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浙教版数学八年级下册4.5 三角形的中位线 二阶训练
一、选择题
1．（2026八上·黔东南期末）如图，、、分别是三条边上的中点，若的面积是12，则阴影部分的面积和是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
2．（2025八下·平南期中）如图，数学兴趣小组想测量湖面的宽度，在湖面外任意取点，先连接和，接着分别取和的中点，，测得的长为，则的宽度为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·珠海期末） 如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆EF垂直于地面（E、F分别为AB、AC的中点），若，则点B距离地面的高度为（　　）
A．80cm B．70cm C．60cm D．50cm
4．（2025八下·深圳期中）如图，的对角线AC、BD相交于点O，OE//AB交AD于点E，若OA=1，△AOE的周长等于5，则的周长等于（　　）
A．16 B．12 C．10 D．8
5．（2023八上·禹城期中）如图，AD是△ABC的中线，DH⊥AB于点H，DG⊥AC于点G，AB=7 cm，AC=6 cm，DH=3 cm，则DG的长是(　　)
A．4 cm B．3 cm C． cm D．无法判断
6．（2024八下·青秀月考）杨伯家小院子的四棵小树E、F、G、H刚好在其四边形院子各边的中点上，若在四边形内种上小草，则这块草地的形状是(　　)
A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形
7．（2024八下·潮阳期中）如图，在中，，是边上的高，垂足为，点在边上，连接，为的中点，连接，若，则的长为（　　）
A．3 B．6 C．5 D．4
8．（2026九上·德惠期末）如图，在中，，，，点在边上，点为边上的动点，点、分别为的中点，则的最小值是（　　）
A．2 B．2.5 C．2.4 D．1.2
9．（2024·灞桥模拟）如图，在中，，点E是的中点，若平分，线段的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2025九上·嵊州开学考）在如图所示的平行四边形ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动（不与端点重合），且满足AF=CH，则下列为定值的是（　　）
A．四边形EFGH的周长 B．∠EFG的大小
C．四边形EFGH的面积 D．线段FH的长
二、填空题
11．（2024八下·凉州期中）点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，如果∠A=50°，那么∠DEF等于　 　．
12．（2025·长沙模拟）如图，中，，，分别是的中位线和中线，，则　 　．
13．（2024八下·江北期末）如图 1， 对 “三角形中位线定理” 进行拓展思考， 可以提出以下三个命题∶
①若 ，则 ．
②若 ，则 是 的中位线．
③若 ，则 ．
图 2 是以上命题中某个假命题的反例示意图，则此假命题是　 　 (选填①②③中其一)
14．（2023八下·槐荫期中）如图，平行四边形中，，，点P是边上的点，连接，以为对称轴作的轴对称图形，连接，当点P是线段的中点，且时，则的长为　 　．
15．（2025·广安模拟）如图，在中，，，D是边的中点，E是边上一点，若平分的周长，则的长为　 　．
三、解答题
16．（2024·蓬江模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，延长BA至点F，使得AF=AB，连接DE，AD，EF，DF．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）若AB=6，AC=8，BC=10，求EF的长．
17．（2025八下·成都月考）如图，四边形ABCD中，E为边BC的中点，BD与AE交于O，BO＝DO，AO＝2EO．AC与BD交于F．
（1）求证：F是AC的中点．
（2）求S△ACD：S△ABD的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：因为D、E、F分别是△ABC三边的中点，所以AD、BE、CF是三角形的中线。
中线CF将△ABC分成面积相等的两部分，因此△AFO与△BFO的面积相等。
中线AD将△ABC分成面积相等的两部分，因此△BDO与△CDO的面积相等。
中线BE将△ABC分成面积相等的两部分，因此△AOE与△COE的面积相等。
设△AFO、△BFO、△BDO、△CDO、△AOE、△COE的面积分别为、、、、、。
根据上述关系，有，，。
已知△ABC的面积是12，所以：；
代入相等关系，得到：；
化简得：；
而、、正好是图中三个阴影三角形的面积，因此阴影部分的面积和为6。
故答案为：B。
【分析】这道题的核心是利用三角形中线等分面积的性质：三角形的一条中线会把这个三角形分成两个面积相等的小三角形。解题时，我们可以先根据中点的条件，找出图中面积相等的三角形，再通过整体面积关系求出阴影部分的面积和。
2．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取和的中点，，
是的中位线，
，
故答案为：B．
【分析】由题意可知是的中位线，根据三角形的中位线等于第三边的一半，则．
3．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ E、F分别为AB、AC的中点，
∴EF=，
∵，
∴BC= 60cm
故答案为：C .
