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浙教版数学八年级下册 5.1 矩形 二阶训练
一、选择题
1．（2025八下·广州期中）数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组4位同学拟定的方案，其中正确的是（　　）
A．测量对角线是否互相平分 B．测量一组对角是否都为直角
C．测量对角线长是否相等 D．测量3个角是否为直角
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、对角线是否互相平分，能判定是否是平行四边形；
B、测量一组对角是否都为直角，不能判定是否是矩形；
C、测量对角线长是否相等，不能判定是否是矩形；
D、测量3个角是否为直角，能判定是否是矩形；
故答案为：D．
【分析】利用矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）分析求解即可.
2．如图， 在矩形 中， 对角线 相交于点 ， 下列说法中， 错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA=OB，
∴A、B、C正确，
故答案为：D．
【分析】根据矩形的性质逐个判断即可得出答案.
3．（2024八下·贺州期末）如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，若．则（　　）
A．10 B．8 C． D．5
【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
故答案为：A．
【分析】利用矩形的性质（①拥有平行四边形所有的性质；②四个角均是直角；③对角线相等）分析求解即可.
4．（2024八下·常州期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB．添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　）
A．AB=BE B．BE⊥DC C．∠ADB=90° D．CE⊥DE
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
又∵AD=DE，
∴DE∥BC，且DE=BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
A.∵AB=BE，DE=AD，
∴BD⊥AE，
∴ DBCE为矩形，故本选项不符合题意；
B.∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项符合题意；
C.∵∠ADB=90°，
∴∠EDB=90°，
∴ DBCE为矩形，故本选项不符合题意；
D.∵CE⊥DE，
∴∠CED=90°，
∴ DBCE为矩形，故本选项不符合题意，
故选：B．
【分析】根据平行四边形判定定理及性质，矩形判定定理即可求出答案.
5．（2024七下·毕节期中）如图，将长方形沿直线折叠到的位置，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质；内错角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∵
∴，，
由折叠的性质可得：，
∴，
故选．
【分析】
由折叠的性质知和是同一个角相等，再由平行的性质知，与是内错角相等，同时与是同旁内角互补，再利用所求角与的数量关系直接计算即可．
6．（2024八下·龙华期末）如图1是生活中常见的一种停车位，将其抽象为，停放的小车可近似看成长方形．如图所示，已知，车长约为米，宽约为米．若该车能完全停入车位内，则斜向车位的长至少为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：在矩形中，
∵为直角三角形，且，
∴
∴
故选：A．
【分析】本题考查了平行四边形、矩形的性质，等腰直角三角形的性质，根据题意得出，进而即可求解．
7．（2024八下·侯马期末）将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放，使点，，在同一条直线上，点在边上，连结，，．若，，则的面积为（　　）
A．13 B．26 C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放，
∴，
∴，
∴
∴
∴
∴的面积为．
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理可得AC=13，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据三角形面积即可求出答案.
8．（2025八下·义乌月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB上一个动点，过点D分别作DE⊥AC于点E，DF⊥CB于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（　　）
A．5 B．2.5 C．2.4 D．4.8
【答案】D
【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接CD，
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠C=90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF=CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，
即，
解得CD=4.8，
∴EF=4.8
故答案为：D.
【分析】连接CD，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CD，再根据垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可.
9．（2025八下·杭州期中）如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，则线段的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：分别是的中点
四边形ABCD是矩形
故答案为：B.
【分析】先由三角形中位线定理求得AD等于OM的2倍等于6，再由矩形的每个角都是直角，可利用勾股定理求得对角线BD的长，由于矩形的对角线互相平分，则OB等于BD的一半.
10．（2025八上·自贡期末）如图，以钝角三角形的最长边为边向外作矩形，连结，设，，的面积分别为，若要求出的值，只需知道(　　)
A．的面积 B．的面积
C．的面积 D．矩形的面积
【答案】C
【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点作，交的延长线于点，的延长线于点，
∵矩形，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴只需要知道的面积即可求出的值；
故选C．
【分析】过点作，交的延长线于点，的延长线于点，利用矩形的性质和三角形的面积公式，可得，再根据，得到，即可得出结论．
二、填空题
11．如图， 四边形 是平行四边形， 交于点 ， 添加一个条件　 　可使它成为矩形．
【答案】∠ABC=90°或∠BCD=90°或∠ADC=90°或∠BAD=90°或AC=BD.
