资源简介

应用题
2026
春
季
班
课堂讲解 1
1. 最近三年中考试题 1
2. 一次函数应用题 2
3. 不等式应用 3
4. 分式应用题 4
5. 一元二次应用题 5
6. 二次函数应用题 8
课后练习 9
参考答案 13
课堂讲解
1.最近三年中考试题
1. (2023年成都中考题)
2023年 7月 28日至 8月 8日,第 31届世界大学生运动会将在成都举行.“当好东道主,热情迎嘉
宾”,成都某知名小吃店计划购买A ,B两种食材制作小吃.已知购买 1千克A种食材和 1千克B种食材
共需 68元,购买 5千克A种食材和 3千克B种食材共需 280元.
(1)求A ,B两种食材的单价；
(2)该小吃店计划购买两种食材共 36千克,其中购买A种食材千克数不少于 B种食材千克数的 2
倍,当A ,B两种食材分别购买多少千克时,总费用最少 并求出最少总费用.
2. (2024年成都中考题)
推进中国式现代化,必须坚持不懈夯实农业基础,推进乡村全面振兴.某合作社着力发展乡村水果网
络销售,在水果收获的季节,该合作社用 17500元从农户处购进A ,B两种水果共 1500 kg进行销售,其
中A种水果收购单价 10元 /kg ,B种水果收购单价 15元 /kg.
(1)求A ,B两种水果各购进多少千克；
(2)已知A种水果运输和仓储过程中质量损失 4% ,若合作社计划A种水果至少要获得 20%的利润,
不计其他费用,求A种水果的最低销售单价.
3. (2025年成都中考题分)
2025年 8月 7日至 17日,第 12届世界运动会将在成都举行,与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文
创产品深受大家喜爱.某文旅中心在售A ,B两种吉祥物挂件,已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件
4
价格的 5 ,用 300元购买B种挂件的数量比用 200元购买A种挂件的数量多 7个.
(1)求每个A种挂件的价格;
(2)某游客计划用不超过 600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多 5
个，求该游客最多购买多少个A种挂件.
1
2.一次函数应用题
例题1.某技工培训中心有合格钳工 20名、车工 30名．现将这 50名技工派往A、B两地工作，两地的
月工资情况如下：
(1)若派往A地 x名钳工，余下的技工全部派往B地，试写出这 50名技工的月工资总额 y(元)与 x之
间的函数关系式，并写出 x的取值范围；
(2)若派往A地 x名车工，余下的技工全部派往B地，试写出这 50名技工的月工资总额 y(元)与 x之
间的函数关系式，并写出 x的取值范围．
追问：若A地需要 18名技工，B地需要 32名技工，并设派往A地 x名钳工，试写出这 50名技工的月
工资总额 y(元)与 x之间的函数关系式，并写出月工资总额最低的调配方案．
变式1 某工厂现有甲种原料 360千克，乙种原料 290千克，计划利用这两种原料生产A，B两种产品，
共 50件．已知生产一件A种产品需要甲种原料 9千克，乙种原料 3千克，可获利润 700元；生产一件B种
产品，需要甲种原料 4千克，乙种原料 10千克，可获利润 1200元．
(1)求安排A，B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；
(2)设生产A，B两种产品获总利润是 y(元)，其中一种的生产件数是 x，试写出 y与 x之间的函数关
系式，并利用函数的性质说明 (1)中的哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？
1.为积极响应政府提出的“绿色发展·低碳出行”号召，某社区决定购置一批共享单车，经市场调查得知，
购买 3辆男式单车与 4辆女式单车费用相同；购买 5辆男式单车与 4辆女式单车共需 16000元．
(1)求男式单车和女式单车的单价；
(2)该社区要求男式单车比女式单车多 4辆，两种单车至少需要 22辆，购置两种单车的费用不超过
50000元，该社区有几种购置方案？怎样购置才能使所需总费用最低，最低费用是多少？
2
3.不等式应用
例题2.威丽商场销售A，B两种商品，售出 1件A种商品和 4件B种商品所得利润为 600元，售出 3
件A种商品和 5件B种商品所得利润为 1100元．
(1)求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元；
(2)由于需求量大，A、B两种商品很快售完，威丽商场决定再一次购进A、B两种商品共 34件．如果
将这 34件商品全部售完后所得利润不低于 4000元，那么威丽商场至少需购进多少件A种商品？
变式2 某种型号油电混合动力汽车．从A地到B地燃油行驶纯燃油费用 76元，从A地到B地用电
行驶纯电费用 26元，已知每行驶 1千米，纯燃油费用比纯用电费用多 0.5元．
(1)求每行驶 1千米纯用电的费用；
(2)若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过 39元，则至少用电行驶多少千
米？
2.天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两型环保节能
公交车 10辆，若购买A型公交车 1辆，B型公交车 2辆，共需 400万元，若购买A型公交车 2辆，B型
公交车 1辆，共需 350万元．
(1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？
(2)预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为 60万人次和 100万人次．若该公司
购买A型和B型公交车的总费用不超过 1220万元，且确保这 10辆公交车在该线路的平均载客量总和不
少于 650万人次，则该公司有哪几种购买方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？
3
4.分式应用题
例题3.兴发服装店老板用 4500元购进一批某款 T恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用
4950元购进第二批该款式T恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了 9元．
(1)第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？
(2) 4老板以每件 120元的价格销售该款式T恤衫，当第二批T恤衫售出 5 时，出现了滞销，于是决定
降价促销，若要使第二批的销售利润不低于 650元，剩余的T恤衫每件售价至少要多少元？ (利润=售价
-进价)
变式3“六 一”儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用 2500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱
销，接着又用 4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的 1.5倍，但每套进价多了 10元．
(1)求第一批玩具每套的进价是多少元？
(2)如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于 25%，那么每套售价至少是多少元？
3.某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为 40元，
用 90元购进甲种玩具的件数与用 150元购进乙种玩具的件数相同．
(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共 48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次
进货的总资金不超过 1000元，求商场共有几种进货方案？
4
5.一元二次应用题
例题4.当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急
剧上升，书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为 20元，根据以往经验，当销售单
价是 25元时，每天的销售量是 250本：销售单价每上涨 1元每天的销售量就减少 10本，书店要求每本书
的利润不低于 10元且不高于 18元．
(1)求出书店销售该科幻小说时每天的销售量 y(本)与销售单价 x(元)之间的函数关系式及自变量的
取值范围；
(2)书店决定每销售 1本该科幻小说，就捐赠 2元给困难职工，该如何定价可保证每天扣除捐赠后能
获得利润为 1960元．
变式4 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克 50元，连续两次降价后每千克 32元，若每每次下
降的百分率相同
(1)求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利 10元，每天可售出 500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采
取适当的涨价措施，若每千克涨价 1元，日销售量将减少 20千克，现该商场要保证每天盈利 6000元，且要
尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
4.某商场销售一批衬衫，平均每天可销售出 20件，每件盈利 40元，为扩大销售盈利，商场决定采取适当
的降价措施，但要求每件盈利不少于 20元，经调查发现．若每件衬衫每降价 1元，则商场每天可多销
售 2件．
(1)若每件衬衫降价 4元，则每天可盈利多少元？
(2)若商场平均每天盈利 1200元．则每件衬衫应降价多少元？
5
5.某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小
幅度的减产，而枇杷有所增产．
(1)该地某果农今年收获樱桃和枇杷共 400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的 7倍，求该果农
今年收获樱桃至少多少千克？
(2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销量为
100千克，销售均价为 30元 /千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果
农去年枇杷的市场销售量为 200千克，销售均价为 20元 /千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了
2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他
去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．
例题5.如图，在宽为 40m，长为 64m的矩形地面上，修筑三条同样宽的道路，每条道路均与矩形地面
的一条边平行，余下的部分作为耕地，要使得耕地的面积为 2418m2，则道路的宽应为多少？
变式5 如图，用长为 20m的篱笆，一面利用墙 (墙的最大可用长度为 11m)，围成中间隔有一道篱笆的
长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在 BC上用其他材料做了宽为 1m的两扇小门．若花圃
的面积刚好为 40m2，则此时花圃AB段的长为 m．
6.如图，有一张矩形纸片，长 10cm，宽 6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后将四周突出部
分折起，就能制作一个无盖的方盒，若方盒的底面积 (图中阴影部分)是 32cm2，则剪去的小正方形的
边长为 cm．
6
例题6.汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司 2016年盈利 1500万元，到
2018年盈利 2160万元，且从 2016年到 2018年，每年盈利的年增长率相同．
(1)求每年盈利的年增长率；
(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，那么 2019年该公司盈利能否达到 2500万元？
变式6 有一人患了流感，经过两轮传染后共有 64人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给
个人．
7.一个农业合作社以 64000元的成本收获了某种农产品 80吨，目前可以以 1200元 /吨的价格售出，如果
储藏起来，每星期会损失 2吨，且每星期需支付各种费用 1600元，但同时每星期每吨的价格将上涨
200元．那么储藏 个星期再出售这批农产品可获利 122000元．
例题7.如图，在 △ABC中，∠C = 90°，AB = 10cm，AC = 8cm，点 P从点 A开始出发向点 C以
2cm/s速度移动，点Q从B点出发向点C以 1cm/s速度移动．若P，Q分别同时从A，B出发，设运动时
间为 t，当四边形APQB的面积是 16cm2时，则 t的值为 ．
变式7 如图，△ABC中，∠B = 90°，AB = 6cm，BC = 8cm，点 P从点 A开始沿边 AB向点 B以
1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿BC向C点以 2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、
B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，经过 秒，四边形APQC的面积等于 16cm2．
7
6.二次函数应用题
例题8.“十三五”以来，党中央，国务院不断加大脱贫攻坚的支持决策力度，并出台配套文件，国家机
关各部门也出台多项政策文件或实施方案．某单位认真分析被帮扶人各种情况后，建议被帮扶人大力推
进特色产业，大量栽种甜橙；同时搭建电商运营服务平台，开设网店销售农产品，甜橙丰收后，将一批甜橙
采取现场销售和网络销售相结合进行试销，统计后发现：同样多的甜橙，现场销售可获利 800元，网络销
售可获利 1000元，网络销售比现场销售每件多获利 5元．
(1)现场销售和网络销售每件分别获利多少元？
(2) 1根据甜橙试销情况分析，现场销售量 a(件)和网络销售量 b(件)满足如下关系式：b=- a225 +
12a- 200.求 a为何值时，农户销售甜橙获得的总利润最大？最大利润是多少？
【分析】(1)设现场销售每件获利 x元，则网络销售每件获利 元，由“同样多的甜橙”这一信
息可列出方程 ，即可求解；
(2)由 (1)得，现场销售每件获利 元，网络销售每件获利 元，则现场销售的利润为
元，网络销售的利润为 元，设总利润为W元，从而即可求得W与 x之间的关系式，最
后根据二次函数的性质即可求解．
变式8 某商店销售一款进价为每件 40元的护肤品，调查发现，销售单价不低于 40元且不高于 80元
时，该商品的日销售量 y(件)与销售单价 x(元)之间存在一次函数关系，当销售单价为 44元时，日销售量
为 72件；当销售单价为 48元时，日销售量为 64件．
(1)求 y与 x之间的函数关系式；
(2)设该护肤品的日销售利润为w(元)，当销售单价 x为多少时，日销售利润w最大，最大日销售利润
是多少？
8.“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为 30元 /件，每天销售 y(件)与销售
单价 x(元)之间存在一次函数关系，如图所示．
(1)求 y与 x之间的函数关系式；
(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于 240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最
大利润是多少？
8
课后练习
1.为了加强对校内外安全监控，创建平安校园，某学校计划增加 15台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号
的设备，其中每台价格，有效监控范围如表所示，经调查，购买 1台甲型设备比购买 1台乙型设备多
150元，购买 2台甲型设备比购买 3台乙型设备少 400元.
