得a=-2;
当-1≤a<3时,原式=a+1+3-a=4≠6,无解;
当a≥3时,原式=a+1+a-3=2a-2=6,解得a=4.
综上所述,a的值为-2或4.
(3)等式左边=|a-1|+|a-6|,
当a<1时,等式变形为1-a+6-a=7-2a=5,
解得a=1(舍去);
当1≤a<6时,等式变形为a-1+6-a=5,等式恒成立;
当a≥6时,等式变形为a-1+a-6=2a-7=5,解得a=6,
∴a的取值范围为1≤a≤6.
故答案为1≤a≤6.(共29张PPT)
第1章　二次根式
1.3　二次根式的运算
第1课时　二次根式的乘除
　二次根式的乘法
1.(2025甘肃兰州中考)计算: × = ( )
A.6　　　 B. 　　　 C. 　　　 D.1
B
解析　原式= = .故选B.
2.(2025杭州临平月考)下列二次根式中,与 的乘积为有理数
的是 ( )
A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D.
A
解析
A × = =6,是有理数
B × = ,是无理数
C × =3 ,是无理数
D × = ,是无理数
3.(2025台州临海期中)计算: × =_________.
4
解析 × = =4.
4.【学科特色·教材变式】计算:
(1) × × ; (2)5 × .
解析 (1) × × = = =2 .
(2)5 × = × =- × =- ×2
=-15 .
　二次根式的除法
5.下列计算正确的是 ( )
A. ÷ =2　　　 B. =
C. ÷ = 　　　 D. =6
C
解析 ÷ = = ,故A错误;
= = = ,故B错误;
÷ = = = ,故C正确;
= = ,故D错误.故选C.
6.计算:
(1) ÷ =__________;(2) =_________.
2
解析 (1)原式= = =2 .
(2)原式= = .
7.计算:
(1) ÷ ; (2) ÷ ;
(3) ; (4) (用两种方法计算).
解析 (1)原式= = .
(2)原式= ÷ = = .
(3)原式= = =3.
(4)方法一: = = .
方法二: = = = .
8.解方程:2 x=- .
解析 2 x=- ,
两边同除以2 ,得x=- ,
即x=- ,解得x=-2 .
　二次根式的乘除混合运算
9.【学科特色·易错题】计算 ÷ × 的结果是 ( )
A.2 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D.
B
解析 ÷ × =2 ÷ × = .
易错警示　乘除混合运算,可以先统一为乘法,再计算,否则要
按从左到右的顺序计算.
10.计算:
(1) ÷ × ; (2) × ÷ .
解析 (1) ÷ × = ×2 = ×2 =7×2 =
14 .
(2) × ÷ = × ÷ =7×2÷ =
= .

11.(2025台州期末,★★☆)若△ABC三边长分别为 ,2 ,
,则△ABC的面积为 ( )
A.2　　　 B.4　　　 C. 　　　 D.2
A
解析　∵△ABC三边长分别为 ,2 , ,( )2+(2 )2=
( )2,∴△ABC是直角边长分别为 ,2 的直角三角形,
∴△ABC的面积= × ×2 =2.故选A.
12.(2025河北廊坊期中,★★☆)计算6 × ÷2 的结果
是 ( )
A.-4　　　 B.-2 　　　 C.40　　　 D.7
D
解析 6 × ÷2 =6× × =7.故选D.
13.(2025山东烟台期中,★★☆)已知ab>0,a+b<0,给出下面各
式:① · =-a;② = ;③ · =1;④ = · .其中
正确的是 ( )
A.①②　　　 B.②③　　　 C.②④　　　 D.①③
D
解析　∵ab>0,a+b<0,∴a<0,b<0.
· = =|a|=-a,∴①正确;
= ,∴②不正确;
· =1,∴③正确;
= · ,∴④不正确.故选D.
14.【学科特色·多解法】(2025金华东阳月考,★★☆)化简-x
的结果为 ( )
A. 　　　 B.- 　　　 C. 　　　 D.-
A
解析　【解法一】根据题意得- >0,∴x<0,
∴-x = · = = .
【解法二】根据题意得- >0,∴x<0,
∴-x =-x =-x· = .
故选A.
15.(★★☆)有一个体积为120 cm3的长方体,它的高为2
cm,长为3 cm,则这个长方体的宽为__________cm.
2
解析　这个长方体的宽为120 ÷(2 ×3 )=2 (cm).
16.【新考向·新定义题】(2025杭州模拟,★★☆)对于任意两
个不相等的数a,b(a>b),定义一种新运算“※”如下:a※b=
,如3※2= = ,那么12※4=_________.
解析 12※4= = = = .
17.(★★☆)计算:
(1) × ÷ ;　 (2) ÷ ÷ ;
(3) ×4 ÷ ;
(4)4 ÷2 × ÷3 .
解析 (1)原式= × = .
(2)原式= ÷ = ÷ = × = =3 .
(3)原式= ×4× × =3 =18.
(4)原式=2× × ÷3 = ÷3 = ÷3 = .
18.(★★☆)如图,从正方形ABCD中裁去两个面积分别为24 cm2和15 cm2的正方形BEOH和正方形DFOG,求剩余部分的总面积.
解析　由题意可得EO=HO= cm=2 cm,GO=FO= cm,故剩余部分的总面积为2 × ×2=12 (cm2).
答:剩余部分的总面积是12 cm2.