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：由有一个角为90°的平行四边形的四边形为矩形可得，∠ABC=90°或∠BCD=90°或∠ADC=90°或∠BAD=90°；
由对角线相等的平行四边形为矩形可得，添加AC=BD；
故答案为：∠ABC=90°或∠BCD=90°或∠ADC=90°或∠BAD=90°或AC=BD.
【分析】根据矩形的判定即可求得.
12．（2025八下·新昌期末） 如图，在矩形ABCD中，， ，E，F分别为AB，BC的中点，连结CE，DF，取CE，DF的中点M，N，连结MN，则MN的长为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接CN并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=90°，AD//BC
∵E，F分别是边AB，BC的中点，AB=4，BC=8，
∴，，
∵AD//BC，
∴∠DPN=∠FCN，
在△PDN与△CFN中，
∴△PDN≌△CFN(AAS)，
∴PD=CF=4，CN=PN，
∴AP=AD-PD=4，
∴
∵点M是EC的中点，
∴
故答案为：.
【分析】连接CN并延长交AD于P，连接PE，根据矩形的性质得到∠A=90°，AD//BC，根据全等三角形的性质得到PD=CF，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论.
13．（2025八下·玉环期末） 如图，平行四边形中分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，连结交，于点，，，，则　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：过点B作BG⊥CD于点G，
由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线，
∴，∠BEF=90°，
∴∠EBF=∠BFE=45°.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴∠C=60°，∠BFG=∠EBF=45°，∠EFC=90°，
∴∠CBG=30°，四边形BEFG为矩形，
∴，
设CG=x，则BC=2x，
在Rt△BCG中，由勾股定理得，BC2=CG2+BG2，
即，
解得x=1，
∴CG=1，
∴.
故答案为：.
【分析】先根据作图确定线段垂直平分线，得出，再利用平行四边形性质得到AB//CD，AD//BC，最后在直角三角形中用勾股定理求解.
14．（2025八上·梓潼期中）矩形中，E、F分别是、的中点，矩形的面积为，则的面积是　 　．
【答案】2
【知识点】矩形的性质；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，连接BE，
∵矩形ABCD的面积为16cm2，
∴cm2，AB=CD，AB·AD=16cm2
∵E是AD的中点，
∴，，
∴S△BCE=16-4-4=8cm2，
∵F是CE的中点，
∴，
∴S△BDF=S△BCD-S△BCF-S△CDF=2cm2
即△BDF的面积是2cm2，
故答案为：2.
【分析】连接BE，先根据矩形的性质可得S△BCD，S△CDE，S△BCE，再根据三角形中线的性质可得S△CDF，S△BCF，然后根据S△BDF=S△BCD-S△BCF-S△CDF求解即可.
15．如图，在矩形ABCD 中，已知AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE⊥BD 于点E，PF⊥AC 于点F，那么 PE+PF 的值为　 　.
【答案】
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：连接OP，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，AC=BD，OA=OC，OB=OD，
在△BAD中∠BAD=90°，AD=12，AB=5，
由勾股定理得：，
∴
∵矩形的面积是12×5=60，
∴△AOD的面积是，
∵△APO、△POD是同底的三角形，
∴，
，
∴
故答案为：.
【分析】连接OP，由矩形推出AC=BD，OA=OC，OB=OD，由勾股定理求出AC和BD的长，求出矩形ABCD的面积，进而得到△AOD的面积，根据三角形的面积公式即可求出答案.
