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浙教版数学七年级下册 3.3 多项式的乘法 培优卷
一、选择题
1．（2024七下·柯桥月考）使的积中不含和的p，q的值分别是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2023七下·定陶期末）已知，是常数，若化简的结果不含的二次项，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023八上·丰台期中）如图，在长为，宽为的长方形铁片上，挖去长为，宽为b的小长方形铁片，则剩余部分面积是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025七下·慈溪期中）如图四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式，你认为其中正确的有（　　）
①（2a+b）（m+n）②2a（m+n）+b（m+n）③m（2a+b）+n（2a+b）④2am+2an+bm+bn
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
5．（2025七下·台州期中）如图①，现有边长为和的正方形纸片各一张，长和宽分别为、的长方形纸片一张，其中．把纸片I、III按图②所示的方式放入纸片II内，已知图②中阴影部分的面积满足，则，满足的关系式为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024七下·新化期末）某公园形如长方形，长为，宽为该公园中有条宽均为的小路，其余部分均种上小草，则该公园小草的面积为(　　)
A． B．
C． D．
7．（2024七下·宁明期中）设，，则M与N的大小关系为（　　）
A． B． C． D．不能确定
8．（2024七下·上城期中）已知，其中，为整数，则整数可能的取值有__________个．
A．2 B．4 C．6 D．8
9．（2023八上·祁阳期末）在数学中，为了书写简便，我们通常记，如，，则化简的结果是（　　）
A． B．
C． D．；
10．（2025·厦门自主招生）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（　　）
A．1 B．4 C．11 D．12
二、填空题
11．（2024七下·赫山期中）关于的多项式乘多项式，若结果中不含有的一次项，则的值为　 　．
12．（2024七下·滨江期末）如图，点C在线段上，分别以和为边，在线段同侧作正方形、正方形，连接．若两正方形面积和为40，三角形面积为6，则　 　．
13．（2024七下·桑植期末）在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将下面等号右边的式子的各项系数排成如图所示，这个图叫做“杨辉三角”．
请观察这些系数的规律，探究的展开式中项的系数是　 　．
14．（2024七下·揭西期末）某校组织了一次篮球联赛，原计划共有n支球队参加比赛，采用单循环比赛的赛制（任意2支球队之间都要比赛一场）.若赛前有2支球队因故放弃比赛，剩余球队仍进行单循环比赛，则比赛总场数比原计划减少　 　场.
15．定义运算： ． 下面给出这种运算的四个结论：
①；
②；
③若 ， 则 ；
④ 若 ， 则 ．
其中正确的结论为　 　． （把所有正确结论的序号都填在横线上）
三、解答题
16．（2026八上·天河期末）小天和小河在学完数学活动《月历中的奥秘》后，又发现了日历上某些数满足一定的规律.图1是2026年1月份的月历，如果用图2所示的折型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），先将位置B，D上的数相乘，再将位置A，E上的数相乘，然后将得到的积相减，例如：9×11-16×4，19×21-26×14，发现这两个算式计算结果相等.设折型框架中位置C上的数为x.
（1）小天利用整式的运算对发现的规律给予证明.请你完成该规律的证明；
（2）小河在研究中进一步发现：设位置A，B，C上的数的乘积为M，位置C，D，E上的数的乘积为N，令y=M—N，求y与x的关系式.
17．（2025八上·北京期中）给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于x的二次多项式的特征系数对．把关于x的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式．
（1）关于x的二次多项式的特征系数对为　 　；
（2）求有序实数对的特征多项式A与有序实数对的特征多项式B的乘积；
（3）若有序实数对的特征多项式M与有序实数对的特征多项式N的乘积的结果为，请直接写出的值为　 　．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
不含和，
，
解得：，
故答案为：C．
【分析】先利用多项式乘以多项式法则展开合并，根据不含项的系数为0解题即可．
2．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
=
，
因为不含的二次项，
所以，
而，
所以=-1，
故答案为：A.
【分析】先化简得到，根据不含项的系数为零求出2a-b=0，然后整体代入计算解题.
3．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：
，
故剩余部分面积是，
故答案为：B
【分析】根据阴影部分面积=大长方形面积-小长方形面积，结合长方形面积公式即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：图中该长方形的边长分别为2a+b、m+n.
因此其面积为S=(2a+b)(m+n)，故①正确；
(2a+b)(m+n)=2a(m+n)+b(m+n)，故②正确；
(2a+b)(m+n)=m(2a+b)+n(2a+b)，故③正确；
(2a+b)(m+n)= 2am+2an+bm+bn，故④正确.
故答案为：D.
【分析】根据图中长方形的面积可表示为总长X总宽，也可表示成各矩形的面积和.
