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浙教版数学八年级下册 4.6 反证法 三阶训练
一、选择题
1．（2022八上·长春期末）用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC；求证：∠B90°．”第一步应先假设（　　）
A．∠B≥90° B．∠B＞90° C．∠B＜90° D．AB≠AC
2．（2024七下·东阳月考）在同一平面内有a，b，c三条直线，若a∥b，且a与c相交，那么b与c的位置关系是（　　）
A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．不能啘定
3．用反证法证明“若a+3>b+3，则a>b”时，应先假设（　　）
A．a≤b B．a4．“已知， 在 中， ， 求证 ： ．”下面写出了证明这个命题的过程中的四个推理步骤： ①所以 ， 这与三角形内角和定理相矛盾．②所以 ．③假设 ． ④那么， 由 ， 得 ， 即 ． 这四个步骤正确的顺序应该是（　　）
A．①②③④ B．③④②① C．③④①② D．④③①②
5．用反证法证明命题“如图，如果 AB∥CD，AB ∥EF，那么CD∥EF”时，第一步是（　　）
A．假设 AB不平行于CD B．假设 AB不平行于 EF
C．假设 CD∥EF D．假设 CD不平行于 EF
6．（2024八上·长春月考）用反证法证明：若a≥b>0、则a≥b2．应先假设（　　）
A．a7．（2022七下·万州期末）如图，，点D在BC边上，，EC、ED与AB交于点F、G，则下列结论不正确的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2024八下·西安月考）已知：在中，，求证：．若用反证法来证明这个结论，可以假设　 　．
9．（2019八下·南华期中）用反证法证明“已知五个正数的和等于1，求证：这五个正数中至少有一个大于或等于 ”时，首先要假设　 　.
10．（2021七上·大兴期末）用一组a，b的值说明“若a，b为分数，则a与b的和一定大于a与b的差”是错误的，这组值可以是a＝　 　，b＝　 　．
11．（2025八上·成都期中）某密码锁的密码是一个三位数，小致说：“它是694.”小萌说：“它是524.”小莉说：“它是573.”最后由小颖揭秘说：“你们每人都只猜对了不同数位的一个数字.”则这个密码锁的密码是　 　.
12．（2023七下·福清期末）阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成问题.
证明：假设是有理数，
那么存在两个互质的正整数、，使得，于是，
∴ ▲
∵是偶数，可得是偶数.
∵只有偶数的平方才是偶数，∴也是偶数.
∴可设，代入，得 ▲ .可得 ▲
∴ ▲ .这样，和都是偶数，不互质，这与假设，互质矛盾.
这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数.
将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是　 　.（填上序号）
①； ②； ③是偶数； ④.
13．（初中数学浙教版八下精彩练习4.6反证法）已知命题“在△ABC中，若AC2+BC2≠AB2，则∠C≠90°”，用反证法，其步骤为：假设　 　，根据　 　，一定有　 　，但这与已知　 　相矛盾，因此假设是错误的，故原命题是真命题。
14．（2024八上·江油期中）如图，交于，交于，交于，，，．给出下列结论：①；②；③．④平分其中正确的结论有　 　（填序号）．
三、解答题
15．（2025·浙江竞赛）已知，
求证：。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：命题：“已知△ABC，AB＝AC；求证：∠B90°．”的结论为∠B90°且反证法第一步应先假设结论不成立
第一步应先假设∠B≥90°
故答案为：A．
【分析】利用反证法的书写要求求解即可。
2．【答案】B
【知识点】平行公理及推论；反证法
【解析】【解答】解：假设b∥c，
∵a∥b，b∥c，
∴a∥c，
而已知a与c相交，
∴假设b∥c不成立，
∴b与c相交.
故答案为：B.
【分析】根据a∥b，且a与c相交，那么b与c相交，假如c与b不相交，则c与b平行，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得a∥c，这样一来与题目中a与c相交矛盾，从而说明假设不成立，假设的反面成立，据此可得答案.
3．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：原命题“若a+3>b+3，则a>b”，
用反证法证明时应假设结论不成立，
即假设a≠b.
故答案为：D.
【分析】根据反证法的第一步是假设结论不成，立，那就先假设a>b.即可.
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【解答】解：证明过程： 假设∠B≥90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C≥90°(等边对等角），
∴∠B+∠C≥180°，
∴∠A+∠B+∠C＞180°（与三角形内角和180°矛盾），
∴∠B＜90°.
故答案为：C.