三、解答题
16．（2024八上·青岛期中）勾股定理是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
（1）求秋千的长度；
（2）如果将秋千往前推送，求此时踏板离地的垂直高度为多少？
【答案】（1）解：由题意知，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴
∴
∵，
∴，
设秋千的长度为，则，，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
即秋千的长度是；
（2）解：设时，，
∵，
∴，
由（1）可知，，
∴，
在中，，
由勾股定理得，则，
解得：或（舍去），
即此时踏板离地的垂直高度为．
【知识点】矩形的判定与性质；一元二次方程的应用-几何问题；利用开平方求未知数；勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】（1）首先判定四边形是矩形，即可得出，设秋千的长度为，根据勾股定理即可得出，解方程即可求解；
（2）设时，，在中，由勾股定理可得出，列方程求解即可。
（1）解：由题意知，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴
∴
∵，
∴，
设秋千的长度为，则，，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
即秋千的长度是；
（2）解：设时，，
∵，
∴，
由（1）可知，，
∴，
在中，，
由勾股定理得，则，
解得：或（舍去），
即此时踏板离地的垂直高度为．
17．（2025八下·广州期中）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴，y轴分别交于点B，A，以AB为边在第一象限内作等腰直角△ABC，且∠ABC＝90°，过C作CD⊥x轴于点D．
（1）如图1，求A，B，C三点的坐标；
（2）如图2，若点E，F分别是OB，AB的中点，连接EF，CF．判断四边形FEDC的形状，并说明理由．
【答案】解：（1）由题意得：
令x=0时，则有y=4，
∴，
令y=0时，则有-2x+4=0，解得：x=2，
∴，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，
∴，
∴，
∵CD⊥x轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）四边形FEDC是矩形，理由如下：
由（1）可得：，OA=4，
∵点E，F分别是OB，AB的中点，
∴，EF∥OA，
∴，
∴四边形FEDC是平行四边形，
∵，
∴四边形FEDC是矩形．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定；三角形的中位线定理；一次函数的实际应用-几何问题；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可得，，根据等腰直角三角形性质可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得OD，再根据点的坐标即可求出答案.
（2）由（1）可得：，OA=4，根据三角形中位线定理可得，EF∥OA，再根据矩形判定定理即可求出答案.
1 / 1浙教版数学八年级下册 5.1 矩形 二阶训练
一、选择题
1．（2025八下·广州期中）数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组4位同学拟定的方案，其中正确的是（　　）
A．测量对角线是否互相平分 B．测量一组对角是否都为直角
C．测量对角线长是否相等 D．测量3个角是否为直角
2．如图， 在矩形 中， 对角线 相交于点 ， 下列说法中， 错误的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·贺州期末）如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，若．则（　　）
A．10 B．8 C． D．5
4．（2024八下·常州期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB．添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　）
A．AB=BE B．BE⊥DC C．∠ADB=90° D．CE⊥DE
5．（2024七下·毕节期中）如图，将长方形沿直线折叠到的位置，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八下·龙华期末）如图1是生活中常见的一种停车位，将其抽象为，停放的小车可近似看成长方形．如图所示，已知，车长约为米，宽约为米．若该车能完全停入车位内，则斜向车位的长至少为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
7．（2024八下·侯马期末）将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放，使点，，在同一条直线上，点在边上，连结，，．若，，则的面积为（　　）
A．13 B．26 C． D．
8．（2025八下·义乌月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AB上一个动点，过点D分别作DE⊥AC于点E，DF⊥CB于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（　　）
A．5 B．2.5 C．2.4 D．4.8
9．（2025八下·杭州期中）如图，点是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，则线段的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
10．（2025八上·自贡期末）如图，以钝角三角形的最长边为边向外作矩形，连结，设，，的面积分别为，若要求出的值，只需知道(　　)
A．的面积 B．的面积
C．的面积 D．矩形的面积
二、填空题
11．如图， 四边形 是平行四边形， 交于点 ， 添加一个条件　 　可使它成为矩形．
12．（2025八下·新昌期末） 如图，在矩形ABCD中，， ，E，F分别为AB，BC的中点，连结CE，DF，取CE，DF的中点M，N，连结MN，则MN的长为　 　.
13．（2025八下·玉环期末） 如图，平行四边形中分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，连结交，于点，，，，则　 　．
14．（2025八上·梓潼期中）矩形中，E、F分别是、的中点，矩形的面积为，则的面积是　 　．
15．如图，在矩形ABCD 中，已知AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE⊥BD 于点E，PF⊥AC 于点F，那么 PE+PF 的值为　 　.
