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2025-2026学年安徽省安庆市岳西县古坊中学等学校九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在2，0，|-4|，-5这四个数中，最大的数是（　　）
A. 2 B. 0 C. |-4| D. -5
2.2025年是全民普法40周年.截至目前“中国普法”微信公众号订阅用户超4500万，4500万用科学记数法表示为（　　）
A. 4.5×106 B. 4.5×107 C. 0.45×108 D. 45×106
3.“堑堵”是古代数学名词，指一个长方体沿不在同一面上的相对两棱斜截所得的立体图形，即两底面为直角三角形的三棱柱.如图水平放置的“堑堵”的主视图为（　　）
A. B.
C. D.
4.下列计算正确的是（　　）
A. （-2a3）3=-8a9 B. （-a）3 a2=a5 C. D. 3a2+a2=4a4
5.一副三角板如图摆放，其中∠AOC=∠DOB=90°，∠D=45°，OA与BD相交于点E，若∠COD=120°，则∠DEO的度数为（　　）
A. 60°
B. 75°
C. 105°
D. 100°
6.若一元二次方程x（2x-3）-4=0的两根之和与两根之积分别为m,n,则点（n,m）在平面直角坐标系中位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
7.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，D为BC上一点，过点D作DE⊥AC交AC于点E，若DE=BD，则tan∠DAE=（　　）
A.
B.
C.
D.
8.已知直线y=ax+4（a≠0）与直线y=-3x+2交于x轴上一点，则a=（　　）
A. 2 B. -2 C. 6 D. -6
9.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E，F分别为边AD，BC的中点，点M，N分别在线段DO，OB上移动（不与端点重合），且满足DM=ON，则下列结论正确的是（　　）
A. 四边形EMFN可能为矩形
B. 四边形EMFN的面积不变
C. ∠ENF的度数不变
D. 线段EM有最大值
10.如图，在△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，点D是边AB上一动点（不与A、B重合），沿着A→B运动，过点D作DE∥BC交AC于点E，作DF∥AC交BC于点F，设EF2=y,AD的长为x,能反映y与x之间函数关系的图象是（　　）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，共25分。
11.-64的立方根是______.
12.如图，在⊙O中，劣弧AB所对圆心角为120°，过点A的切线与BO的延长线交于点C，BC与⊙O交于点D，若圆的半径为2cm,则CD的长为 cm.
13.如图，在等腰直角三角形ACB中，∠ACB=90°，AC=5，点A的坐标为（-4，0），点C在y轴上，若反比例函数的图象过点B，则k的值是 .
14.在平面直角坐标系中，O为坐标原点.现规定对于一个整数n,若它为正偶数，则它对应的点的坐标为；若它为正奇数，则它对应的点的坐标为；若它为负偶数，则它对应的点的坐标为；若它为负奇数，则它对应的点的坐标为；若它为0，则对应的点为坐标原点.例如，n=6，则它对应的点的坐标为（3，3）；n=-9，则它对应的点的坐标为（-5，-4）.
（1）若n=13，它对应的点为A，则点A的坐标为 ；
（2）若n=-10，它对应的点为B，若存在点C，使得，则点C对应的整数m为 .
三、解答题：本题共9小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
解方程组：.
16.(本小题8分)
先化简，再求值：，其中m=-3.
17.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，3），B（2，0），C（4，2）.
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△AB1C1；
（2）以原点O为位似中心在第三象限画出△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2，并写出点C2的坐标；
（3）仅利用无刻度直尺在线段A2B2上找一点P，使得C2P∥C1A.
18.(本小题8分)
如图，为测量某山体高度，测量队在山脚点A处测得山顶C的仰角为30°，沿坡面倾角为15°的坡面AB向上行进80m到达点B，此时测得山顶C的仰角为45°.
（1）求点B的垂直高度BE（精确到0.1m）；
（2）求山体的垂直高度CD（精确到0.1m）.
（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，，）
19.(本小题10分)
某中学为了解学生每周课外阅读时间，现从该校八年级随机抽取50名学生进行调查，阅读时间用t表示（单位：小时），将全部结果按以下五组进行整理，并绘制统计表，部分信息如下：
组别 A B C D E
阅读时间 0≤t＜2 2≤t＜4 4≤t＜6 6≤t＜8 8≤t＜10
人数 4 10 16 a 6
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）a=______；这50名学生每周课外阅读时间的中位数落在______组（填字母）；
（2）若阅读时间的平均数不低于5小时，则认定学生课外阅读时间充足.分别用1，3，5，7，9作为A，B，C，D，E这五组阅读时间的平均数，估计该校八年级学生每周课外阅读时间是否充足，并说明理由.
20.(本小题5分)
△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，E是上的一点，延长AE交BC的延长线于点D，连接CE，已知CD=AC.
（1）如图1，连接BE，证明：BE=DE；
（2）如图2，连接OA和OC，若四边形AOCE是菱形，求∠D的度数.
21.(本小题12分)
综合与实践
【项目主题】一种基于等可能假设的概率模型：几何概率.
【项目准备】
（1）基本原理：设想每个结果是一个点，所有结果的点组成一个区域G，而组成事件A的结果是G中的部分区域g,G，g可以是直线上的线段，也可以是平面或空间的区域.因此，这种概率可以表示为两个线段的长度之比，或两个平面区域的面积之比，或两个空间区域的体积之比.常用公式：①如果是在线段上，；②如果是在平面图形上，；③如果是在立体图形上，.
