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2025-2026学年人教版八年级数学下册第一学段
《二次根式+勾股定理》阶段性综合练习题
一、单选题（满分30分）
1．以下列各组数据作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．1，， B．，， C．1，2，3 D．3，4，7
2．下列二次根式化成最简二次根式以后，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若是整数，且n是正整数，则n的最小值是（ ）
A．16 B．21 C．27 D．32
5．已知x，y满足等式，m是的小数部分，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
6．若x，y为有理数，且，则的值为 （ ）
A．0 B． C．2 D．不能确定
7．如图，四边形中，，，若四边形的面积为12，则的长为（ ）
A． B． C．4 D．6
8．如图，在正方形网格上，四边形的四个顶点都在格点上，则（　　）
A． B． C． D．
9．如图，以原点为圆心，为半径画弧与数轴交于点，且点表示的数为，则的立方根为（ ）
A． B． C．2 D．
10．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（满分30分）
11．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
12．如图，在中，，，则的值为______．
13．若，，则用含，的代数式表示是_____．
14．若等腰三角形的两边长分别为和则该等腰三角形的周长为______（结果要求化简）．
15．化简的结果为___________．
16．化简的结果为__________．
17．如图是一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为A和B是这个三级台阶两个相对的顶点，则沿台阶面由A到B的最短路程是 _________ ．
18．如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______．
19．如图是某品牌婴儿车及其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），则该车_____（填“符合”或“不符合”）安全标准．
20．某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑张角大小与顶部边缘离桌面高度之间的关系”的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘点离桌面的高度为，此时底部边缘点与点之间的距离为．若小组成员调整张角的大小继续探究，发现当张角为时（点为点的对应点），顶部边缘点离桌面的高度为，此时底部边缘点与点之间的距离为，则此时电脑顶部边缘上升的高度为____________．
三、解答题（满分60分）
21．计算
(1)； (2)；
(3)； (4)．
22．先化简，再求值：，其中．
23．如图，在中，，斜边的垂直平分线分别交，于D，E两点，连接．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的长．
24．如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为．
(1)求长方形空地的周长．
(2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？
25．如图，，相交于点，，于点，，与交于点，．
(1)求证：；
(2)若，，，求线段的长．
26．[核心素养]【观察】；．
【感悟】在二次根式的运算中，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化．像上述解题过程中，与，与相乘的积都不含二次根式，我们可以将每组中的两个式子称作互为有理化因式．
【运用】
(1)的有理化因式是______，的有理化因式是______；（各写一个即可）
(2)将下列各式分母有理化：
①______；
②______；
(3)计算：．
27．（1）如图，一条竹竿长10米，斜靠在竖直的墙上，这时竹竿的顶端到墙地面的距离为6米（米），求的值．
（2）在（1）的条件下，杆子的长度不变，杆子顶端下滑了1米（即米），求杆子底部滑动的距离（的长度）．
（3）如图，，点在边上，点在边上，连结和．求证：．
（4）如图，四边形中，，求的值．
参考答案
1．解：A．，可得，能构成直角三角形；
B．，，不能构成直角三角形；
C．，不满足三角形两边之和大于第三边的性质，所以不能构成三角形，更不能构成直角三角形；
D．，不满足三角形两边之和大于第三边的性质，所以不能构成三角形，更不能构成直角三角形．
2．解：A、，被开方数为2，能与合并，不符合题意；
B、，被开方数为2，能与合并，不符合题意；
C、，被开方数为3，不能与合并，符合题意；
D、，被开方数为2，能与合并，不符合题意．
3．解： A、与不是同类二次根式，不能合并，A错误；
B、与不是同类二次根式，不能合并，B错误；
C、，计算正确，C正确；
D、与不是同类二次根式，不能合并，D错误．
4．解：，
∵是整数，且n是正整数，
∴正整数的最小值是21．
5．解：x，y满足等式，，，
∴，，
解得，，
∵m是的小数部分，，
∴，
∴．
6．解：∵，且，
∴，解得，
将代入中得：．
∴．
故选:C．
7．解：延长至点，使，连接，
，
，
，，
，
在与中，
，
，
，，，
，
，
是等腰直角三角形，
四边形的面积为12，
，
解得或（不合题意，舍去），
．
故选：B．
8．解：如图，四边形的四个顶点都在格点上，取格点E，连接，，，
由格点三角形得，
，
，
，
，
，
，
，，
为等腰直角三角形，
，
.
9．解：由图可知，直角三角形的两直角边长均为1，
∴，
∵以原点O为圆心，为半径画弧与数轴交于点A，
∴，
∵点A表示的数为x，
∴，
∴，
∵，
∴的立方根为．
10．解：设绳索的长是，则，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
根据勾股定理，得，
∴，
解得，，
∴绳索的长是，
故选：B．
11．解：根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，且分式有意义的条件：分母不为，可得，
解得：，
故答案为：．
12．解：∵，，
由勾股定理得
∴．
13．解：由题意可得：，
故答案为：．
14．解： ，．
分两种情况讨论：
当腰长为，底边长为时
两腰长之和为．
，，
，不满足三角形两边之和大于第三边，该情况舍去．
当腰长为，底边长为时满足三角形三边关系，
此时周长为：．
故答案为：．
15．解：由题意得，
，
∴，即，
∴
．
16．解：原式
．
故答案为
17．解：三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为，
则到点最短路程是此长方形的对角线长．
可设到点最短路程为，
由勾股定理得：，
解得：．
则沿台阶面由A到B的最短路程是．
18．解：如图，过点作，上取点，，使，
由题意可得，，
当火车到点时对处产生噪音影响，此时，
由勾股定理得：，
∴受噪音影响共有，
∴点处受噪音影响的时间为．
19．解：在中，，dm，dm，
由勾股定理，得
因为dm，dm，
所以，
所以，
所以，即，
所以该婴儿车符合安全标准．
20．解：在中，根据勾股定理，可得：
∵，，
∴
∴
∵点为点的对应点，所以笔记本电脑的屏幕长度不变，即
∴
在中，根据勾股定理，可得：
∵，，
∴
∴
∴
∴
此时电脑顶部边缘上升的高度为：
∵ ．
故答案为：13．
21．（1）解：；
（2）解：；
（3）解：；
（4）解：．
22．解：
，
当时，
原式
23．（1）解：是的垂直平分线，
，，
．
，，
，
解得；
（2）解：是的垂直平分线，
．
设，则，
在中，根据勾股定理，得
，即，
解得，
．
24．（1）解：长方形空地的周长为
．
答：长方形空地的周长为．
（2）解：由题意，得种草莓的面积为
，
∴销售收入为（元）．
答：销售收入为元．
25．（1）证明：，，，
．
于点，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
，，
在中，由勾股定理得：，
，
，
在和中，
，
，
，，
在中，由勾股定理得：，
．
26．（1）解：∵，
∴的有理化因式是；
∵，
∴的有理化因式是；
故答案为：；；（答案均不唯一）
（2）解：①；
②；
（3）解：
．
27．解：（1）在中，
；
（2）由题意可知，
在中，
，
，
即杆子底部滑动的距离为；
（3）证明：在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
；；
；
（4）如图，延长、交于点，
，
，
则由（3）中结论可知
．

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