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浙教版数学八年级下册 5.1 矩形 三阶训练
一、选择题
1．（2024八下·官渡期末）如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是（　　）
A．三个角都是直角的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形
2．（2024八下·环江期中）甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测，你认为最有说服力的是（　　）
A．甲量得窗框的一组邻边相等
B．乙量得窗框两组对边分别相等
C．丙量得窗框的对角线长相等
D．丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等
3．如图，以钝角三角形 ABC的最长边 BC 为边向外作矩形 BCDE，连结AE，AD，设△AED，△ABE，△ACD 的面积分别为S，S1，S2，若要求出的值，只需知 (　　)
A．△ABE的面积 B．△ACD 的面积
C．△ABC的面积 D．矩形 BCDE 的面积
4．（2025八上·自贡期末）如图，以钝角三角形的最长边为边向外作矩形，连结，设，，的面积分别为，若要求出的值，只需知道(　　)
A．的面积 B．的面积
C．的面积 D．矩形的面积
5．（2024八下·巴彦期末）如图，过矩形对角线的交点 O，且分别交于 E 、F，那么阴影部分的面积是矩形 的面积的（ ）
A． B． C． D．
6．（2023八下·恩平期中）两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，AB＝AF，AE＝BC．若AB＝2，BC＝6，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．4 B． C． D．6
7．（2025八下·金平期中）矩形中，，，分别平分，，交于点E，F，射线，交于点G，若，则的长是（　　）
A．6或7 B．8或9 C．7或9 D．6或9
8．（2025八下·诸暨期末）如图，在矩形纸片中，点为上一点，关于折叠得到，点落于线段上；为上一点，关于折叠得到，点落于线段上，连接．设的面积为，的面积为，则下列哪个选项中的代数式数值是固定值（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2025七下·广州期中）小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为．小明　 　将贺卡不折叠就放入此信封．（填能或不能）
10．（2024七上·城关期末）拿一张长方形纸片，按图中所示的方法折叠一角，得到折痕EF，如果∠DFE=35°，则∠DFA=　 　
11．（2025八上·南宁月考）在中，点、分别为边、的中点，于点，交于点，，若，，则　 　．
12．（2025八下·玉环期末） 如图，平行四边形中分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，连结交，于点，，，，则　 　．
13．（2025八上·梓潼期中）矩形中，E、F分别是、的中点，矩形的面积为，则的面积是　 　．
14．如图，在长方形ABCD 中， BC=12，AG=13，E 为 BC 上一点，沿 AE 所在直线翻折△ABE，使AB 与AF 重合，点 F 在AG上，则CE 的长是　 　.
15．（2025八下·惠州期中）如图，在矩形中，，的平分线交于点，，垂足为，连结并延长交于点，连结交于点下列结论：①②③是的中点④；其中正确的是　 　．
三、解答题
16．已知点 E 是矩形 ABCD 的对角线 BD 上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P 是EC 上的一动点，且PQ⊥BC 于点Q，PR⊥BD 于点R.
（1）如图①，当点 P 为线段EC 中点时，求证：
（2）如图②，当点 P 为线段EC 上任意一点(不与点 E、点C 重合)时，其他条件不变，则(1)中的结论是否仍成立 若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.
（3）如图③，当点 P 为线段EC 延长线上任意一点时，其他条件不变，则PR 与PQ之间又具有怎样的数量关系 请直接写出你的猜想.
17．（2026八上·龙华期末）综合与实践
（1）【课本再现】
问题：在直线l的同侧，有两个点A，B，在直线l上确定一个点C，使AC+BC最短．
作法：如图1，作点B关于l的对称点B'，连接AB'交l于点C，点C即为所求．
发现： ∠1=∠2．
理由： 因为点A， C， B'三点共线， 所以∠1=∠3，又根据轴对称性质可知　 　，所以∠1=∠2．
（2）【实验验证】
光行最速原理：光在同一介质中反射传播，它所行的路径一定是最短路径．
实验操作：如图2，把光源放于点A 处，使得光线经镜面l后反射．
发现：调整光线方向，当入射光线经过点 C 时，反射光线恰好经过点 B，作法线CD⊥l，可以验证光的反射定律：反射角∠BCD等于入射角∠ACD．
理由： 由 (1) 可知， ∠1=∠2，
又∵CD⊥l，
……，
∴∠BCD=∠ACD．
请补充上述证明过程．
（3）【实验探究】
如图3，在长方形ABCD中，点E 是边 AB 上的一点，光线从点E射出，经平面镜AD，CD两次反射后恰好经过点B．经观察，实验小组猜想 EF∥BG，请证明这个猜想．
（4）【实验拓展】
如图4，在长方形ABCD中，点E是边AB上的点，光线从点E射出，经平面镜AD，CD，BC三次反射后经过边AB上的点I．经测量，实验小组猜想EF+FG=GH+HI，请证明这个猜想．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项符合题意．
故选：C．
【分析】根据矩形的判定定理即可求出答案.