三、解答题
16．（2024八上·青岛期中）勾股定理是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
（1）求秋千的长度；
（2）如果将秋千往前推送，求此时踏板离地的垂直高度为多少？
17．（2025八下·广州期中）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴，y轴分别交于点B，A，以AB为边在第一象限内作等腰直角△ABC，且∠ABC＝90°，过C作CD⊥x轴于点D．
（1）如图1，求A，B，C三点的坐标；
（2）如图2，若点E，F分别是OB，AB的中点，连接EF，CF．判断四边形FEDC的形状，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、对角线是否互相平分，能判定是否是平行四边形；
B、测量一组对角是否都为直角，不能判定是否是矩形；
C、测量对角线长是否相等，不能判定是否是矩形；
D、测量3个角是否为直角，能判定是否是矩形；
故答案为：D．
【分析】利用矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）分析求解即可.
2．【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA=OB，
∴A、B、C正确，
故答案为：D．
【分析】根据矩形的性质逐个判断即可得出答案.
3．【答案】A
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
故答案为：A．
【分析】利用矩形的性质（①拥有平行四边形所有的性质；②四个角均是直角；③对角线相等）分析求解即可.
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
又∵AD=DE，
∴DE∥BC，且DE=BC，
∴四边形BCED为平行四边形，
A.∵AB=BE，DE=AD，
∴BD⊥AE，
∴ DBCE为矩形，故本选项不符合题意；
B.∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项符合题意；
C.∵∠ADB=90°，
∴∠EDB=90°，
∴ DBCE为矩形，故本选项不符合题意；
D.∵CE⊥DE，
∴∠CED=90°，
∴ DBCE为矩形，故本选项不符合题意，
故选：B．
【分析】根据平行四边形判定定理及性质，矩形判定定理即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】矩形的性质；内错角的概念；同旁内角的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∵
∴，，
由折叠的性质可得：，
∴，
故选．
【分析】
由折叠的性质知和是同一个角相等，再由平行的性质知，与是内错角相等，同时与是同旁内角互补，再利用所求角与的数量关系直接计算即可．
6．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：在矩形中，
∵为直角三角形，且，
∴
∴
故选：A．
【分析】本题考查了平行四边形、矩形的性质，等腰直角三角形的性质，根据题意得出，进而即可求解．
7．【答案】D
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放，
∴，
∴，
∴
∴
∴
∴的面积为．
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理可得AC=13，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据三角形面积即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接CD，
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠C=90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF=CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
此时，
即，
解得CD=4.8，
∴EF=4.8
故答案为：D.
【分析】连接CD，利用勾股定理列式求出AB，判断出四边形CFDE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CD，再根据垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可.
9．【答案】B
【知识点】矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：分别是的中点
四边形ABCD是矩形
故答案为：B.
【分析】先由三角形中位线定理求得AD等于OM的2倍等于6，再由矩形的每个角都是直角，可利用勾股定理求得对角线BD的长，由于矩形的对角线互相平分，则OB等于BD的一半.
10．【答案】C
【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点作，交的延长线于点，的延长线于点，
∵矩形，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴只需要知道的面积即可求出的值；
故选C．
【分析】过点作，交的延长线于点，的延长线于点，利用矩形的性质和三角形的面积公式，可得，再根据，得到，即可得出结论．
11．【答案】∠ABC=90°或∠BCD=90°或∠ADC=90°或∠BAD=90°或AC=BD.
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：由有一个角为90°的平行四边形的四边形为矩形可得，∠ABC=90°或∠BCD=90°或∠ADC=90°或∠BAD=90°；
由对角线相等的平行四边形为矩形可得，添加AC=BD；
故答案为：∠ABC=90°或∠BCD=90°或∠ADC=90°或∠BAD=90°或AC=BD.