【分析】采用反证法证明，先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确.本题要证明∠B＜90°，先假设∠B≥90°，进而得出与三角形内角和定理矛盾.
5．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法的步骤：
①首先假设原命题不成立，②推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，③得出原假设不成立，即原命题成立.
∵用反证法证明命题“如图，如果 AB∥CD，AB ∥EF，那么CD∥EF”，
∴证明的第一步应为：假设结论不成立，即：假设CD不平行于EF.
故答案为：D.
【分析】根据反证法的意义“反证法（又称归谬法、背理法），是一种论证方式，首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证”并结合题意可求解.
6．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“若a≥b>0、则a≥b2”的第一步是假设a2故答案为：C.
【分析】利用反证法的定义及书写要求求解即可.
7．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；反证法；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：A、∵，
∴AC=CD，故A正确；
B、∵，
∴∠B=∠E，
∵，
∴，
∴∠ABC=90°，故B正确；
C、∵，
∴∠B=∠E，
∵∠B+∠BGD=90°，∠BGE=∠EGF，
∴∠E+∠EGF=90°，
∴∠EFG=90°，
∴，故C正确；
D、若EG=BG，
又∵B=∠E， ∠BGD=∠EGF，
∴△BGD≌△EGF，
∴DG=FG，
∴BF=BG+GF=EG+DG=DE=BC，这与BF故答案为：D．
【分析】（1）根据全等三角形的性质（全等三角形对应边相等）可判断A正确；
（2）根据全等三角形的性质（全等三角形对应角相等）和 可判断B正确；
（3）根据全等三角形的性质（全等三角形对应角相等）和直角三角形两锐角互余可判断C正确；
（4）可假设EG=BG，通过推理证明△BGD≌△EGF，进而证明BF=BC，所以D错误.
8．【答案】≠
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：在中，，求证：．若用反证法来证明这个结论，可以假设≠，
故答案为：≠.
【分析】根据反证法的步骤为假设结论不成立，反面成立，据此即可求解.
9．【答案】这五个数都小于
【知识点】反证法
【解析】【解答】假设这五个数都小于 ，
则五个正数的和一定小于1，与已知矛盾，故原命题正确，
即已知五个正数的和等于1，这五个正数中至少有一个大于或等于 .
故答案为：这五个数都小于 .
【分析】反证法（又称归谬法、背理法），是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。由反证法的意义可知：只需假设这五个数都小于 即可。
10．【答案】；
【知识点】列式表示数量关系；反证法
【解析】【解答】解：当，时，不满足，
“若a，b为分数，则a与b的和一定大于a与b的差”是错误的．
故答案为：、．（答案不唯一）
【分析】先求出当，时，不满足，再求解即可。
11．【答案】623
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：∵三个人说出的数中，4和5都有重复且位置相同，
∴他们猜对的数字不可能是4和5，直接排除这两个数字，
∴小萌猜对的是十位上的数字2，
由此可知，小致猜对的是百位上的数字6，小莉猜对的是个位上的数字3，
∴这个密码锁的密码是623，
故答案为：623.
【分析】根据“你们每人都只猜对了不同数位的一个数字”，结合三个人说的三位数，可以直接排除数字4和5，由此可知小萌说的“524”中，2是正确的，即可判断出小致和小莉猜出的正确数字，进而得出答案.
12．【答案】②①④③
【知识点】实数的概念与分类；反证法
【解析】【解答】 证明：假设 是有理数，
那么存在两个互质的正整数p、q，使得，
于是，
∴ ，
∵是偶数，可得是偶数，
∵只有偶数的平方才是偶数，∴p也是偶数．
∴可设p=2s，代入，得 ，可得
，
∴q是偶数．这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾．
这个矛盾说明， 不能写成分数的形式，即 不是有理数．
所以应该依次填入： ，，， 是偶数；
故填： ②①④③．
【分析】 根据题意利用反证法假设 是有理数，进而利用假设得出矛盾，从而得出假设不成立原命题正确．
13．【答案】∠C=90°；勾股定理；AC2+BC2=AB2；AC2+BC2≠AB2
【知识点】勾股定理；反证法
【解析】【解答】解：证明：假设∠C=90°，
由勾股定理得： AC2+BC2=AB2 ，
∴这与AC2+BC2≠AB2矛盾，
故原命题成立.
故答案为： ∠C=90° ， 勾股定理 ， AC2+BC2=AB2 ， AC2+BC2≠AB2 .
【分析】用“反证法”证明命题应先假设结论的反面成立，然后经过推理得出的结论与假设矛盾，从而证明问题的一种方法，则先假设∠C=90°，利用勾股定理，即可得证.