2．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A，只是一组邻边相等的四边形不能判断是矩形，故甲的判断不准确；
B，两组对边分别相等可以是平行四边形，菱形，矩形，正方形；故乙的判断不准确；
C，对角线长相等可以是等腰梯形，矩形，正方形；故丙的判断不准确；
D，两组对边分别相等是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，正方形；故丁的判断最有说服力；
故答案为：D
【分析】根据矩形的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点A作AG⊥ED于点G，交BC于点F.
∵四边形BCDE是矩形，
∴∠FBE=∠BEG=90°，BC∥ED，BE∥CD，BC=ED，BE=CD.
∵AG⊥ED，
∴AF⊥BC，∠FGE=90°，
∴四边形BFGE是矩形，
∴AG∥BE∥CD，FG=BE=CD，
∴S-S1-S2=ED·AG-BE·EG-CD·DG=ED·AG-FG·ED=ED·AF=BC·AF=S△ABC，
∴只需知道S△ABC，就可以求出S-S1-S2的值.
故选C.
【分析】作 于点G，交BC于点F，可证明四边形BFGE是矩形， 可推导出 所以只需知道 就可求出 的值，于是得到问题的答案.
4．【答案】C
【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点作，交的延长线于点，的延长线于点，
∵矩形，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴只需要知道的面积即可求出的值；
故选C．
【分析】过点作，交的延长线于点，的延长线于点，利用矩形的性质和三角形的面积公式，可得，再根据，得到，即可得出结论．
5．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：四边形为矩形，
，
∴
在与中，
，
，
阴影部分的面积，
∵与同底且的高是高的
．
故选：B．
【分析】由矩形的性质可得，，得到，从而，确定阴影部分的面积，根据三角形中线的题意可得，，即可求解．
6．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：设AE和BC的交点为H，如下图：
∵两个矩形纸片是全等的
∴AB=CE，∠ABC=∠CEA=90°
∵∠AHB=∠CHE
∴△ABH≌△CEH（AAS）
∴BH=CH
设BH=x，则CH=6-x；
∴22+x2=(6-x）2，解得x=；
∴阴影部分的面积=×2×=
故答案为：B.
【分析】根据矩形全等及其性质，可得AB=CE，∠ABC=∠CEA=90°；根据三角形全等的判定（AAS）和性质，可得BH=CH；根据勾股定理和三角形面积公式，即可求解.
7．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理，，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
分两种情况：
①当点G在矩形内部时，如图所示：
则，
即，
解得：，
∴；
②当点G在矩形外部时，如图所示：
则，
∴，
∴；
综上所述，的长为7或9，
故选：C．
【分析】本题考查矩形的性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质，解题需先利用矩形和角平分线的性质求出AE、DF的长度，再判定的形状求出EF，最后分点G在矩形内部、外部两种情况计算BC的长。由矩形的性质得，，结合BE平分，可得，因此是等腰直角三角形，，同理可得，；由，可判定为等腰直角三角形，根据勾股定理，代入，求出；再分两种情况，当G在矩形内部时，满足，代入数值可求AD；当G在矩形外部时，满足，代入数值求出AD，而矩形中，即可得BC的两个取值。
8．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：由折叠可得：△ADE≌△AFE，△BFM≌△NFM.
∴NF=BF，MN=MB，DE=EF，AF=AD.
∵EF=c，CE=b，
∴DE=EF=c，DC=DE+EC=b+c.
∵四边形ABCD是矩形，CF=a，设BF=x，
∴AB=CD=b+c，AD=BC=x+a，∠D=∠B=90°，
∴，AF=AD=x+a.
∴AN=AF－NF=a.
在Rt△ABF中，AB=b+c，BF=x，AF=x+a，
∴，
∴.
设BM=y，则AM=AB－BM=b+c－y.
在Rt△AMN中
，
.
