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浙教版数学七年级下册 3.2 单项式的乘法 培优卷
一、选择题
1．（2025八上·唐山月考）计算，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
．
故答案为：C
【分析】本题需依次运用积的乘方、单项式乘单项式及合并同类项法则解题。首先处理积的乘方运算，对于，需将系数、字母和分别乘方，得到；对于，同样按积的乘方法则化简为。接着进行单项式乘单项式运算，需将系数相乘、相同字母的指数相加，得到。最后根据同类项合并法则，将两项结果相减，即，系数相加、字母及指数不变，得出最终结果。
2．（2024七下·高州月考）一个长方体的长、宽、高分别为3a－4，2a，a，则它的体积等于(　　)．
A．3a3－4a2 B．a2 C．6a3－8a2 D．6a3－8a
【答案】C
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：长方体的体积=（3a-4）×2a×a=6a3－8a2；
故答案为：C.
【分析】根据单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加进行计算即可求解.
3．如果，那么的立方根是（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】单项式乘多项式；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：，
又，
，，
，
．
故答案为：B．
【分析】先利用多项式的乘法展开合并，根据对应系数相等求出a，b的值，然后求出a+b的立方根即可.
4．（2025七下·杭州期中）若关于x，y的多项式的结果中不含项，则的值为（　　）
A．1 B．0 C．-1 D．5
【答案】D
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：x·(x2-mx+3)+x2·(4mx2+3x+5)
=x3-mx2+3x+4mx4+3x3+5x2
=4x3-mx2+3x-4mx4+5x2
=4x3+(5-m)x2+3x-4mx4
∵结果中不含x2项，
∴-(5-m)=0，
∴m=5，
故答案为：D.
【分析】先根据单项式乘多项式的运算法则计算，然后根据结果中不含x2项，即可求出m的值.
5．（2025八上·玉环期末）一个四位自然数，满足，，则称这个四位数为“幸运数”例如：对于，∵，，∴是“幸运数”；对于，∵，，∴不是“幸运数”．若存在幸运数，使得，则满足条件的“幸运数”有（　　）个．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】单项式乘多项式；利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：由题意得，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵均为整数，且，，，，
∴或或，
当时，，，此时幸运数为，
当时，，，此时幸运数为，
当 时，，，此时幸运数为，
则满足条件的“幸运数”有个，
故选：．
【分析】
由幸运数数的概念可得，， 再由题意可得等式， 再利用整式的乘法运算可化简得，因为整数各个数位上的数字都是小于10的自然数，且其中还需大于2，再利用特殊制法分别求出的值即可．
6．（2025八上·隆昌月考）如图，小正方形和大正方形相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上．连接、、，若阴影部分的面积为，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】单项式乘多项式；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：设小正方形和大正方形的边长分别为，，则，，，
∵阴影部分的面积为，即S△ADE+S△DEG=10
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴大正方形的面积与小正方形的面积之差为20.
故答案为：A．
【分析】先设小正方形ABCD和大正方形CEFG的边长分别为a，b，结合图形可得DE=b-a，AD=a，CG=b， S△ADE+S△DEG=10 ，从而利用三角形面积公式列出方程，化简即可求解．
7．（2024八上·九台月考）某同学在计算乘一个多项式时错将乘法做成了加法，得到的答案是，由此可以推断出正确的计算结果是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】整式的加减运算；单项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意知，
这个多项式为：，
∴正确的计算结果为：
，
故选：A．
【分析】本题考查整式的混合运算，先根据错误的加法运算求出原多项式（用结果减去-3x），再将原多项式与-3x相乘，得到正确的计算结果.
8．（2024七上·益阳开学考）已知，为有理数，现规定一种新运算“”，满足求（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；单项式乘单项式
【解析】【解答】解：∵2※（ 2）＝2×2 （ 2）＝4＋2＝6，6※（ 3a）＝6×2 （ 3a）＝12＋3a，
∴[2※（ 2）]※（ 3a）＝12＋3a，
故答案为：D.
