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2025-2026学年河南省商丘市柘城实验中学九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列各组线段的长度中，成比例的是（　　）
A. 1，2，3，4 B. 2，4，4，8 C. 1.5，3，4.5，6 D. 3，4，5，6
3.若k＜0，则反比例函数的图象分布在（　　）
A. 第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限
4.用同样长的铁丝围成下面的图形，（　　）的面积最大.
A. 三角形 B. 正方形 C. 长方形 D. 圆形
5.淅川是南水北调渠首，有着丰富的旅游资源.甲、乙两人相约来到淅川旅游，两人分别从A、B、C三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景点B的概率为（　　）
A. B. C. D.
6.如图所示，有下列条件：①∠B=∠C；②∠ADB=∠AEC；③AD：AB=AE：AC；④PE：PD=PB：PC；⑤AD：AC=AE：AB，其中能使△BPE∽△CPD的有（　　）
A. 5个
B. 4个
C. 3个
D. 2个
7.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴正半轴上，点A在第一象限.将△OAB顶点A，B的横、纵坐标都乘3，得到点A'，B'，则关于△OA'B'与△OAB的关系说法正确的是（　　）
A. △OA'B'与△OAB关于点（0，0）位似，相似比为1：3
B. △OA'B'与△OAB关于点（0，3）位似，相似比为1：3
C. △OA'B'与△OAB关于点（0，3）位似，相似比为3：1
D. △OA'B'与△OAB关于点（0，0）位似，相似比为3：1
8.已知直线y=-ax+2a+1不经过第二象限，则关于x的方程（a+1）x2+3x+2=0的实数根的个数为（　　）
A. 1个或2个 B. 1个 C. 2个 D. 0个
9.函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点（2，0），顶点坐标为（-1，n），其中n＞0.
①当0＜c＜1时，则-＜a＜0；
②若方程ax2+bx+c-n-k=0有两根，则k＜0；
③点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上不同于A，B的两个点，当|x1+1|＞|x2+1|＞3时，y1＜y2；
④函数y=kx+1的图象与y=ax2+bx+c（a≠0）的函数图象总有两个不同交点.
以上结论正确的有（　　）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④
10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为（　　）
A. 34
B. 32
C. 24
D. 14
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.如图，E是 ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，图中 对相似三角形.
12.如表是某种子公司为检测某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果，
种子个数 400 750 1500 3500 7000 …
发芽种子个数 369 662 1335 3203 6335 …
发芽率 0.923 0.883 0.890 0.915 0.905 …
根据如表中的数据，可估计该种子发芽的概率为 .（结果精确到0.1）
13.将抛物线y=（x-3）2-4先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的新抛物线的顶点坐标为 .
14.如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，过点C的切线与AB的延长线交于点D，若∠A=25°，则∠D的度数为 .
15.在平面直角坐标系xOy中，点，连OB，AB，若线段OB，AB分别交曲线y=（k＞0，x＞0）于点D，E（异于点B），若DE⊥OB，则k的值为 .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
解下列方程：
（1）3x（x-1）=2-2x；
（2）（x+3）（x-1）=5.
17.(本小题9分)
雄伟壮观的马栏革命纪念碑在历史的风云中永远纪念革命先辈的抗战壮举.某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量马栏革命纪念碑高度的活动.
活动主题 测量马栏革命纪念碑高度
测量工具 皮尺、标杆、激光笔等
活动过程 模型抽象
测绘过程与数据信息 ①在点B处竖立一根高3米的标杆AB；
②地面上的点D、标杆上的点F和碑顶M在一条直线上，BD=3米，BF=2米；
③地面上的点E、标杆顶点A和碑顶M在一条直线上，BE=4.8米；
④点N、B、D、E在同一水平直线上，点F在AB上，MN⊥NE，AB⊥NE，图中所有点均在同一平面内.
说明 在测量过程中注意自身和他人的安全.
请根据表格中提供的信息，求出马栏革命纪念碑的高度MN.
18.(本小题9分)
如图，一次函数y=-x+3的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标.
（3）直接写出当x＞0时，不等式-x+3＜的解集：
19.(本小题9分)
如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，DC=4，AD⊥CD，垂足为D.
（1）若DA=8，求⊙O的直径.
（2）延长DC，AB相交于点F.若∠F=30°，求BF，CF，围成图形的面积.
20.(本小题9分)
某厂家生产销售一种儿童电动玩具，3月份前4天该儿童电动玩具售价y（元/个）和销量t（个）的数据如下表所示：
第x天 1 2 3 4
售价 y（元/个） 30 32 34 36
销量 t/个 100 120 140 160
从第5天开始工厂对外调整价格为28元/个，据统计第5天以后儿童电动玩具销量t（个）和第x天的关系式为t=-x2+50x-100（5≤x≤20）.
（1）写出销量t（个）与第x天（前4天）满足的关系式，并且求出第5天以后的最大销量.
（2）若成本价为20元/个，求该工厂这些天（按20天计）销售该儿童电动玩具得到的利润W（元）与第x天满足的关系式，并写出第几天的利润最大，最大利润为多少.