【分析】根据三角形中位线定理可得：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，由此即可解答.
4．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，OB=OD，
∵OE//AB，
∴OE是△ABD的中位线，
∴AB＝2OE，AD=2AE，
∵△AOE的周长等于5，
∴OA+AE+OE=5，
∴AE+OE=5-OA=5-1=4，
∴AB+AD=2AE+2OE=8，
∴ 的周长=2(AB+AD)=2×8=16；
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形性质可得AB=CD，AD=BC，OB=OD，再根据三角形中位线定理可得AB＝2OE，AD=2AE，根据三角形周长可得OA+AE+OE=5，再根据边之间的关系可得AB+AD=2AE+2OE=8，再求出四边形周长即可.
5．【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴
∵
∴
∴
∴DG=cm.
故答案为：C.
【分析】根据三角形中位线性质可知，根据三角形面积公式得到：进而得到方程：解此方程即可.
6．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接AC、BD，
∵E、F、G、H是四边形ABCD各边的中点，
∴，，
∴四边形EFGH是平行四边形，
故答案为：A．
【分析】连接BD、AC，根据中位线定理可得四边形是平行四边形，即可得到结果．
7．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：，
．
，，
，
，
是的中位线，
．
．
．
．
故答案为：．
【分析】根据边之间的关系可得，再根据等腰三角形性质可得，则，再根据三角形中位线定理可得，则，即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接CM，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴，
当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，
由勾股定理得：
∵，
∴
∴
故答案为：D.
【分析】作CH⊥AB于H，连接CM，首先根据三角形中位线的性质得出，只要找到CM的最大值和最小值即可，根据垂线段最短可知当CM⊥AB时，CM最短，此时利用勾股定理和三角形的面积公式即可求解.
9．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长交于，
由题意知，，，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴是的中点，，
又∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴的长为．
故选：B．
【分析】利用ASA证明，再根据全等三角形的性质求出，，最后根据三角形的中位线计算求解即可.
10．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ABCD为平行四边形
∴∠A=∠C，AD=BC
∵E 、G分别为AD、BC的中点
∴AE=CG
又∵AF=CH
∴△AEF≌△CGH(SAS)
∴EF=GH
同理知△DEH≌△BGF(SAS)
∴EH=FG
EFGH为平行四边形
EFGH周长=2(EH+GH)，当点H运动时，EH、GH都在变化，不为定值，同理∠EFG也在变化，FH在变化，故A、B、D不符合题意；
连接EG，，故四边形EFGH的面积为定值.
故答案为：C.
【分析】由题意知△AEF≌△CGH(SAS)和△DEH≌△BGF(SAS)得EFGH为平行四边形，点H、F为动点，在运动过程中，EFGH的周长、∠EFG的大小，FH的长都在变化，而面积为ABCD面积的一半.
11．【答案】50°
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意画出图形．
∵点D，E，F是边AB，BC，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，EF是△ABC的中位线，
∴，，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴∠DEF=∠A=50°．
故答案为：50°．
【分析】根据题意画出图形，再根据三角形中位线的性质可得，，再根据平行四边形判定定理可得四边形ADEF是平行四边形，则∠DEF=∠A=50°，即可求出答案.
12．【答案】4
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵DE是△ABC的中位线，∴DE=AB，∵∠ACB=90°，CF是△ABC的中线，∴CF=AB，∴DE=CF，∵DE=4，∴CF=4.