【分析】先利用题干的定义及计算方法求出2※（ 2），再求出6※（ 3a），从而可得[2※（ 2）]※（ 3a）＝12＋3a.
9．（2024九上·株洲开学考）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（　　）
A．“20”左边的数是16
B．“20”右边的“□”表示5
C．运算结果小于6000
D．运算结果可以表示为
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；单项式乘多项式
【解析】【解答】解：设一个三位数与一个两位数分别为和
如图：
则由题意得：
，∴，即，
所以，当时，不是正整数，不符合题意，故舍；
当时，则，如图：
，
A中，由“20”左边的数是，故A不符合题意；
B中，由“20”右边的“□”表示4，故B不符合题意，
所以上面的数应为，如图所示：
所以运算结果可以表示为：，所以D符合题意，
当时，计算的结果大于6000，故C不符合题意，
故选：D．
【分析】设一个三位数与一个两位数分别为和，求得，得到，可判断A、B选项，根据题意，得到由运算结果得表达式，可判断C、D选项，得到答案.
10． 7 张如图 1 所示的长为 、宽为 的小长方形纸片， 按图 2 的方式不重叠地放在长方形 内， 未被覆盖的部分 (两个长方形) 用阴影表示． 设左上角与右下角的阴影部分的面积差为 ， 当 的长度变化时， 按照同样的放置方式， 始终保持不变， 则 满足（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】单项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：根据图片，设HQ=x.
∵，，
∴.
∵当BC长度变化时，S保持不变，即不论x如何变化，S不变，
∴3bx-ax=0，即3b-a=0，即a=3b.
故答案为：B.
【分析】解题关键在于设未知量HQ，通过面积差S不变，得出关于合并后x项的系数为0，从而算出a、b的等量关系.
二、填空题
11．计算并用科学记数法表示结果： =　 　.
【答案】2.25×109
【知识点】单项式乘单项式；科学记数法表示数的乘法
【解析】【解答】解：（9×105）×（2.5×103）=22.5×108=2.25×109；
故答案为：2.25×109.
【分析】根据单项式乘单项式的运算法则计算即可.
12．（2022七下·淮北期中）某同学计算一个多项式乘时，因抄错符号，算成了加上，得到的答案是，那么正确的计算结果是　 　．
【答案】
【知识点】整式的加减运算；单项式乘多项式
【解析】【解答】解：这个多项式是（x2-0.5x+1）-（-3x2）=4x2-0.5x+1，
正确的计算结果是：（4x2-0.5x+1）（-3x2）=．
故答案为．
【分析】先求出原多项式，再利用单项式乘多项式的计算方法求解即可。
13． 若关于 的多项式 除以 ， 所得商恰好为 ， 则 　 　
【答案】3
【知识点】单项式乘多项式；多项式相等
【解析】【解答】解：
故答案为：3.
【分析】先整理 ，然后用5x与 相乘，再对比系数就可以得到关于a、b、c的三个方程，解出a、b、c后相加即可.
14．
（1） 图 1 中的四边形均为长方形， 根据图形， 写出一个正确的等式：　 　.
（2） 图 2 所示的是一个 L 形钢条的截面，它的面积为　 　 （结果用多项式表示）
【答案】（1）m(a+b+c)=ma+mb+mc.
（2）ac+bc-c2
【知识点】单项式乘多项式；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：（1）根据图形，从两个角度计算面积即可.
大正方形的面积等于长×宽，即m(a+b+c)，同时也等于三个长方形的面积之和，即ma+mb+mc.
据此写出等式：m(a+b+c)=ma+mb+mc.
故答案为：m(a+b+c)=ma+mb+mc；
（2）根据图形，可知面积等于竖长方形面积+横长方形面积-重叠的正方形面积，据此写出多项式：ac+bc-c2.
