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浙教版数学八年级下册4.5 三角形的中位线 三阶训练
一、选择题
1．如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，E，F，G分别是AD，BC，AC的中点，且EF＝4.若求△EFG的面积，只需要知道以下哪条线段的长？(　　)
A．AC B．BC C．CD D．AD
2．（2025八下·汕尾期末）如图，在中，D，E，F分别是的中点．若，则四边形的周长是（　　）
A．7 B．10 C．14 D．18
3．（2022九上·射洪期中）如图，已知四边形中，R，P分别是，上的点，E，F分别是，的中点，当点P在上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（　　）
A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小
C．线段的长不变 D．EF变化不定
4．（2023九上·莲池开学考）如图，任意四边形各边中点分别是E、F、G、H．若对角线、的长分别是、，则四边形的周长是（　　）
A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm
5．（2024八下·铁岭月考）如图，的对角线AC，BD相交于点O，是AB中点，且AE+EO=4，则的周长为　　
A．20 B．16 C．12 D．8
6．（2025八下·浙江期中） 如图，△ABC中，AB=4，AC=3，AD是∠BAC的角平分线，AE是BC上的中线，过点 C作CG⊥AD于F，交AB于 G，连结EF，则线段EF的长为（　　）
A．1 B． C． D．
7．如图，将矩形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转 90°得到矩形 FGCE，连结AF，H是AF的中点，连结GH.若AB=2，BC=4，则GH的长为 (　　)
A．2 B． C．1 D．2
8．（2025八下·永康期末）在四边形ABCD中，AC⊥BD，E，F分别是AD和BC的中点。若AC=6，BD=8，则EF为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
9．（2025八上·宁波开学考） 如图，在等腰三角形中，，点为的中点，连结． 以为边向左作，且，． 连结，记和的面积分别为和，则的最大值是（　　）
A．8 B． C． D．6
10．（2025八下·义乌期中）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为BC的中点，点F，G为CD上的点，且FG=AB，连接OF，EG．若 ABCD的面积为60，则图中阴影部分面积是（　　）
A．12 B．15 C．15 D．
二、填空题
11．（2023八下·槐荫期中）如图，平行四边形中，，，点P是边上的点，连接，以为对称轴作的轴对称图形，连接，当点P是线段的中点，且时，则的长为　 　．
12．（2025八下·金东期末） 如图，在中，，，，于点，点、分别是、的中点，则的周长为　 　．
13．如图，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD，CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，若BF=2，ED=3，GC=4，则△ABC 的周长为　 　.
14．（2025八下·南湖期中）如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点 E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠PEF=25°，则∠PFE的度数是　 　.
15．（2025八上·长兴期中）如图，在△OAB和△BCD中，OA=OB=3，CB=CD=1，∠AOB =∠BCD =90°.连结AD，取AD的中点E，连结OE.将△BCD绕点B按顺时针方向旋转，当点O，C，B在同一直线上时，OE的长为　 　.
三、解答题
16．（2025八上·宁波开学考）如图，在四边形中，和是它的两条对角线，点E，F分别为、的中点，点M、N分别为、的中点．求证：与互相平分．
17．（2025八下·广东期中）如图1，两个正方形和共一个直角顶点，连接、交于点，连接、、、．
（1）当，时，
①作图：请在图1中分别取、、的中点、、（不要求尺规作图），并直接写出和的关系：______；
②若，求此时的长；
（2）当，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点G作于点P，
为直角三角形，
∵ E、G分别是AD、AC的中点，
∵F、G分别是BC、AC的中点，
∴GF是 的中位线，
为等腰三角形，
的面积与线段CD的长有关，
故选： C.
【分析】根据三角形中位线定理得到 从而得到4 为等腰三角形，根据三角形的面积公式解答即可.
