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浙教版数学八年级下册期中仿真模拟卷（范围：1-3章）
一、选择题
1．（2026八上·惠州期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列等式中，成立的是（　　）。
A． B． C． D．
3．（2026八上·桂林期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t(s)和高度h(m)近似满足公式 不考虑阻力的影响).物体从60m的高空落到地面的时间是(　　)
A． B． C． D．12s
4．（2026九上·常宁期末）用配方法解方程 时，原方程变形为(　　)
A． B． C． D．
5．为了促进电车便捷性，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了200个充电桩，第三个月新建了600个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率，根据题意，可列方程（　　）
A． B．
C． D．
6．（2026九上·温岭期末）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九上·长沙月考）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2026九上·长沙期末）为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、浇水、剪枝、捉鱼、采摘六项实践活动，已知六个项目参与人数(单位：人)分别是：42，38，35，43，40，42.则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．42， 39 B．42， 40 C．42， 41 D．42， 42
9．（2026八上·贵阳期末）为了解哪个城市夏天更热，小星调查了贵阳市9月份的气温，并将每天的平均气温情况进行统计分析，将数据绘制成箱线图，则下列说法不正确的是（　　）
A．这组数据的下四分位数是
B．这组数据的中位数是
C．这组数据的上四分位数是
D．这组数据的最小值是，最大值是
10．（2025九上·广州月考）定义：已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“友好方程”．如：一元二次方程的两根为，且，所以一元二次方程为“友好方程”．关于的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有个整数满足要求．对于这两个结论判断正确的是（　　）
A．①②都正确 B．①②都错误
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
二、填空题
11．（2026八上·宁波期末） 二次根式 中，字母x的取值范围是　 　 .
12．（2026八上·成华期末）已知，那么 的值为 .
13．（2025八下·浙江期中）若是方程的一个根，则代数式的值为　 　．
14．（2026九上·江油期末）元旦节时，某学习小组每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡132张，则该学习小组有　 　人．
15．（2025八下·温州月考）如表为某班某次心理测试成绩的统计表，已知全班共有38人且众数为50分，中位数为60分，则x2-y2的值等于　 　
成绩（分) 20 30 40 50 60 70 90 100
次数（人) 2 3 5 x 6 y 3 4
16．（2024七下·宁波期末）通过以下方法可将转化为方程，我们规定：方程称为的还原方程．
去分母，
移项，
两边平方，
整理，
（1）的还原方程是　 　．
（2）若，则代数式　 　．
三、解答题
17．（2026八上·贵阳期末）（1）计算：
（2）解方程组：
18．规定新运算符号“☆”： a☆如：（-2)☆
（1）求☆ 的值。
（2）若 求x的值。
19．已知m是 的小数部分。
（1）求 的值。
（2）求 的值。
20． 已知关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的2倍，求的值．
21．（2026九上·宝安期末）第十五届全运会吉祥物“喜洋洋”“乐融融”以中华白海豚为原型，吉祥物玩偶一经发售，深受大家喜爱。玩偶进价为每个45元，当售价为65元时，平均每周可售出200个。经调查发现，该玩偶单个售价每降低1元，每周可多售出20个。
（1）若每个玩偶售价降低2元，则销售一个该玩偶获得的利润为　 　元；若每个玩偶售价降低x元，则每周的销售量为　 　个(用含x的代数式表示)；
（2）商店希望通过销售该玩偶实现平均每周4500元的盈利，则每个玩偶售价应降价多少元？
22．艺术测评主要是为了掌握学生艺术素养发展状况，改进美育教学。某校根据义务教育阶段音乐、美术等学科的课程标准，在九年级随机抽取了若干位同学进行艺术测评与分析，下面是对九（1）班抽测到的10位同学的测评分值的数据分析过程：
【收集与整理】
10位同学的测评分值分组统计如下：
分组方式 组别 测评分值
方式一 （按平均分相同分组) Ⅰ组 80，85，85，90，100
Ⅱ组 80，85，90，90，95
方式二 （按分数段分组) 甲组 80，80，85，85，85
乙组 90，90，90，95，100
【描述与分析】
分组数据经统计分析，列表如下：
分组 方式 组别 中位数 众数 方差 组内离差 平方和
方式一 Ⅰ组 m 85 46 360
Ⅱ组 90 90 26
方式二 甲组 85 85 6 110
乙组 90 n 16
说明：组内离差平方和表达了各小组内数据的离散程度，它的值越小，说明这种分组方式中同组成员之间的水平越接近。
根据以上信息，解答下列问题：
（1）扇形统计图中“100分”对应的圆心角度数为　 　
（2） m=　 　，n=　 　.