甲型 乙型
价格 (元 /台) a b
有效范围 (平方米 /台) 150 100
(1)求 a，b的值；
(2)若购买该批设备的资金不超过 11 000元，且要求监控覆盖范围不低于 1 600平方米，两种型号的
设备均要至少买一台，请你为学校设计购买方案，并计算最低购买费用．
2.现计划把甲种货物 1 240吨和乙种货物 880吨用一列火车运往某地，已知这列火车挂有A，B两种不
同规格的车厢共 40节，使用A型车厢每节费用为 6 000元，使用B型车厢每节费用为 8 000元．
(1)设运送这批货物的总费用为 y万元，这列火车挂A型车厢 x节，试写出 y与 x之间的函数关系式；
(2)如果每节A型车厢最多可装甲种货物 35吨和乙种货物 15吨，每节B型车厢最多可装甲种货物
25吨和乙种货物 35吨，装货时按此要求安排A，B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？
(3) (2)中的哪种方案运费最少？最少运费为多少万元？
3. 旅游纪念品是制作精巧、富有地域特色和民族特色的工艺品礼品，对活跃旅游商品市场、促进旅游经
济发展有着重要意义．某景区出售一种旅游纪念品，已知这种纪念品的成本是每个 40元，售价不低
于 45元，同时物价局规定，这种纪念品的市场销售单价不得高于 50元.经市场调查，发现每月销售量
与销售单价成反比例关系，当销售单价为 45元时，月销售量为 600个；
(1)求月销售量 y(个)与销售单价 x(元 /个)之间的函数关系式；
(2)当这种纪念品的销售单价为多少元时，月销售利润最大？最大月销售利润是多少元？
9
4. 为了美化环境，学校计划购买一批绿植，已知甲、乙两个花卉批发市场对于某种绿植的销售单价相
同，现有如下优惠活动：甲市场所购买的绿植每盆按七折优惠，需另付配送费 30元；乙市场所购买的
绿植每盆按售价付款不优惠，但免费配送；设学校购买该种绿植的数量为 x(盆)，在甲、乙花卉批发市
场所需总费用分别为 y1，y2元，其函数图象如图所示．
(1)分别求出 y1，y2与 x之间的函数关系式；
(2)学校采购老师准备周末去花卉批发市场购买该种绿植，根据函数图象，直接写出选择哪个花卉批
发市场更划算．
5.某商店购进甲，乙两种商品，甲的进货单价比乙的进货单价高 20元，已知 20个甲商品的进货总价与
25个乙商品的进货总价相同．
(1)求甲、乙商品的进货单价；
(2)若甲、乙两种商品共进货 100件，要求两种商品的进货总价不高于 9 000元，同时甲商品按进价提
高 10%后的价格销售，乙商品按进价提高 25%后的价格销售，两种商品全部售完后的销售总额不低于 10
480元，问有哪几种进货方案？
(3)在条件 (2)下，并且不再考虑其他因素，若甲、乙两种商品全部售完，哪种方案利润最大？最大利
润是多少？
6.学校准备租用一批汽车，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量 45人，乙种客车每辆载客量 30
人．已知 1辆甲种客车和 3辆乙种客车需租金 1 240元，3辆甲种客车和 2辆乙种客车共需租金 1 760
元．
(1)求 1辆甲种客车和 1辆乙种客车的租金分别是多少元？
(2)学校计划租用甲、乙两种客车共 8辆，送 330名师生集体外出活动，最节省的租车费用是多少？
10
7.某农机租赁公司共有 50台收割机，其中甲型 20台、乙型 30台，现将这 50台联合收割机派往A，B两
地区收割水稻，其中 30台派往A地区，20台派往B地区，两地区与该农机租赁公司商定的每天租赁
价格如下表：
每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金
A地区 1 800元 1 600元
B地区 1 600元 1 200元
(1)设派往A地区 x台乙型联合收割机，租赁公司这 50台联合收割机一天获得的租金为 y元，求 y关
于 x的函数关系式；
(2)若使农机租赁公司这 50台收割机一天所获租金不低于 79 600元，试写出满足条件的所有分派方
案；
(3)农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司 50台收割机每天获得的租金最高，并说明理由．
8.某校为美化校园，计划对面积为 1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天
能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的 2倍，并且在独立完成面积为 400m2区域的绿化
时，甲队比乙队少用 4天．
(1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？
(2)若学校每天需付给甲队的绿化费用为 0.4万元，乙队为 0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过
8万元，至少应安排甲队工作多少天？
11
9.某超市销售一种商品，成本每千克 40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于 80元．经市场调查，
每天的销售量 y(kg)与每千克售价 x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价 x(元 /kg) 50 60 70
销售量 y(kg) 100 80 60
(1)求 y与 x之间的函数表达式；
(2)设商品每天的总利润为W(元)，求W与 x之间的函数表达式 (利润=收入-成本)；
(3)试说明 (2)中总利润W随售价 x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最
大利润是多少？
10.某水果店在两周内，将标价为 10元 /斤的某种水果，经过两次降价后的价格为 8.1元 /斤，并且两次降
价的百分率相同．
(1)求该种水果每次降价的百分率；
(2)从第一次降价的第 1天算起，第 x天 (x为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表
所示．已知该种水果的进价为 4.1元 /斤，设销售该水果第 x(天)的利润为 y(元)，求 y与 x(1≤ x< 15)之
间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大．
时间 x(天) 1≤ x< 9 9≤ x< 15 x≥ 15
售价 (元 /斤) 第 1次降价后的价格 第 2次降价后的价格
销量 (斤) 80- 3x 120- x
储存和损耗费用 (元) 40+ 3x 3x2- 64x+ 400
(3)在 (2)的条件下，若要使第 15天的利润比 (2)中最大利润最多少 127.5元，则第 15天在第 14天的
价格基础上最多可降多少元？
12
参考答案
例题1.分析本题是一道一次函数的应用题，为了表示题中的两个变量之间的关系，要求我们快速而准确
地理解题意，将简单的实际问题转化为数学问题 (建立一次函数)，从而解决实际问题，由于本题主语
不唯一，且数据多，易干扰学生的思路．为了更好地理清题意，我们可以画出框架图，帮助分析出问题
的主体：分派钳工和车工共 50名前往A、B两地，求他们的月工资总额 (见图 1)．
然后，让学生互助学习．根据表格所提供的信息，完整框架图中钳工和车工分派的人数，以及据此所
需的工资总额 (见图 2)；进而寻找出两个变量之间的关系，达到解决问题．
解 (I)设派往A地 x名钳工，则派往B地的钳工为 (20- x)名，车工为 30名，于是有
y= 1800x+ 1600(20- x) + 1200× 30= 200x+ 68000(其中 0< x≤ 20，且 x为整数)，过程见图 2，
(2)设派往A地 x名车工，则派往B地的车工为 (30- x)名，钳工为 20名，于是有
y= 1600x+ 1200(30- x) + 1600× 20= 400x+ 68000(其中 0< x≤ 30，且 x为整数)，过程见图 3．
分析此追问和原题略有不同，但首先要明确一个等量关系：A、B两地所需技工恰好等于钳工与车工
的总数，然后据此用框架图很快便可解决问题 (见图 4)．
解:由派往A地 x名钳工，知派往B地的钳工为 (20- x)名，派往A地车工为 (18- x)
名，派往B地车工为 [30- (18- x)]= (x+ 12)名，于是有
y= 1800x+ 1600(20- x) + 1600× (18- x) + 1200× (x+ 12) =-200x+ 75200．
13
又由框架图可知，派往A、B两地的人数均非负，
18-x≥0,所以， + ≤ 0< x≤ 18．x 12 32,
又-200< 0，所以当 x= 18时，月工资总额最低，且为 71600元．
变式1 分析本题是一道实际应用题，问题的本质是寻求题中所含的不等关系，为了生产 50件产品所需的
甲种原料不得超过 360千克，所需的乙种原料不得超过 290千克，画出框架图如下 (见图 5)：
解 (1)设生产A种产品 x件，则生产B种产品 (50- x)件，
由题意，可知
9x+4 50-x ≤360 3x+10 50-x ≤290
解之得 30≤ x≤ 32．
所以有 3种生产方案：①A30件，B20件；②A31件，B19件；③A32件，B18件．
(2)y= 700x+ 1200(50- x) =-500x+ 60000．
因为-500< 0，
所以当 x= 30时，利润最大，且为 45000元；
当 x= 32时，利润最小，且为 44000元．
1. 解：(1)设男式单车与女式单车的单价分别为 x元，y元，由题意
3x=4y， x=2000，可得 解得5x+4y=16000， y=1500.
答：男式单车与女式单车单价分别为 2000元，1500元；
(2)设购置女式单车n辆．则购置男式单车 (n+ 4)辆．由题意可知n+ (n+ 4)≥ 22，解得n≥ 9，
又∵购置两种单车的费用不超过 5000元，∴ 2000(n+ 4) + 1500n≤ 50000，解得 n≤ 12，∴ 9≤ n≤
12，
又∵n为整数，∴n= 9，10，11，12，
∴总共有 4种购置方案，
总费用W= 2000(n+ 4) + 1500n= 3500n+ 8000，
∵ 3500> 0，∴W随n的增大而增大．
∴当n= 9，即购置 9辆女式单车，13辆男式单车时，
总费用最低，最低费用为W= 3500× 9+ 8000= 39500元．
例题2.解：(1)设A种商品售出后所得利润为 x元，B种商品售出后所得利润为 y元．由题意，
x+4y=600， x=200，
得 3x+5y= 解得1100. y=100，
答：A种商品售出后所得利润为 200元，B种商品售出后所得利润为 100元；
(2)设购进A种商品 a件，则购进B种商品 (34- a)件．由题意，得：200a+ 100(34- a)≥ 4000，
解得：a≥ 6.