故答案为：4．
【分析】根据三角形中位线定理和“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得出DE=CF=AB，即可得出结果．
13．【答案】③
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；真命题与假命题
【解析】【解答】解：图2是③的反例示意图．
真命题为命题①和②，
命题①的证明：
证明：过点作交边于点，连接，
又，
四边形是平行四边形，
，，
又，
，
四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
，，
，
又，
四边形是平行四边形，
，，
，，
∴DE是△ABC的中位线；
命题②的证明如下：
证明：如图，延长至点，
使，连接，
是边的中点，
．
又，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
，
，
是边的中点，
是的中位线．
故答案为：③．
【分析】图2是③的反例示意图， 真命题为命题①和②， 过点E作EM∥AB交BC边于点M，连接DM，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形EDBM是平行四边形，由平行四边形的对边相等得BD=EM，DE=BM，结合已知可推出DE=CM，由 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得 四边形DECM是平行四边形，由平行四边形的对边平行且相等得DM=CE，DM∥CE，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形ADME是平行四边形，由平行四边形的对边相等得AD=EM，DM=AE，从而推出AD=BD，AE=CE，从而根据中位线定义可判断①是真命题；延长ED至点F，使DF=DE，连接BF，首先用SAS判断出△ADE≌△BDF，得AE=BF，∠AED=∠BFD，由内错角相等，两直线平行得AC∥BF，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得 四边形BCEF是平行四边形，由平行四边形的对边相等得BF=CE，则推出AE=CE，从而根据中位线定义可判断②是真命题.
14．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；轴对称的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接QB交PA于点E，如图所示：
∵连接，以为对称轴作的轴对称图形，
∴BA=QA，QP=PB，
∴PA为线段QB的垂直平分线，
∴∠PEB=∠BEA=90°，
∵点P是线段的中点，
∴PE=2，PB=6，AB=8，
由勾股定理得，
∴的长为，
故答案为：
【分析】连接QB交PA于点E，根据轴对称的性质即可得到BA=QA，QP=PB，进而根据垂直平分线的性质得到∠PEB=∠BEA=90°，再根据三角形的中位线定理即可得到PE=2，PB=6，AB=8，进而根据勾股定理即可得到，最后结合题意即可求解。
15．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长至点，使得，连接，
，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵D是边的中点，
∴，
∵平分的周长，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为的中位线，
∴，
故答案为：．
【分析】延长至点，使得，连接，根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形可得为等边三角形，由等边三角形的三边相等可得，由题意易得，由三角形的中位线定义可得为的中位线，根据三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可求解．
16．【答案】（1）证明：∵点D，E分别是BC，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DE=AB，
∵AF=AB，
∴DE=AF，DE∥AF，
∴四边形ADEF是平行四边形；
（2）解：由（1）得：四边形ADEF是平行四边形，
∴EF=AD，
∵AB=6，AC=8，BC=10，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∵点D是BC的中点，
∴AD=BC=5，
∴EF=AD=5．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线判定定理可得DE是△ABC的中位线，则DE∥AB，DE=AB，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）根据平行四边形性质可得EF=AD，再根据勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
17．【答案】（1）证明：连接OC，如图所示
∵点E是BC的中点
∴BE=CE
∵DO＝BO，
∴OE为三角形BCD的中位线，
∴OEDC，DC＝2OE，
∵AO＝2EO，
∴CD＝AO，
∵AOCD，
∴四边形AOCD是平行四边形，
∴F为AC中点．
（2）解：∵四边形AOCD为平行四边形，
∴S△ADC＝S AOCD＝S△ADO，
∵BO=DO，
∴点O是BD的中点
∴S△ABD＝2S△ADO，
∴S△ACD：S△ABD＝S△ADO：2S△ADO＝．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；三角形的中线；利用三角形的中线求面积