14．【答案】①②④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；反证法；角平分线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：，，，
，
，，故①正确；
，，，
，故②正确；
∴，
连接，如图所示；
在和中，
，，
，
，
∴平分，故④正确；
在和中，
，，
∴
∴
∵
∴
在和中，
∴
∴
假如，
那么，
，
，
，与三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角矛盾；
故
故③不正确；
故答案为：①②④.
【分析】首先通过ASA证明△ABF≌△ACF，由全等三角形的对应边相等得BE=CF，AB=AC，据此可判断①；接着通过ASA证明△ACN≌△ABM，由全等三角形的对应边相等得AN=AM，据此可判断②；进而通过HL证明Rt△AED≌Rt△AFD，由全等三角形的性质得∠EDA=∠FDA，据此可判断④；通过HL判读出Rt△AEM≌Rt△AFN，由全等三角形的对应角相等得∠1=∠2，进而推出∠MAD= ∠NAD，再由SAS判读出△AMD≌△AND，由全等三角形的对应边相等得DM=DN，从而利用反证法判断出CD≠DN，据此可判断③.
15．【答案】解：用反证法证明
先证x=0时y= 0，或y=0时x=0，如若不然，假设x=0，y＞0，则
与已知矛盾
当x =0，y＞0时，又有
与已知矛盾
故x=0，y=0，同理y=0时，x=0
再证x=0，y=0时，x+y=0，为此先证xy＜0
如若不然，则x＞0，y＞0或x＜0，y＜0
当时，与已知矛盾
当时，
但则
与已知矛盾，从而
以下两种情形讨论
(ⅰ)若，由于原式关于x，y对称，不妨设，则
有与已知矛盾
同理，当时，也与已知矛盾
(ii)若，不妨设
则有
与已知矛盾
由(i) (ii)可知，和均不成立
因此，x+y=0，综上可知x+y=0
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算；反证法
【解析】【分析】利用反证法假设或两种情况，然后根据加法法则得到x，-y的大小关系，然后根据完全平方计算得到与题意相矛盾解答即可.
1 / 1浙教版数学八年级下册 4.6 反证法 三阶训练
一、选择题
1．（2022八上·长春期末）用反证法证明命题：“已知△ABC，AB＝AC；求证：∠B90°．”第一步应先假设（　　）
A．∠B≥90° B．∠B＞90° C．∠B＜90° D．AB≠AC
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：命题：“已知△ABC，AB＝AC；求证：∠B90°．”的结论为∠B90°且反证法第一步应先假设结论不成立
第一步应先假设∠B≥90°
故答案为：A．
【分析】利用反证法的书写要求求解即可。
2．（2024七下·东阳月考）在同一平面内有a，b，c三条直线，若a∥b，且a与c相交，那么b与c的位置关系是（　　）
A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．不能啘定
【答案】B
【知识点】平行公理及推论；反证法
【解析】【解答】解：假设b∥c，
∵a∥b，b∥c，
∴a∥c，
而已知a与c相交，
∴假设b∥c不成立，
∴b与c相交.
故答案为：B.
【分析】根据a∥b，且a与c相交，那么b与c相交，假如c与b不相交，则c与b平行，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得a∥c，这样一来与题目中a与c相交矛盾，从而说明假设不成立，假设的反面成立，据此可得答案.
3．用反证法证明“若a+3>b+3，则a>b”时，应先假设（　　）
A．a≤b B．a【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：原命题“若a+3>b+3，则a>b”，
用反证法证明时应假设结论不成立，
即假设a≠b.
故答案为：D.
【分析】根据反证法的第一步是假设结论不成，立，那就先假设a>b.即可.
4．“已知， 在 中， ， 求证 ： ．”下面写出了证明这个命题的过程中的四个推理步骤： ①所以 ， 这与三角形内角和定理相矛盾．②所以 ．③假设 ． ④那么， 由 ， 得 ， 即 ． 这四个步骤正确的顺序应该是（　　）
A．①②③④ B．③④②① C．③④①② D．④③①②
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；反证法
【解析】【解答】解：证明过程： 假设∠B≥90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C≥90°(等边对等角），
∴∠B+∠C≥180°，
∴∠A+∠B+∠C＞180°（与三角形内角和180°矛盾），
∴∠B＜90°.
故答案为：C.
【分析】采用反证法证明，先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确.本题要证明∠B＜90°，先假设∠B≥90°，进而得出与三角形内角和定理矛盾.