答：威丽商场至少需购进 6件A种商品．
变式2 解：(1)设每行驶 1千米纯用电的费用为 x元，则每行驶 1千米纯燃油的费用为 (x+ 0.5)元．
14
76 26
根据题意得 x+0.5 = x ，
解得 x= 0.26，经检验 x= 0.26是原方程的根．
答：纯用电每行驶 1千米所需要的费用为 0.26元；
(2)由 (1)得纯燃油每行驶 1千米所需的费用为 0.5+ 0.26= 0.76(元)，从A到B的距离为 26÷ 0.26=
100(千米)．
设用电行驶 y千米，则用燃油行驶 (100- y)千米．
根据题意得 0.26y+ 0.76(100- y)≤ 39，
解得 y≥ 74.
答：至少用电行驶 74千米．
2. 解：( 1 ) 设购买 A 型公交车每辆需 x 万元，B 型公交车每辆需 y 万元．由题意列方程组：
x+2y=400， x=100， 解得2x+y=350， y=150.
答：购买A型公交车每辆需 100万元，B型公交车每辆需 150万元；
(2)设该公司购买A型公交车 a辆，则购买B型公交车 (10- a)辆．由题意得 100a+ 150(10- a) ≤
1220，
解得 a≥ 5 35 ，
又∵这 10辆公交车在该线路的平均载客总量不少于 650万人次，
∴ 60a+ 100(10- a)≥ 650，解得 a≤ 8 34 ，
∴ 5 35 ≤ a≤ 8
3
4 ，
又∵ a为正整数，∴ a= 6，7，8，∴ 10- a= 4，3，2.
∴一共有三种购车方案．
方案一：购买A型公交车 6辆．购买B型公交车 4辆．总费用为 100× 6+ 150× 4= 1200(万元)；
方案二：购买A型公交车 7辆．购买B型公交车 3辆．总费用为 100×+150× 3= 1150(万元)；
方案三：购买A型公交车 8辆，购买B型公交车 2辆，总费用为 100× 8+ 150× 2= 1100(万元)．
答：一共有三种购车方案，方案三费用最少，最少费用是 1100万元．
例题3.【分析】(1)设第一批T恤衫每件进价是 x元，则第二批每件进价是 (x+ 9)元，再根据等量关系：第
二批进的件数=第一批进的件数可得方程；
(2)设剩余的T恤衫每件售价 y元，由利润=售价-进价，根据第二批的销售利润不低于 650元，可列
不等式求解．
【解答】解：(1)设第一批T恤衫每件进价是 x元，由题意，得
4500 4950
x = x+9 ，
解得 x= 90，
经检验 x= 90是分式方程的解，符合题意．
答：第一批T恤衫每件的进价是 90元；
(2)设剩余的T恤衫每件售价 y元．
由 (1) 4950知，第二批购进 99 = 50(件)．
4
由题意，得 120× 50× 5 + y× 50×
1
5 - 4950≥ 650，解得 y≥ 80．
答：剩余的T恤衫每件售价至少要 80元．
变式3【分析】(1) 2500设第一批玩具每套的进价是 x元，则第一批进的件数是： x ，第二批进的件数是：
15
4500
x+10 ，再根据等量关系：第二批进的件数=第一批进的件数× 1.5可得方程；
(2)设每套售价是 y元，利润=售价-进价，根据这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低
于 25%，可列不等式求解．
【解答】解：(1)设第一批玩具每套的进价是 x元，
2500 × 1.5= 4500x x+10 ，x= 50，
经检验 x= 50是分式方程的解，符合题意．
答：第一批玩具每套的进价是 50元；
(2)设每套售价是 y元，
2500
50 × 1.5= 75(套)．
50y+ 75y- 2500- 4500≥(2500+ 4500) × 25%，y≥ 70，
答：如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于 25%，那么每套售价至少是 70元．
3.【分析】(1)设甲种玩具进价 x元 /件，则乙种玩具进价为 (40- x)元 /件，根据已知一件甲种玩具的进
价与一件乙种玩具的进价的和为 40元，用 90元购进甲种玩具的件数与用 150元购进乙种玩具的件数
相同可列方程求解．
(2)设购进甲种玩具 y件，则购进乙种玩具 (48- y)件，根据甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商
场决定此次进货的总资金不超过 1000元，可列出不等式组求解．
【解答】解：设甲种玩具进价 x元 /件，则乙种玩具进价为 (40- x)元 /件，
90 = 150x 40-x
x= 15，
经检验 x= 15是原方程的解．
∴ 40- x= 25．
甲，乙两种玩具分别是 15元 /件，25元 /件；
(2)设购进甲种玩具 y件，则购进乙种玩具 (48- y)件，
y<48-y ，15y+25(48-y)≤1000
解得 20≤ y< 24．
因为 y是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，
∴ y取 20，21，22，23，
共有 4种方案．
例题4.解：(1)依题意，得 y= 250- 10(x- 25) =-10x+ 500．
∵每本书的利润不低于 10元且不高于 18元，
∴ 20+ 10≤ x≤ 20+ 18，即 30≤ x≤ 38．
∴书店销售该科幻小说时每天的销售量 y(本)与销售单价 x(元)之间的函数关系式为 y=-10x+ 500
(30≤ x≤ 38)．
(2)依题意，得 (x- 20- 2) (-10x + 500) = 1960，
整理，得 x2- 72x+ 1296= 0，
解得：x1= x2= 36．
答：当定价为 36元时，可保证每天扣除捐赠后能获得利润为 1960元．
变式4 解：(1)设每次下降的百分率为 a，根据题意，得：
50(1- a)2= 32，
16
解得：a= 1.8(舍)或 a= 0.2，
答：每次下降的百分率为 20%；
(2)设每千克应涨价 x元，由题意，得
(10+ x) (500- 20x) = 6000，
整理，得 x2- 15x+ 50= 0，
解得：x1= 5，x2= 10，
因为要尽快减少库存，所以 x= 5符合题意．
答：该商场要保证每天盈利 6000元，那么每千克应涨价 5元．
4. 解：(1) (20+ 2× 4) × (40- 4) = 1008元．
答：商场每天销售这种衬衫可以盈利 1008元．
(2)设每件衬衫降价 x元时，商场每天销售这种衬衫可以盈利 1200元，
根据题意得：(20+ 2x) × (40- x) = 1200，
整理得：x2- 30x+ 200= 0，
(x- 10) (x- 20) = 0，
解得：x1= 10，x2= 20，
答：每件衬衫降价 10元或 20元时，商场每天销售这种衬衫可以盈利 1200元．
5. 解：(1)设该果农今年收获樱桃 x千克，根据题意得：400- x≤ 7x.解得：x≥ 50.
答：该果农今年收获樱桃至少 50千克；
(2)由题意可得：100(1-m%)× 30+ 200× (1+ 2m%)× 20(1-m%)= 100× 30+ 200× 20，
令m%= y，原方程可化为：3000(1- y) + 4000(1+ 2y) (1- y) = 7000，
整理可得：8y2- y= 0，解得：y1= 0，y2= 0.125，∴m1= 0(舍去)，m2= 12.5，∴m= 12.5.
答：m的值为 12.5.
例题5.解：设道路的宽应为 xm，
依题意，得：(64- 2x) (40- x) = 2418，
整理，得：x2- 72x+ 71= 0，
解得：x1= 1，x2= 71(不合题意，舍去)．
答：道路的宽应为 1m．
变式5 解：设AB= x米，则BC= (20- 3x+ 2)米，
依题意，得：x(20- 3x+ 2) = 40，
整理，得：3x2- 22x+ 40= 0，
10
解得：x1= 3 ，x2= 4．
x= 10当 3 时，20- 3x+ 2= 12> 11，不合题意，舍去；
当 x= 4时，20- 3x+ 2= 10，符合题意．
故答案为：4．
6. 解：设剪去的小正方形的边长为 xcm，
依题意，得：(10- 2x) (6- 2x) = 32，
整理，得：x2- 8x+ 7= 0，
解得：x1= 1，x2= 7(不合题意，舍去)．
故答案为：1．
例题6.解：(1)设每年盈利的年增长率为 x，
根据题意得：1500(1+ x)2= 2160．
17
解得 x1= 0.2，x2=-2.2(不合题意，舍去)．
答：每年盈利的年增长率为 20%；
(2)2160(1+ 0.2) = 2592，2592> 2500
答：2019年该公司盈利能达到 2500万元．
变式6 解：设每轮传染中平均一个人传染给 x个人，
根据题意得：1+ x+ x(1+ x) = 64，
解得：x1= 7，x2=-9(不合题意，舍去)．
答：每轮传染中平均一个人传染给 7个人．
故答案为：7．
7. 解：设储藏 x星期出售这批农产品可获利 122000元，
由题意得 (1200+ 200x) × (80- 2x) - 1600x- 64000= 122000，
化简，得，x2- 30x+ 225= 0，
解得：x1= x2= 15．
故答案为：15．
例题7.解：在△ABC中，∠C= 90°，AB= 10cm，AC= 8cm，∴BC= AB2-AC2= 6cm．
当运动时间为 t秒时，AP= 2tcm，PC= (8- 2t)cm，BQ= tcm，CQ= (6- t)cm，
1 × 6× 8- 1根据题意得：2 2 (8- 2t) (6- t) = 16，
整理得：t2- 10t+ 16= 0，
解得：t1= 2，t2= 8．
∵ 8- 2t≥ 0，∴ t≤ 4，∴ t= 2．故答案为：2．
变式7 解：设运动时间为 t秒时，四边形APQC的面积等于 16cm2，
1
依题意，得：2 × 6× 8-
1
2 (6- t) × 2t= 16，
整理，得：t2- 6t+ 8= 0，
解得：t1= 2，t2= 4．
当 t= 2时，2t= 4< 8，符合题意；
当 t= 4时，2t= 8，此时点Q，C重合，不符合题意，舍去．故答案为：2．
例题8. (x+ 5) 800 1000， x = x+5 ，20，25，20a，25b
解：(1)设现场销售每件 x元，则网络销售每件获利为 (x+ 5)元，依据题意得．
800
x =
1000
x+5 ，解得 x= 20，
将 x= 20代入 x(x+ 5) ≠ 0且符合实际情况，
故 x= 20是原分式方程的解，
答：现场销售每件获利 20元，网络销售每件获利 25元；
(2)设农户销售所获的总利润为W元，依据题意可得，
W= 20a+ 25b= 20a+ 25 - 1 225 a +12a-200 ，
整理得W=-a2+ 320a- 5000=- (a- 160) 2+ 20600，
故当 a= 160时，W有最大值为 20600.
