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七下数学第四周《乘法公式》
【考点1.多项式乘法】
1．某同学在计算﹣3x加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是3x3﹣3x2+3x，由此可以推断出正确的计算结果是（　　）
A．﹣x2﹣2x﹣1 B．x2+2x﹣1 C．﹣x2+4x﹣1 D．x2﹣4x+1
2．已知（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣8，若a，b都是整数，则m的值不可能是（　　）
A．7 B．﹣7 C．9 D．﹣2
3．若x2﹣5x﹣2＝0，则（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）＝　 　 ．
4．如图，长方形纸片AD＝6x，AB＝3，沿MN折叠纸片，使得D，C分别落到D′，C′处，已知AM＝2x，MD′⊥BN．连接BD′，则六边形ABD′C′NM的面积是 　 　 .（结果用含有x的代数式表示）
第4题 第5题 第6题
5．观察图形，与a2+3ab+2b2相等的是（　　）
A．（a+b）2 B．（a+2b）2 C．（a+b）（a+2b） D．（2a+b）（a+2b）
6．装裱在我国具有悠久的历史和鲜明的民族特色，是我国特有的一种保护和美化书画以及碑帖的技术．如图，整个画框的长（3m+n）分米，宽为（2m+n）分米，中间部分是长方形的画心，长和宽均是（m+n）分米，则画心外阴影部分面积是 　 　 平方米．
7．现有边长为a的正方形甲卡片，边长为b的正方形乙卡片，长和宽分别为a、b的长方形丙卡片若干张．如果用以上卡片拼成一个两边长分别为2a+b、a+3b的长方形，那么需要甲、乙、丙三类卡片的总张数为　 　 ．
8．哪个建筑的占地面积（图中阴影）？
A同学认为图1中面积更大； B同学认为图2中面积更大．
数据采集：
为了证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示．
图1 图2
数据应用：
（1）请分别计算这两个建筑物的占地面积；
（2）若0＜a＜b，则　 　 组同学的想法正确．（填A或B）
9．先阅读材料，再解答问题：
例：已知x＝123456789×123456786，y＝123456788×123456787，试比较x、y的大小．
解：设123456788＝a，则x＝（a+1）（a﹣2）＝a2﹣a﹣2，y＝a（a﹣1）＝a2﹣a，
∵x﹣y＝（a2﹣a﹣2）﹣（a2﹣a）＝﹣2，∴x＜y．
问题：已知x＝20182018×20182022﹣20182019×20182021，
y＝20182019×20182023﹣20182020×20182022，试比较x、y的大小．
10．我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如MF＝2x2﹣x+6与N＝﹣2x2+x﹣1互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5．
（1）下列各组多项式互为“对消多项式”的是 　 　 （填序号）：
①3x2+2x与3x2+2； ②x﹣6与﹣x+2； ③﹣5x2y3+2xy与5x2y3﹣2xy﹣1．
（2）多项式A＝（x﹣a）2与多项式B＝﹣bx2﹣2x+b（a，b为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”；
（3）关于x的多项式C＝mx2+6x+4与D＝﹣m（x+1）（x+n）互为“对消多项式”，“对消值”为t．若a﹣b＝m，b﹣c＝mn，求代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac+2t的最小值．
11．若的积中不含x与x2项．
（1）求p，q的值； （2）求代数式（﹣p3q2）2+p2024q2023的值．
【考点2.完全平方公式】
12．已知3，则的值为（　　）
A．9 B．7 C．11 D．6
13．已知x2＝2y+6，y2＝2x+6，且x≠y，则xy的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
14．已知a﹣b＝3，则a2﹣b2﹣6b的值为（　　）
A．9 B．6 C．3 D．﹣3
15．若M＝（x+2）（x+4），N＝（x+3）2，则M，N的大小关系为（　　）
A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定
16．简便计算：422﹣42×24+122＝　 　 ．