5．用反证法证明命题“如图，如果 AB∥CD，AB ∥EF，那么CD∥EF”时，第一步是（　　）
A．假设 AB不平行于CD B．假设 AB不平行于 EF
C．假设 CD∥EF D．假设 CD不平行于 EF
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：反证法的步骤：
①首先假设原命题不成立，②推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，③得出原假设不成立，即原命题成立.
∵用反证法证明命题“如图，如果 AB∥CD，AB ∥EF，那么CD∥EF”，
∴证明的第一步应为：假设结论不成立，即：假设CD不平行于EF.
故答案为：D.
【分析】根据反证法的意义“反证法（又称归谬法、背理法），是一种论证方式，首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证”并结合题意可求解.
6．（2024八上·长春月考）用反证法证明：若a≥b>0、则a≥b2．应先假设（　　）
A．a【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“若a≥b>0、则a≥b2”的第一步是假设a2故答案为：C.
【分析】利用反证法的定义及书写要求求解即可.
7．（2022七下·万州期末）如图，，点D在BC边上，，EC、ED与AB交于点F、G，则下列结论不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；反证法；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：A、∵，
∴AC=CD，故A正确；
B、∵，
∴∠B=∠E，
∵，
∴，
∴∠ABC=90°，故B正确；
C、∵，
∴∠B=∠E，
∵∠B+∠BGD=90°，∠BGE=∠EGF，
∴∠E+∠EGF=90°，
∴∠EFG=90°，
∴，故C正确；
D、若EG=BG，
又∵B=∠E， ∠BGD=∠EGF，
∴△BGD≌△EGF，
∴DG=FG，
∴BF=BG+GF=EG+DG=DE=BC，这与BF故答案为：D．
【分析】（1）根据全等三角形的性质（全等三角形对应边相等）可判断A正确；
（2）根据全等三角形的性质（全等三角形对应角相等）和 可判断B正确；
（3）根据全等三角形的性质（全等三角形对应角相等）和直角三角形两锐角互余可判断C正确；
（4）可假设EG=BG，通过推理证明△BGD≌△EGF，进而证明BF=BC，所以D错误.
二、填空题
8．（2024八下·西安月考）已知：在中，，求证：．若用反证法来证明这个结论，可以假设　 　．
【答案】≠
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：在中，，求证：．若用反证法来证明这个结论，可以假设≠，
故答案为：≠.
【分析】根据反证法的步骤为假设结论不成立，反面成立，据此即可求解.
9．（2019八下·南华期中）用反证法证明“已知五个正数的和等于1，求证：这五个正数中至少有一个大于或等于 ”时，首先要假设　 　.
【答案】这五个数都小于
【知识点】反证法
【解析】【解答】假设这五个数都小于 ，
则五个正数的和一定小于1，与已知矛盾，故原命题正确，
即已知五个正数的和等于1，这五个正数中至少有一个大于或等于 .
故答案为：这五个数都小于 .
【分析】反证法（又称归谬法、背理法），是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出与定义、已有定理或已知条件明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。由反证法的意义可知：只需假设这五个数都小于 即可。
10．（2021七上·大兴期末）用一组a，b的值说明“若a，b为分数，则a与b的和一定大于a与b的差”是错误的，这组值可以是a＝　 　，b＝　 　．
【答案】；
【知识点】列式表示数量关系；反证法
【解析】【解答】解：当，时，不满足，
“若a，b为分数，则a与b的和一定大于a与b的差”是错误的．
故答案为：、．（答案不唯一）
【分析】先求出当，时，不满足，再求解即可。
11．（2025八上·成都期中）某密码锁的密码是一个三位数，小致说：“它是694.”小萌说：“它是524.”小莉说：“它是573.”最后由小颖揭秘说：“你们每人都只猜对了不同数位的一个数字.”则这个密码锁的密码是　 　.
【答案】623
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：∵三个人说出的数中，4和5都有重复且位置相同，
∴他们猜对的数字不可能是4和5，直接排除这两个数字，
∴小萌猜对的是十位上的数字2，
由此可知，小致猜对的是百位上的数字6，小莉猜对的是个位上的数字3，
∴这个密码锁的密码是623，
故答案为：623.
【分析】根据“你们每人都只猜对了不同数位的一个数字”，结合三个人说的三位数，可以直接排除数字4和5，由此可知小萌说的“524”中，2是正确的，即可判断出小致和小莉猜出的正确数字，进而得出答案.
