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2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市荣智学校九年级（下）开学数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的倒数是（　　）
A. B. C. D.
2.在如图图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3.将数据-5630000用科学记数法表示应为（　　）
A. 5.63×106 B. -5.63×106 C. -563×104 D. -0.563×107
4.如图是由几个相同的小立方块搭成的几何体，从正面看得到的形状图是（　　）
A.
B.
C.
D.
5.方程的解是（　　）
A. x=6 B. x=-6 C. x=2 D. x=-2
6.抛物线y=3（x-7）2+5的顶点坐标是（　　）
A. （7，5） B. （7，-5） C. （-7，5） D. （-7，-5）
7.用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形，拼第1个图形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12枚……若按照这样的规律拼出的第n个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多11枚，则拼第n个图形所用两种卡片的总数为（　　）

A. 57枚 B. 50枚 C. 48枚 D. 47枚
8.如图，AD∥BE∥CF，若AB=2，BC=3，EF=4，则DE的长度是（　　）
A. 6
B.
C.
D.
9.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AD于点P，则DP的长为（　　）
A. B. C. D. 1
10.如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B-E-D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s.现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（　　）
A. 96cm2 B. 84cm2 C. 72cm2 D. 56cm2
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.在函数中，自变量x的取值范围是 .
12.因式分解：2x3-18x= .
13.不透明袋子中有3个红球，2个白球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别.从袋中随机摸出1个球恰好是红球的概率为 .
14.不等式组的解集是 .
15.若扇形的圆心角为150°，半径为，则它的弧长是 .
16.某蓄电池的电压为48V，使用此蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）的函数表达式为.当R=6Ω时，I的值为 A.
17.定义新运算：a b=2ab-b2，则（3n） （2n）的运算结果是 .
18.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则∠BAP的度数是______．
19.如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若与x轴的其中一个交点为A（3，0），则由图象可知，与x轴的另一个交点坐标是 .
20.如图，点E为正方形ABCD对角线BD上一点，连接CE，延长CE交AB于点G，作EF⊥CE交AD于F，连接FG，有如下结论：①EF=EC；②；③；④若BC=6，GF=5，则G为AB的中点.上述结论中，所有正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题9分)
先化简，再求代数式的值，其中a=2sin60°+3tan45°.
22.(本小题9分)
如图，6×4的网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）.
（1）在图中，画出∠BAC的平分线AD；
（2）在图中，在线段AC上取点E，使AE=3.
23.(本小题9分)
某校在3月份开展了“让森林走进城市，让城市拥抱森林”的主题活动，要求每人植7～10棵树，并分为四种类型，A：10棵；B：9棵；C：8棵；D：7棵.学校分别从七、八年级各抽取25名学生每人的植树量整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题：
年级 平均数（单位：棵） 中位数（单位：棵） 众数（单位：棵） 方差
七年级 8.76 a 9 1.06
八年级 8.76 8 b 1.38
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a= ______，b= ______；
（2）根据以上数据，你认为哪个年级本次活动的整体植树量较好？请说明理由（理由不少于两条）.
（3）若该校七年级有400人，八年级有500人参加本次活动，学校决定将植树棵数不低于9棵的学生被评为植树标兵，估计这次被评为植树标兵的学生人数.
24.(本小题9分)
已知：在正方形ABCD的内侧作等边三角形CDF，连接AF，BF.
（1）如图①，求证△ADF≌△BCF；
（2）如图②，过点C作CE⊥CF，交AF的延长线于点E，CM平分∠BCE，交AE于点M，连接BM，AE交BC于点N，连接BD交CF于点G，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图②中四条与线段BF相等的线段（线段AF，BF除外）.
25.(本小题9分)
某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
（1）求甲、乙两种商品的每件进价；
（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
26.(本小题9分)
已知：点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，切点为点A，AB为⊙O的弦，点C为弧AB上一点，分别连接AC、BC、OC、PC.
（1）如图，求证：∠PAC=∠ABC；
（2）如图，延长PC交AB于点D，连接OD，若∠COD=∠CAB，求证：CD=DB；
（3）如图，在（2）的条件下，点E为优弧AB上一点，连接AE、CE（∠ECD＞30°），AE∥CD，∠OCE=30°，若⊙O的半径为，AB=8，求弦BC的长.
27.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-4ax+4a-1与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，AB=2
（1）如图，求抛物线的解析式；
（2）如图，点P为第一象限的抛物线上一点，连接PA并延长交y轴于点D，设点P的横坐标为t（t＞3），CD的长为d,求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图，在（2）的条件下，连接CB，过点P作x轴的垂线，交x轴于点H，交CB的延长线于点G，连接DG，点F为抛物线上一点，点E为DG的中点，分别连接DF、EF、CF，若∠EFD+∠CDF=90°，CF：DF=，求点F的坐标.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】x＞-6
12.【答案】2x（x+3）（x-3）
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】π
16.【答案】8
17.【答案】8n2
18.【答案】15°或105°
19.【答案】（-1，0）
20.【答案】①②③
21.【答案】，．
22.【答案】如图，AD即为所求．
如图，点E即为所求．

23.【答案】9棵 10棵
24.【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC．
∠ADC=∠BCD=90°．
∵△CDF是等边三角形，
∵DF=CF，
∠FDC=∠FCD=60°．
∴∠ADF=∠BCF=30°．
∴△ADF≌△BCF（SAS）．
与线段BF相等的线段有BM，EM，BG，FN
25.【答案】解：（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为（x+8）元．
根据题意，得，=，
解得 x=40．
经检验，x=40是原方程的解．
答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；
（2）甲乙两种商品的销售量为=50（件）．
设甲种商品按原销售单价销售a件，则
（60-40）a+（60×0.7-40）（50-a）+（88-48）×50≥2460，
解得 a≥20．
答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．
26.【答案】如图，连接AO，
∵PA切⊙O于点A，
∴PA⊥AO，
∴∠PAO=90°，
∴∠PAC+∠CAO=90°．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵∠AOC+∠OAC+∠OCA=180°，∠AOC=2∠ABC，
∴2∠ABC+2∠OAC=180°，
∴∠ABC+∠OAC=90°，
∴∠PAC=∠ABC 如图，连接OB，
∵，
∴∠COB=2∠CAB，
∵∠CAB=∠COD，
∴∠COB=2∠COD，
∴∠COD=∠BOD．
∵OC=OB，OD=OD，
∴△COD≌△BOD（SAS），
∴CD=BD
27.【答案】y=x2-4x+3 d=t
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