17．如图所示，将两个正方形并列放置，其中B，C，E三点在一条直线上，C，G，D三点在一条直线上，已知S三角形BCF＝10，BE＝10，则阴影部分的面积和是　 　 ．
18．如图，4个完全相同的长方形围成一个正方形，图中阴影部分的面积可用两种方法表示，进而得到一个等式，
【基础应用】
（1）方法1：　 　 ，方法2：　 　 ；
（2）这个等式为 　 　 ．
【解决问题】
（3）已知x+4y＝10，xy＝4，求x﹣4y的值．
19．如图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．
（1）观察图②，（m+n）2，（m﹣n）2，4mn之间的等量关系为 　 　 ．
（2）若a+b＝7，ab＝5，则（a﹣b）2＝ 　 　 ．
（3）已知，求的值．
20．（1）从“数”的角度证明：当a＞0，b＞0时，（a+b）2＞a2+b2；
（2）从“形”的角度说明：当a＞0，b＞0时，（a+b）2＞a2+b2．
【考点3．平方差公式】
21．当n为正整数时，代数式（2n+1）2﹣（2n﹣1）2一定是下面哪个数的倍数（　　）
A．3 B．5 C．7 D．8
22．若（a+b）（p+q）能运用平方差公式计算，则p，q满足的条件可能是（　　）
①p＝a，q＝b；②p＝a，q＝﹣b；③p＝﹣a，q＝b；④p＝﹣a，q＝﹣b．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
23．计算：　 　 ．
24．已知下列等式：
（2+3）2﹣22＝7×3；
（4+3）2﹣42＝11×3；
（6+3）2﹣62＝15×3；
…
小明发现规律：比任意一个偶数大3的数，与该偶数的平方差能被3整除．
（1）填空：（8+3）2﹣82＝　 　 ×3；
（2）直接写出计算的结果：2532﹣2502＝　 　 ；
（3）设偶数为2n（n为整数），试说明比2n大3的数与2n的平方差能被3整除．
25．已知：整式A＝2t+3，B＝2t﹣3，t为任意有理数．
（1）A B+13的值可能为负数吗？请说明理由；
（2）请通过计算说明：当t是整数时，A2﹣B2的值一定能被24整除．
26．从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）.
（1）上述操作能验证的等式是 　 　 ；（请选择正确的一个）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．a2+ab＝a（a+b）
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下题：
已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．
A．（a+b）2 B．（a+2b）2
C．（a+b）（a+2b） D．（2a+b）（a+2b）
【解答】解：∵a2+表示边长为a的正方形面积，
3ab表示3个长为b，宽为a的长方形面积，
2b2表示2个边长为b的正方形的面积，
∴a2+3ab+2b2表示如图的面积，
又∵该图形，长表示为（a+2b），宽表示为（a+b），
∴面积为（a+b）（a+2b），
∴a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b），
故选：C．
5．若x2﹣5x﹣2＝0，则（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）＝　48　 ．
【解答】解：∵x2﹣5x﹣2＝0，
∴x2﹣5x＝2，
∴（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）
＝[（x﹣1）（x﹣4）][（x﹣2）（x﹣3）]
＝（x2﹣5x+4）（x2﹣5x+6）
＝（2+4）×（2+6）
＝6×8
＝48，
故答案为：48．
6．装裱在我国具有悠久的历史和鲜明的民族特色，是我国特有的一种保护和美化书画以及碑帖的技术．如图，整个画框的长（3m+n）分米，宽为（2m+n）分米，中间部分是长方形的画心，长和宽均是（m+n）分米，则画心外阴影部分面积是 　0.26　 平方米．
【解答】解：由题可知整个长方形的面积为：
（3m+n）（2m+n）＝（6m2+5mn+n2）（平方分米），
中间正方形的面积为：
（m+n）2＝（m2+2mn+n2）（平方分米），
∴阴影部分面积为：
6m2+5mn+n2﹣（m2+2mn+n2）
＝6m2+5mn+n2﹣m2+2mn+n2
＝（5m2+3mn）（平方分米）；
将m＝2，n＝1代入得：
5×22+3×2×1
＝5×4+6
＝20+6
＝26（平方分米），
26平方分米＝0.26平方米，
故答案为：0.26．