2．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：
∵F、E为AB、AC的中点，
∴AF=BF，AE=CE；
∴FE∥BC且EF=BC
∵E、D为AC、BC的中点，
∴BD=CD
∴ED∥AB且ED=AB
即FE=BD=CD，BF=DE=AF
∴四边形BDEF的周长为：BF+FE＋ED＋DB=BF+CD+AF+DB＝AB＋BC=8+10=18
故答案为：D
【分析】本题利用三角形中位线定理，结合中点定义，将四边形周长转化为AB+BC计算。
3．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AR，如图，
因为AR不变，
E、F分别是、的中点，
由中位线的性质得，
当点P在上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长不变
故选：C．
【分析】连接AR，根据三角形中位线定理即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E，F，G，H，是四边形各边中点，
∴，，．
∵，，
∴四边形的周长是．
故答案为：B．
【分析】先利用三角形中位线的性质可得，，，再利用四边形的周长公式及等量代换求出四边形EFGH的周长即可.
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵AE=EB，
∴ BC=2EO
∵AE+EO=4，
∴2AE+2EO=8，
∴AB+BC=8，
∴平行四边形ABCD的周长=2×8=16，
故答案为：B．
【分析】由平行四边形的对角线互相平分得出OA=OC，由三角形中位线定理得出BC=2EO，由AE+EO=4，推出AB+BC=8，最后根据平行四边形周长计算公式可得答案.
6．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵ AD是∠BAC的角平分线，
∴∠DAG=∠DAC.
∵CG⊥AD于点F，
∴∠AFG=∠AFC=90°，
∵AF=AF，
∴△AFG≌△AFC(ASA)，
∴AG=AC=3，GF=FC.
∵AB=4，
∴BG=AB－AG=1.
∵GF=FC，AE是BC上的中线，
∴EF是△BCG的中位线，
∴.
故答案为：B.
【分析】结合角平分线的定义和垂线的定义可证明△AFG≌△AFC，由全等三角形的性质可得AG=AC=3，GF=FC，继而可得BG长，再由中位线的定义即可求得EF的长.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点A作FG的延长线的垂线，交于点I，取IG中点J，连接AI，AJ，
G为JF中点，H为AF中点，
故答案为： B.
【分析】本题考查几何旋转过程中的不变量，通过作辅助线构造垂直和三角形的中位线，通过垂直求线段长度，然后用中位线关系得到答案。
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，取AB的中点H，连接EH、FH，
∵E，H分别是AD和AB的中点，
∴EH//BD，，
同理可得：FH//AC
，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥FH，
∴
故答案为：.
【分析】取AB的中点H，连接EH、FH，根据三角形中位线定理得到EH//BD，，FH//AC，，证明EH⊥FH，根据勾股定理计算即可.
9．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长CA到点F，使AF=AC，连接BF，
∵点E为BC的中点，
∴AE为△BCF的中位线
∴AE//BF，，
∵AB=AC=4，点E为BC的中点
∴AE⊥BC，BE=CE
∵∠BCD=90°
∴AE//CD，
∴BF//CD，
∵BD//AC，
∴四边形BDCF是平行四边形，
∴CD=BF.
即CD=2AE
∴，，
∴，
∵AE⊥BC，AB=AC=4，
∴AE2+BE2=AB2=16，
∵(AE-BE)2≥0.
∴AE2-2AE·BE+BE2≥0
即AE2+BE2≥2AE·BE
∴16≥2AE·BE
∴AE·BE≤8.
即的最大值是8，‘
故答案为：A.
【分析】延长CA到点F，使AF=AC，连接BF，可以得出AE为△BCF的中位线，于是有AE//BF，，由等腰三角形三线合一得出AE⊥BC，即可证得AE//CD，于是推出BF//CD，结合BD//AC可得到四边形BDCF是平行四边形，从而得出CD与AE的数量关系，再根据三角形面积公式分别计算△CDE和△ABE的面积，结合完全平方公式及勾股定理即可得出结果.
