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8.3《 实数及其简单运算》同步练习
一、单选题
1．下列说法：①最大的负整数是；②0是最小的有理数；③a与必为一正数和一负数；④有理数分为正有理数和负有理数；⑤数轴上的点不都表示有理数；其中错误的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．下列各数：，其中有理数的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．计算的结果估计在（ ）
A．1至2之间 B．2至3之间 C．3至4之间 D．0至1之间
4．在如图所示的数轴上，点是线段的中点，，两点对应的实数分别是和，则点所对应的实数是（ ）
A． B． C． D．
5．已知整数m满足，则m的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．已知非零实数，，，，用数轴上的点表示，，下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在数轴上方作一个的方格（每一方格的边长为1个单位），依次连接四边的中点A，B，C，D得到一个正方形，点落在数轴上，用圆规在点的左侧的数轴上取点，使，若点在原点右侧且到原点的距离为1个单位，则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．
8．我们把叫集合，其中1，3，叫做集合的元素，集合中的元素具有确定性，互异性（如），无序性（即改变元素的顺序后，新集合与原集合相等）．已知集合，集合，若，则的值是（ ）
A．4 B．2 C．0 D．-2
9．对于正数，规定，例如：，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．比较大小：______．(填“”，“”号)
11．已知的整数部分是，的小数部分是，则的值为________．
12．点，，，在数轴上的位置如图所示，这四个点中有一个点表示实数，这个点是__．
13．对于两个不相等的实数，，定义一种新的运算：．如，则__________．
14．如图，甲、乙两张纸条宽相等，长分别为15和13，甲的左端与数轴上表示的点重合，乙的右端与数轴上表示的点重合，则纸条重叠部分的长度为______．
三、解答题
15．在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中．
，，，，，0，，，（小数部分由相继的正整数组成）．
(1)有理数集合：{ …}；
(2)无理数集合：{ …}；
(3)正实数集合：{ …}；
(4)负实数集合：{ …}．
16．计算：
(1)； (2)．
17．我们知道是无理数，其整数部分是1，于是可以用来表示的小数部分．请解答：
(1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
(2)已知，其中是整数，且，求的相反数．
18．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点所表示的数为，设点所表示的数为．
(1)实数的值为_________；
(2)在数轴上还有，两点分别表示实数，，且与互为相反数，求的平方根．
19．如果一个四位数满足千位数字与十位数字的和为8，百位数字比个位数字少3，那么称为“勤奋数”．若一个四位“勤奋数”的千位数字与个位数字的3倍的和记作，百位数字与十位数字的和记作，那么为整数时，则称为“勤奋整数”．
例如：2164满足，，故2164是“勤奋数”，且，，即是整数，故2164是“勤奋整数”．
(1)判断：1346　　“勤奋数”，3659　　“勤奋数”（填“是”或“不是”）；
(2)任意一个四位“勤奋数”与其个位数字的2倍之差能被11整除吗？为什么？
(3)直接写出2164以外的所有“勤奋整数”．
参考答案
一、单选题
1．B
解：最大的负整数是，①说法正确
有理数包含负有理数，负有理数小于，不存在最小的有理数，②说法错误
当时，，既不是正数也不是负数，③说法错误
有理数分为正有理数、和负有理数，④说法错误
数轴上的点与实数一一对应，实数包含有理数和无理数，数轴上的点不都表示有理数，⑤说法正确
综上，错误的说法有②③④，共个，
故选：B．
2．B
解：∵ 0是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
是有限小数，可化为分数，属于有理数；
是无限不循环小数，属于无理数；
是有限小数，可化为分数，属于有理数；
∴有理数的个数是4个，
故选项B正确．
3．A
解：，
，
，
则，即的结果估计在1至2之间．
4．D
解：∵，两点对应的实数分别是和，
∴
∵点是线段的中点，
∴，
∴点所对应的实数是
故选：D．
5．C
解：∵，
∴，则，
∴，
∵，m为整数，
∴，
故选：C．
6．B
解：∵非零实数，满足，
∴，
∴、b异号，
∵，
∴，
∴，
∵、b异号，
∴，，且，
因此四个选项中，只有B选项符合题意．
故选：B．
7．B
解：∵A、B、C、D为的方格各边中点，
∴正方形的面积等于的方格面积的一半，
∴，
∴，
∵点在原点右侧且到原点的距离为1个单位，
∴点A表示的数为1，
∵，
∴，
∵点E在点A左侧，
∴点E表示的数为，
故选：B．
8．D
解：∵集合，由集合互异性得，，
∴，，
又∵，集合，且，
∴
∴，即
∵，此时，，
由集合互异性得，故，，
又∵与元素对应相等，得，
∴，
∵，两边同除以得，
∴，
∴，即D选项符合题意．
9．A
解：∵，
∴，
∴，
从到与到共有对，每对和为，和为，
又∵，
∴原式，
故选：．
二、填空题
10．
解：∵，
∴，，
∵，
∴．
11．
解：，
，
，
；
又，
，
，
根据不等式的性质，两边同时加，得，
，
.
.
12．
解：∵，，且，
∴，
∴，即，
∴，
观察数轴可知，点在负数区域，点、在大于1的区域，只有点在0到之间的正数区域，故表示的点是；
故答案为：．
13．1
解：首先计算 ，
然后计算 ，
故答案为：．
14．
解：∵甲的左端与数轴上表示的点重合，甲纸条长为15，
∴甲的右端与数轴上表示的点重合，
∵乙的右端与数轴上表示的点重合，乙纸条长为13，
∴乙的左端与数轴上表示的点重合，
∴纸条重叠部分的长度为，
故答案为：．
三、解答题
15．（1）解：有理数集合：；
（2）解：无理数集合：{，，…（小数部分由相继的正整数组成），，}；
（3）解：正实数集合：；
（4）解：负实数集合：{（小数部分由相继的正整数组成），，，，}．
16．（1）解：
；
（2）解：
．
17．（1）解：∵，的小数部分为a，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵的整数部分为b，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，其中x是整数，，
∴，，
∴，
∴的相反数是．
18．（1）解：起始位置为，向右移动2个单位长度
∴．
（2）解：与互为相反数，
．
，，
，，
，，
，
的平方根为．
19．（1）解：中，，
不是“勤奋数”；
中，，
是“勤奋数”；
故答案为：不是，是；
（2）证明：设任意一个四位“勤奋数”的千位上的数字为a，百位上的数字为b，
则十位上的数字为，个位上的数字为，
，
，b均为整数，
也为整数，
能被11整除，
任意一个四位“勤奋数”与其个位数字的2倍之差能被11整除；
（3）解：由（2）知“勤奋数”，
，，
，
又为整数，
所以当时，，枚举检验可得符合，故是“勤奋整数”；
当时，，枚举检验可得符合，故是“勤奋整数”；
当时，，枚举检验无符合题意的值；
当时，，枚举检验无符合题意的值；
当时，，枚举检验可得符合，故是“勤奋整数”；
当时，，枚举检验可得符合，故是“勤奋整数”；
当时，，枚举检验可得符合，故是“勤奋整数”；
当时，，枚举检验可得符合，故是“勤奋整数”；
当时，，枚举检验无符合题意的值；
综上，满足条件的“勤奋整数”分别为1477、5235、6124、7013、8104．

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