（2）初步探究：
场景1：假设有一根10cm长的绳子，随机在绳子上画一个点，想知道点落在绳子中间4cm段（从3cm到7cm）的概率.
分析：目标线段长度：7-3=4cm,总线段长度：10cm,则概率=①______；
场景2：一个操场是长50m、宽30m的长方形，里面有一个篮球场是长20m、宽15m的长方形.如果你随机往操场扔一个球，球落在篮球场内的概率是多少？
分析：操场的面积：50×30=1500m2，篮球场的面积：20×15=300m2，概率=②______；
【实践应用】现在利用这个模型解决一个生活中的问题.
（1）项目条件：小明每天早上7：00-7：30之间随机出门赶到公交站，公交车每天7：10-7：25之间随机到达公交站，小明能赶上公交车的概率是多少？
（2）原理分析：用“平面直角坐标系”把“小明赶到公交站时间”和“公交车到达时间”的所有可能情况变成一个矩形区域，再找出“能赶上公交”的区域，用“面积比例”算概率；
（3）实施步骤：
第一步：定义“时间变量”，把抽象时间变具体——为了方便计算，我们给时间赋上数字（去掉“7点”，只算分钟）设小明赶到公交站时间为x分钟：7：00就是x=0，7：30就是x=30，所以x的取值范围是0≤x≤30.（所有可能的赶到公交站时间）；
第二步：画“所有可能情况”的图形（总区域）——我们用“平面直角坐标系”来表示.横轴（x轴）：小明赶到公交站时间（0到30min），纵轴（y轴）：公交车到达时间（10到25min）；所有可能的情况，就是坐标系里一个“矩形”，计算矩形的面积（总度量）：矩形面积=③______；
第三步：找“能赶上公交”的条件（符合条件的区域）——小明能赶上公交，必须满足：小明赶到公交站时间≤公交车到达时间，也就是x≤y.
先在矩形里画一条直线y=x（这条线表示“赶到公交站时间=到达时间”），满足x≤y的区域，是直线y=x上及其④______（填写“左侧”或“右侧”）的部分.
第四步：计算符合条件的面积和概率——符合条件的面积=⑤______，小明能赶上公交车的概率=⑥______（精确到0.001）.
【项目总结】根据以上分析，几何概率可以解决生活中的问题.
请将上述材料中横线上所缺内容补充完整：
①______；②______；③______；④______；⑤______；⑥______.
22.(本小题12分)
已知正方形ABCD的边长为4，AC是对角线，点E在线段BC上运动，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EP，连接AP，CP.
（1）如图1，证明：△PAC∽△EAB；
（2）如图2，点G在线段AC上运动；
（ⅰ）当点G为线段AC的中点时，求GP的最大值；
（ⅱ）如图3，当AG=CP时，求GP的最小值.
23.(本小题14分)
已知直线，抛物线的顶点A在直线y1上，O为平面直角坐标系的原点.
（1）若抛物线y2与x轴只有一个交点，求抛物线y2与直线y1的交点坐标；
（2）已知点M（a,b+3），点N（0，b+6），连接MN，点P为线段MN的中点；
（ⅰ）若线段MN与直线y1平行，求△MNO的面积；
（ⅱ）若点P在抛物线y2上，求a和b的值.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】-4
12.【答案】2
13.【答案】3
14.【答案】（-6，7）
7或-7

15.【答案】．
16.【答案】，．
17.【答案】△ABC关于y轴对称的△AB1C1，如图1即为所求； 它与△ABC的相似比为2的△A2B2C2，如图2即为所求；
（-8，-4） 使得C2P∥C1A的点P，如图3即为所求．

18.【答案】20.8m 77.4 m
19.【答案】14;C 若阅读时间的平均数不低于5小时，则认定学生课外阅读时间充足．分别用1，3，5，7，9作为A，B，C，D，E这五组阅读时间的平均数，
该校八年级学生每周课外阅读时间充足，
A组：4×1=4，B组：10×3=30，C组：16×5=80，
D组：14×7=98，E组：6×9=54，
总阅读时间：4+30+80+98+54=266（小时），
平均阅读时间：，
∵5.32＞5，
因此估计该校八年级学生每周课外阅读时间充足
20.【答案】由圆周角定理得：∠EAC=∠EBC，
∵CD=AC，
∴∠D=∠CAD，
∴∠D=∠EBD，
∴BE=DE 30°
21.【答案】 450 左侧 262.5 0.583 450 左侧 262.5 0.583
22.【答案】∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=∠B=∠BCD=90°，
∵AC为正方形ABCD的对角线，
∴∠BAC=∠ACD=45°，，
∵EA=EP，∠AEP=90°，
∴△AEP为等腰直角三角形，
∴∠EAP=45°，，
∴，
∵∠EAB=∠BAC-∠EAC，∠PAC=∠EAP-∠EAC，∠BAC=∠EAP=45°，
∴∠EAB=∠PAC，
∴△PAC∽△EAB （ⅰ）GP的最大值为；（ⅱ）GP的最小值为4
23.【答案】（0，0）及 （ⅰ）9；（ⅱ）当时，；当时，
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