10．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接OE，设OF与EG交于点H，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD
∵O为BD中点，E为BC中点，
∴OE=，OECD，
∴∠OEG=∠FGE，
∵∠OHE=∠FHG，
∴ OEH FGH，
∴OH=FH，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵
，
故答案为：B．
【分析】连接OE，设OF与EG交于点H，由平行四边形性质得OB=OD，AB=CD，由三角形中位线定理得出OE=FG，OE∥FG，由二直线平行，内错角相等得∠OEG=∠FGE，结合对顶角相等，可用“AAS”证△OEH≌△FGH，由全等三角形的对应边相等得OH=FH；设hBE为△BEO中BE边上的高，hBC为平行四边形ABCD中BC边上的高，根据平行四边形的中心对称性可求出，从而根据三角形面积公式、平行四边形面积公式及平行四边形ABCD的面积可求出△BOE的面积为；设hAB为为平行四边形ABCD中AB边上的高，hOE是△OEH中OE边上的高，根据平行四边形的中心对称性及全等三角形对应边上的高线相等推出，从而根据三角形面积公式、平行四边形面积公式及平行四边形ABCD的面积可求出△EOH的面积为，最后根据全等三角形的面积相等及S阴影=S△BEO+S△OEH+S△GFH计算即可.
11．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；轴对称的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接QB交PA于点E，如图所示：
∵连接，以为对称轴作的轴对称图形，
∴BA=QA，QP=PB，
∴PA为线段QB的垂直平分线，
∴∠PEB=∠BEA=90°，
∵点P是线段的中点，
∴PE=2，PB=6，AB=8，
由勾股定理得，
∴的长为，
故答案为：
【分析】连接QB交PA于点E，根据轴对称的性质即可得到BA=QA，QP=PB，进而根据垂直平分线的性质得到∠PEB=∠BEA=90°，再根据三角形的中位线定理即可得到PE=2，PB=6，AB=8，进而根据勾股定理即可得到，最后结合题意即可求解。
12．【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：
在 中，F是AC的中点， 则
同理可得：
∵点E， F分别是AB， AC的中点，
∴EF是 的中位线，
的周长
故答案为： 9.5.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质分别求出DF、DE，根据三角形中位线定理求出EF，再根据三角形周长公式计算，得到答案.
13．【答案】30
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由AG⊥BD，BD是∠ABC的平分线，
可得∠ADB=∠GDB=90°，∠ABD=∠GBD，BD为公共边，
∴△ADB≌△GDB，
∴AB=GB，
∵AF⊥CE，CE是∠ACB的角平分线
同理可证：AC=FC，
即△ABG和△ACF都是等腰三角形，
又∵AG⊥BD，AF⊥CE，
∴E、D分别是AF和AG的中点，
即ED是△AFG的中位线，
∴FG=2DE
则△ABC的周长为：AB+BC+AC=BF+FG+BF+FG+CG+FG+CG，
由BF=2，ED=3，GC=4，FG=2DE=6，则△ABC的周长为30.
故答案为：30.
【分析】由AG⊥BD，AF⊥CE，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，推出即△ABG和△ACF都是等腰三角形，根据三角形中位线定理可得FG=2DB=6，即可解题.
14．【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵点E， P分别是AB， BD的中点，
∴EP是. 的中位线，
同理，
故答案为：
【分析】根据三角形中位线定理得到 得到 ，根据等腰三角形的性质解答即可.
15．【答案】或
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；等腰直角三角形；线段垂直平分线的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：
①当点C在OB的延长线时，连接BE，设OE交AB于点F，如图1所示：
在△OAB中，OA=OB=3，∠AOB=90°，
∴∠OBA=45°，
由勾股定理得：AB=，
在△BCD中，CB=CD=1，∠BCD=90°，
∴∠CBD=45°，
由勾股定理得：BD=，
∵点O，C，B在同一直线上时，
∴∠ABD=180°-（∠OBA+∠CBD）=90°，
∴△ABD是直角三角形，
∵点E是AD的中点，
∴BE是Rt△ABD的斜边AD上的中线，
∴BE=AE=DE=，
∴点E在线段AB的垂直平分线上，
又∵OA=OB=3，
∴点O在线段AB的垂直平分线上，
∴OE是线段AB的垂直平分线，
∴OE⊥AB，
∴∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠ABD=90°，
∴EF∥BD，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF=，
又∴OE⊥AB，
∴OF=AF=BF=，
∴OE=EF+OF=；
②当点C在线段OB上时，过点O作OH⊥AB于点H，如图2所示：
∵CB=CD=1，∠BCD=90°，
∴△CBD是等腰直角三角形，
∴点D在线段AB上，
同①可得，AB=，BD=，
由三线合一得AH=，
∵AD=AB-DB=，
∵E为AD中点，
∴AE=，
∴EH=AH-AE=，
∵△OAB为Rt△，H为AB中点，
∴OH=AH=HB=12AB=322，
由勾股定理，得；
综上，OE=或
故答案为： 或.