∴
在中，
，
，，
，
.
.
A、，不是定值，故选项A不符合题意；
B、，是定值，故选项B符合题意；
C、，不是定值，故选项C不符合题意；
D、，不是定值，故选项D不符合题意.
故答案为：B．
【分析】由折叠得NF=BF，MN=MB，DE=EF，AF=AD.于是可得DE=EF=c，DC=b+c.设BF=x，根据矩形的性质可得AB=CD=b+c，AD=BC=x+a，∠D=∠B=90°，于是可表示出和AF以及AN的长.
在Rt△ABF中利用勾股定理，可表示出x；设BM=y，在Rt△AMN中利用勾股定理，可表示出y；于是可表示出，在Rt△EFC中利用勾股定理，可得a，b，c的关系，继而可对和进行化简，最后再对四个选项逐一计算并判断，即可得到结论.
9．【答案】不能
【知识点】无理数的估值；矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：面积为的正方形的边长为，
长、宽之比为，面积为的长方形，
设长为，宽为，
∴，则，
∵，
解得，（负值舍去），
∴长方形的长为，宽为，
∵，即，
∴，
∴，
∴贺卡不折叠就不能放入此信封，
故答案为：不能 ．
【分析】根据正方形性质可得边长为16，设长方形的长为，宽为，根据面积建立方程，解方程可得长方形的长为，宽为，再比较大小即可求出答案.
10．【答案】110°
【知识点】矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：由题意得∠DFA=180°-∠DFE×2=180°-35°×2=110°.
故答案为：110°.
【分析】本题考查了折叠的性质，以及平角的定义的应用，根据折叠前后图形的对应边、对应角相等，结合平角的定义，列出算式，即可求解.
11．【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，过点D作于H，
∵点、分别为边、的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：2．
【分析】本题考查三角形中位线性质、矩形的判定与性质及全等三角形的判定与性质。解题时先连接DF、EC，作DH⊥BC于H，由D、F是中点，根据三角形中位线性质得DF=BC=5且DF∥BC；再由FG⊥BC推出FG⊥DF，结合DH⊥BC可判定四边形DFGH为矩形，得GH=DF=5、∠FDH=90°；又因ED⊥AC得∠EDC=90°，进而推出∠FDE=∠CDH，结合DE=DC，用AAS证△FDE≌△HDC，最后由全等三角形对应边相等得EF=CH=CG-GH=7-5=2。
12．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：过点B作BG⊥CD于点G，
由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线，
∴，∠BEF=90°，
∴∠EBF=∠BFE=45°.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴∠C=60°，∠BFG=∠EBF=45°，∠EFC=90°，
∴∠CBG=30°，四边形BEFG为矩形，
∴，
设CG=x，则BC=2x，
在Rt△BCG中，由勾股定理得，BC2=CG2+BG2，
即，
解得x=1，
∴CG=1，
∴.
故答案为：.
【分析】先根据作图确定线段垂直平分线，得出，再利用平行四边形性质得到AB//CD，AD//BC，最后在直角三角形中用勾股定理求解.
13．【答案】2
【知识点】矩形的性质；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，连接BE，
∵矩形ABCD的面积为16cm2，
∴cm2，AB=CD，AB·AD=16cm2
∵E是AD的中点，
∴，，
∴S△BCE=16-4-4=8cm2，
∵F是CE的中点，
∴，
∴S△BDF=S△BCD-S△BCF-S△CDF=2cm2
即△BDF的面积是2cm2，
故答案为：2.
【分析】连接BE，先根据矩形的性质可得S△BCD，S△CDE，S△BCE，再根据三角形中线的性质可得S△CDF，S△BCF，然后根据S△BDF=S△BCD-S△BCF-S△CDF求解即可.
14．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连结 EG.
因为四边形ABCD 是长方形，
所以∠B=∠C=
由折叠的性质得
因为AG=13，
所以
所以AF=FG，
所以 EF 垂直平分AG，
所以AE=GE.
因为 AD = 12，AG = 13，∠D = 90°，
所以 DG=
所以
在Rt△ABE 中，
在 Rt △CEG中，
因为AE=GE，
所以
所以
解得
故答案为：
【分析】连结EG，根据矩形与折叠的性质可得AF=FG，再根据垂直平分线可得AE=GE，利用勾股定理先求出DG=5，再利用勾股定理列方程，求解即可得到答案.