答：当 a为 160时，农户销售甜橙获得的总利润最大，最大利润是 20600元．
变式8【思路分析】(1)设 y与 x的函数关系式为：y= kx+ b(k≠ 0)，将 (44，72)，(48，64)代入，利用待定
系数法即可求出一次函数解析式；
(2)根据 (1)的函数关系式，利用求二次函数最值的方法便可解出答案．
18
【解答】解：(1)设 y与 x的函数关系式为：y= kx+ b(k≠ 0)，
44k+b=72
由题意得： + = ，48k b 64
解得：k=-2，b= 160，
所以 y与 x之间的函数关系式是 y=-2x+ 160(40≤ x≤ 80)；
(2)由题意得，w与 x的函数关系式为：
w= (x- 40) (-2x+ 160) =-2x2+ 240x- 6400=-2(x- 60)2+ 800，
当 x= 60元时，利润w最大是 800元，
所以当销售单价 x为 60元时，日销售利润w最大，最大日销售利润是 800元．
8. 解：(1) 40k+b=300由题意得： ，解得：
k=-10
+ = = ．55k b 150 b 700
故 y与 x之间的函数关系式为：y=-10x+ 700，
(2)由题意，得-10x+ 700≥ 240，解得 x≤ 46，
设利润为w= (x- 30) y= (x- 30) (-10x+ 700)，
w=-10x2+ 1000x- 21000=-10(x- 50)2+ 4000，
∵-10< 0，
∴ x< 50时，w随 x的增大而增大，
∴ x= 46时，w大=-10(46- 50)
2+ 4000= 3840，
答：当销售单价为 46元时，每天获取的利润最大，最大利润是 3840元；
( ) a-b=150， a=850，1. 解：1 由题意得： 解得 3b-2a=400， b=700.
( ) ( - ) 850x+700(15-x)≤11000　①，2 设购买甲型设备 x台，则购买乙型设备 15 x 台，依题意得 150x+100(15-x)≥1600　②，
x≤ 3 1解不等式①，得： 3 ，解不等式②，得：x≥ 2，则 2≤ x≤ 3
1
3 ，∴ x取值为 2或 3.
当 x= 2时，购买所需资金为：850× 2+ 700× 13= 10 800(元)，
当 x= 3时，购买所需资金为：850× 3+ 700× 12= 10 950(元)，
∴最省钱的购买方案为：购甲型设备 2台，乙型设备 13台，购买费用为 10 800元．
2. 解：(1)由题意，得挂B型车厢 (40- x)节，
易知 y= 0.6x+ 0.8(40- x) =-0.2x+ 32.
( ) 35x+25(40-x)≥1240，2 依题意，得 15x+35(40-x)≥880.
解得 24≤ x≤ 26，由于 x只能取整数，
所以 x= 24或 25或 26.
所以共有三种安排车厢的方案：
方案一，安排A型车厢 24节，B型车厢 16节；
方案二，安排A型车厢 25节，B型车厢 15节；
方案三，安排A型车厢 26节，B型车厢 14节．
(3)由 y=-0.2x+ 32知，x越大，y越小，故方案三运费最少，最少运费为-0.2× 26+ 32= 26.8(万
元)．
3. (1) 45≤ x≤ 50 y x y= 45×600 = 27000解： 由题意得，当 时， 与 之间的函数关系式为 x x ；
(2)设这种纪念品的月销售利润为w元，则w= (x- 40)y，
∴w= (x- 40) × 27000 = 27000- 1080000x x ，
19
∵w随 x的增大而增大，
∴ x = 50 w 27000- 1080000当 时， 的最大值为 50 = 5400(元).
答：当销售单价为 50元时，月销售利润最大，最大月销售利润是 5400元．
4. 解：(1)根据题意，设 y2= k2x，
将点 (10，200)代入，得 10k2= 200，
解得 k2= 20，
∴ y2= 20x，
由 y2的图象可知购买绿植数量为 10盆时，总费用为 200元，
∴乙花卉批发市场每盆绿植的售价是 20元，
∵两个市场对该种绿植的销售单价相同，
∴甲花卉批发市场每盆的售价为 20元，
∵甲花卉批发市场的方案是：所购买的绿植每盆按七折优惠，需另付配送费 30元，
∴ y1= 20× 0.7x+ 30= 14x+ 30，
∴ y1，y2与 x之间的函数关系式分别是 y1= 14x+ 30，y2= 20x；
(2)当采购老师购买的绿植数量小于 5盆时，选择乙花卉批发市场更划算；当采购老师购买的绿植数量
为 5盆时，选择甲、乙两个花卉批发市场所需总费用相同；当采购老师购买的绿植数量大于 5盆时，选
择甲花卉批发市场更划算．
【解法提示】①当 y1> y2时，即 14x+ 30> 20x，解得 x< 5，∴当采购老师购买的绿植数量小于 5盆时，
选择乙花卉批发市场更划算；②当 y1= y2时，即 14x+ 30= 20x，解得 x= 5，∴当采购老师购买的绿植
数量为 5盆时，选择甲、乙两个花卉批发市场所需总费用相同；③当 y1< y2时，即 14x+ 30< 20x，解得
x> 5，∴当采购老师购买的绿植数量大于 5盆时，选择甲花卉批发市场更划算．
5. 解：(1)设甲商品的进货单价是m元，乙商品的进货单价是n元．
m-n=20， m=100，
根据题意，得 解得 20m=25n， n=80.
答：甲商品的进货单价是 100元，乙商品的进货单价是 80元；
(2)设甲商品进货 x件，乙商品进货 (100- x)件．
100x+80(100-x)≤9000，根据题意，得 100x(1+10%)+80(100-x)(1+25%)≥10480，
解得 48≤ x≤ 50.
又∵ x是正整数，
∴ x的正整数值是 48或 49或 50，
∴有三种进货方案：
第一种：甲商品进货 48件，乙商品进货 52件；
第二种：甲商品进货 49件，乙商品进货 51件；
第三种：甲商品进货 50件，乙商品进货 50件；
(3)设甲进货 x件，乙进货 (100- x)件．销售的利润W= 100× 10%x+ 80(100- x) × 25%，
即W= 2 000- 10x，
∴当 x取得最小值 48时，W取得最大值为 2 000- 10× 48= 1 520(元)．
此时，乙进的件数是 100- 48= 52(件)．
答：当甲进货 48件，乙进货 52件时，利润最大，最大的利润是 1 520元．
6. 解：(1)设 1辆甲种客车和 1辆乙种客车的租金分别是 a元和 b元，根据题意，得
20
a+3b=1240， a=400， 解得 3a+2b=1760， b=280.
答：1辆甲种客车和 1辆乙种客车的租金分别是 400元和 280元．
(2)设租用甲种客车 x辆，则租用乙种客车 (8- x)辆，再设租车费用为 y元，则
y= 400x+ 280(8- x) = 120x+ 2 240.
又∵ 45x+ 30(8- x)≥ 330，解得 x≥ 6.
∴ x的取值范围是 6≤ x≤ 8的整数．
在函数 y= 120x+ 2240中，k= 120> 0，
∴ y随 x的增大而增大．
∴当 x= 6时，y有最小值 120× 6+ 2 240= 2 960(元)．
7. 解：(1)由于派往A地区的乙型收割机 x台，则派往B地区的乙型收割机为 (30- x)台，派往A，B地
区的甲型收割机分别为 (30- x)台和 (x- 10)台．
∴ y= 1 600x+ 1 200(30- x) + 1 800(30- x) + 1 600·(x- 10) = 200x+ 74 000(10≤ x≤ 30)；
(2)由题意，得 200x+ 74 000≥ 79 600，解得 x≥ 28，
∵ 28≤ x≤ 30，x是正整数，∴ x= 28或 29或 30，
∴有 3种不同分派方案：
①当 x= 28时，派往A地区的甲型收割机 2台，乙型收割机 28台，派往B地区的甲型收割机 18台，乙
型收割机 2台；
②当 x= 29时，派往A地区的甲型收割机 1台，乙型收割机 29台，派往B地区的甲型收割机 19台，乙
型收割机 1台；
③当 x= 30时，即 30台乙型收割机全部派往A地区，20台甲型收割机全部派往B地区；
(3) ∵ y= 200x+ 74 000中，y随 x的增大而增大，
∴当 x= 30时，y取得最大值，此时，y= 200× 30+ 74 000= 80 000(元)．
答：建议农机租赁公司将 30台乙型收割机全部派往A地区，20台甲型收割机全部派往B地区，这样
公司每天获得的租金最高，最高租金为 80 000元．
8.【分析】(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是 x(m2)，根据在独立完成面积为 400m2区域的绿化
时，甲队比乙队少用 4天，列出方程，求解即可；
(2)设应安排甲队工作 y天，根据这次的绿化总费用不超过 8万元，列出不等式，求解即可．
【解答】解：(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是 x(m2)，根据题意得：
400
x -
400
2x = 4，
解得：x= 50，
经检验 x= 50是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是 50× 2= 100(m2)，
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是 100m2、50m2；
(2)设应安排甲队工作 y天，根据题意得：
1800-100y
0.4y+ 50 × 0.25≤ 8，
解得：y≥ 10，
答：至少应安排甲队工作 10天．
9. 解：(1)根据题意，设 y= kx+ b，其中 k，b为待定的常数，
50k+b=100， k=-2，由表中的数据得 解得 60k+b=80， b=200，
21
∴ y=-2x+ 200(40≤ x≤ 80)；
(2)根据题意得W= y·(x- 40) = (-2x+ 200) (x- 40) =-2x2+ 280x-
8000(40≤ x≤ 80)；
(3)由 (2)可知：W=-2(x- 70)2+ 1800，∴当售价 x在满足 40≤ x≤ 70的范围内，利润W随着 x的
增大而增大；当售价在满足 70< x≤ 80的范围内，利润W随着 x的增大而减小．∴当 x= 70时，利
润W取得最大值，最大值为 1800元．
10.解：(1)设该种水果每次降低的百分率是 x.
则 10(1- x)2= 8.1，
解得 x1= 0.1，x2= 1.9(舍去)．
∴该种水果每次降价的百分率是 10%；
(2)当 1≤ x< 9时． y=[10(1- 10%)- 4.1] (80- 3x) - (40+ 3x) =-17.7x+ 352；
当 9≤ x< 15时，y=[10(1- 10%)2- 4.1] (120- x) - (3x2- 64x+ 400) =-3x2+ 60x+ 80，
∵ y=-17.7x+ 352，∴ x= 1时，y的最大值是 334.3，
∵ y=-3x2+ 60x+ 80=-3(x- 10)2+ 380，∴当 x= 10时，y的最大值是 380；
∵ 334.3< 380，∴在第 10天时销售利润最大；
(3)设第 15天在第 14天的价格基础降价 a元，由题意得：380- [(8.1- a- 4.1) (120- 15) - (3× 152
- 64× 15+ 400)]≤ 127.5，解得 a≤ 0.5，
答：第 15天在第 14天的价格基础上最多可降 0.5元．
22应用题
2026
春
季
班
课堂讲解 1
1. 最近三年中考试题 1
2. 一次函数应用题 2
3. 不等式应用 4
4. 分式应用题 5
5. 一元二次应用题 7
6. 二次函数应用题 11
课后练习 13
课堂讲解
1.最近三年中考试题
1. (2023年成都中考题)
2023年 7月 28日至 8月 8日,第 31届世界大学生运动会将在成都举行.“当好东道主,热情迎嘉
宾”,成都某知名小吃店计划购买A ,B两种食材制作小吃.已知购买 1千克A种食材和 1千克B种食材
共需 68元,购买 5千克A种食材和 3千克B种食材共需 280元.