（3）【判断与决策】
为深入推进小组学习，促进同学间的互帮互助、共同进步，请你根据以上信息，在方式一和方式二中选择一种利于开展小组学习的分组方式，并说明你这样选择的理由。
23．（2026八上·六枝特期末）阅读理解：
我们将与称为一对“对偶式”，应用“对偶式”的特征可以解某些含有根号的方程．例如：在解这个方程时，可采用如下方法：
解：，
．
又……①，
，
即……②．
由得：，
即，
在这个方程的两边同时平方得：，
解得：．
将代入原方程检验，可得是原方程的解．
请根据上述材料回答下面的问题：
（1）若，则的“对偶式”为_____，__________；
（2）解方程：．
24．阅读材料：
黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌.这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比.在二次根式中也有这样相辅相成的“对子”.如： 它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式.于是，二次根式除法可以这样解：如 像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫作分母有理化.
解决问题：
（1）的有理化因式是　 　；将 分母有理化得　 　.
（2）计算：
（3）已知 求 的值.
（4）已知 求a，b，c三者的，大小关系.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不属于最简二次根式，故A不符合题意；
B、属于最简二次根式，故B符合题意；
C、，不属于最简二次根式，故C不符合题意；
D、，不属于最简二次根式，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】
根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；逐一判断即可解答．
2．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解： 不能化简，A不成立；
B不成立；
C不正确；
D正确；
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的加法、乘法、除法和利用性质化简逐项判断解答即可.
3．【答案】A
【知识点】二次根式的实际应用；求二次根式的值
【解析】【解答】解：已知下落时间t和高度h的关系式为，
当时，将其代入公式可得：。
故答案为：A
【分析】本题考查二次根式的实际应用，题目已给出时间与高度的具体关系式，只需将已知的高度代入该关系式，对得到的二次根式进行化简计算，就能求出物品的下落时间。
4．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
∴，
故选：B.
【分析】根据移项、添加一次项系数一半的平方、写成完全平方的形式解答即可.
5．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：解：由题意，列出方程为
故选： D.
【分析】利用该市第三个月新建智能充电桩个数=该市第一个月新建智能充电桩个数 该市新建智能充电桩个数的月平均增长率)2即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 方程 中，，，
∴．
故答案为：A．
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，一元二次方程根与系数的关系为：x1+x2=，据此解题即可.
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，解得：；
故选D．
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将这组数据由小到大排列为：35，38，40，42， 42， 43.
(40+42)÷2=41.
众数为42，中位数为41.
故选： C.
【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据为众数，将一组数据按照从小到大 (或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数即可得出答案.
9．【答案】B
【知识点】中位数；四分位数
【解析】【解答】解：A．这组数据的下四分位数是，故Ａ正确，不选.
B．这组数据的中位数是，故Ｂ错误，选Ｂ.
C．这组数据的上四分位数是，故Ｃ正确，不选.
D．这组数据的最小值是，最大值是，故Ｄ正确，不选.
故答案为：B．
【分析】根据箱线图中各数据表示的意义得这组数据的下四分位数是，中位数是，上四分位数是，最小值是，最大值是，即可得出答案．
10．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①当时，方程为，
解得，
∴，
∵符合，且，
∴该方程是“友好方程”，故①正确；
②，
∴，
解得或，
∵该方程是“友好方程”，
∴方程有两个不相等的实数根，
，
∴，
当时，，且，
，且，
∵为整数，
此时的值不存在；
当时，，且，
，且，
∴，
是整数，
∴或，故②正确；
综上，①②都正确，
故选：．
【分析】①将代入方程，再解方程，再根据“友好方程”定义进行判断即可求出答案；②根据因式分解法解方程，根据“友好方程”定义可得方程有两个不相等的实数根，则判别式，则，再根据题意分类同类即可求出答案.