【分析】先利用勾股定理可求得AB=，BD=，由分类讨论得到图1和图2两种不同情况，在图1中，先证明OE垂直平分AB，利用直角三角形斜边上中线的性质可求OF，由三角形中位线性质可求FE，从而得到OE的长；在图2中，根据EH=AH-AE，求得EH的长，再由直角三角形斜边上中线的性质求得OH长，从而利用勾股定理得到OE长.
16．【答案】证明：连接、、、，如图所示：∵E，M分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
同理：，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴与互相平分．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】连接、、、，根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得，，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，再由平行四边形的对角线互相平分可求解．
17．【答案】（1）解：①如图，
；
②由①知：，
∴，
∴，
∴，
∵四边形和四边形都是正方形，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即（负值舍去）；
（2）解：如图，分别取、、、的中点、、、，连接
同理（1）①可得是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，
∴；
∴
∵，
∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长，
同理（1）①得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即的最小值为．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）解：，理由如下：
∵点、、分别是、、的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴；
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
【分析】（1）①根据三角形中位线定理可得，再根据正方形性质可得，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，根据角之间的关系可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
②根据勾股定理，结合边之间的关系可得，根据正方形性质可得，，再代入等式即可求出答案.
（2）分别取、、、的中点、、、，连接，根据三角形中位线定理可得，根据边之间的关系可得，当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长，同理（1）①得，，则，根据直线平行性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：，理由如下：
∵点、、分别是、、的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴；
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②由①知：，
∴，
∴，
∴，
∵四边形和四边形都是正方形，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即（负值舍去）；
（2）解：如图，分别取、、、的中点、、、，连接
同理（1）①可得是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，
∴；
∴
∵，
∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长，
同理（1）①得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即的最小值为．
1 / 1浙教版数学八年级下册4.5 三角形的中位线 三阶训练
一、选择题
1．如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，E，F，G分别是AD，BC，AC的中点，且EF＝4.若求△EFG的面积，只需要知道以下哪条线段的长？(　　)
A．AC B．BC C．CD D．AD
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点G作于点P，
为直角三角形，
∵ E、G分别是AD、AC的中点，
∵F、G分别是BC、AC的中点，
∴GF是 的中位线，
为等腰三角形，
的面积与线段CD的长有关，
故选： C.
【分析】根据三角形中位线定理得到 从而得到4 为等腰三角形，根据三角形的面积公式解答即可.
2．（2025八下·汕尾期末）如图，在中，D，E，F分别是的中点．若，则四边形的周长是（　　）
A．7 B．10 C．14 D．18
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：
∵F、E为AB、AC的中点，
∴AF=BF，AE=CE；
∴FE∥BC且EF=BC
∵E、D为AC、BC的中点，
∴BD=CD
∴ED∥AB且ED=AB
即FE=BD=CD，BF=DE=AF
∴四边形BDEF的周长为：BF+FE＋ED＋DB=BF+CD+AF+DB＝AB＋BC=8+10=18
故答案为：D
【分析】本题利用三角形中位线定理，结合中点定义，将四边形周长转化为AB+BC计算。
3．（2022九上·射洪期中）如图，已知四边形中，R，P分别是，上的点，E，F分别是，的中点，当点P在上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（　　）
A．线段的长逐渐增大 B．线段的长逐渐减小
C．线段的长不变 D．EF变化不定
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AR，如图，
因为AR不变，
E、F分别是、的中点，
由中位线的性质得，
当点P在上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长不变
故选：C．
【分析】连接AR，根据三角形中位线定理即可求出答案.
4．（2023九上·莲池开学考）如图，任意四边形各边中点分别是E、F、G、H．若对角线、的长分别是、，则四边形的周长是（　　）
A．20cm B．30cm C．40cm D．50cm
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E，F，G，H，是四边形各边中点，
∴，，．
∵，，
∴四边形的周长是．
故答案为：B．
【分析】先利用三角形中位线的性质可得，，，再利用四边形的周长公式及等量代换求出四边形EFGH的周长即可.