(1)求A ,B两种食材的单价；
(2)该小吃店计划购买两种食材共 36千克,其中购买A种食材千克数不少于 B种食材千克数的 2
倍,当A ,B两种食材分别购买多少千克时,总费用最少 并求出最少总费用.
2. (2024年成都中考题)
推进中国式现代化,必须坚持不懈夯实农业基础,推进乡村全面振兴.某合作社着力发展乡村水果网
络销售,在水果收获的季节,该合作社用 17500元从农户处购进A ,B两种水果共 1500 kg进行销售,其
中A种水果收购单价 10元 /kg ,B种水果收购单价 15元 /kg.
(1)求A ,B两种水果各购进多少千克；
(2)已知A种水果运输和仓储过程中质量损失 4% ,若合作社计划A种水果至少要获得 20%的利润,
不计其他费用,求A种水果的最低销售单价.
3. (2025年成都中考题分)
2025年 8月 7日至 17日,第 12届世界运动会将在成都举行,与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文
创产品深受大家喜爱.某文旅中心在售A ,B两种吉祥物挂件,已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件
4
价格的 5 ,用 300元购买B种挂件的数量比用 200元购买A种挂件的数量多 7个.
(1)求每个A种挂件的价格;
(2)某游客计划用不超过 600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多 5
个，求该游客最多购买多少个A种挂件.
1
2.一次函数应用题
例题1.某技工培训中心有合格钳工 20名、车工 30名．现将这 50名技工派往A、B两地工作，两地的
月工资情况如下：
(1)若派往A地 x名钳工，余下的技工全部派往B地，试写出这 50名技工的月工资总额 y(元)与 x之
间的函数关系式，并写出 x的取值范围；
(2)若派往A地 x名车工，余下的技工全部派往B地，试写出这 50名技工的月工资总额 y(元)与 x之
间的函数关系式，并写出 x的取值范围．
分析本题是一道一次函数的应用题，为了表示题中的两个变量之间的关系，要求我们快速而准确地理解题意，将简
单的实际问题转化为数学问题 (建立一次函数)，从而解决实际问题，由于本题主语不唯一，且数据多，易干扰学生的思
路．为了更好地理清题意，我们可以画出框架图，帮助分析出问题的主体：分派钳工和车工共 50名前往A、B两地，求
他们的月工资总额 (见图 1)．
然后，让学生互助学习．根据表格所提供的信息，完整框架图中钳工和车工分派的人数，以及据此所需的工资总额
(见图 2)；进而寻找出两个变量之间的关系，达到解决问题．
解 (I)设派往A地 x名钳工，则派往B地的钳工为 (20- x)名，车工为 30名，于是有
y= 1800x+ 1600(20- x) + 1200× 30= 200x+ 68000(其中 0< x≤ 20，且 x为整数)，过程见图 2，
(2)设派往A地 x名车工，则派往B地的车工为 (30- x)名，钳工为 20名，于是有
y= 1600x+ 1200(30- x) + 1600× 20= 400x+ 68000(其中 0< x≤ 30，且 x为整数)，过程见图 3．
追问：若A地需要 18名技工，B地需要 32名技工，并设派往A地 x名钳工，试写出这 50名技工的月
2
工资总额 y(元)与 x之间的函数关系式，并写出月工资总额最低的调配方案．
分析此追问和原题略有不同，但首先要明确一个等量关系：A、B两地所需技工恰好等于钳工与车工的总数，然后
据此用框架图很快便可解决问题 (见图 4)．
解:由派往A地 x名钳工，知派往B地的钳工为 (20- x)名，派往A地车工为 (18- x)
名，派往B地车工为 [30- (18- x)]= (x+ 12)名，于是有
y= 1800x+ 1600(20- x) + 1600× (18- x) + 1200× (x+ 12) =-200x+ 75200．
又由框架图可知，派往A、B两地的人数均非负，
18-x≥0,所以， x+ ≤ 0< x≤ 18．12 32,
又-200< 0，所以当 x= 18时，月工资总额最低，且为 71600元．
变式1 某工厂现有甲种原料 360千克，乙种原料 290千克，计划利用这两种原料生产A，B两种产品，
共 50件．已知生产一件A种产品需要甲种原料 9千克，乙种原料 3千克，可获利润 700元；生产一件B种
产品，需要甲种原料 4千克，乙种原料 10千克，可获利润 1200元．
(1)求安排A，B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；
(2)设生产A，B两种产品获总利润是 y(元)，其中一种的生产件数是 x，试写出 y与 x之间的函数关
系式，并利用函数的性质说明 (1)中的哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？
分析本题是一道实际应用题，问题的本质是寻求题中所含的不等关系，为了生产 50件产品所需的甲
种原料不得超过 360千克，所需的乙种原料不得超过 290千克，画出框架图如下 (见图 5)：
解 (1)设生产A种产品 x件，则生产B种产品 (50- x)件，
由题意，可知
9x+4 50-x ≤360 3x+10 50-x ≤290
解之得 30≤ x≤ 32．
所以有 3种生产方案：①A30件，B20件；②A31件，B19件；③A32件，B18件．
(2)y= 700x+ 1200(50- x) =-500x+ 60000．
因为-500< 0，
所以当 x= 30时，利润最大，且为 45000元；
当 x= 32时，利润最小，且为 44000元．
1.为积极响应政府提出的“绿色发展·低碳出行”号召，某社区决定购置一批共享单车，经市场调查得知，
购买 3辆男式单车与 4辆女式单车费用相同；购买 5辆男式单车与 4辆女式单车共需 16000元．
3
(1)求男式单车和女式单车的单价；
(2)该社区要求男式单车比女式单车多 4辆，两种单车至少需要 22辆，购置两种单车的费用不超过
50000元，该社区有几种购置方案？怎样购置才能使所需总费用最低，最低费用是多少？
解：(1)设男式单车与女式单车的单价分别为 x元，y元，由题意
3x=4y， x=2000，可得 + 解得5x 4y=16000， y=1500.
答：男式单车与女式单车单价分别为 2000元，1500元；
(2)设购置女式单车n辆．则购置男式单车 (n+ 4)辆．由题意可知n+ (n+ 4)≥ 22，解得n≥ 9，
又∵购置两种单车的费用不超过 5000元，∴ 2000(n+ 4) + 1500n≤ 50000，解得 n≤ 12，∴ 9≤ n≤
12，
又∵n为整数，∴n= 9，10，11，12，
∴总共有 4种购置方案，
总费用W= 2000(n+ 4) + 1500n= 3500n+ 8000，
∵ 3500> 0，∴W随n的增大而增大．
∴当n= 9，即购置 9辆女式单车，13辆男式单车时，
总费用最低，最低费用为W= 3500× 9+ 8000= 39500元．
3.不等式应用
例题2.威丽商场销售A，B两种商品，售出 1件A种商品和 4件B种商品所得利润为 600元，售出 3
件A种商品和 5件B种商品所得利润为 1100元．
(1)求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元；
(2)由于需求量大，A、B两种商品很快售完，威丽商场决定再一次购进A、B两种商品共 34件．如果
将这 34件商品全部售完后所得利润不低于 4000元，那么威丽商场至少需购进多少件A种商品？
解：(1)设A种商品售出后所得利润为 x元，B种商品售出后所得利润为 y元．由题意，
x+4y=600， x=200，得 3x+5y= 解得1100. y=100，
答：A种商品售出后所得利润为 200元，B种商品售出后所得利润为 100元；
(2)设购进A种商品 a件，则购进B种商品 (34- a)件．由题意，得：200a+ 100(34- a)≥ 4000，
解得：a≥ 6.
答：威丽商场至少需购进 6件A种商品．
变式2 某种型号油电混合动力汽车．从A地到B地燃油行驶纯燃油费用 76元，从A地到B地用电
行驶纯电费用 26元，已知每行驶 1千米，纯燃油费用比纯用电费用多 0.5元．
(1)求每行驶 1千米纯用电的费用；
(2)若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油、电费用合计不超过 39元，则至少用电行驶多少千
米？
解：(1)设每行驶 1千米纯用电的费用为 x元，则每行驶 1千米纯燃油的费用为 (x+ 0.5)元．
76
根据题意得 x+0.5 =
26
x ，
解得 x= 0.26，经检验 x= 0.26是原方程的根．
答：纯用电每行驶 1千米所需要的费用为 0.26元；
(2)由 (1)得纯燃油每行驶 1千米所需的费用为 0.5+ 0.26= 0.76(元)，从A到B的距离为 26÷ 0.26
= 100(千米)．
4
设用电行驶 y千米，则用燃油行驶 (100- y)千米．
根据题意得 0.26y+ 0.76(100- y)≤ 39，
解得 y≥ 74.
答：至少用电行驶 74千米．
2.天水某公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两型环保节能
公交车 10辆，若购买A型公交车 1辆，B型公交车 2辆，共需 400万元，若购买A型公交车 2辆，B型
公交车 1辆，共需 350万元．
(1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？
(2)预计在该条线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为 60万人次和 100万人次．若该公司
购买A型和B型公交车的总费用不超过 1220万元，且确保这 10辆公交车在该线路的平均载客量总和不
少于 650万人次，则该公司有哪几种购买方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？
解：( 1 ) 设购买 A 型公交车每辆需 x 万元 ，B 型公交车每辆需 y 万元．由题意列方程组：
x+2y=400， x=100， + 解得2x y=350， y=150.
答：购买A型公交车每辆需 100万元，B型公交车每辆需 150万元；
(2)设该公司购买A型公交车 a辆，则购买B型公交车 (10- a)辆．由题意得 100a+ 150(10- a) ≤
1220，
解得 a≥ 5 35 ，
又∵这 10辆公交车在该线路的平均载客总量不少于 650万人次，
∴ 60a+ 100(10- a)≥ 650，解得 a≤ 8 34 ，
∴ 5 35 ≤ a≤ 8
3
4 ，
又∵ a为正整数，∴ a= 6，7，8，∴ 10- a= 4，3，2.