12．（2023七下·福清期末）阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成问题.
证明：假设是有理数，
那么存在两个互质的正整数、，使得，于是，
∴ ▲
∵是偶数，可得是偶数.
∵只有偶数的平方才是偶数，∴也是偶数.
∴可设，代入，得 ▲ .可得 ▲
∴ ▲ .这样，和都是偶数，不互质，这与假设，互质矛盾.
这个矛盾说明，不能写成分数的形式，即不是有理数.
将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是　 　.（填上序号）
①； ②； ③是偶数； ④.
【答案】②①④③
【知识点】实数的概念与分类；反证法
【解析】【解答】 证明：假设 是有理数，
那么存在两个互质的正整数p、q，使得，
于是，
∴ ，
∵是偶数，可得是偶数，
∵只有偶数的平方才是偶数，∴p也是偶数．
∴可设p=2s，代入，得 ，可得
，
∴q是偶数．这样，p和q都是偶数，不互质，这与假设p，q互质矛盾．
这个矛盾说明， 不能写成分数的形式，即 不是有理数．
所以应该依次填入： ，，， 是偶数；
故填： ②①④③．
【分析】 根据题意利用反证法假设 是有理数，进而利用假设得出矛盾，从而得出假设不成立原命题正确．
13．（初中数学浙教版八下精彩练习4.6反证法）已知命题“在△ABC中，若AC2+BC2≠AB2，则∠C≠90°”，用反证法，其步骤为：假设　 　，根据　 　，一定有　 　，但这与已知　 　相矛盾，因此假设是错误的，故原命题是真命题。
【答案】∠C=90°；勾股定理；AC2+BC2=AB2；AC2+BC2≠AB2
【知识点】勾股定理；反证法
【解析】【解答】解：证明：假设∠C=90°，
由勾股定理得： AC2+BC2=AB2 ，
∴这与AC2+BC2≠AB2矛盾，
故原命题成立.
故答案为： ∠C=90° ， 勾股定理 ， AC2+BC2=AB2 ， AC2+BC2≠AB2 .
【分析】用“反证法”证明命题应先假设结论的反面成立，然后经过推理得出的结论与假设矛盾，从而证明问题的一种方法，则先假设∠C=90°，利用勾股定理，即可得证.
14．（2024八上·江油期中）如图，交于，交于，交于，，，．给出下列结论：①；②；③．④平分其中正确的结论有　 　（填序号）．
【答案】①②④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；反证法；角平分线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：，，，
，
，，故①正确；
，，，
，故②正确；
∴，
连接，如图所示；
在和中，
，，
，
，
∴平分，故④正确；
在和中，
，，
∴
∴
∵
∴
在和中，
∴
∴
假如，
那么，
，
，
，与三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角矛盾；
故
故③不正确；
故答案为：①②④.
【分析】首先通过ASA证明△ABF≌△ACF，由全等三角形的对应边相等得BE=CF，AB=AC，据此可判断①；接着通过ASA证明△ACN≌△ABM，由全等三角形的对应边相等得AN=AM，据此可判断②；进而通过HL证明Rt△AED≌Rt△AFD，由全等三角形的性质得∠EDA=∠FDA，据此可判断④；通过HL判读出Rt△AEM≌Rt△AFN，由全等三角形的对应角相等得∠1=∠2，进而推出∠MAD= ∠NAD，再由SAS判读出△AMD≌△AND，由全等三角形的对应边相等得DM=DN，从而利用反证法判断出CD≠DN，据此可判断③.
三、解答题
15．（2025·浙江竞赛）已知，
求证：。
【答案】解：用反证法证明
先证x=0时y= 0，或y=0时x=0，如若不然，假设x=0，y＞0，则
与已知矛盾
当x =0，y＞0时，又有
与已知矛盾
故x=0，y=0，同理y=0时，x=0
再证x=0，y=0时，x+y=0，为此先证xy＜0
如若不然，则x＞0，y＞0或x＜0，y＜0
当时，与已知矛盾
当时，
但则
与已知矛盾，从而
以下两种情形讨论
(ⅰ)若，由于原式关于x，y对称，不妨设，则
有与已知矛盾
同理，当时，也与已知矛盾
(ii)若，不妨设
则有
与已知矛盾
由(i) (ii)可知，和均不成立
因此，x+y=0，综上可知x+y=0
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算；反证法
【解析】【分析】利用反证法假设或两种情况，然后根据加法法则得到x，-y的大小关系，然后根据完全平方计算得到与题意相矛盾解答即可.
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