19.【新课标·抽象能力】(2025湖州期中,★★☆)观察下列等
式,并回答问题:
第1个等式: = ,
第2个等式: = ,
第3个等式: = ,
第4个等式: = ,……
(1)请直接写出第5个等式:_______.
(2)根据上述规律猜想:若n为正整数,请用含n的式子表示第n
个等式,并证明.
(3)利用规律计算: ×
.
解析 (1) = .
(2)由题中给出的等式知,第n个等式可表示为
= .
证明:左边= = ,
右边= = ,
左边=右边,所以此等式成立.
(3)当n=2 025时,
= ,
所以原式
= =1.(共24张PPT)
第1章　二次根式
1.1　二次根式的意义
　二次根式的概念
1.(2025杭州西湖十三中期中)下列各式是二次根式的是
( )
A. 　　　 B. 　　　 C. 　　　 D.
B
解析
A 无意义,不是二次根式
B 符合二次根式的定义,是二次根式
C 是表示三次方根的代数式,不是二次根式
D 3-π<0,故 无意义,不是二次根式
方法解读　形如 (a≥0)的式子是二次根式,因此二次根式
的被开方数a应满足条件a≥0.解答与二次根式概念有关的问
题时,通常根据上述条件建立不等式来求解.
2.下列各式:① ;② ;③ ;④ ;⑤ .其
中一定是二次根式的是_______.(填序号)
　①④
解析　① 是二次根式;
②当3a<0,即a<0时, 不是二次根式;
③当b2-1<0,即b2<1时, 不是二次根式;
④ = ,是二次根式;
⑤ 无意义,不是二次根式.
故答案为①④.
3.【新考向·结论开放题】(2025绍兴模拟)请写出一个大于2
且小于3的二次根式:________________.
(答案不唯一)
解析　∵4<5<9,∴2< <3,∴写出一个大于2且小于3的二次
根式可以是 (答案不唯一).
　求二次根式中字母的取值范围
4.(2024江苏徐州中考)若 有意义,则x的取值范围是 ( )
A.x≥-1　　　 B.x≤-1
C.x>-1　　　 D.x<-1
A
解析　∵ 有意义,∴x+1≥0,解得x≥-1.故选A.
5.(2025绍兴柯桥联盟月考)若代数式 在实数范围内有
意义,则x的取值范围为___________.
x>6
解析　由题可知x-6>0,解得x>6.
6.【学科特色·教材变式】求使下列式子有意义的字母x的取
值范围.
(1) .　　　 (2) .
(3) .　　　 (4) .
(5) .　　　 (6) + .
解析 (1)由2x-3≥0,得x≥ .
(2)因为无论x取何值,都有5x2+3>0,
所以字母x的取值范围是全体实数.
(3)由 ≥0,得1+4x>0,解得x>- .
(4)由-8x≥0,得x≤0.
(5)由题意得3-x≥0,且x+1≠0,解得x≤3且x≠-1.
(6)由题意得 解得x≥2.
　二次根式的值
7.(2025温州龙湾期中)当x=-6时,二次根式 的值为_____.
4
解析　把x=-6代入,得 = = =4.
8.已知 =1,则x=_________.
1
解析　∵ =1,∴2x-1=1,解得x=1.
故答案为1.
9.已知二次根式 .
(1)求x的取值范围.
(2)求当x=-2时,二次根式 的值.
解析 (1)根据题意得3- x≥0,解得x≤6,
∴x的取值范围是x≤6.
(2)当x=-2时, = = =2.
10.(2025江苏盐城期中)“欲穷千里目,更上一层楼”,说的是
登得高看得远,若观测点的高度为h(单位:km),观测者能看到
地面的最远距离为d(单位:km),则d≈ ,其中R是地球半径,
通常取6 400 km.小亮站在大洋湾景区望海楼俯瞰美景,眼睛
离地面的高度h为0.02 km,求此时他能观测到地面的最远距离.
解析　∵R=6 400 km,h=0.02 km,
∴d ≈ = =16(km).
答:此时他能观测到地面的最远距离是16 km.