5．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意可得：S1=(a+b) 2-b2-a2=2ab，S2=(b-a)a=ab-a2，
∵，
∴2ab=8(ab-a2)，
∴2ab=8ab-8a2
∴b=4b-4a
∴4a=3b，
故答案为：A．
【分析】用含a，b的代数式表示出S1，S2，代入已知的等式S1=8S2整理即可求解．
6．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意可得：该公园种小草的部分是长为a-2c，宽为b-c的矩形，
则该公园小草的面积=（a-2c）（b-c）=．
故答案为：D．
【分析】利用平移法可得该公园种小草的部分是长为a-2c，宽为b-c的矩形，根据矩形的面积公式列式，再利用多项式乘多项式的法则计算即可．
7．【答案】A
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，，
∴，即，
∴，
故答案为：A.
【分析】用多项式乘以多项式的法则分别将M和N展开，再计算，看结果与0的关系，即可得到答案．
8．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵a、b为整数，
∴或或或或或或或，
或或或或或或或，
∴或14或11或10或或或或，
∴m的取值有8个，
故答案为：D．
【分析】利用多项式乘以多项式展开，然后利用对应系数相等求出a、b的整数解即可．
9．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：根据题意得：
=（x-1）（x-2）+（x-2）（x-3）+（x-3）（x-4）
=x2-2x-x+2+x2-3x-2x+6+x2-4x-3x+12
=3x2-15x+20；
故答案为：A．
【分析】根据新定义运算法则列出整式混合运算算式，然后根据多项式乘以多项式法则分别展开括号，再合并同类项即可.
10．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：，
，且、、为整数，
，
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
的可能值为 ， ， ， ， ， ，其中最大值为 ．
故答案为：C .
【分析】由因式分解形式可得 且，其中 、为整数． 列举所有满足，计算，并找出最大值．
11．【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
，
∵关于x的多项式乘多项式的结果中不含有x的一次项，
，
解得，，
故答案为：．
【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则进行计算，再根据结果中不含有x的一次项得出，求出结果即可．
12．【答案】4
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：设，，则，
∵三角形面积为6，
∴，
∴
∵正方形、正方形面积和为40，
∴，
∴，
∴，
∴，
将①代入②得，
∴（负值已舍去）
∴，
故答案为：4．
【分析】根据三角形面积为6可得，利用两正方形的面积和为40可得，然后整体代入计算解答即可．
13．【答案】10
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：；
∴含项的系数是10，
故答案为：10．
【分析】根据“杨辉三角”展开，再找出展开式的规律即可．
14．【答案】
【知识点】整式的加减运算；单项式乘多项式；多项式乘多项式；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：n支球队进行的场次为，
（n-2）支球进行的场次为，
则比赛总场数比原计划减少.
故答案为：2n-3.
【分析】先分别求出n支球队进行的场次和（n-2）支球队进行的场次，再进行整式的运算即可求解.
15．【答案】①④
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；多项式乘多项式
【解析】【解答】解：，故①错误；
∵，故②错误；
若 ，则有，所以a+b=0或b-2=0，故此时不能判定a+b一定为0，③错误；
若a+b=0，则有，④正确.
故答案为：①④.
【分析】根据新定义运算法则验证各结论即可.
16．【答案】（1）解：（1）设折型框架中位置C上的数为x，则位置B上的数为x-1，位置A上的数为x+6，位置D上的数为x+1，位置E上的数为x-6
则：（x-1）（x+1）-（x-6）（x+6）
=35
（2）M-N=x（x-1）（x+6）-x（x+1）（x-6）.
∴y与x的关系式为y=10x2.
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【分析】
(1)根据图表的数量关系设折型框架中位置C上的数为x，可表示出位置B上的数，位置A上的数，位置D上的数，位置E上的数，然后将位置B，D上的数相乘，再将位置A，E上的数相乘，最后将得到的积相减，化简即可解答；
（2） 将A，B，C上的数的乘积为M表示为x（x-1）（x+6）；再将位置C，D，E上的数的乘积为N表示为x（x+1）（x-6），再根据整式的乘法运算化简可得y=10x2，解答即可.
17．【答案】（1）
（2）解：有序实数对的特征多项式为，有序实数对的特征多项式为，
；
（3）4
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】（1）解：关于x的二次多项式的特征系数对为，
故答案为：；
（3）解：根据题意得，
令，则，
，
，
．
故答案为：4．
【分析】(1) 直接按定义，二次项系数、一次项系数、常数项依次为 ，所以特征系数对为 。
(2) 先写出两个特征多项式：，，再相乘展开得到 。
(3) 由题意得：
令 ，代入得：
因此 。
（1）解：关于x的二次多项式的特征系数对为，
故答案为：；
（2）解：有序实数对的特征多项式为，有序实数对的特征多项式为，
；
（3）解：根据题意得，
令，则，
，
，
．
故答案为：4．
1 / 1浙教版数学七年级下册 3.3 多项式的乘法 培优卷
一、选择题
1．（2024七下·柯桥月考）使的积中不含和的p，q的值分别是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
不含和，
，
解得：，
故答案为：C．
【分析】先利用多项式乘以多项式法则展开合并，根据不含项的系数为0解题即可．
2．（2023七下·定陶期末）已知，是常数，若化简的结果不含的二次项，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
=
，
因为不含的二次项，
所以，
而，
所以=-1，
故答案为：A.