5．（2024八下·铁岭月考）如图，的对角线AC，BD相交于点O，是AB中点，且AE+EO=4，则的周长为　　
A．20 B．16 C．12 D．8
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵AE=EB，
∴ BC=2EO
∵AE+EO=4，
∴2AE+2EO=8，
∴AB+BC=8，
∴平行四边形ABCD的周长=2×8=16，
故答案为：B．
【分析】由平行四边形的对角线互相平分得出OA=OC，由三角形中位线定理得出BC=2EO，由AE+EO=4，推出AB+BC=8，最后根据平行四边形周长计算公式可得答案.
6．（2025八下·浙江期中） 如图，△ABC中，AB=4，AC=3，AD是∠BAC的角平分线，AE是BC上的中线，过点 C作CG⊥AD于F，交AB于 G，连结EF，则线段EF的长为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵ AD是∠BAC的角平分线，
∴∠DAG=∠DAC.
∵CG⊥AD于点F，
∴∠AFG=∠AFC=90°，
∵AF=AF，
∴△AFG≌△AFC(ASA)，
∴AG=AC=3，GF=FC.
∵AB=4，
∴BG=AB－AG=1.
∵GF=FC，AE是BC上的中线，
∴EF是△BCG的中位线，
∴.
故答案为：B.
【分析】结合角平分线的定义和垂线的定义可证明△AFG≌△AFC，由全等三角形的性质可得AG=AC=3，GF=FC，继而可得BG长，再由中位线的定义即可求得EF的长.
7．如图，将矩形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转 90°得到矩形 FGCE，连结AF，H是AF的中点，连结GH.若AB=2，BC=4，则GH的长为 (　　)
A．2 B． C．1 D．2
【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点A作FG的延长线的垂线，交于点I，取IG中点J，连接AI，AJ，
G为JF中点，H为AF中点，
故答案为： B.
【分析】本题考查几何旋转过程中的不变量，通过作辅助线构造垂直和三角形的中位线，通过垂直求线段长度，然后用中位线关系得到答案。
8．（2025八下·永康期末）在四边形ABCD中，AC⊥BD，E，F分别是AD和BC的中点。若AC=6，BD=8，则EF为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，取AB的中点H，连接EH、FH，
∵E，H分别是AD和AB的中点，
∴EH//BD，，
同理可得：FH//AC
，
∵AC⊥BD，
∴EH⊥FH，
∴
故答案为：.
【分析】取AB的中点H，连接EH、FH，根据三角形中位线定理得到EH//BD，，FH//AC，，证明EH⊥FH，根据勾股定理计算即可.
9．（2025八上·宁波开学考） 如图，在等腰三角形中，，点为的中点，连结． 以为边向左作，且，． 连结，记和的面积分别为和，则的最大值是（　　）
A．8 B． C． D．6
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长CA到点F，使AF=AC，连接BF，
∵点E为BC的中点，
∴AE为△BCF的中位线
∴AE//BF，，
∵AB=AC=4，点E为BC的中点
∴AE⊥BC，BE=CE
∵∠BCD=90°
∴AE//CD，
∴BF//CD，
∵BD//AC，
∴四边形BDCF是平行四边形，
∴CD=BF.
即CD=2AE
∴，，
∴，
∵AE⊥BC，AB=AC=4，
∴AE2+BE2=AB2=16，
∵(AE-BE)2≥0.
∴AE2-2AE·BE+BE2≥0
即AE2+BE2≥2AE·BE
∴16≥2AE·BE
∴AE·BE≤8.
即的最大值是8，‘
故答案为：A.
【分析】延长CA到点F，使AF=AC，连接BF，可以得出AE为△BCF的中位线，于是有AE//BF，，由等腰三角形三线合一得出AE⊥BC，即可证得AE//CD，于是推出BF//CD，结合BD//AC可得到四边形BDCF是平行四边形，从而得出CD与AE的数量关系，再根据三角形面积公式分别计算△CDE和△ABE的面积，结合完全平方公式及勾股定理即可得出结果.