故答案为：ac+bc-c2.
【分析】本题通过图形的面积计算，实际上考查的仍然是单项式、多项式的运算，熟练运算法则是解题关键.
15．（2021七下·湘东期中）调皮的弟弟把玲玲的作业本撕掉了一角，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮她推测出被除式等于　 　．
【答案】5x3－15x2＋30x
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】根据被除式＝除式×商可得：
被除式＝5x（x2－3x＋6）
＝5x3－15x2＋30x．
故答案为5x3－15x2＋30x．
【分析】根据题意列出算式5x（x2－3x＋6），再利用单项式乘多项式的计算方法求解即可。
三、解答题
16．（初中数学沪教版七年级下学期8.1.1同底数幂的乘法）计算：（a－b）2m-1·（b－a）2m·（a－b）2m+1，其中m为正整数．
【答案】 因为m为正整数，所以2m为正偶数，
则
因为m为正整数，所以2m-1，2m+1都是正奇数，
则
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【分析】根据整式的运算性质，结合（a-b）以及（b-a）的符号关系，分别进行讨论，得到答案即可。
17． 阅读下列文字，并解决问题．
已知 ， 求 的值．
分析： 考虑到满足 的 的可能值较多， 不可以逐一代入求解， 故考虑整体思想， 将 整体代入．
解：
将 代入，
请你用上述方法解决下面的问题：
已知 ， 求 的值．
【答案】解：
将 代入，原式
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【分析】先把（2a3b2-3a2b+4a）·(-2b)根据单项式乘多项式的法则，展开，变形为：-4a3b3+6a2b2-8ab .再根据积的乘方的逆运算把它变形为：-4（ab）3+6（ab）2-8ab， 进而把ab=3整体代入，求出代数式的值即可.
1 / 1浙教版数学七年级下册 3.2 单项式的乘法 培优卷
一、选择题
1．（2025八上·唐山月考）计算，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024七下·高州月考）一个长方体的长、宽、高分别为3a－4，2a，a，则它的体积等于(　　)．
A．3a3－4a2 B．a2 C．6a3－8a2 D．6a3－8a
3．如果，那么的立方根是（　　）
A．1 B． C． D．
4．（2025七下·杭州期中）若关于x，y的多项式的结果中不含项，则的值为（　　）
A．1 B．0 C．-1 D．5
5．（2025八上·玉环期末）一个四位自然数，满足，，则称这个四位数为“幸运数”例如：对于，∵，，∴是“幸运数”；对于，∵，，∴不是“幸运数”．若存在幸运数，使得，则满足条件的“幸运数”有（　　）个．
A． B． C． D．
6．（2025八上·隆昌月考）如图，小正方形和大正方形相邻，B，C，G三点在同一条直线上，C，D，E三点在同一条直线上．连接、、，若阴影部分的面积为，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八上·九台月考）某同学在计算乘一个多项式时错将乘法做成了加法，得到的答案是，由此可以推断出正确的计算结果是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024七上·益阳开学考）已知，为有理数，现规定一种新运算“”，满足求（　　）
A． B． C． D．
9．（2024九上·株洲开学考）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（　　）
A．“20”左边的数是16
B．“20”右边的“□”表示5
C．运算结果小于6000
D．运算结果可以表示为
10． 7 张如图 1 所示的长为 、宽为 的小长方形纸片， 按图 2 的方式不重叠地放在长方形 内， 未被覆盖的部分 (两个长方形) 用阴影表示． 设左上角与右下角的阴影部分的面积差为 ， 当 的长度变化时， 按照同样的放置方式， 始终保持不变， 则 满足（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．计算并用科学记数法表示结果： =　 　.
12．（2022七下·淮北期中）某同学计算一个多项式乘时，因抄错符号，算成了加上，得到的答案是，那么正确的计算结果是　 　．
13． 若关于 的多项式 除以 ， 所得商恰好为 ， 则 　 　
14．
（1） 图 1 中的四边形均为长方形， 根据图形， 写出一个正确的等式：　 　.