7．现有边长为a的正方形甲卡片，边长为b的正方形乙卡片，长和宽分别为a、b的长方形丙卡片若干张．如果用以上卡片拼成一个两边长分别为2a+b、a+3b的长方形，那么需要甲、乙、丙三类卡片的总张数为　12　 ．
【解答】解：（2a+b）（a+3b）
＝2a2+6ab+ab+3b2
＝2a2+7ab+3b2，
则2+7+3＝12，
即需要甲、乙、丙三类卡片的总张数为12，
故答案为：12．
8．实践教学：
某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，同学们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论．
①组的同学认为图1中回字形福建土楼的占地面积更大；
②组的同学认为图2中山西大院的占地面积更大．
数据采集：
为了证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示．
数据应用：
（1）请分别计算这两个建筑物的占地面积；
（2）若0＜a＜b，则　①　 组同学的想法正确．（填“①”或“②”）
【解答】解：（1）回字形福建土楼占地面积为：
（3a+2b）（2a+b）﹣（2b+a）（b+a）＝5a2+4ab；
山西大院占地面积为：
（a+a+b）（2a+b+a+a）﹣（2a+b）（a+b）
＝（2a+b）（4a+b）﹣（2a+b）（a+b）
＝（2a+b） 3a
＝6a2+3ab；
（2）这两个建筑物的占地面积之差
5a2+4ab﹣6a2﹣3ab
＝﹣a2+ab
＝a（b﹣a），
∵0＜a＜b，
＝m2﹣4m+32
＝（m﹣2）2+28≥28，
∴代数式 a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac+2 的最小值是28．
11．若的积中不含x与x2项．
（1）求p，q的值；
（2）求代数式（﹣p3q2）2+p2024q2023的值．
【解答】解：（1）
，
∵的积中不含x与x2项，
∴，
∴；
（2）（﹣p3q2）2+p2024q2023
＝p6q4+p2023 p q2023
＝p6q4+（pq）2023 p，
当p＝﹣3，时，
原式＝（﹣3）6
＝32+（﹣1）×（﹣3）
＝9+3
＝12．
四．完全平方公式（共5小题）
12．已知3，则的值为（　　）
A．9 B．7 C．11 D．6
【解答】解：∵3，
∴（）22＝9，
∴11．
故选：C．
13．已知x2＝2y+6，y2＝2x+6，且x≠y，则xy的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
【解答】解：由条件可知x2﹣y2＝2y+6﹣（2x+6）＝2y﹣2x，
即（x﹣y）（x+y）＝2（y﹣x）＝﹣2（x﹣y），
∵x≠y，
∴x﹣y≠0，
两边除以x﹣y得：x+y＝﹣2，
又∵x2+y2＝2x+2y+12＝2（x+y）+12，
而x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，
∴（x+y）2﹣2xy＝2（x+y）+12，
∴4﹣2xy＝2×（﹣2）+12，
∴﹣2xy＝4，
∴xy＝﹣2．
故选：A．
14．已知a﹣b＝3，则a2﹣b2﹣6b的值为（　　）
A．9 B．6 C．3 D．﹣3
【解答】解：∵a﹣b＝3，
∴a＝b+3，
∴a2﹣b2﹣6b＝（b+3）2﹣b2﹣6b＝b2+6b+9﹣b2﹣6b＝9．
也可采用：a2﹣b2﹣6b＝（a+b）（a﹣b）﹣6b＝3a+3b﹣6b＝3（a﹣b）＝9．
故选：A．
15．若M＝（x+2）（x+4），N＝（x+3）2，则M，N的大小关系为（　　）
A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定
【解答】解：∵M＝（x+2）（x+4），N＝（x+3）2，
∴M﹣N
＝（x+2）（x+4）﹣（x+3）2
＝x2+6x+8﹣x2﹣6x﹣9
＝﹣1＜0，
∴M＜N，
故选：B．
16．简便计算：422﹣42×24+122＝　900　 ．
【解答】解：原式＝（42﹣12）2
＝302
＝900，
故答案为：900．
五．完全平方公式的几何背景（共3小题）
17．如图，4个完全相同的长方形围成一个正方形，图中阴影部分的面积可用两种方法表示，进而得到一个等式，
【基础应用】
（1）方法1：　（a+b）2﹣（a﹣b）2 ，方法2：　4ab ；
（2）这个等式为 　（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab ．
【解决问题】
（3）已知x+4y＝10，xy＝4，求x﹣4y的值．
【解答】（1）观察图形可知，
阴影部分的面积是边长为（a+b）的正方形面积减去边长为（a﹣b）的正方形面积，