15．【答案】①②③④
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：在矩形中，平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，故①正确，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，故②正确；
，，
，
，
，，
，
，
，
又，，
在和中，
，
，
，，
点是的中点，故③正确；
，，
，
，所以④正确；
故答案为：①②③④．
【分析】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义及等腰三角形的性质。①由平分，矩形中，得，是等腰直角三角形，故，又，因此，①正确；②通过证明，得，，计算，，故，②正确；③通过证明，得，即是中点，③正确；④由，，得，，④正确。
16．【答案】（1）解：连接BP，
∵点P为线段EC中点，故PB是∠EBC的角平分线，
∴PQ=PR，
∵BC=BE，
∴S△BEC=2S△BPC，
则
解得，
∴
（2）解：结论仍成立；
证明：连接BP，过C点作CK⊥BD于点K，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BCD=90°，
又∵CD=AB=3，BC=4，
∴，
∵，
∴3×4=5CK
∴
∵，，，且S△BCE=S△BEP+S△BCP，
∴，
又∵BE=BC，
∴，
∴CK=PR+PQ，
又∵
∴
（3）解：过C作CF⊥BD交BD于F，作CM⊥PR交PR于M，连接BP，
S△BPE-S△BCP=S△BEC，S△BEC是固定值，BE=BC为两个底，PR，PQ分别为高，图中的结论是
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】(1)用两种方法表示△BCE的面积即可求解；
(2)连接BP，过C点作CK⊥BD于点K.根据矩形的性质及勾股定理求出BD的长，根据三角形面积相等可求出CK的长，最后通过等量代换即可证明；
(3)过C作CF⊥BD交BD于F，作CM⊥PR交PR于M，连接BP，根据S△BPE-S△BCP=S△BEC，S△BEC是固定值，且底相等，进而即可得出结论.
17．【答案】（1）∠2=∠3
（2）解：如图，补充证明过程如下：
理由： 由 (1) 可知， ∠1=∠2，
又∵CD⊥l，
∴∠1+∠ACD=90°， ∠2+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠ACD．
（3）证明：如图， 由 (1) 可知： ∠2=∠3， ∠4=∠5，
在长方形ABCD 中，
∵∠D=90°，
∴∠3+∠4=90°，
∴EF∥BG．
（4）证明：如图，延长GF交BA 的延长线于J，延长GH交AB的延长线于K，过点G作GM⊥AB于M，
∴∠JFA=∠DFG， ∠GHC=∠BHK， ∠JMG=∠KMG=90°，
∵四边形ABCD为长方形，
∴JK//DC，
∴∠J=∠DGF， ∠K=∠HGC．
∵反射，
∴∠AFE=∠DFG， ∠BHI=∠GHC， ∠DGF=∠HGC，
∴∠JFA=∠AFE， ∠GHC=∠BHI， ∠J=∠K，
∴△JMG≌△KMG，
∴JG=KG，
∴JF+FG=GH+HK．
∵四边形ABCD为长方形，
∴∠EAF=∠HBI=∠D=∠C=90°，
∵∠EAF+∠JAF=180°， ∠HBI+∠HBK=180°，
∴∠EAF=180°-∠JAF=90°， ∠HBI=180°-∠HBK=90°．
∵AF=AF， BH=BH，
∴△JAF≌△EAF，△IBH≌△KBH，
∴FJ=EF，IH=KH，
∴EF+FG=GH+HI．
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【分析】（1）根据对称性质即可求出答案.
（2）根据角之间的关系即可即可求出答案.
（3） 由 (1) 可知： ∠2=∠3， ∠4=∠5，根据补角可得∠EFG，∠FGB，根据三角形内角和定理可得∠3+∠4=90°，再根据角之间的关系，结合直线平行判定定理即可求出答案.
（4）延长GF交BA 的延长线于J，延长GH交AB的延长线于K，过点G作GM⊥AB于M，根据长方形性质可得JK//DC，则∠J=∠DGF， ∠K=∠HGC，根据反射可得∠AFE=∠DFG， ∠BHI=∠GHC， ∠DGF=∠HGC，根据全等三角形判定定理可得△JMG≌△KMG，则JG=KG，根据边之间的关系可得JF+FG=GH+HK，根据长方形性质可得∠EAF=∠HBI=∠D=∠C=90°，再根据全等三角形判定定理可得△JAF≌△EAF，△IBH≌△KBH，则FJ=EF，IH=KH，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1浙教版数学八年级下册 5.1 矩形 三阶训练
一、选择题
1．（2024八下·官渡期末）如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是（　　）
A．三个角都是直角的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形
【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项符合题意．
故选：C．
【分析】根据矩形的判定定理即可求出答案.