【解析】【分析】
本题考查平行四边形的判定定理与性质、三角形中位线定理，熟知平行四边形的性质是解题关键．（1）连接CD，根据中点的定义可知：CE＝BE，结合BO=DO，可知：OE为三角形BCD的中位线，根据三角形中位线定理：三角形中位线平行且等于底边的一半可知：OEDC，DC＝2OE，结合AO=2EO，等量代换得：CD=AO，根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可知：四边形AOCD是平行四边形，最后由平行四边形的性质：对角线互相平分可知：点F是AC的中点，即可证得结论；
（2）根据平行四边形的性质：对角线互相平分可知：S△ADC＝S AOCD＝S△ADO，再根据三角形中线的性质可知：S△ABD＝2S△ADO，等量代换得：S△ACD：S△ABD的比值，由此可得出答案．
1 / 1浙教版数学八年级下册4.5 三角形的中位线 二阶训练
一、选择题
1．（2026八上·黔东南期末）如图，、、分别是三条边上的中点，若的面积是12，则阴影部分的面积和是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：因为D、E、F分别是△ABC三边的中点，所以AD、BE、CF是三角形的中线。
中线CF将△ABC分成面积相等的两部分，因此△AFO与△BFO的面积相等。
中线AD将△ABC分成面积相等的两部分，因此△BDO与△CDO的面积相等。
中线BE将△ABC分成面积相等的两部分，因此△AOE与△COE的面积相等。
设△AFO、△BFO、△BDO、△CDO、△AOE、△COE的面积分别为、、、、、。
根据上述关系，有，，。
已知△ABC的面积是12，所以：；
代入相等关系，得到：；
化简得：；
而、、正好是图中三个阴影三角形的面积，因此阴影部分的面积和为6。
故答案为：B。
【分析】这道题的核心是利用三角形中线等分面积的性质：三角形的一条中线会把这个三角形分成两个面积相等的小三角形。解题时，我们可以先根据中点的条件，找出图中面积相等的三角形，再通过整体面积关系求出阴影部分的面积和。
2．（2025八下·平南期中）如图，数学兴趣小组想测量湖面的宽度，在湖面外任意取点，先连接和，接着分别取和的中点，，测得的长为，则的宽度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取和的中点，，
是的中位线，
，
故答案为：B．
【分析】由题意可知是的中位线，根据三角形的中位线等于第三边的一半，则．
3．（2025八下·珠海期末） 如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆EF垂直于地面（E、F分别为AB、AC的中点），若，则点B距离地面的高度为（　　）
A．80cm B．70cm C．60cm D．50cm
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ E、F分别为AB、AC的中点，
∴EF=，
∵，
∴BC= 60cm
故答案为：C .
【分析】根据三角形中位线定理可得：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，由此即可解答.
4．（2025八下·深圳期中）如图，的对角线AC、BD相交于点O，OE//AB交AD于点E，若OA=1，△AOE的周长等于5，则的周长等于（　　）
A．16 B．12 C．10 D．8
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，OB=OD，
∵OE//AB，
∴OE是△ABD的中位线，
∴AB＝2OE，AD=2AE，
∵△AOE的周长等于5，
∴OA+AE+OE=5，
∴AE+OE=5-OA=5-1=4，
∴AB+AD=2AE+2OE=8，
∴ 的周长=2(AB+AD)=2×8=16；
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形性质可得AB=CD，AD=BC，OB=OD，再根据三角形中位线定理可得AB＝2OE，AD=2AE，根据三角形周长可得OA+AE+OE=5，再根据边之间的关系可得AB+AD=2AE+2OE=8，再求出四边形周长即可.
5．（2023八上·禹城期中）如图，AD是△ABC的中线，DH⊥AB于点H，DG⊥AC于点G，AB=7 cm，AC=6 cm，DH=3 cm，则DG的长是(　　)
A．4 cm B．3 cm C． cm D．无法判断
【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴
∵
∴
∴
∴DG=cm.
故答案为：C.
【分析】根据三角形中位线性质可知，根据三角形面积公式得到：进而得到方程：解此方程即可.
6．（2024八下·青秀月考）杨伯家小院子的四棵小树E、F、G、H刚好在其四边形院子各边的中点上，若在四边形内种上小草，则这块草地的形状是(　　)
A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示，连接AC、BD，
∵E、F、G、H是四边形ABCD各边的中点，
∴，，
∴四边形EFGH是平行四边形，
故答案为：A．
【分析】连接BD、AC，根据中位线定理可得四边形是平行四边形，即可得到结果．
7．（2024八下·潮阳期中）如图，在中，，是边上的高，垂足为，点在边上，连接，为的中点，连接，若，则的长为（　　）
A．3 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：，
．
，，
，
，
是的中位线，
．
．
．
．
故答案为：．
【分析】根据边之间的关系可得，再根据等腰三角形性质可得，则，再根据三角形中位线定理可得，则，即可求出答案.