【分析】先化简得到，根据不含项的系数为零求出2a-b=0，然后整体代入计算解题.
3．（2023八上·丰台期中）如图，在长为，宽为的长方形铁片上，挖去长为，宽为b的小长方形铁片，则剩余部分面积是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：
，
故剩余部分面积是，
故答案为：B
【分析】根据阴影部分面积=大长方形面积-小长方形面积，结合长方形面积公式即可求出答案.
4．（2025七下·慈溪期中）如图四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式，你认为其中正确的有（　　）
①（2a+b）（m+n）②2a（m+n）+b（m+n）③m（2a+b）+n（2a+b）④2am+2an+bm+bn
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：图中该长方形的边长分别为2a+b、m+n.
因此其面积为S=(2a+b)(m+n)，故①正确；
(2a+b)(m+n)=2a(m+n)+b(m+n)，故②正确；
(2a+b)(m+n)=m(2a+b)+n(2a+b)，故③正确；
(2a+b)(m+n)= 2am+2an+bm+bn，故④正确.
故答案为：D.
【分析】根据图中长方形的面积可表示为总长X总宽，也可表示成各矩形的面积和.
5．（2025七下·台州期中）如图①，现有边长为和的正方形纸片各一张，长和宽分别为、的长方形纸片一张，其中．把纸片I、III按图②所示的方式放入纸片II内，已知图②中阴影部分的面积满足，则，满足的关系式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意可得：S1=(a+b) 2-b2-a2=2ab，S2=(b-a)a=ab-a2，
∵，
∴2ab=8(ab-a2)，
∴2ab=8ab-8a2
∴b=4b-4a
∴4a=3b，
故答案为：A．
【分析】用含a，b的代数式表示出S1，S2，代入已知的等式S1=8S2整理即可求解．
6．（2024七下·新化期末）某公园形如长方形，长为，宽为该公园中有条宽均为的小路，其余部分均种上小草，则该公园小草的面积为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：由题意可得：该公园种小草的部分是长为a-2c，宽为b-c的矩形，
则该公园小草的面积=（a-2c）（b-c）=．
故答案为：D．
【分析】利用平移法可得该公园种小草的部分是长为a-2c，宽为b-c的矩形，根据矩形的面积公式列式，再利用多项式乘多项式的法则计算即可．
7．（2024七下·宁明期中）设，，则M与N的大小关系为（　　）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，，
∴，即，
∴，
故答案为：A.
【分析】用多项式乘以多项式的法则分别将M和N展开，再计算，看结果与0的关系，即可得到答案．
8．（2024七下·上城期中）已知，其中，为整数，则整数可能的取值有__________个．
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵a、b为整数，
∴或或或或或或或，
或或或或或或或，
∴或14或11或10或或或或，
∴m的取值有8个，
故答案为：D．
【分析】利用多项式乘以多项式展开，然后利用对应系数相等求出a、b的整数解即可．
9．（2023八上·祁阳期末）在数学中，为了书写简便，我们通常记，如，，则化简的结果是（　　）
A． B．
C． D．；
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：根据题意得：
=（x-1）（x-2）+（x-2）（x-3）+（x-3）（x-4）
=x2-2x-x+2+x2-3x-2x+6+x2-4x-3x+12
=3x2-15x+20；
故答案为：A．
【分析】根据新定义运算法则列出整式混合运算算式，然后根据多项式乘以多项式法则分别展开括号，再合并同类项即可.
10．（2025·厦门自主招生）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（　　）
A．1 B．4 C．11 D．12
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：，
，且、、为整数，
，
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
的可能值为 ， ， ， ， ， ，其中最大值为 ．
故答案为：C .