2．（2024八下·环江期中）甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测，你认为最有说服力的是（　　）
A．甲量得窗框的一组邻边相等
B．乙量得窗框两组对边分别相等
C．丙量得窗框的对角线长相等
D．丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A，只是一组邻边相等的四边形不能判断是矩形，故甲的判断不准确；
B，两组对边分别相等可以是平行四边形，菱形，矩形，正方形；故乙的判断不准确；
C，对角线长相等可以是等腰梯形，矩形，正方形；故丙的判断不准确；
D，两组对边分别相等是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，正方形；故丁的判断最有说服力；
故答案为：D
【分析】根据矩形的判定定理逐项进行判断即可求出答案.
3．如图，以钝角三角形 ABC的最长边 BC 为边向外作矩形 BCDE，连结AE，AD，设△AED，△ABE，△ACD 的面积分别为S，S1，S2，若要求出的值，只需知 (　　)
A．△ABE的面积 B．△ACD 的面积
C．△ABC的面积 D．矩形 BCDE 的面积
【答案】C
【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点A作AG⊥ED于点G，交BC于点F.
∵四边形BCDE是矩形，
∴∠FBE=∠BEG=90°，BC∥ED，BE∥CD，BC=ED，BE=CD.
∵AG⊥ED，
∴AF⊥BC，∠FGE=90°，
∴四边形BFGE是矩形，
∴AG∥BE∥CD，FG=BE=CD，
∴S-S1-S2=ED·AG-BE·EG-CD·DG=ED·AG-FG·ED=ED·AF=BC·AF=S△ABC，
∴只需知道S△ABC，就可以求出S-S1-S2的值.
故选C.
【分析】作 于点G，交BC于点F，可证明四边形BFGE是矩形， 可推导出 所以只需知道 就可求出 的值，于是得到问题的答案.
4．（2025八上·自贡期末）如图，以钝角三角形的最长边为边向外作矩形，连结，设，，的面积分别为，若要求出的值，只需知道(　　)
A．的面积 B．的面积
C．的面积 D．矩形的面积
【答案】C
【知识点】三角形的面积；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点作，交的延长线于点，的延长线于点，
∵矩形，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴只需要知道的面积即可求出的值；
故选C．
【分析】过点作，交的延长线于点，的延长线于点，利用矩形的性质和三角形的面积公式，可得，再根据，得到，即可得出结论．
5．（2024八下·巴彦期末）如图，过矩形对角线的交点 O，且分别交于 E 、F，那么阴影部分的面积是矩形 的面积的（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：四边形为矩形，
，
∴
在与中，
，
，
阴影部分的面积，
∵与同底且的高是高的
．
故选：B．
【分析】由矩形的性质可得，，得到，从而，确定阴影部分的面积，根据三角形中线的题意可得，，即可求解．
6．（2023八下·恩平期中）两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，AB＝AF，AE＝BC．若AB＝2，BC＝6，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．4 B． C． D．6
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：设AE和BC的交点为H，如下图：
∵两个矩形纸片是全等的
∴AB=CE，∠ABC=∠CEA=90°
∵∠AHB=∠CHE
∴△ABH≌△CEH（AAS）
∴BH=CH
设BH=x，则CH=6-x；
∴22+x2=(6-x）2，解得x=；
∴阴影部分的面积=×2×=
故答案为：B.
【分析】根据矩形全等及其性质，可得AB=CE，∠ABC=∠CEA=90°；根据三角形全等的判定（AAS）和性质，可得BH=CH；根据勾股定理和三角形面积公式，即可求解.