8．（2026九上·德惠期末）如图，在中，，，，点在边上，点为边上的动点，点、分别为的中点，则的最小值是（　　）
A．2 B．2.5 C．2.4 D．1.2
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接CM，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴，
当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，
由勾股定理得：
∵，
∴
∴
故答案为：D.
【分析】作CH⊥AB于H，连接CM，首先根据三角形中位线的性质得出，只要找到CM的最大值和最小值即可，根据垂线段最短可知当CM⊥AB时，CM最短，此时利用勾股定理和三角形的面积公式即可求解.
9．（2024·灞桥模拟）如图，在中，，点E是的中点，若平分，线段的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长交于，
由题意知，，，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴是的中点，，
又∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴的长为．
故选：B．
【分析】利用ASA证明，再根据全等三角形的性质求出，，最后根据三角形的中位线计算求解即可.
10．（2025九上·嵊州开学考）在如图所示的平行四边形ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动（不与端点重合），且满足AF=CH，则下列为定值的是（　　）
A．四边形EFGH的周长 B．∠EFG的大小
C．四边形EFGH的面积 D．线段FH的长
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ABCD为平行四边形
∴∠A=∠C，AD=BC
∵E 、G分别为AD、BC的中点
∴AE=CG
又∵AF=CH
∴△AEF≌△CGH(SAS)
∴EF=GH
同理知△DEH≌△BGF(SAS)
∴EH=FG
EFGH为平行四边形
EFGH周长=2(EH+GH)，当点H运动时，EH、GH都在变化，不为定值，同理∠EFG也在变化，FH在变化，故A、B、D不符合题意；
连接EG，，故四边形EFGH的面积为定值.
故答案为：C.
【分析】由题意知△AEF≌△CGH(SAS)和△DEH≌△BGF(SAS)得EFGH为平行四边形，点H、F为动点，在运动过程中，EFGH的周长、∠EFG的大小，FH的长都在变化，而面积为ABCD面积的一半.
二、填空题
11．（2024八下·凉州期中）点D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，如果∠A=50°，那么∠DEF等于　 　．
【答案】50°
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意画出图形．
∵点D，E，F是边AB，BC，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，EF是△ABC的中位线，
∴，，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴∠DEF=∠A=50°．
故答案为：50°．
【分析】根据题意画出图形，再根据三角形中位线的性质可得，，再根据平行四边形判定定理可得四边形ADEF是平行四边形，则∠DEF=∠A=50°，即可求出答案.
12．（2025·长沙模拟）如图，中，，，分别是的中位线和中线，，则　 　．
【答案】4
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵DE是△ABC的中位线，∴DE=AB，∵∠ACB=90°，CF是△ABC的中线，∴CF=AB，∴DE=CF，∵DE=4，∴CF=4.
故答案为：4．
【分析】根据三角形中位线定理和“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得出DE=CF=AB，即可得出结果．
13．（2024八下·江北期末）如图 1， 对 “三角形中位线定理” 进行拓展思考， 可以提出以下三个命题∶
①若 ，则 ．
②若 ，则 是 的中位线．
③若 ，则 ．
图 2 是以上命题中某个假命题的反例示意图，则此假命题是　 　 (选填①②③中其一)
【答案】③
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；真命题与假命题
【解析】【解答】解：图2是③的反例示意图．
真命题为命题①和②，
命题①的证明：
证明：过点作交边于点，连接，
又，
四边形是平行四边形，
，，
又，
，
四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
，，
，
又，
四边形是平行四边形，
，，
，，
∴DE是△ABC的中位线；
命题②的证明如下：
证明：如图，延长至点，
使，连接，
是边的中点，
．
又，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
，
，
是边的中点，
是的中位线．
故答案为：③．
【分析】图2是③的反例示意图， 真命题为命题①和②， 过点E作EM∥AB交BC边于点M，连接DM，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形EDBM是平行四边形，由平行四边形的对边相等得BD=EM，DE=BM，结合已知可推出DE=CM，由 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得 四边形DECM是平行四边形，由平行四边形的对边平行且相等得DM=CE，DM∥CE，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得四边形ADME是平行四边形，由平行四边形的对边相等得AD=EM，DM=AE，从而推出AD=BD，AE=CE，从而根据中位线定义可判断①是真命题；延长ED至点F，使DF=DE，连接BF，首先用SAS判断出△ADE≌△BDF，得AE=BF，∠AED=∠BFD，由内错角相等，两直线平行得AC∥BF，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得 四边形BCEF是平行四边形，由平行四边形的对边相等得BF=CE，则推出AE=CE，从而根据中位线定义可判断②是真命题.