10．（2025八下·义乌期中）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E为BC的中点，点F，G为CD上的点，且FG=AB，连接OF，EG．若 ABCD的面积为60，则图中阴影部分面积是（　　）
A．12 B．15 C．15 D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接OE，设OF与EG交于点H，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD
∵O为BD中点，E为BC中点，
∴OE=，OECD，
∴∠OEG=∠FGE，
∵∠OHE=∠FHG，
∴ OEH FGH，
∴OH=FH，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵
，
故答案为：B．
【分析】连接OE，设OF与EG交于点H，由平行四边形性质得OB=OD，AB=CD，由三角形中位线定理得出OE=FG，OE∥FG，由二直线平行，内错角相等得∠OEG=∠FGE，结合对顶角相等，可用“AAS”证△OEH≌△FGH，由全等三角形的对应边相等得OH=FH；设hBE为△BEO中BE边上的高，hBC为平行四边形ABCD中BC边上的高，根据平行四边形的中心对称性可求出，从而根据三角形面积公式、平行四边形面积公式及平行四边形ABCD的面积可求出△BOE的面积为；设hAB为为平行四边形ABCD中AB边上的高，hOE是△OEH中OE边上的高，根据平行四边形的中心对称性及全等三角形对应边上的高线相等推出，从而根据三角形面积公式、平行四边形面积公式及平行四边形ABCD的面积可求出△EOH的面积为，最后根据全等三角形的面积相等及S阴影=S△BEO+S△OEH+S△GFH计算即可.
二、填空题
11．（2023八下·槐荫期中）如图，平行四边形中，，，点P是边上的点，连接，以为对称轴作的轴对称图形，连接，当点P是线段的中点，且时，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；轴对称的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接QB交PA于点E，如图所示：
∵连接，以为对称轴作的轴对称图形，
∴BA=QA，QP=PB，
∴PA为线段QB的垂直平分线，
∴∠PEB=∠BEA=90°，
∵点P是线段的中点，
∴PE=2，PB=6，AB=8，
由勾股定理得，
∴的长为，
故答案为：
【分析】连接QB交PA于点E，根据轴对称的性质即可得到BA=QA，QP=PB，进而根据垂直平分线的性质得到∠PEB=∠BEA=90°，再根据三角形的中位线定理即可得到PE=2，PB=6，AB=8，进而根据勾股定理即可得到，最后结合题意即可求解。
12．（2025八下·金东期末） 如图，在中，，，，于点，点、分别是、的中点，则的周长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：
在 中，F是AC的中点， 则
同理可得：
∵点E， F分别是AB， AC的中点，
∴EF是 的中位线，
的周长
故答案为： 9.5.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质分别求出DF、DE，根据三角形中位线定理求出EF，再根据三角形周长公式计算，得到答案.
13．如图，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD，CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，若BF=2，ED=3，GC=4，则△ABC 的周长为　 　.
【答案】30
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由AG⊥BD，BD是∠ABC的平分线，
可得∠ADB=∠GDB=90°，∠ABD=∠GBD，BD为公共边，
∴△ADB≌△GDB，
∴AB=GB，
∵AF⊥CE，CE是∠ACB的角平分线
同理可证：AC=FC，
即△ABG和△ACF都是等腰三角形，
又∵AG⊥BD，AF⊥CE，
∴E、D分别是AF和AG的中点，
即ED是△AFG的中位线，
∴FG=2DE
则△ABC的周长为：AB+BC+AC=BF+FG+BF+FG+CG+FG+CG，
由BF=2，ED=3，GC=4，FG=2DE=6，则△ABC的周长为30.
故答案为：30.
【分析】由AG⊥BD，AF⊥CE，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，推出即△ABG和△ACF都是等腰三角形，根据三角形中位线定理可得FG=2DB=6，即可解题.
14．（2025八下·南湖期中）如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点 E，F分别是AB，CD的中点，AD=BC，∠PEF=25°，则∠PFE的度数是　 　.
【答案】
【知识点】三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵点E， P分别是AB， BD的中点，
∴EP是. 的中位线，
同理，
故答案为：
【分析】根据三角形中位线定理得到 得到 ，根据等腰三角形的性质解答即可.