11．【答案】x≥2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：2x-4≥0，得x≥2.
故答案：x≥2.
【分析】直接由二次根式的被开方数非负可得x的范围.
12．【答案】1
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴x+2=0，y﹣1=0，
∴x=﹣2，y=1，
∴（x+y）2026=（﹣2+1）2026=1．
故答案为：1．
【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性求出x和y的值，然后代入代数式解答．
13．【答案】2033
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解；∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
由一元二次方程的解的概念得，再化原式为，最后再整体代入计算即可．
14．【答案】12
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设这个小组有x个人，
由题意得：
解得（舍去），
∴这个小组有12人
故答案为：12．
【分析】设这个小组有x个人，根据“共送贺卡132张”列一元二次方程求解即可．
15．【答案】15
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：众数是50
且
中位数是60
即
故答案为：15.
【分析】由于众数是50，所以x的值是人数中最大的一个；又因为中位数是60且全班共38人，所以中位数是第19名和第20名同学的平均成绩，则中位数肯定落在60分这一组内，因此低于60分的人数最多不能超过18人，此时可确定出x的值在6和8之间且包含8；最后再利用统计表可求出x与y的和是15，由于y小于x，则x只能等于8，y等于7，则结果可求.
16．【答案】；5
【知识点】完全平方公式及运用；算术平方根的性质（双重非负性）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（1），
去分母，，
移项，，
两边平方，，
整理，；
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴
；
故答案为：5．
【分析】（1）依照例题计算求解；
（2）由，可得，，再整体代入求解．
17．【答案】解：（1）
（2），
由①②，可得，解得，
把代入①，可得：，解得，
原方程组的解是．
【知识点】二次根式的加减法；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先把化简得，然后再相加即可.
（2）由①②，可得，解得，把代入①解出即可得原方程组的解是．
18．【答案】（1）解：原式
（2）解：
解得x=365
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据新定义的运算法则计算即可；
（2）根据新定义的运算法则展开，解方程求出x的值即可.
19．【答案】（1）解：∵m是 的小数部分，.
原式
（2）解：原式
【知识点】无理数的估值；二次根式的性质与化简；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）先估算得到，然后代入计算即可；
（2）先化简二次根式，然后代入计算即可.
20．【答案】（1）解：∵方程，，
∴，
∴，
解得．
（2）解：∵的两个实数根分别是，，且，
∴，
∵，
∴，
∵为符合条件的最小整数，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴或，
∴或（舍去），
故．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】(1)根据一元二次方程的根的判别式，建立关于n的不等式，求出n的取值范围；
(2)由题意可得n=1，设该方程的根是a，2a，根据根与系数的关系列方程求解即可.
21．【答案】（1）18；(200+20x)
（2）解：(65-45-x)(200+20x)=4500
解得：
∴每个玩偶售价应降价5元。
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：65-45-2=18元，
∵ 玩偶单个售价每降低1元，每周可多售出20个 ，
∴ 每个玩偶售价降低x元，则每周的销售量为（200+20x）个，
故答案为：（1）18，(200+20x)；
【分析】（1）根据条件“ 玩偶进价为每个45元，售价为65元 ”，因此当每个玩偶售价降低2元，列式计算即可得出销售一个该玩偶获得的利润；而“玩偶单个售价每降低1元，每周可多售出20个”，因此每个玩偶售价降低x元，则每周的销售量多售出20x个，即每周的销售量为（200+20x）个；
（2）结合（1）的计算结果，若每个玩偶售价降低x元时，一个该玩偶获得的利润为(65-45-x)元，且每周的销售量为（200+20x）个，列式化简求解即可。
22．【答案】（1）36°
（2）85；90
（3）解：方式二利于开展小组学习。理由如下：
由表知，方式二的组内离差平方和小于方式一，同学之间水平接近，更利于开展小组学习，能够促进同学间的互帮互助、共同进步(答案不唯一，合理即可)。
【知识点】统计表；中位数；众数；按组内离差平方和最小的原则进行数据分类
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：36° ；
（2）把第一组的数据排列后居于中间的一个数为85，故m=85；
第二组数据中90出现两次，次数最多，故m=90；
故答案为：85；90；
【分析】（1）根据100分的占比乘以360°解答即可；
（2）根据中位数和众数的定义解答即可；
（3）比较两种方式的组内离差平方和解答即可.