11.(2025重庆九龙坡开学考试,★★☆)要使代数式 有意
义,则x的取值范围是 ( )
A.x=3　　　 B.x≠3　　　 C.x>3　　　 D.x≥3
D
解析　由题意得 解得x≥3.故选D.
12.(2025黑龙江齐齐哈尔中考,★★☆)若代数式 +
(x-2 025)0有意义,则实数x的取值范围是___________________.
x>3且x≠2 025
解析　∵代数式 +(x-2 025)0有意义,
∴x-3>0且x-2 025≠0,∴x>3且x≠2 025.
13.(2025湖南师大附中梅溪湖中学期末,★★☆)已知 +
有意义,则在坐标系中点P(m,n)位于第______象限.
　三
解析　∵ + 有意义,∴-m≥0,mn>0,
∴m<0,n<0,∴点P(m,n)位于第三象限.
14.(★★☆)二次根式 的最小值是_________.
2
解析 = ,当a+1=0时,有最小值 ,即最
小值为2.
15.【跨科学·电学】(2025广东珠海期中,★★☆)电流通过导
线时会产生热量.电流I(单位:A)、导线电阻R(单位:Ω)、通电
时间t(单位:s)与产生的热量Q(单位:J)满足Q=I2Rt.已知导线的
电阻R为6 Ω,1 s的时间导线产生30 J的热量,则电流I为_______
A.(结果用二次根式表示)
解析　由题意得R=6 Ω,t=1 s,Q=30 J,
因为Q=I2Rt,所以30=I2×6×1,
解得I= A(负值舍去).
16.(2025宁波宁海浙派联盟期中,★★☆)已知a满足|2 024-a|+
=a,则a-2 0242的值为__________.
2 025
解析　∵|2 024-a|+ =a有意义,
∴a-2 025≥0,∴a≥2 025,∴2 024-a<0,
∵|2 024-a|+ =a,
∴a-2 024+ =a,
∴ =2 024,
∴a-2 025=2 0242,∴a-2 0242=2 025.
17.【新考向·代数推理】(2025广东清远二模,★★☆)请说明
无论x取何值,式子 都有意义.
解析　原式= = = ,
∵(x-1)2≥0,∴ 有意义,即无论x取何值,式子
都有意义.
18.(2025金华月考,★★☆)已知x,y是Rt△ABC的两边长,且满
足y= + +3.
(1)求2x+y的算术平方根.
(2)求Rt△ABC的面积.
解析 (1)由题意得 解得x=4,∴y=3,
∴2x+y=2×4+3=11,∴2x+y的算术平方根为 .
(2)分两种情况:
①当x,y是直角边长时,Rt△ABC的面积= ×3×4=6;
②当x是斜边长时,由勾股定理,得另一条直角边长= =
,则Rt△ABC的面积= ×3× = .∴Rt△ABC的面积为6
或 .

19.【新课标·应用意识】如图,一根细线上端固定,下端系一个
小重物,这个小重物来回自由摆动一次所用的时间t(单位:min)
与细线的长度l(单位:m)之间满足关系式t=2π ,当细线的长
度l为2.5 m时,小重物来回摆动一次所用的时间是多少 (结果
保留π)
解析　当l=2.5 m时,t=2π =2π =2π =2π× =π(min).
答:小重物来回摆动一次所用的时间是π min.

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