【分析】由因式分解形式可得 且，其中 、为整数． 列举所有满足，计算，并找出最大值．
二、填空题
11．（2024七下·赫山期中）关于的多项式乘多项式，若结果中不含有的一次项，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
，
∵关于x的多项式乘多项式的结果中不含有x的一次项，
，
解得，，
故答案为：．
【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则进行计算，再根据结果中不含有x的一次项得出，求出结果即可．
12．（2024七下·滨江期末）如图，点C在线段上，分别以和为边，在线段同侧作正方形、正方形，连接．若两正方形面积和为40，三角形面积为6，则　 　．
【答案】4
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：设，，则，
∵三角形面积为6，
∴，
∴
∵正方形、正方形面积和为40，
∴，
∴，
∴，
∴，
将①代入②得，
∴（负值已舍去）
∴，
故答案为：4．
【分析】根据三角形面积为6可得，利用两正方形的面积和为40可得，然后整体代入计算解答即可．
13．（2024七下·桑植期末）在学习整式乘法的时候，我们发现一个有趣的问题：将下面等号右边的式子的各项系数排成如图所示，这个图叫做“杨辉三角”．
请观察这些系数的规律，探究的展开式中项的系数是　 　．
【答案】10
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：；
∴含项的系数是10，
故答案为：10．
【分析】根据“杨辉三角”展开，再找出展开式的规律即可．
14．（2024七下·揭西期末）某校组织了一次篮球联赛，原计划共有n支球队参加比赛，采用单循环比赛的赛制（任意2支球队之间都要比赛一场）.若赛前有2支球队因故放弃比赛，剩余球队仍进行单循环比赛，则比赛总场数比原计划减少　 　场.
【答案】
【知识点】整式的加减运算；单项式乘多项式；多项式乘多项式；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：n支球队进行的场次为，
（n-2）支球进行的场次为，
则比赛总场数比原计划减少.
故答案为：2n-3.
【分析】先分别求出n支球队进行的场次和（n-2）支球队进行的场次，再进行整式的运算即可求解.
15．定义运算： ． 下面给出这种运算的四个结论：
①；
②；
③若 ， 则 ；
④ 若 ， 则 ．
其中正确的结论为　 　． （把所有正确结论的序号都填在横线上）
【答案】①④
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；多项式乘多项式
【解析】【解答】解：，故①错误；
∵，故②错误；
若 ，则有，所以a+b=0或b-2=0，故此时不能判定a+b一定为0，③错误；
若a+b=0，则有，④正确.
故答案为：①④.
【分析】根据新定义运算法则验证各结论即可.
三、解答题
16．（2026八上·天河期末）小天和小河在学完数学活动《月历中的奥秘》后，又发现了日历上某些数满足一定的规律.图1是2026年1月份的月历，如果用图2所示的折型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），先将位置B，D上的数相乘，再将位置A，E上的数相乘，然后将得到的积相减，例如：9×11-16×4，19×21-26×14，发现这两个算式计算结果相等.设折型框架中位置C上的数为x.
（1）小天利用整式的运算对发现的规律给予证明.请你完成该规律的证明；
（2）小河在研究中进一步发现：设位置A，B，C上的数的乘积为M，位置C，D，E上的数的乘积为N，令y=M—N，求y与x的关系式.
【答案】（1）解：（1）设折型框架中位置C上的数为x，则位置B上的数为x-1，位置A上的数为x+6，位置D上的数为x+1，位置E上的数为x-6
则：（x-1）（x+1）-（x-6）（x+6）
=35
（2）M-N=x（x-1）（x+6）-x（x+1）（x-6）.
∴y与x的关系式为y=10x2.
【知识点】整式的加减运算；多项式乘多项式；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【分析】
(1)根据图表的数量关系设折型框架中位置C上的数为x，可表示出位置B上的数，位置A上的数，位置D上的数，位置E上的数，然后将位置B，D上的数相乘，再将位置A，E上的数相乘，最后将得到的积相减，化简即可解答；
（2） 将A，B，C上的数的乘积为M表示为x（x-1）（x+6）；再将位置C，D，E上的数的乘积为N表示为x（x+1）（x-6），再根据整式的乘法运算化简可得y=10x2，解答即可.
17．（2025八上·北京期中）给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于x的二次多项式的特征系数对．把关于x的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式．
（1）关于x的二次多项式的特征系数对为　 　；
（2）求有序实数对的特征多项式A与有序实数对的特征多项式B的乘积；
（3）若有序实数对的特征多项式M与有序实数对的特征多项式N的乘积的结果为，请直接写出的值为　 　．
【答案】（1）
（2）解：有序实数对的特征多项式为，有序实数对的特征多项式为，
；
（3）4
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】（1）解：关于x的二次多项式的特征系数对为，
故答案为：；
（3）解：根据题意得，
令，则，
，
，
．
故答案为：4．
【分析】(1) 直接按定义，二次项系数、一次项系数、常数项依次为 ，所以特征系数对为 。
(2) 先写出两个特征多项式：，，再相乘展开得到 。
(3) 由题意得：
令 ，代入得：
因此 。
（1）解：关于x的二次多项式的特征系数对为，
故答案为：；
（2）解：有序实数对的特征多项式为，有序实数对的特征多项式为，
；
（3）解：根据题意得，
令，则，
，
，
．
故答案为：4．
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