23．【答案】（1），；
（2）解：，
∴．
∵①，
∴②，
得：，即，
两边同时平方得：，解得；
检验：将代入原方程检验，可得是原方程的解．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除混合运算；加减消元法解二元一次方程组；利用开平方求未知数
【解析】【解答】（1）解：，
其“对偶式”；
；
故答案为：（1），．
【分析】（1）根据题目中对偶式的定义，结合条件可以直接写出，再根据材料中的计算步骤，利用平方差公式计算即可得出的值；
（2）先构造已知方程左边的对偶式，此时可以利用平方差公式求出两个式子的乘积为5；然后结合原方程的值为5得到对偶式的式子的值为1，再通过加减消元计算求解，最后检验即可。
（1）解：根据“对偶式”的定义，，
其“对偶式”；
；
故答案为：，．
（2）解：，
∴．
又∵①，
∴②，
得：，即，
两边同时平方得：，解得；
检验：将代入原方程检验，可得是原方程的解．
24．【答案】（1）；
（2）①原式
②原式：
（3）解：
原式
（4）由分子有理化得
∴a>b>c.
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：∵，
故答案为：，
【分析】(1)找出各式的分母有理化因式即可；
(2)原式各项分母有理化，合并即可得到结果.
(3)将x与y分母有理化后代入原式计算即可得到结果.
(4)进行分子有理化求解即可.
1 / 1浙教版数学八年级下册期中仿真模拟卷（范围：1-3章）
一、选择题
1．（2026八上·惠州期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不属于最简二次根式，故A不符合题意；
B、属于最简二次根式，故B符合题意；
C、，不属于最简二次根式，故C不符合题意；
D、，不属于最简二次根式，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】
根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；逐一判断即可解答．
2．下列等式中，成立的是（　　）。
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解： 不能化简，A不成立；
B不成立；
C不正确；
D正确；
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的加法、乘法、除法和利用性质化简逐项判断解答即可.
3．（2026八上·桂林期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t(s)和高度h(m)近似满足公式 不考虑阻力的影响).物体从60m的高空落到地面的时间是(　　)
A． B． C． D．12s
【答案】A
【知识点】二次根式的实际应用；求二次根式的值
【解析】【解答】解：已知下落时间t和高度h的关系式为，
当时，将其代入公式可得：。
故答案为：A
【分析】本题考查二次根式的实际应用，题目已给出时间与高度的具体关系式，只需将已知的高度代入该关系式，对得到的二次根式进行化简计算，就能求出物品的下落时间。
4．（2026九上·常宁期末）用配方法解方程 时，原方程变形为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
，
∴，
故选：B.
【分析】根据移项、添加一次项系数一半的平方、写成完全平方的形式解答即可.
5．为了促进电车便捷性，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了200个充电桩，第三个月新建了600个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率，根据题意，可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：解：由题意，列出方程为
故选： D.
【分析】利用该市第三个月新建智能充电桩个数=该市第一个月新建智能充电桩个数 该市新建智能充电桩个数的月平均增长率)2即可列出关于x的一元二次方程，此题得解.
6．（2026九上·温岭期末）已知，是关于的一元二次方程的两个根，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 方程 中，，，
∴．
故答案为：A．
【分析】设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，一元二次方程根与系数的关系为：x1+x2=，据此解题即可.