∴一共有三种购车方案．
方案一：购买A型公交车 6辆．购买B型公交车 4辆．总费用为 100× 6+ 150× 4= 1200(万元)；
方案二：购买A型公交车 7辆．购买B型公交车 3辆．总费用为 100×+150× 3= 1150(万元)；
方案三：购买A型公交车 8辆，购买B型公交车 2辆，总费用为 100× 8+ 150× 2= 1100(万元)．
答：一共有三种购车方案，方案三费用最少，最少费用是 1100万元．
4.分式应用题
例题3.兴发服装店老板用 4500元购进一批某款 T恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用
4950元购进第二批该款式T恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了 9元．
(1)第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？
(2) 4老板以每件 120元的价格销售该款式T恤衫，当第二批T恤衫售出 5 时，出现了滞销，于是决定
降价促销，若要使第二批的销售利润不低于 650元，剩余的T恤衫每件售价至少要多少元？ (利润=售价
-进价)
【分析】(1)设第一批T恤衫每件进价是 x元，则第二批每件进价是 (x+ 9)元，再根据等量关系：第二
批进的件数=第一批进的件数可得方程；
(2)设剩余的T恤衫每件售价 y元，由利润=售价-进价，根据第二批的销售利润不低于 650元，可
列不等式求解．
5
【解答】解：(1)设第一批T恤衫每件进价是 x元，由题意，得
4500
x =
4950
x+9 ，
解得 x= 90，
经检验 x= 90是分式方程的解，符合题意．
答：第一批T恤衫每件的进价是 90元；
(2)设剩余的T恤衫每件售价 y元．
由 (1)知，第二批购进 495099 = 50(件)．
由题意，得 120× 50× 45 + y× 50×
1
5 - 4950≥ 650，解得 y≥ 80．
答：剩余的T恤衫每件售价至少要 80元．
变式3“六 一”儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用 2500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱
销，接着又用 4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的 1.5倍，但每套进价多了 10元．
(1)求第一批玩具每套的进价是多少元？
(2)如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于 25%，那么每套售价至少是多少元？
(1) x 2500【分析】 设第一批玩具每套的进价是 元，则第一批进的件数是： x ，第二批进的件数是：
4500
x+10 ，再根据等量关系：第二批进的件数=第一批进的件数× 1.5可得方程；
(2)设每套售价是 y元，利润=售价-进价，根据这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不
低于 25%，可列不等式求解．
【解答】解：(1)设第一批玩具每套的进价是 x元，
2500
x × 1.5=
4500
x+10 ，x= 50，
经检验 x= 50是分式方程的解，符合题意．
答：第一批玩具每套的进价是 50元；
(2)设每套售价是 y元，
2500
50 × 1.5= 75(套)．
50y+ 75y- 2500- 4500≥(2500+ 4500) × 25%，y≥ 70，
答：如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于 25%，那么每套售价至少是 70元．
3.某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为 40元，
用 90元购进甲种玩具的件数与用 150元购进乙种玩具的件数相同．
(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共 48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次
进货的总资金不超过 1000元，求商场共有几种进货方案？
【分析】(1)设甲种玩具进价 x元 /件，则乙种玩具进价为 (40- x)元 /件，根据已知一件甲种玩具的进
价与一件乙种玩具的进价的和为 40元，用 90元购进甲种玩具的件数与用 150元购进乙种玩具的件数
相同可列方程求解．
(2)设购进甲种玩具 y件，则购进乙种玩具 (48- y)件，根据甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商
场决定此次进货的总资金不超过 1000元，可列出不等式组求解．
【解答】解：设甲种玩具进价 x元 /件，则乙种玩具进价为 (40- x)元 /件，
90 = 150x 40-x
x= 15，
6
经检验 x= 15是原方程的解．
∴ 40- x= 25．
甲，乙两种玩具分别是 15元 /件，25元 /件；
(2)设购进甲种玩具 y件，则购进乙种玩具 (48- y)件，
y<48-y 15y+25( ，48-y)≤1000
解得 20≤ y< 24．
因为 y是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，
∴ y取 20，21，22，23，
共有 4种方案．
5.一元二次应用题
例题4.当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急
剧上升，书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为 20元，根据以往经验，当销售单
价是 25元时，每天的销售量是 250本：销售单价每上涨 1元每天的销售量就减少 10本，书店要求每本书
的利润不低于 10元且不高于 18元．
(1)求出书店销售该科幻小说时每天的销售量 y(本)与销售单价 x(元)之间的函数关系式及自变量的
取值范围；
(2)书店决定每销售 1本该科幻小说，就捐赠 2元给困难职工，该如何定价可保证每天扣除捐赠后能
获得利润为 1960元．
解：(1)依题意，得 y= 250- 10(x- 25) =-10x+ 500．
∵每本书的利润不低于 10元且不高于 18元，
∴ 20+ 10≤ x≤ 20+ 18，即 30≤ x≤ 38．
∴书店销售该科幻小说时每天的销售量 y(本)与销售单价 x(元)之间的函数关系式为 y=-10x+
500(30≤ x≤ 38)．
(2)依题意，得 (x- 20- 2) (-10x + 500) = 1960，
整理，得 x2- 72x+ 1296= 0，
解得：x1= x2= 36．
答：当定价为 36元时，可保证每天扣除捐赠后能获得利润为 1960元．
变式4 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克 50元，连续两次降价后每千克 32元，若每每次下
降的百分率相同
(1)求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利 10元，每天可售出 500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采
取适当的涨价措施，若每千克涨价 1元，日销售量将减少 20千克，现该商场要保证每天盈利 6000元，且要
尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
解：(1)设每次下降的百分率为 a，根据题意，得：
50(1- a)2= 32，
解得：a= 1.8(舍)或 a= 0.2，
答：每次下降的百分率为 20%；
(2)设每千克应涨价 x元，由题意，得
(10+ x) (500- 20x) = 6000，
7
整理，得 x2- 15x+ 50= 0，
解得：x1= 5，x2= 10，
因为要尽快减少库存，所以 x= 5符合题意．
答：该商场要保证每天盈利 6000元，那么每千克应涨价 5元．
4.某商场销售一批衬衫，平均每天可销售出 20件，每件盈利 40元，为扩大销售盈利，商场决定采取适当
的降价措施，但要求每件盈利不少于 20元，经调查发现．若每件衬衫每降价 1元，则商场每天可多销
售 2件．
(1)若每件衬衫降价 4元，则每天可盈利多少元？
(2)若商场平均每天盈利 1200元．则每件衬衫应降价多少元？
解：(1) (20+ 2× 4) × (40- 4) = 1008元．
答：商场每天销售这种衬衫可以盈利 1008元．
(2)设每件衬衫降价 x元时，商场每天销售这种衬衫可以盈利 1200元，
根据题意得：(20+ 2x) × (40- x) = 1200，
整理得：x2- 30x+ 200= 0，
(x- 10) (x- 20) = 0，
解得：x1= 10，x2= 20，
答：每件衬衫降价 10元或 20元时，商场每天销售这种衬衫可以盈利 1200元．
5.某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小
幅度的减产，而枇杷有所增产．
(1)该地某果农今年收获樱桃和枇杷共 400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的 7倍，求该果农
今年收获樱桃至少多少千克？
(2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销量为
100千克，销售均价为 30元 /千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果
农去年枇杷的市场销售量为 200千克，销售均价为 20元 /千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了
2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他
去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．
解：(1)设该果农今年收获樱桃 x千克，根据题意得：400- x≤ 7x.解得：x≥ 50.
答：该果农今年收获樱桃至少 50千克；
(2)由题意可得：100(1-m%)× 30+ 200× (1+ 2m%)× 20(1-m%)= 100× 30+ 200× 20，
令m%= y，原方程可化为：3000(1- y) + 4000(1+ 2y) (1- y) = 7000，
整理可得：8y2- y= 0，解得：y1= 0，y2= 0.125，∴m1= 0(舍去)，m2= 12.5，∴m= 12.5.
答：m的值为 12.5.