7．（2025八下·金平期中）矩形中，，，分别平分，，交于点E，F，射线，交于点G，若，则的长是（　　）
A．6或7 B．8或9 C．7或9 D．6或9
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理，，，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
分两种情况：
①当点G在矩形内部时，如图所示：
则，
即，
解得：，
∴；
②当点G在矩形外部时，如图所示：
则，
∴，
∴；
综上所述，的长为7或9，
故选：C．
【分析】本题考查矩形的性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质，解题需先利用矩形和角平分线的性质求出AE、DF的长度，再判定的形状求出EF，最后分点G在矩形内部、外部两种情况计算BC的长。由矩形的性质得，，结合BE平分，可得，因此是等腰直角三角形，，同理可得，；由，可判定为等腰直角三角形，根据勾股定理，代入，求出；再分两种情况，当G在矩形内部时，满足，代入数值可求AD；当G在矩形外部时，满足，代入数值求出AD，而矩形中，即可得BC的两个取值。
8．（2025八下·诸暨期末）如图，在矩形纸片中，点为上一点，关于折叠得到，点落于线段上；为上一点，关于折叠得到，点落于线段上，连接．设的面积为，的面积为，则下列哪个选项中的代数式数值是固定值（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：由折叠可得：△ADE≌△AFE，△BFM≌△NFM.
∴NF=BF，MN=MB，DE=EF，AF=AD.
∵EF=c，CE=b，
∴DE=EF=c，DC=DE+EC=b+c.
∵四边形ABCD是矩形，CF=a，设BF=x，
∴AB=CD=b+c，AD=BC=x+a，∠D=∠B=90°，
∴，AF=AD=x+a.
∴AN=AF－NF=a.
在Rt△ABF中，AB=b+c，BF=x，AF=x+a，
∴，
∴.
设BM=y，则AM=AB－BM=b+c－y.
在Rt△AMN中
，
.
∴
在中，
，
，，
，
.
.
A、，不是定值，故选项A不符合题意；
B、，是定值，故选项B符合题意；
C、，不是定值，故选项C不符合题意；
D、，不是定值，故选项D不符合题意.
故答案为：B．
【分析】由折叠得NF=BF，MN=MB，DE=EF，AF=AD.于是可得DE=EF=c，DC=b+c.设BF=x，根据矩形的性质可得AB=CD=b+c，AD=BC=x+a，∠D=∠B=90°，于是可表示出和AF以及AN的长.
在Rt△ABF中利用勾股定理，可表示出x；设BM=y，在Rt△AMN中利用勾股定理，可表示出y；于是可表示出，在Rt△EFC中利用勾股定理，可得a，b，c的关系，继而可对和进行化简，最后再对四个选项逐一计算并判断，即可得到结论.
二、填空题
9．（2025七下·广州期中）小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为．小明　 　将贺卡不折叠就放入此信封．（填能或不能）
【答案】不能
【知识点】无理数的估值；矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：面积为的正方形的边长为，
长、宽之比为，面积为的长方形，
设长为，宽为，
∴，则，
∵，
解得，（负值舍去），
∴长方形的长为，宽为，
∵，即，
∴，
∴，
∴贺卡不折叠就不能放入此信封，
故答案为：不能 ．
【分析】根据正方形性质可得边长为16，设长方形的长为，宽为，根据面积建立方程，解方程可得长方形的长为，宽为，再比较大小即可求出答案.
10．（2024七上·城关期末）拿一张长方形纸片，按图中所示的方法折叠一角，得到折痕EF，如果∠DFE=35°，则∠DFA=　 　
【答案】110°
【知识点】矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：由题意得∠DFA=180°-∠DFE×2=180°-35°×2=110°.
故答案为：110°.
【分析】本题考查了折叠的性质，以及平角的定义的应用，根据折叠前后图形的对应边、对应角相等，结合平角的定义，列出算式，即可求解.
11．（2025八上·南宁月考）在中，点、分别为边、的中点，于点，交于点，，若，，则　 　．
【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接，过点D作于H，
∵点、分别为边、的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：2．
【分析】本题考查三角形中位线性质、矩形的判定与性质及全等三角形的判定与性质。解题时先连接DF、EC，作DH⊥BC于H，由D、F是中点，根据三角形中位线性质得DF=BC=5且DF∥BC；再由FG⊥BC推出FG⊥DF，结合DH⊥BC可判定四边形DFGH为矩形，得GH=DF=5、∠FDH=90°；又因ED⊥AC得∠EDC=90°，进而推出∠FDE=∠CDH，结合DE=DC，用AAS证△FDE≌△HDC，最后由全等三角形对应边相等得EF=CH=CG-GH=7-5=2。
12．（2025八下·玉环期末） 如图，平行四边形中分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，连结交，于点，，，，则　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：过点B作BG⊥CD于点G，
由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线，
∴，∠BEF=90°，
∴∠EBF=∠BFE=45°.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴∠C=60°，∠BFG=∠EBF=45°，∠EFC=90°，
∴∠CBG=30°，四边形BEFG为矩形，
∴，
设CG=x，则BC=2x，
在Rt△BCG中，由勾股定理得，BC2=CG2+BG2，
即，
解得x=1，
∴CG=1，
∴.