21.(本小题9分)
如图是某种商品日销售量y（万件）与上市的天数x（天）之间的函数关系图象.前20天其日销售量与上市的天数之间成正比（OA段）；销售20天后进行了大量的广告宣传，日销售量直线上升（AB段）；当广告停止后，日销售量与上市的天数之间成反比.已知上市第20天的日销售量为2万件，第40天的日销售量为10万件.
（1）求y与x之间的函数表达式.
（2）广告合同约定，当日销售量不低于8万件，并且持续天数不少于15天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，请通过计算说明本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”.
22.(本小题9分)
在平面直角坐标系xOy中，M（m,y1），N（m+2，y2）是抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）上两点.设该抛物线的对称轴为x=t.
（1）若对于m=1，有y1=y2，求t的值；
（2）若对于1＜m＜2，都有y1＜y2，求t的取值范围.
23.(本小题12分)
如图1，在矩形ABCD中，点E是CD上一点，过点E作EF⊥AE，EF交AB或AB的延长线于点F.
（1）求证：AE2=DE AF；
（2）若EF交BC的中点于点G.
（Ⅰ）如图2，线段AB，AE，CE能围成直角三角形吗？若能，请证明；若不能，请说明理由；
（Ⅱ）如图3，点P，M，N分别是AE，EG，AB的中点，若AB=6，AD=4，DE＞CE，求PM+PN的值.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】三
12.【答案】0.9
13.【答案】（4，-2）
14.【答案】40°
15.【答案】
16.【答案】解：（1）3x（x-1）=2-2x,
3x（x-1）+2（x-1）=0，
（x-1）（3x+2）=0，
∴x-1=0或3x+2=0，
∴x1=1，x2=-；
（2）（x+3）（x-1）=5，
x2+2x-8=0，
（x+4）（x-2）=0，
∴x+4=0或x-2=0，
∴x1=-4，x2=2．
17.【答案】18米．
18.【答案】反比例函数的表达式为y= P的坐标为（-2，0）或（8，0） 解集是0＜x＜1或x＞2
19.【答案】解：（1）连接OC、BC，则OC=OA，
∴∠OCA=∠BAC，
∵CD是⊙O的切线，C为切点，
∴CD⊥OC于点C，
∵AD⊥CD于点D，DC=4，DA=8，
∴∠OCF=∠D=90°，
∴OC∥AD，AC===4，
∴∠OCA=∠DAC，
∴∠BAC=∠DAC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴=cos∠BAC=cos∠DAC=，
∴AB===10，
∴⊙O的直径为10．
（2）延长DC，AB相交于点F，设BF，CF，围成图形的面积为S，
∵∠OCF=∠D=90°，∠F=30°，
∴∠DAF=∠COF=90°-∠F=60°，OF=2OC，
∴∠BAC=∠DAC=∠DAF=30°，
∴∠BAC=∠F，
∴CF=AC=2DC=8，
∵CF===OC=8，
∴OC=，
∴S=S△COF-S扇形COB=×8×-=-，
∴BF，CF，围成图形的面积为-．
20.【答案】销量t（个）与第x天（前4天）满足的关系式为t=20x+80（1≤x≤4），第5天以后第20天的销量最大，最大值为500 W（元）与x的函数关系式为W=；第20天时工厂利润最大，最大利润为4000元
21.【答案】y=；
能．
22.【答案】解：（1）当y1=y2时，则M，N关于x=t对称，
∴=t,
∴t=m+1，
∵m=1，
∴t=2；
（2）∵M（m,y1），N（m+2，y2）是抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）上两点，对于1＜m＜2，都有y1＜y2，
∴点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离，
∵1＜m＜2，
∴3＜m+2＜4，
∴＞t,
∴t＜2．
23.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠D=90°，
∴∠DEA=∠EAF，
又∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEF=∠D，
∴△ADE∽△FEA，
∴，
∴AE2=DE AF；
（2）解：线段AB，AE，CE能围成直角三角形．
证明：∵G为BC的中点，
∴CG=BG，
∵∠C=∠GBF=90°，∠EGC=∠BGF，
∴△ECG≌△FBG（ASA），
∴CE=BF，
∵AE2=DE AF，
∴AE2=（DC-CE）（AB+BF）
=（AB-CE）（AB+CE）
=AB2-CE2，
∴AE2+CE2=AB2，
∴线段AB，AE，CE能围成直角三角形；
（3）解：连接AG，BE，
∵P，M为AE，EG的中点，
∴PM为△ACE的中位线，
∴PM=AG，
∵AB=6，BG=BC=2，
∴AG===2，
∴PM==，
设CE=x,
由（2）知CE=BF=x,
∴AF=AB+BF=6+x,
∵AE2=DE AF，
∴AE2=（6+x）（6-x），
∵AE2=AD2+DE2，
∴42+（6-x）2=（6+x）（6-x），
∴x=2或x=4，
∵DE＞CE，
∴CE=2，
∴BE==2，
同理可知PN是△ABE的中位线，
∴PN=，
∴PM+PN=．
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