例题5.如图，在宽为 40m，长为 64m的矩形地面上，修筑三条同样宽的道路，每条道路均与矩形地面
的一条边平行，余下的部分作为耕地，要使得耕地的面积为 2418m2，则道路的宽应为多少？
解：设道路的宽应为 xm，
依题意，得：(64- 2x) (40- x) = 2418，
8
整理，得：x2- 72x+ 71= 0，
解得：x1= 1，x2= 71(不合题意，舍去)．
答：道路的宽应为 1m．
变式5 如图，用长为 20m的篱笆，一面利用墙 (墙的最大可用长度为 11m)，围成中间隔有一道篱笆的
长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在 BC上用其他材料做了宽为 1m的两扇小门．若花圃
的面积刚好为 40m2，则此时花圃AB段的长为 m．
解：设AB= x米，则BC= (20- 3x+ 2)米，
依题意，得：x(20- 3x+ 2) = 40，
整理，得：3x2- 22x+ 40= 0，
解得：x1= 103 ，x2= 4．
当 x= 103 时，20- 3x+ 2= 12> 11，不合题意，舍去；
当 x= 4时，20- 3x+ 2= 10，符合题意．
故答案为：4．
6.如图，有一张矩形纸片，长 10cm，宽 6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后将四周突出部
分折起，就能制作一个无盖的方盒，若方盒的底面积 (图中阴影部分)是 32cm2，则剪去的小正方形的
边长为 cm．
解：设剪去的小正方形的边长为 xcm，
依题意，得：(10- 2x) (6- 2x) = 32，
整理，得：x2- 8x+ 7= 0，
解得：x1= 1，x2= 7(不合题意，舍去)．
故答案为：1．
例题6.汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司 2016年盈利 1500万元，到
2018年盈利 2160万元，且从 2016年到 2018年，每年盈利的年增长率相同．
(1)求每年盈利的年增长率；
(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，那么 2019年该公司盈利能否达到 2500万元？
解：(1)设每年盈利的年增长率为 x，
根据题意得：1500(1+ x)2= 2160．
解得 x1= 0.2，x2=-2.2(不合题意，舍去)．
答：每年盈利的年增长率为 20%；
(2)2160(1+ 0.2) = 2592，2592> 2500
答：2019年该公司盈利能达到 2500万元．
9
变式6 有一人患了流感，经过两轮传染后共有 64人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给
个人．
解：设每轮传染中平均一个人传染给 x个人，
根据题意得：1+ x+ x(1+ x) = 64，
解得：x1= 7，x2=-9(不合题意，舍去)．
答：每轮传染中平均一个人传染给 7个人．
故答案为：7．
7.一个农业合作社以 64000元的成本收获了某种农产品 80吨，目前可以以 1200元 /吨的价格售出，如果
储藏起来，每星期会损失 2吨，且每星期需支付各种费用 1600元，但同时每星期每吨的价格将上涨
200元．那么储藏 个星期再出售这批农产品可获利 122000元．
解：设储藏 x星期出售这批农产品可获利 122000元，
由题意得 (1200+ 200x) × (80- 2x) - 1600x- 64000= 122000，
化简，得，x2- 30x+ 225= 0，
解得：x1= x2= 15．
故答案为：15．
例题7.如图，在 △ABC中，∠C = 90°，AB = 10cm，AC = 8cm，点 P从点 A开始出发向点 C以
2cm/s速度移动，点Q从B点出发向点C以 1cm/s速度移动．若P，Q分别同时从A，B出发，设运动时
间为 t，当四边形APQB的面积是 16cm2时，则 t的值为 ．
解：在△ABC中，∠C= 90°，AB= 10cm，AC= 8cm，∴BC= AB2-AC2= 6cm．
当运动时间为 t秒时，AP= 2tcm，PC= (8- 2t)cm，BQ= tcm，CQ= (6- t)cm，
根据题意得：1 × 6× 8- 12 2 (8- 2t) (6- t) = 16，
整理得：t2- 10t+ 16= 0，
解得：t1= 2，t2= 8．
∵ 8- 2t≥ 0，∴ t≤ 4，∴ t= 2．故答案为：2．
变式7 如图，△ABC中，∠B = 90°，AB = 6cm，BC = 8cm，点 P从点 A开始沿边 AB向点 B以
1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿BC向C点以 2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、
B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，经过 秒，四边形APQC的面积等于 16cm2．
10
解：设运动时间为 t秒时，四边形APQC的面积等于 16cm2，
1
依题意，得：2 × 6× 8-
1
2 (6- t) × 2t= 16，
整理，得：t2- 6t+ 8= 0，
解得：t1= 2，t2= 4．
当 t= 2时，2t= 4< 8，符合题意；
当 t= 4时，2t= 8，此时点Q，C重合，不符合题意，舍去．故答案为：2．
6.二次函数应用题
例题8.“十三五”以来，党中央，国务院不断加大脱贫攻坚的支持决策力度，并出台配套文件，国家机
关各部门也出台多项政策文件或实施方案．某单位认真分析被帮扶人各种情况后，建议被帮扶人大力推
进特色产业，大量栽种甜橙；同时搭建电商运营服务平台，开设网店销售农产品，甜橙丰收后，将一批甜橙
采取现场销售和网络销售相结合进行试销，统计后发现：同样多的甜橙，现场销售可获利 800元，网络销
售可获利 1000元，网络销售比现场销售每件多获利 5元．
(1)现场销售和网络销售每件分别获利多少元？
(2)根据甜橙试销情况分析，现场销售量 a(件)和网络销售量 b(件) 1满足如下关系式：b=- 225 a +
12a- 200.求 a为何值时，农户销售甜橙获得的总利润最大？最大利润是多少？
【分析】(1)设现场销售每件获利 x元，则网络销售每件获利 (x+5) 元，由“同样多的甜橙”这一信
息可列出方程 800 = 1000x x+5 ，即可求解；
(2)由 (1)得，现场销售每件获利 20 元，网络销售每件获利 25 元，则现场销售的利润为
20a 元，网络销售的利润为 25b 元，设总利润为W元，从而即可求得W与 x之间的关系式，最
后根据二次函数的性质即可求解．
解：(1)设现场销售每件 x元，则网络销售每件获利为 (x+ 5)元，依据题意得．
800 = 1000x x+5 ，解得 x= 20，
将 x= 20代入 x(x+ 5) ≠ 0且符合实际情况，
故 x= 20是原分式方程的解，
答：现场销售每件获利 20元，网络销售每件获利 25元；
(2)设农户销售所获的总利润为W元，依据题意可得，
W= 20a+ 25b= 20a+ 25 - 1 225 a +12a-200 ，
整理得W=-a2+ 320a- 5000=- (a- 160) 2+ 20600，
故当 a= 160时，W有最大值为 20600.
答：当 a为 160时，农户销售甜橙获得的总利润最大，最大利润是 20600元．
变式8 某商店销售一款进价为每件 40元的护肤品，调查发现，销售单价不低于 40元且不高于 80元
时，该商品的日销售量 y(件)与销售单价 x(元)之间存在一次函数关系，当销售单价为 44元时，日销售量
为 72件；当销售单价为 48元时，日销售量为 64件．
(1)求 y与 x之间的函数关系式；
(2)设该护肤品的日销售利润为w(元)，当销售单价 x为多少时，日销售利润w最大，最大日销售利润
是多少？
【思路分析】(1)设 y与 x的函数关系式为：y= kx+ b(k≠ 0)，将 (44，72)，(48，64)代入，利用待定系
数法即可求出一次函数解析式；
11
(2)根据 (1)的函数关系式，利用求二次函数最值的方法便可解出答案．
【解答】解：(1)设 y与 x的函数关系式为：y= kx+ b(k≠ 0)，
44k+b=72由题意得： 48k+ = ，b 64
解得：k=-2，b= 160，
所以 y与 x之间的函数关系式是 y=-2x+ 160(40≤ x≤ 80)；
(2)由题意得，w与 x的函数关系式为：
w= (x- 40) (-2x+ 160) =-2x2+ 240x- 6400=-2(x- 60)2+ 800，
当 x= 60元时，利润w最大是 800元，
所以当销售单价 x为 60元时，日销售利润w最大，最大日销售利润是 800元．
8.“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为 30元 /件，每天销售 y(件)与销售
单价 x(元)之间存在一次函数关系，如图所示．
(1)求 y与 x之间的函数关系式；
(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于 240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最
大利润是多少？
( ) 40k+b=300 k=-10解：1 由题意得： ，解得： ．55k+b=150 b=700
故 y与 x之间的函数关系式为：y=-10x+ 700，
(2)由题意，得-10x+ 700≥ 240，解得 x≤ 46，
设利润为w= (x- 30) y= (x- 30) (-10x+ 700)，
w=-10x2+ 1000x- 21000=-10(x- 50)2+ 4000，
∵-10< 0，
∴ x< 50时，w随 x的增大而增大，
∴ x= 46时，w大=-10(46- 50)
2+ 4000= 3840，
答：当销售单价为 46元时，每天获取的利润最大，最大利润是 3840元；
12
课后练习
1.为了加强对校内外安全监控，创建平安校园，某学校计划增加 15台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号
的设备，其中每台价格，有效监控范围如表所示，经调查，购买 1台甲型设备比购买 1台乙型设备多
150元，购买 2台甲型设备比购买 3台乙型设备少 400元.
甲型 乙型
价格 (元 /台) a b
有效范围 (平方米 /台) 150 100
(1)求 a，b的值；
(2)若购买该批设备的资金不超过 11 000元，且要求监控覆盖范围不低于 1 600平方米，两种型号的
设备均要至少买一台，请你为学校设计购买方案，并计算最低购买费用．
( ) a-b=150， a=850，解： 1 由题意得： - = 解得3b 2a 400， b=700.
( ) 850x+700(15-x)≤11000　①，2 设购买甲型设备 x台，则购买乙型设备 (15- x)台，依题意得 150x+100(15-x)≥1600　②，
解不等式①，得：x≤ 3 13 ，解不等式②，得：x≥ 2，则 2≤ x≤ 3
1
3 ，∴ x取值为 2或 3.
当 x= 2时，购买所需资金为：850× 2+ 700× 13= 10 800(元)，
当 x= 3时，购买所需资金为：850× 3+ 700× 12= 10 950(元)，
∴最省钱的购买方案为：购甲型设备 2台，乙型设备 13台，购买费用为 10 800元．
2.现计划把甲种货物 1 240吨和乙种货物 880吨用一列火车运往某地，已知这列火车挂有A，B两种不
同规格的车厢共 40节，使用A型车厢每节费用为 6 000元，使用B型车厢每节费用为 8 000元．
(1)设运送这批货物的总费用为 y万元，这列火车挂A型车厢 x节，试写出 y与 x之间的函数关系式；
(2)如果每节A型车厢最多可装甲种货物 35吨和乙种货物 15吨，每节B型车厢最多可装甲种货物
25吨和乙种货物 35吨，装货时按此要求安排A，B两种车厢的节数，那么共有哪几种安排车厢的方案？
(3) (2)中的哪种方案运费最少？最少运费为多少万元？
解：(1)由题意，得挂B型车厢 (40- x)节，
易知 y= 0.6x+ 0.8(40- x) =-0.2x+ 32.
( ) 35x+25(40-x)≥1240，2 依题意，得 15x+35(40-x)≥880.
解得 24≤ x≤ 26，由于 x只能取整数，
所以 x= 24或 25或 26.
所以共有三种安排车厢的方案：
方案一，安排A型车厢 24节，B型车厢 16节；
方案二，安排A型车厢 25节，B型车厢 15节；
方案三，安排A型车厢 26节，B型车厢 14节．
(3)由 y=-0.2x+ 32知，x越大，y越小，故方案三运费最少，最少运费为-0.2× 26+ 32= 26.8(万
元)．
3. 旅游纪念品是制作精巧、富有地域特色和民族特色的工艺品礼品，对活跃旅游商品市场、促进旅游经
济发展有着重要意义．某景区出售一种旅游纪念品，已知这种纪念品的成本是每个 40元，售价不低
于 45元，同时物价局规定，这种纪念品的市场销售单价不得高于 50元.经市场调查，发现每月销售量
13
与销售单价成反比例关系，当销售单价为 45元时，月销售量为 600个；
(1)求月销售量 y(个)与销售单价 x(元 /个)之间的函数关系式；
(2)当这种纪念品的销售单价为多少元时，月销售利润最大？最大月销售利润是多少元？
解：(1)由题意得，当 45≤ x≤ 50时，y与 x之间的函数关系式为 y= 45×600 = 27000x x ；
(2)设这种纪念品的月销售利润为w元，则w= (x- 40)y，
∴w= (x- 40) × 27000x = 27000-
1080000
x ，
∵w随 x的增大而增大，
∴当 x = 50时，w的最大值为 27000- 108000050 = 5400(元).