【分析】根据矩形的判定即可求得.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接CN并延长交AD于P，连接PE，
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=90°，AD//BC
∵E，F分别是边AB，BC的中点，AB=4，BC=8，
∴，，
∵AD//BC，
∴∠DPN=∠FCN，
在△PDN与△CFN中，
∴△PDN≌△CFN(AAS)，
∴PD=CF=4，CN=PN，
∴AP=AD-PD=4，
∴
∵点M是EC的中点，
∴
故答案为：.
【分析】连接CN并延长交AD于P，连接PE，根据矩形的性质得到∠A=90°，AD//BC，根据全等三角形的性质得到PD=CF，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论.
13．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：过点B作BG⊥CD于点G，
由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线，
∴，∠BEF=90°，
∴∠EBF=∠BFE=45°.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴∠C=60°，∠BFG=∠EBF=45°，∠EFC=90°，
∴∠CBG=30°，四边形BEFG为矩形，
∴，
设CG=x，则BC=2x，
在Rt△BCG中，由勾股定理得，BC2=CG2+BG2，
即，
解得x=1，
∴CG=1，
∴.
故答案为：.
【分析】先根据作图确定线段垂直平分线，得出，再利用平行四边形性质得到AB//CD，AD//BC，最后在直角三角形中用勾股定理求解.
14．【答案】2
【知识点】矩形的性质；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，连接BE，
∵矩形ABCD的面积为16cm2，
∴cm2，AB=CD，AB·AD=16cm2
∵E是AD的中点，
∴，，
∴S△BCE=16-4-4=8cm2，
∵F是CE的中点，
∴，
∴S△BDF=S△BCD-S△BCF-S△CDF=2cm2
即△BDF的面积是2cm2，
故答案为：2.
【分析】连接BE，先根据矩形的性质可得S△BCD，S△CDE，S△BCE，再根据三角形中线的性质可得S△CDF，S△BCF，然后根据S△BDF=S△BCD-S△BCF-S△CDF求解即可.
15．【答案】
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：连接OP，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，AC=BD，OA=OC，OB=OD，
在△BAD中∠BAD=90°，AD=12，AB=5，
由勾股定理得：，
∴
∵矩形的面积是12×5=60，
∴△AOD的面积是，
∵△APO、△POD是同底的三角形，
∴，
，
∴
故答案为：.
【分析】连接OP，由矩形推出AC=BD，OA=OC，OB=OD，由勾股定理求出AC和BD的长，求出矩形ABCD的面积，进而得到△AOD的面积，根据三角形的面积公式即可求出答案.
16．【答案】（1）解：由题意知，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴
∴
∵，
∴，
设秋千的长度为，则，，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
即秋千的长度是；
（2）解：设时，，
∵，
∴，
由（1）可知，，
∴，
在中，，
由勾股定理得，则，
解得：或（舍去），
即此时踏板离地的垂直高度为．
【知识点】矩形的判定与性质；一元二次方程的应用-几何问题；利用开平方求未知数；勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】（1）首先判定四边形是矩形，即可得出，设秋千的长度为，根据勾股定理即可得出，解方程即可求解；
（2）设时，，在中，由勾股定理可得出，列方程求解即可。
（1）解：由题意知，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴
∴
∵，
∴，
设秋千的长度为，则，，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
即秋千的长度是；
（2）解：设时，，
∵，
∴，
由（1）可知，，
∴，
在中，，
由勾股定理得，则，
解得：或（舍去），
即此时踏板离地的垂直高度为．
17．【答案】解：（1）由题意得：
令x=0时，则有y=4，
∴，
令y=0时，则有-2x+4=0，解得：x=2，
∴，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，
∴，
∴，
∵CD⊥x轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）四边形FEDC是矩形，理由如下：
由（1）可得：，OA=4，
∵点E，F分别是OB，AB的中点，
∴，EF∥OA，
∴，
∴四边形FEDC是平行四边形，
∵，
∴四边形FEDC是矩形．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定；三角形的中位线定理；一次函数的实际应用-几何问题；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可得，，根据等腰直角三角形性质可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得OD，再根据点的坐标即可求出答案.
（2）由（1）可得：，OA=4，根据三角形中位线定理可得，EF∥OA，再根据矩形判定定理即可求出答案.
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