故答案为：.
【分析】先根据作图确定线段垂直平分线，得出，再利用平行四边形性质得到AB//CD，AD//BC，最后在直角三角形中用勾股定理求解.
13．（2025八上·梓潼期中）矩形中，E、F分别是、的中点，矩形的面积为，则的面积是　 　．
【答案】2
【知识点】矩形的性质；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，连接BE，
∵矩形ABCD的面积为16cm2，
∴cm2，AB=CD，AB·AD=16cm2
∵E是AD的中点，
∴，，
∴S△BCE=16-4-4=8cm2，
∵F是CE的中点，
∴，
∴S△BDF=S△BCD-S△BCF-S△CDF=2cm2
即△BDF的面积是2cm2，
故答案为：2.
【分析】连接BE，先根据矩形的性质可得S△BCD，S△CDE，S△BCE，再根据三角形中线的性质可得S△CDF，S△BCF，然后根据S△BDF=S△BCD-S△BCF-S△CDF求解即可.
14．如图，在长方形ABCD 中， BC=12，AG=13，E 为 BC 上一点，沿 AE 所在直线翻折△ABE，使AB 与AF 重合，点 F 在AG上，则CE 的长是　 　.
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，连结 EG.
因为四边形ABCD 是长方形，
所以∠B=∠C=
由折叠的性质得
因为AG=13，
所以
所以AF=FG，
所以 EF 垂直平分AG，
所以AE=GE.
因为 AD = 12，AG = 13，∠D = 90°，
所以 DG=
所以
在Rt△ABE 中，
在 Rt △CEG中，
因为AE=GE，
所以
所以
解得
故答案为：
【分析】连结EG，根据矩形与折叠的性质可得AF=FG，再根据垂直平分线可得AE=GE，利用勾股定理先求出DG=5，再利用勾股定理列方程，求解即可得到答案.
15．（2025八下·惠州期中）如图，在矩形中，，的平分线交于点，，垂足为，连结并延长交于点，连结交于点下列结论：①②③是的中点④；其中正确的是　 　．
【答案】①②③④
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：在矩形中，平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，故①正确，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，故②正确；
，，
，
，
，，
，
，
，
又，，
在和中，
，
，
，，
点是的中点，故③正确；
，，
，
，所以④正确；
故答案为：①②③④．
【分析】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义及等腰三角形的性质。①由平分，矩形中，得，是等腰直角三角形，故，又，因此，①正确；②通过证明，得，，计算，，故，②正确；③通过证明，得，即是中点，③正确；④由，，得，，④正确。
三、解答题
16．已知点 E 是矩形 ABCD 的对角线 BD 上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P 是EC 上的一动点，且PQ⊥BC 于点Q，PR⊥BD 于点R.
（1）如图①，当点 P 为线段EC 中点时，求证：
（2）如图②，当点 P 为线段EC 上任意一点(不与点 E、点C 重合)时，其他条件不变，则(1)中的结论是否仍成立 若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.
（3）如图③，当点 P 为线段EC 延长线上任意一点时，其他条件不变，则PR 与PQ之间又具有怎样的数量关系 请直接写出你的猜想.
【答案】（1）解：连接BP，
∵点P为线段EC中点，故PB是∠EBC的角平分线，
∴PQ=PR，
∵BC=BE，
∴S△BEC=2S△BPC，
则
解得，
∴
（2）解：结论仍成立；
证明：连接BP，过C点作CK⊥BD于点K，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BCD=90°，
又∵CD=AB=3，BC=4，
∴，
∵，
∴3×4=5CK
∴
∵，，，且S△BCE=S△BEP+S△BCP，
∴，
又∵BE=BC，
∴，
∴CK=PR+PQ，
又∵
∴
（3）解：过C作CF⊥BD交BD于F，作CM⊥PR交PR于M，连接BP，
S△BPE-S△BCP=S△BEC，S△BEC是固定值，BE=BC为两个底，PR，PQ分别为高，图中的结论是
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【分析】(1)用两种方法表示△BCE的面积即可求解；
(2)连接BP，过C点作CK⊥BD于点K.根据矩形的性质及勾股定理求出BD的长，根据三角形面积相等可求出CK的长，最后通过等量代换即可证明；
(3)过C作CF⊥BD交BD于F，作CM⊥PR交PR于M，连接BP，根据S△BPE-S△BCP=S△BEC，S△BEC是固定值，且底相等，进而即可得出结论.