7．（2025九上·长沙月考）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，解得：；
故选D．
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
8．（2026九上·长沙期末）为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、浇水、剪枝、捉鱼、采摘六项实践活动，已知六个项目参与人数(单位：人)分别是：42，38，35，43，40，42.则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．42， 39 B．42， 40 C．42， 41 D．42， 42
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将这组数据由小到大排列为：35，38，40，42， 42， 43.
(40+42)÷2=41.
众数为42，中位数为41.
故选： C.
【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据为众数，将一组数据按照从小到大 (或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数即可得出答案.
9．（2026八上·贵阳期末）为了解哪个城市夏天更热，小星调查了贵阳市9月份的气温，并将每天的平均气温情况进行统计分析，将数据绘制成箱线图，则下列说法不正确的是（　　）
A．这组数据的下四分位数是
B．这组数据的中位数是
C．这组数据的上四分位数是
D．这组数据的最小值是，最大值是
【答案】B
【知识点】中位数；四分位数
【解析】【解答】解：A．这组数据的下四分位数是，故Ａ正确，不选.
B．这组数据的中位数是，故Ｂ错误，选Ｂ.
C．这组数据的上四分位数是，故Ｃ正确，不选.
D．这组数据的最小值是，最大值是，故Ｄ正确，不选.
故答案为：B．
【分析】根据箱线图中各数据表示的意义得这组数据的下四分位数是，中位数是，上四分位数是，最小值是，最大值是，即可得出答案．
10．（2025九上·广州月考）定义：已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“友好方程”．如：一元二次方程的两根为，且，所以一元二次方程为“友好方程”．关于的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有个整数满足要求．对于这两个结论判断正确的是（　　）
A．①②都正确 B．①②都错误
C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：①当时，方程为，
解得，
∴，
∵符合，且，
∴该方程是“友好方程”，故①正确；
②，
∴，
解得或，
∵该方程是“友好方程”，
∴方程有两个不相等的实数根，
，
∴，
当时，，且，
，且，
∵为整数，
此时的值不存在；
当时，，且，
，且，
∴，
是整数，
∴或，故②正确；
综上，①②都正确，
故选：．
【分析】①将代入方程，再解方程，再根据“友好方程”定义进行判断即可求出答案；②根据因式分解法解方程，根据“友好方程”定义可得方程有两个不相等的实数根，则判别式，则，再根据题意分类同类即可求出答案.
二、填空题
11．（2026八上·宁波期末） 二次根式 中，字母x的取值范围是　 　 .
【答案】x≥2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：2x-4≥0，得x≥2.
故答案：x≥2.
【分析】直接由二次根式的被开方数非负可得x的范围.
12．（2026八上·成华期末）已知，那么 的值为 .
【答案】1
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴x+2=0，y﹣1=0，
∴x=﹣2，y=1，
∴（x+y）2026=（﹣2+1）2026=1．
故答案为：1．
【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性求出x和y的值，然后代入代数式解答．
13．（2025八下·浙江期中）若是方程的一个根，则代数式的值为　 　．
【答案】2033
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解；∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
由一元二次方程的解的概念得，再化原式为，最后再整体代入计算即可．
14．（2026九上·江油期末）元旦节时，某学习小组每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡132张，则该学习小组有　 　人．
【答案】12
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设这个小组有x个人，
由题意得：
解得（舍去），
∴这个小组有12人
故答案为：12．
【分析】设这个小组有x个人，根据“共送贺卡132张”列一元二次方程求解即可．
15．（2025八下·温州月考）如表为某班某次心理测试成绩的统计表，已知全班共有38人且众数为50分，中位数为60分，则x2-y2的值等于　 　
成绩（分) 20 30 40 50 60 70 90 100
次数（人) 2 3 5 x 6 y 3 4
【答案】15
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：众数是50
且
中位数是60
即
故答案为：15.
【分析】由于众数是50，所以x的值是人数中最大的一个；又因为中位数是60且全班共38人，所以中位数是第19名和第20名同学的平均成绩，则中位数肯定落在60分这一组内，因此低于60分的人数最多不能超过18人，此时可确定出x的值在6和8之间且包含8；最后再利用统计表可求出x与y的和是15，由于y小于x，则x只能等于8，y等于7，则结果可求.