（2） 图 2 所示的是一个 L 形钢条的截面，它的面积为　 　 （结果用多项式表示）
15．（2021七下·湘东期中）调皮的弟弟把玲玲的作业本撕掉了一角，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮她推测出被除式等于　 　．
三、解答题
16．（初中数学沪教版七年级下学期8.1.1同底数幂的乘法）计算：（a－b）2m-1·（b－a）2m·（a－b）2m+1，其中m为正整数．
17． 阅读下列文字，并解决问题．
已知 ， 求 的值．
分析： 考虑到满足 的 的可能值较多， 不可以逐一代入求解， 故考虑整体思想， 将 整体代入．
解：
将 代入，
请你用上述方法解决下面的问题：
已知 ， 求 的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
．
故答案为：C
【分析】本题需依次运用积的乘方、单项式乘单项式及合并同类项法则解题。首先处理积的乘方运算，对于，需将系数、字母和分别乘方，得到；对于，同样按积的乘方法则化简为。接着进行单项式乘单项式运算，需将系数相乘、相同字母的指数相加，得到。最后根据同类项合并法则，将两项结果相减，即，系数相加、字母及指数不变，得出最终结果。
2．【答案】C
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：长方体的体积=（3a-4）×2a×a=6a3－8a2；
故答案为：C.
【分析】根据单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加进行计算即可求解.
3．【答案】B
【知识点】单项式乘多项式；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：，
又，
，，
，
．
故答案为：B．
【分析】先利用多项式的乘法展开合并，根据对应系数相等求出a，b的值，然后求出a+b的立方根即可.
4．【答案】D
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：x·(x2-mx+3)+x2·(4mx2+3x+5)
=x3-mx2+3x+4mx4+3x3+5x2
=4x3-mx2+3x-4mx4+5x2
=4x3+(5-m)x2+3x-4mx4
∵结果中不含x2项，
∴-(5-m)=0，
∴m=5，
故答案为：D.
【分析】先根据单项式乘多项式的运算法则计算，然后根据结果中不含x2项，即可求出m的值.
5．【答案】B
【知识点】单项式乘多项式；利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：由题意得，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵均为整数，且，，，，
∴或或，
当时，，，此时幸运数为，
当时，，，此时幸运数为，
当 时，，，此时幸运数为，
则满足条件的“幸运数”有个，
故选：．
【分析】
由幸运数数的概念可得，， 再由题意可得等式， 再利用整式的乘法运算可化简得，因为整数各个数位上的数字都是小于10的自然数，且其中还需大于2，再利用特殊制法分别求出的值即可．
6．【答案】A
【知识点】单项式乘多项式；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：设小正方形和大正方形的边长分别为，，则，，，
∵阴影部分的面积为，即S△ADE+S△DEG=10
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴大正方形的面积与小正方形的面积之差为20.
故答案为：A．
【分析】先设小正方形ABCD和大正方形CEFG的边长分别为a，b，结合图形可得DE=b-a，AD=a，CG=b， S△ADE+S△DEG=10 ，从而利用三角形面积公式列出方程，化简即可求解．
7．【答案】A
【知识点】整式的加减运算；单项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意知，
这个多项式为：，
∴正确的计算结果为：
，
故选：A．
【分析】本题考查整式的混合运算，先根据错误的加法运算求出原多项式（用结果减去-3x），再将原多项式与-3x相乘，得到正确的计算结果.
8．【答案】D
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；单项式乘单项式
【解析】【解答】解：∵2※（ 2）＝2×2 （ 2）＝4＋2＝6，6※（ 3a）＝6×2 （ 3a）＝12＋3a，
∴[2※（ 2）]※（ 3a）＝12＋3a，
故答案为：D.