也是4个长是a宽是b的长方形的面积，
∴方法1：（a+b）2﹣（a﹣b）2，方法2：4ab，
故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2；4ab；
（2）由（1）得，这个等式为（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
（3）根据（2）的结论可得：
（x+4y）2﹣（x﹣4y）2＝4 x 4y
∴102﹣（x﹣4y）2＝16×4
∴（x﹣4y）2＝36
∴x﹣4y＝±6．
18．如图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．
（1）观察图②，（m+n）2，（m﹣n）2，4mn之间的等量关系为 　（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mn ．
（2）若a+b＝7，ab＝5，则（a﹣b）2＝ 　29　 ．
（3）已知，求的值．
【解答】解：（1）图②整体上是边长为m+n的正方形，因此面积为（m+n）2，图②中间的小正方形的边长为m﹣n，因此面积为（m﹣n）2，
四个长方形的面积的面积和为4mn，
所以有（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mn，
故答案为：（m+n）2﹣（m﹣n）2＝4mn；
（2）∵a+b＝7，ab＝5，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab
＝49﹣20
＝29，
故答案为：29；
（3）由（1）知，
（3x）2＝（3x）2+4×3x
＝32+6
＝15．
19．（1）从“数”的角度证明：当a＞0，b＞0时，（a+b）2＞a2+b2；
（2）从“形”的角度说明：当a＞0，b＞0时，（a+b）2＞a2+b2．
【解答】（1）证明：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴（a+b）2﹣a2﹣b2＝2ab，
∵a＞0，b＞0，
∴2ab＞0，
∴（a+b）2﹣a2﹣b2＞0，
即当a＞0，b＞0时，（a+b）2＞a2+b2；
（2）当a＞0，b＞0时，如图所示：
根据图形，大正方形的边长为（a+b），因此面积为（a+b）2，组成大正方形的四个部分中，正方形①、正方形②的面积和为a2+b2，而长方形③、长方形④的面积和为2ab，由拼图可得，当a＞0，b＞0时，（a+b）2＞a2+b2．
六．整式的混合运算（共1小题）
20．如图所示，将两个正方形并列放置，其中B，C，E三点在一条直线上，C，G，D三点在一条直线上，已知S三角形BCF＝10，BE＝10，则阴影部分的面积和是　30　 ．
【解答】解：设大正方形的边长为x，小正方形的边长为y，
则x+y＝BE＝10，xy＝2S△BCF＝20．
由题意，S阴影＝S大正方形+S小正方形+S△GDF﹣S△ABD﹣S△BCF
＝x2+y2（x﹣y）y
＝x2+y2xyy2x2xy
x2y2
（x+y）2﹣xy
102﹣20
＝50﹣20
＝30．
故答案为：30．
七．平方差公式（共5小题）
21．当n为正整数时，代数式（2n+1）2﹣（2n﹣1）2一定是下面哪个数的倍数（　　）
A．3 B．5 C．7 D．8
【解答】解：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2
＝[（2n+1）﹣（2n﹣1）][（2n+1）+（2n﹣1）]
＝8n，
故当n是正整数时，（2n+1）2﹣（2n﹣1）2是8的倍数．
故选：D．
22．若（a+b）（p+q）能运用平方差公式计算，则p，q满足的条件可能是（　　）
①p＝a，q＝b；②p＝a，q＝﹣b；③p＝﹣a，q＝b；④p＝﹣a，q＝﹣b．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【解答】解：∵（a+b）（p+q）能运用平方差公式计算，
∴p＝a，q＝﹣b或p＝﹣a，q＝b，
故选：C．
23．计算：　　 ．
【解答】解：
．
故答案为：．
【解答】解：（1）由题意得长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：B．
（2）根据（1），令a＝x，b＝2y，
则x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），
当x2﹣4y2＝12，x+2y＝4时，
12＝4（x﹣2y），
∴x﹣2y＝3．
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