16．（2024七下·宁波期末）通过以下方法可将转化为方程，我们规定：方程称为的还原方程．
去分母，
移项，
两边平方，
整理，
（1）的还原方程是　 　．
（2）若，则代数式　 　．
【答案】；5
【知识点】完全平方公式及运用；算术平方根的性质（双重非负性）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：（1），
去分母，，
移项，，
两边平方，，
整理，；
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴
；
故答案为：5．
【分析】（1）依照例题计算求解；
（2）由，可得，，再整体代入求解．
三、解答题
17．（2026八上·贵阳期末）（1）计算：
（2）解方程组：
【答案】解：（1）
（2），
由①②，可得，解得，
把代入①，可得：，解得，
原方程组的解是．
【知识点】二次根式的加减法；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先把化简得，然后再相加即可.
（2）由①②，可得，解得，把代入①解出即可得原方程组的解是．
18．规定新运算符号“☆”： a☆如：（-2)☆
（1）求☆ 的值。
（2）若 求x的值。
【答案】（1）解：原式
（2）解：
解得x=365
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据新定义的运算法则计算即可；
（2）根据新定义的运算法则展开，解方程求出x的值即可.
19．已知m是 的小数部分。
（1）求 的值。
（2）求 的值。
【答案】（1）解：∵m是 的小数部分，.
原式
（2）解：原式
【知识点】无理数的估值；二次根式的性质与化简；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）先估算得到，然后代入计算即可；
（2）先化简二次根式，然后代入计算即可.
20． 已知关于的方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的2倍，求的值．
【答案】（1）解：∵方程，，
∴，
∴，
解得．
（2）解：∵的两个实数根分别是，，且，
∴，
∵，
∴，
∵为符合条件的最小整数，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴或，
∴或（舍去），
故．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】(1)根据一元二次方程的根的判别式，建立关于n的不等式，求出n的取值范围；
(2)由题意可得n=1，设该方程的根是a，2a，根据根与系数的关系列方程求解即可.
21．（2026九上·宝安期末）第十五届全运会吉祥物“喜洋洋”“乐融融”以中华白海豚为原型，吉祥物玩偶一经发售，深受大家喜爱。玩偶进价为每个45元，当售价为65元时，平均每周可售出200个。经调查发现，该玩偶单个售价每降低1元，每周可多售出20个。
（1）若每个玩偶售价降低2元，则销售一个该玩偶获得的利润为　 　元；若每个玩偶售价降低x元，则每周的销售量为　 　个(用含x的代数式表示)；
（2）商店希望通过销售该玩偶实现平均每周4500元的盈利，则每个玩偶售价应降价多少元？
【答案】（1）18；(200+20x)
（2）解：(65-45-x)(200+20x)=4500
解得：
∴每个玩偶售价应降价5元。
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：65-45-2=18元，
∵ 玩偶单个售价每降低1元，每周可多售出20个 ，
∴ 每个玩偶售价降低x元，则每周的销售量为（200+20x）个，
故答案为：（1）18，(200+20x)；
【分析】（1）根据条件“ 玩偶进价为每个45元，售价为65元 ”，因此当每个玩偶售价降低2元，列式计算即可得出销售一个该玩偶获得的利润；而“玩偶单个售价每降低1元，每周可多售出20个”，因此每个玩偶售价降低x元，则每周的销售量多售出20x个，即每周的销售量为（200+20x）个；
（2）结合（1）的计算结果，若每个玩偶售价降低x元时，一个该玩偶获得的利润为(65-45-x)元，且每周的销售量为（200+20x）个，列式化简求解即可。
22．艺术测评主要是为了掌握学生艺术素养发展状况，改进美育教学。某校根据义务教育阶段音乐、美术等学科的课程标准，在九年级随机抽取了若干位同学进行艺术测评与分析，下面是对九（1）班抽测到的10位同学的测评分值的数据分析过程：
【收集与整理】
10位同学的测评分值分组统计如下：
分组方式 组别 测评分值
方式一 （按平均分相同分组) Ⅰ组 80，85，85，90，100
Ⅱ组 80，85，90，90，95
方式二 （按分数段分组) 甲组 80，80，85，85，85
乙组 90，90，90，95，100
【描述与分析】
分组数据经统计分析，列表如下：
分组 方式 组别 中位数 众数 方差 组内离差 平方和
方式一 Ⅰ组 m 85 46 360
Ⅱ组 90 90 26
方式二 甲组 85 85 6 110
乙组 90 n 16
说明：组内离差平方和表达了各小组内数据的离散程度，它的值越小，说明这种分组方式中同组成员之间的水平越接近。
根据以上信息，解答下列问题：
（1）扇形统计图中“100分”对应的圆心角度数为　 　
（2） m=　 　，n=　 　.