17．（2026八上·龙华期末）综合与实践
（1）【课本再现】
问题：在直线l的同侧，有两个点A，B，在直线l上确定一个点C，使AC+BC最短．
作法：如图1，作点B关于l的对称点B'，连接AB'交l于点C，点C即为所求．
发现： ∠1=∠2．
理由： 因为点A， C， B'三点共线， 所以∠1=∠3，又根据轴对称性质可知　 　，所以∠1=∠2．
（2）【实验验证】
光行最速原理：光在同一介质中反射传播，它所行的路径一定是最短路径．
实验操作：如图2，把光源放于点A 处，使得光线经镜面l后反射．
发现：调整光线方向，当入射光线经过点 C 时，反射光线恰好经过点 B，作法线CD⊥l，可以验证光的反射定律：反射角∠BCD等于入射角∠ACD．
理由： 由 (1) 可知， ∠1=∠2，
又∵CD⊥l，
……，
∴∠BCD=∠ACD．
请补充上述证明过程．
（3）【实验探究】
如图3，在长方形ABCD中，点E 是边 AB 上的一点，光线从点E射出，经平面镜AD，CD两次反射后恰好经过点B．经观察，实验小组猜想 EF∥BG，请证明这个猜想．
（4）【实验拓展】
如图4，在长方形ABCD中，点E是边AB上的点，光线从点E射出，经平面镜AD，CD，BC三次反射后经过边AB上的点I．经测量，实验小组猜想EF+FG=GH+HI，请证明这个猜想．
【答案】（1）∠2=∠3
（2）解：如图，补充证明过程如下：
理由： 由 (1) 可知， ∠1=∠2，
又∵CD⊥l，
∴∠1+∠ACD=90°， ∠2+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠ACD．
（3）证明：如图， 由 (1) 可知： ∠2=∠3， ∠4=∠5，
在长方形ABCD 中，
∵∠D=90°，
∴∠3+∠4=90°，
∴EF∥BG．
（4）证明：如图，延长GF交BA 的延长线于J，延长GH交AB的延长线于K，过点G作GM⊥AB于M，
∴∠JFA=∠DFG， ∠GHC=∠BHK， ∠JMG=∠KMG=90°，
∵四边形ABCD为长方形，
∴JK//DC，
∴∠J=∠DGF， ∠K=∠HGC．
∵反射，
∴∠AFE=∠DFG， ∠BHI=∠GHC， ∠DGF=∠HGC，
∴∠JFA=∠AFE， ∠GHC=∠BHI， ∠J=∠K，
∴△JMG≌△KMG，
∴JG=KG，
∴JF+FG=GH+HK．
∵四边形ABCD为长方形，
∴∠EAF=∠HBI=∠D=∠C=90°，
∵∠EAF+∠JAF=180°， ∠HBI+∠HBK=180°，
∴∠EAF=180°-∠JAF=90°， ∠HBI=180°-∠HBK=90°．
∵AF=AF， BH=BH，
∴△JAF≌△EAF，△IBH≌△KBH，
∴FJ=EF，IH=KH，
∴EF+FG=GH+HI．
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【分析】（1）根据对称性质即可求出答案.
（2）根据角之间的关系即可即可求出答案.
（3） 由 (1) 可知： ∠2=∠3， ∠4=∠5，根据补角可得∠EFG，∠FGB，根据三角形内角和定理可得∠3+∠4=90°，再根据角之间的关系，结合直线平行判定定理即可求出答案.
（4）延长GF交BA 的延长线于J，延长GH交AB的延长线于K，过点G作GM⊥AB于M，根据长方形性质可得JK//DC，则∠J=∠DGF， ∠K=∠HGC，根据反射可得∠AFE=∠DFG， ∠BHI=∠GHC， ∠DGF=∠HGC，根据全等三角形判定定理可得△JMG≌△KMG，则JG=KG，根据边之间的关系可得JF+FG=GH+HK，根据长方形性质可得∠EAF=∠HBI=∠D=∠C=90°，再根据全等三角形判定定理可得△JAF≌△EAF，△IBH≌△KBH，则FJ=EF，IH=KH，再根据边之间的关系即可求出答案.
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