答：当销售单价为 50元时，月销售利润最大，最大月销售利润是 5400元．
4. 为了美化环境，学校计划购买一批绿植，已知甲、乙两个花卉批发市场对于某种绿植的销售单价相
同，现有如下优惠活动：甲市场所购买的绿植每盆按七折优惠，需另付配送费 30元；乙市场所购买的
绿植每盆按售价付款不优惠，但免费配送；设学校购买该种绿植的数量为 x(盆)，在甲、乙花卉批发市
场所需总费用分别为 y1，y2元，其函数图象如图所示．
(1)分别求出 y1，y2与 x之间的函数关系式；
(2)学校采购老师准备周末去花卉批发市场购买该种绿植，根据函数图象，直接写出选择哪个花卉批
发市场更划算．
解：(1)根据题意，设 y2= k2x，
将点 (10，200)代入，得 10k2= 200，
解得 k2= 20，
∴ y2= 20x，
由 y2的图象可知购买绿植数量为 10盆时，总费用为 200元，
∴乙花卉批发市场每盆绿植的售价是 20元，
∵两个市场对该种绿植的销售单价相同，
∴甲花卉批发市场每盆的售价为 20元，
∵甲花卉批发市场的方案是：所购买的绿植每盆按七折优惠，需另付配送费 30元，
∴ y1= 20× 0.7x+ 30= 14x+ 30，
∴ y1，y2与 x之间的函数关系式分别是 y1= 14x+ 30，y2= 20x；
(2)当采购老师购买的绿植数量小于 5盆时，选择乙花卉批发市场更划算；当采购老师购买的绿植数量
为 5盆时，选择甲、乙两个花卉批发市场所需总费用相同；当采购老师购买的绿植数量大于 5盆时，选
择甲花卉批发市场更划算．
【解法提示】①当 y1> y2时，即 14x+ 30> 20x，解得 x< 5，∴当采购老师购买的绿植数量小于 5盆时，
选择乙花卉批发市场更划算；②当 y1= y2时，即 14x+ 30= 20x，解得 x= 5，∴当采购老师购买的绿植
数量为 5盆时，选择甲、乙两个花卉批发市场所需总费用相同；③当 y1< y2时，即 14x+ 30< 20x，解得
x> 5，∴当采购老师购买的绿植数量大于 5盆时，选择甲花卉批发市场更划算．
14
5.某商店购进甲，乙两种商品，甲的进货单价比乙的进货单价高 20元，已知 20个甲商品的进货总价与
25个乙商品的进货总价相同．
(1)求甲、乙商品的进货单价；
(2)若甲、乙两种商品共进货 100件，要求两种商品的进货总价不高于 9 000元，同时甲商品按进价提
高 10%后的价格销售，乙商品按进价提高 25%后的价格销售，两种商品全部售完后的销售总额不低于 10
480元，问有哪几种进货方案？
(3)在条件 (2)下，并且不再考虑其他因素，若甲、乙两种商品全部售完，哪种方案利润最大？最大利
润是多少？
解：(1)设甲商品的进货单价是m元，乙商品的进货单价是n元．
m-n=20， m=100，根据题意，得 解得20m=25n， n=80.
答：甲商品的进货单价是 100元，乙商品的进货单价是 80元；
(2)设甲商品进货 x件，乙商品进货 (100- x)件．
100x+80(100-x)≤9000，根据题意，得 100x(1+10%)+80(100-x)(1+25%)≥10480，
解得 48≤ x≤ 50.
又∵ x是正整数，
∴ x的正整数值是 48或 49或 50，
∴有三种进货方案：
第一种：甲商品进货 48件，乙商品进货 52件；
第二种：甲商品进货 49件，乙商品进货 51件；
第三种：甲商品进货 50件，乙商品进货 50件；
(3)设甲进货 x件，乙进货 (100- x)件．销售的利润W= 100× 10%x+ 80(100- x) × 25%，
即W= 2 000- 10x，
∴当 x取得最小值 48时，W取得最大值为 2 000- 10× 48= 1 520(元)．
此时，乙进的件数是 100- 48= 52(件)．
答：当甲进货 48件，乙进货 52件时，利润最大，最大的利润是 1 520元．
6.学校准备租用一批汽车，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量 45人，乙种客车每辆载客量 30
人．已知 1辆甲种客车和 3辆乙种客车需租金 1 240元，3辆甲种客车和 2辆乙种客车共需租金 1 760
元．
(1)求 1辆甲种客车和 1辆乙种客车的租金分别是多少元？
(2)学校计划租用甲、乙两种客车共 8辆，送 330名师生集体外出活动，最节省的租车费用是多少？
解：(1)设 1辆甲种客车和 1辆乙种客车的租金分别是 a元和 b元，根据题意，得
a+3b=1240， a=400， 3a+ 解得2b=1760， b=280.
答：1辆甲种客车和 1辆乙种客车的租金分别是 400元和 280元．
(2)设租用甲种客车 x辆，则租用乙种客车 (8- x)辆，再设租车费用为 y元，则
y= 400x+ 280(8- x) = 120x+ 2 240.
又∵ 45x+ 30(8- x)≥ 330，解得 x≥ 6.
∴ x的取值范围是 6≤ x≤ 8的整数．
在函数 y= 120x+ 2240中，k= 120> 0，
15
∴ y随 x的增大而增大．
∴当 x= 6时，y有最小值 120× 6+ 2 240= 2 960(元)．
7.某农机租赁公司共有 50台收割机，其中甲型 20台、乙型 30台，现将这 50台联合收割机派往A，B两
地区收割水稻，其中 30台派往A地区，20台派往B地区，两地区与该农机租赁公司商定的每天租赁
价格如下表：
每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金
A地区 1 800元 1 600元
B地区 1 600元 1 200元
(1)设派往A地区 x台乙型联合收割机，租赁公司这 50台联合收割机一天获得的租金为 y元，求 y关
于 x的函数关系式；
(2)若使农机租赁公司这 50台收割机一天所获租金不低于 79 600元，试写出满足条件的所有分派方
案；
(3)农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司 50台收割机每天获得的租金最高，并说明理由．
解：(1)由于派往A地区的乙型收割机 x台，则派往B地区的乙型收割机为 (30- x)台，派往A，B地
区的甲型收割机分别为 (30- x)台和 (x- 10)台．
∴ y= 1 600x+ 1 200(30- x) + 1 800(30- x) + 1 600·(x- 10) = 200x+ 74 000(10≤ x≤ 30)；
(2)由题意，得 200x+ 74 000≥ 79 600，解得 x≥ 28，
∵ 28≤ x≤ 30，x是正整数，∴ x= 28或 29或 30，
∴有 3种不同分派方案：
①当 x= 28时，派往A地区的甲型收割机 2台，乙型收割机 28台，派往B地区的甲型收割机 18台，乙
型收割机 2台；
②当 x= 29时，派往A地区的甲型收割机 1台，乙型收割机 29台，派往B地区的甲型收割机 19台，乙
型收割机 1台；
③当 x= 30时，即 30台乙型收割机全部派往A地区，20台甲型收割机全部派往B地区；
(3) ∵ y= 200x+ 74 000中，y随 x的增大而增大，
∴当 x= 30时，y取得最大值，此时，y= 200× 30+ 74 000= 80 000(元)．
答：建议农机租赁公司将 30台乙型收割机全部派往A地区，20台甲型收割机全部派往B地区，这样
公司每天获得的租金最高，最高租金为 80 000元．
8.某校为美化校园，计划对面积为 1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天
能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的 2倍，并且在独立完成面积为 400m2区域的绿化
时，甲队比乙队少用 4天．
(1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？
(2)若学校每天需付给甲队的绿化费用为 0.4万元，乙队为 0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过
8万元，至少应安排甲队工作多少天？
【分析】(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是 x(m2)，根据在独立完成面积为 400m2区域的绿化时，
甲队比乙队少用 4天，列出方程，求解即可；
(2)设应安排甲队工作 y天，根据这次的绿化总费用不超过 8万元，列出不等式，求解即可．
【解答】解：(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是 x(m2)，根据题意得：
400 - 400x 2x = 4，
解得：x= 50，
16
经检验 x= 50是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是 50× 2= 100(m2)，
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是 100m2、50m2；
(2)设应安排甲队工作 y天，根据题意得：
1800-100y
0.4y+ 50 × 0.25≤ 8，
解得：y≥ 10，
答：至少应安排甲队工作 10天．
9.某超市销售一种商品，成本每千克 40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于 80元．经市场调查，
每天的销售量 y(kg)与每千克售价 x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表：
售价 x(元 /kg) 50 60 70
销售量 y(kg) 100 80 60
(1)求 y与 x之间的函数表达式；
(2)设商品每天的总利润为W(元)，求W与 x之间的函数表达式 (利润=收入-成本)；
(3)试说明 (2)中总利润W随售价 x的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最
大利润是多少？
解：(1)根据题意，设 y= kx+ b，其中 k，b为待定的常数，
由表中的数据得 50k+b=100， k=-2， 解得60k+b=80， b=200，
∴ y=-2x+ 200(40≤ x≤ 80)；
(2)根据题意得W= y·(x- 40) = (-2x+ 200) (x- 40) =-2x2+ 280x-
8000(40≤ x≤ 80)；
(3)由 (2)可知：W=-2(x- 70)2+ 1800，∴当售价 x在满足 40≤ x≤ 70的范围内，利润W随着 x的
增大而增大；当售价在满足 70< x≤ 80的范围内，利润W随着 x的增大而减小．∴当 x= 70时，利
润W取得最大值，最大值为 1800元．
10.某水果店在两周内，将标价为 10元 /斤的某种水果，经过两次降价后的价格为 8.1元 /斤，并且两次降
价的百分率相同．
(1)求该种水果每次降价的百分率；
(2)从第一次降价的第 1天算起，第 x天 (x为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表
所示．已知该种水果的进价为 4.1元 /斤，设销售该水果第 x(天)的利润为 y(元)，求 y与 x(1≤ x< 15)之
间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大．
时间 x(天) 1≤ x< 9 9≤ x< 15 x≥ 15
售价 (元 /斤) 第 1次降价后的价格 第 2次降价后的价格
销量 (斤) 80- 3x 120- x
储存和损耗费用 (元) 40+ 3x 3x2- 64x+ 400
(3)在 (2)的条件下，若要使第 15天的利润比 (2)中最大利润最多少 127.5元，则第 15天在第 14天的
价格基础上最多可降多少元？
解：(1)设该种水果每次降低的百分率是 x.
则 10(1- x)2= 8.1，
解得 x1= 0.1，x2= 1.9(舍去)．
17
∴该种水果每次降价的百分率是 10%；
(2)当 1≤ x< 9时． y=[10(1- 10%)- 4.1] (80- 3x) - (40+ 3x) =-17.7x+ 352；
当 9≤ x< 15时，y=[10(1- 10%)2- 4.1] (120- x) - (3x2- 64x+ 400) =-3x2+ 60x+ 80，
∵ y=-17.7x+ 352，∴ x= 1时，y的最大值是 334.3，
∵ y=-3x2+ 60x+ 80=-3(x- 10)2+ 380，∴当 x= 10时，y的最大值是 380；
∵ 334.3< 380，∴在第 10天时销售利润最大；
(3)设第 15天在第 14天的价格基础降价 a元，由题意得：380- [(8.1- a- 4.1) (120- 15) - (3× 152
- 64× 15+ 400)]≤ 127.5，解得 a≤ 0.5，
答：第 15天在第 14天的价格基础上最多可降 0.5元．
18

展开更多......

收起↑