（3）【判断与决策】
为深入推进小组学习，促进同学间的互帮互助、共同进步，请你根据以上信息，在方式一和方式二中选择一种利于开展小组学习的分组方式，并说明你这样选择的理由。
【答案】（1）36°
（2）85；90
（3）解：方式二利于开展小组学习。理由如下：
由表知，方式二的组内离差平方和小于方式一，同学之间水平接近，更利于开展小组学习，能够促进同学间的互帮互助、共同进步(答案不唯一，合理即可)。
【知识点】统计表；中位数；众数；按组内离差平方和最小的原则进行数据分类
【解析】【解答】解：（1），
故答案为：36° ；
（2）把第一组的数据排列后居于中间的一个数为85，故m=85；
第二组数据中90出现两次，次数最多，故m=90；
故答案为：85；90；
【分析】（1）根据100分的占比乘以360°解答即可；
（2）根据中位数和众数的定义解答即可；
（3）比较两种方式的组内离差平方和解答即可.
23．（2026八上·六枝特期末）阅读理解：
我们将与称为一对“对偶式”，应用“对偶式”的特征可以解某些含有根号的方程．例如：在解这个方程时，可采用如下方法：
解：，
．
又……①，
，
即……②．
由得：，
即，
在这个方程的两边同时平方得：，
解得：．
将代入原方程检验，可得是原方程的解．
请根据上述材料回答下面的问题：
（1）若，则的“对偶式”为_____，__________；
（2）解方程：．
【答案】（1），；
（2）解：，
∴．
∵①，
∴②，
得：，即，
两边同时平方得：，解得；
检验：将代入原方程检验，可得是原方程的解．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除混合运算；加减消元法解二元一次方程组；利用开平方求未知数
【解析】【解答】（1）解：，
其“对偶式”；
；
故答案为：（1），．
【分析】（1）根据题目中对偶式的定义，结合条件可以直接写出，再根据材料中的计算步骤，利用平方差公式计算即可得出的值；
（2）先构造已知方程左边的对偶式，此时可以利用平方差公式求出两个式子的乘积为5；然后结合原方程的值为5得到对偶式的式子的值为1，再通过加减消元计算求解，最后检验即可。
（1）解：根据“对偶式”的定义，，
其“对偶式”；
；
故答案为：，．
（2）解：，
∴．
又∵①，
∴②，
得：，即，
两边同时平方得：，解得；
检验：将代入原方程检验，可得是原方程的解．
24．阅读材料：
黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌.这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比.在二次根式中也有这样相辅相成的“对子”.如： 它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式.于是，二次根式除法可以这样解：如 像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫作分母有理化.
解决问题：
（1）的有理化因式是　 　；将 分母有理化得　 　.
（2）计算：
（3）已知 求 的值.
（4）已知 求a，b，c三者的，大小关系.
【答案】（1）；
（2）①原式
②原式：
（3）解：
原式
（4）由分子有理化得
∴a>b>c.
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】（1）解：∵，
故答案为：，
【分析】(1)找出各式的分母有理化因式即可；
(2)原式各项分母有理化，合并即可得到结果.
(3)将x与y分母有理化后代入原式计算即可得到结果.
(4)进行分子有理化求解即可.
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