【分析】先利用题干的定义及计算方法求出2※（ 2），再求出6※（ 3a），从而可得[2※（ 2）]※（ 3a）＝12＋3a.
9．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；单项式乘多项式
【解析】【解答】解：设一个三位数与一个两位数分别为和
如图：
则由题意得：
，∴，即，
所以，当时，不是正整数，不符合题意，故舍；
当时，则，如图：
，
A中，由“20”左边的数是，故A不符合题意；
B中，由“20”右边的“□”表示4，故B不符合题意，
所以上面的数应为，如图所示：
所以运算结果可以表示为：，所以D符合题意，
当时，计算的结果大于6000，故C不符合题意，
故选：D．
【分析】设一个三位数与一个两位数分别为和，求得，得到，可判断A、B选项，根据题意，得到由运算结果得表达式，可判断C、D选项，得到答案.
10．【答案】B
【知识点】单项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：根据图片，设HQ=x.
∵，，
∴.
∵当BC长度变化时，S保持不变，即不论x如何变化，S不变，
∴3bx-ax=0，即3b-a=0，即a=3b.
故答案为：B.
【分析】解题关键在于设未知量HQ，通过面积差S不变，得出关于合并后x项的系数为0，从而算出a、b的等量关系.
11．【答案】2.25×109
【知识点】单项式乘单项式；科学记数法表示数的乘法
【解析】【解答】解：（9×105）×（2.5×103）=22.5×108=2.25×109；
故答案为：2.25×109.
【分析】根据单项式乘单项式的运算法则计算即可.
12．【答案】
【知识点】整式的加减运算；单项式乘多项式
【解析】【解答】解：这个多项式是（x2-0.5x+1）-（-3x2）=4x2-0.5x+1，
正确的计算结果是：（4x2-0.5x+1）（-3x2）=．
故答案为．
【分析】先求出原多项式，再利用单项式乘多项式的计算方法求解即可。
13．【答案】3
【知识点】单项式乘多项式；多项式相等
【解析】【解答】解：
故答案为：3.
【分析】先整理 ，然后用5x与 相乘，再对比系数就可以得到关于a、b、c的三个方程，解出a、b、c后相加即可.
14．【答案】（1）m(a+b+c)=ma+mb+mc.
（2）ac+bc-c2
【知识点】单项式乘多项式；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：（1）根据图形，从两个角度计算面积即可.
大正方形的面积等于长×宽，即m(a+b+c)，同时也等于三个长方形的面积之和，即ma+mb+mc.
据此写出等式：m(a+b+c)=ma+mb+mc.
故答案为：m(a+b+c)=ma+mb+mc；
（2）根据图形，可知面积等于竖长方形面积+横长方形面积-重叠的正方形面积，据此写出多项式：ac+bc-c2.
故答案为：ac+bc-c2.
【分析】本题通过图形的面积计算，实际上考查的仍然是单项式、多项式的运算，熟练运算法则是解题关键.
15．【答案】5x3－15x2＋30x
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】根据被除式＝除式×商可得：
被除式＝5x（x2－3x＋6）
＝5x3－15x2＋30x．
故答案为5x3－15x2＋30x．
【分析】根据题意列出算式5x（x2－3x＋6），再利用单项式乘多项式的计算方法求解即可。
16．【答案】 因为m为正整数，所以2m为正偶数，
则
因为m为正整数，所以2m-1，2m+1都是正奇数，
则
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【分析】根据整式的运算性质，结合（a-b）以及（b-a）的符号关系，分别进行讨论，得到答案即可。
17．【答案】解：
将 代入，原式
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【分析】先把（2a3b2-3a2b+4a）·(-2b)根据单项式乘多项式的法则，展开，变形为：-4a3b3+6a2b2-8ab .再根据积的乘方的逆运算把它变形为：-4（ab）3+6（ab）2-8ab， 进而把ab=3整体代入，求出代数式的值即可.
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