15．（2025八上·长兴期中）如图，在△OAB和△BCD中，OA=OB=3，CB=CD=1，∠AOB =∠BCD =90°.连结AD，取AD的中点E，连结OE.将△BCD绕点B按顺时针方向旋转，当点O，C，B在同一直线上时，OE的长为　 　.
【答案】或
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；等腰直角三角形；线段垂直平分线的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：
①当点C在OB的延长线时，连接BE，设OE交AB于点F，如图1所示：
在△OAB中，OA=OB=3，∠AOB=90°，
∴∠OBA=45°，
由勾股定理得：AB=，
在△BCD中，CB=CD=1，∠BCD=90°，
∴∠CBD=45°，
由勾股定理得：BD=，
∵点O，C，B在同一直线上时，
∴∠ABD=180°-（∠OBA+∠CBD）=90°，
∴△ABD是直角三角形，
∵点E是AD的中点，
∴BE是Rt△ABD的斜边AD上的中线，
∴BE=AE=DE=，
∴点E在线段AB的垂直平分线上，
又∵OA=OB=3，
∴点O在线段AB的垂直平分线上，
∴OE是线段AB的垂直平分线，
∴OE⊥AB，
∴∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠ABD=90°，
∴EF∥BD，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF=，
又∴OE⊥AB，
∴OF=AF=BF=，
∴OE=EF+OF=；
②当点C在线段OB上时，过点O作OH⊥AB于点H，如图2所示：
∵CB=CD=1，∠BCD=90°，
∴△CBD是等腰直角三角形，
∴点D在线段AB上，
同①可得，AB=，BD=，
由三线合一得AH=，
∵AD=AB-DB=，
∵E为AD中点，
∴AE=，
∴EH=AH-AE=，
∵△OAB为Rt△，H为AB中点，
∴OH=AH=HB=12AB=322，
由勾股定理，得；
综上，OE=或
故答案为： 或.
【分析】先利用勾股定理可求得AB=，BD=，由分类讨论得到图1和图2两种不同情况，在图1中，先证明OE垂直平分AB，利用直角三角形斜边上中线的性质可求OF，由三角形中位线性质可求FE，从而得到OE的长；在图2中，根据EH=AH-AE，求得EH的长，再由直角三角形斜边上中线的性质求得OH长，从而利用勾股定理得到OE长.
三、解答题
16．（2025八上·宁波开学考）如图，在四边形中，和是它的两条对角线，点E，F分别为、的中点，点M、N分别为、的中点．求证：与互相平分．
【答案】证明：连接、、、，如图所示：∵E，M分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
同理：，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴与互相平分．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】连接、、、，根据三角形的中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得，，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，再由平行四边形的对角线互相平分可求解．
17．（2025八下·广东期中）如图1，两个正方形和共一个直角顶点，连接、交于点，连接、、、．
（1）当，时，
①作图：请在图1中分别取、、的中点、、（不要求尺规作图），并直接写出和的关系：______；
②若，求此时的长；
（2）当，求的最小值．
【答案】（1）解：①如图，
；
②由①知：，
∴，
∴，
∴，
∵四边形和四边形都是正方形，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即（负值舍去）；
（2）解：如图，分别取、、、的中点、、、，连接
同理（1）①可得是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，
∴；
∴
∵，
∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长，
同理（1）①得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即的最小值为．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（1）解：，理由如下：
∵点、、分别是、、的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴；
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
【分析】（1）①根据三角形中位线定理可得，再根据正方形性质可得，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，根据角之间的关系可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
②根据勾股定理，结合边之间的关系可得，根据正方形性质可得，，再代入等式即可求出答案.
（2）分别取、、、的中点、、、，连接，根据三角形中位线定理可得，根据边之间的关系可得，当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长，同理（1）①得，，则，根据直线平行性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）解：，理由如下：
∵点、、分别是、、的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴；
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②由①知：，
∴，
∴，
∴，
∵四边形和四边形都是正方形，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即（负值舍去）；
（2）解：如图，分别取、、、的中点、、、，连接
同理（1）①可得是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，
∴；
∴
∵，
∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长，即有最小值，最小值为的长，
同理（1）①得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即的最小值为．
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