14．（2023八下·槐荫期中）如图，平行四边形中，，，点P是边上的点，连接，以为对称轴作的轴对称图形，连接，当点P是线段的中点，且时，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；轴对称的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接QB交PA于点E，如图所示：
∵连接，以为对称轴作的轴对称图形，
∴BA=QA，QP=PB，
∴PA为线段QB的垂直平分线，
∴∠PEB=∠BEA=90°，
∵点P是线段的中点，
∴PE=2，PB=6，AB=8，
由勾股定理得，
∴的长为，
故答案为：
【分析】连接QB交PA于点E，根据轴对称的性质即可得到BA=QA，QP=PB，进而根据垂直平分线的性质得到∠PEB=∠BEA=90°，再根据三角形的中位线定理即可得到PE=2，PB=6，AB=8，进而根据勾股定理即可得到，最后结合题意即可求解。
15．（2025·广安模拟）如图，在中，，，D是边的中点，E是边上一点，若平分的周长，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长至点，使得，连接，
，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵D是边的中点，
∴，
∵平分的周长，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为的中位线，
∴，
故答案为：．
【分析】延长至点，使得，连接，根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形可得为等边三角形，由等边三角形的三边相等可得，由题意易得，由三角形的中位线定义可得为的中位线，根据三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可求解．
三、解答题
16．（2024·蓬江模拟）如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，延长BA至点F，使得AF=AB，连接DE，AD，EF，DF．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）若AB=6，AC=8，BC=10，求EF的长．
【答案】（1）证明：∵点D，E分别是BC，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DE=AB，
∵AF=AB，
∴DE=AF，DE∥AF，
∴四边形ADEF是平行四边形；
（2）解：由（1）得：四边形ADEF是平行四边形，
∴EF=AD，
∵AB=6，AC=8，BC=10，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∵点D是BC的中点，
∴AD=BC=5，
∴EF=AD=5．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线判定定理可得DE是△ABC的中位线，则DE∥AB，DE=AB，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）根据平行四边形性质可得EF=AD，再根据勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
17．（2025八下·成都月考）如图，四边形ABCD中，E为边BC的中点，BD与AE交于O，BO＝DO，AO＝2EO．AC与BD交于F．
（1）求证：F是AC的中点．
（2）求S△ACD：S△ABD的值．
【答案】（1）证明：连接OC，如图所示
∵点E是BC的中点
∴BE=CE
∵DO＝BO，
∴OE为三角形BCD的中位线，
∴OEDC，DC＝2OE，
∵AO＝2EO，
∴CD＝AO，
∵AOCD，
∴四边形AOCD是平行四边形，
∴F为AC中点．
（2）解：∵四边形AOCD为平行四边形，
∴S△ADC＝S AOCD＝S△ADO，
∵BO=DO，
∴点O是BD的中点
∴S△ABD＝2S△ADO，
∴S△ACD：S△ABD＝S△ADO：2S△ADO＝．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；三角形的中线；利用三角形的中线求面积
【解析】【分析】
本题考查平行四边形的判定定理与性质、三角形中位线定理，熟知平行四边形的性质是解题关键．（1）连接CD，根据中点的定义可知：CE＝BE，结合BO=DO，可知：OE为三角形BCD的中位线，根据三角形中位线定理：三角形中位线平行且等于底边的一半可知：OEDC，DC＝2OE，结合AO=2EO，等量代换得：CD=AO，根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可知：四边形AOCD是平行四边形，最后由平行四边形的性质：对角线互相平分可知：点F是AC的中点，即可证得结论；
（2）根据平行四边形的性质：对角线互相平分可知：S△ADC＝S AOCD＝S△ADO，再根据三角形中线的性质可知：S△ABD＝2S△ADO，等量代换得：S△ACD：S△ABD的比值，由此可得出答案．
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