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八下数学第四周《特殊四边形之菱形》
【知识梳理】
性质：1.边 ；2.对角线：
判定：1.平四+ ； 2.平四+ ； 3.对角线
【课前热身】
1．菱形的周长为20，两邻角之比为1：2，较短的对角线长为 　 　 ．
2．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD是它的两条对角线，下列条件中，能判断这个平行四边形是菱形的是（　　）
A．AB＝CD B．AC＝BD C．∠ACB＝∠ACD D．∠ACB＝∠CAD
3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．24 B．48 C．72 D．96
4．如图，在菱形ABCD中，E、F分别为AD、CD上的点，且DE＝DF．若∠DAF＝20°，则∠DCE的度数为（　　）
A．10° B．16° C．20° D．40°
5．如图，在菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠BCD＝50°，则∠OED的度数是（　　）
A．25° B．30° C．35° D．20°
6．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，若∠FPC＝50°，则∠A＝（　）
A．100° B．105° C．110° D．120°
7．如图，AD是△ABC中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断 ADCE是菱形的是（　）
A．∠BAC＝90° B．∠DAE＝90° C．AB＝AC D．AB＝AE
8．如图，将两张长为5，宽为1的矩形纸条交叉，若两张纸条重叠部分为一个四边形（两纸条不互相重合），则这个四边形的周长的最大值是
9．如图，菱形ABCD的周长为20，面积为24，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于 　 　 ．
10．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在y轴上，M，N分别是边OA，OC的中点，若点M，N的纵坐标分别是5，3，则点B的坐标是 　 　 ．
11．如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 　 　 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴，AD＝4，∠A＝60°．将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是 　 　 ．
13．平面直角坐标系中，菱形ABCD如图所示，OA＝3，点D在线段AB的垂直平分线上，若菱形ABCD绕点O逆时针旋转，旋转速度为每秒45°，则第2022秒时点D的对应坐标为（　　）
A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（3，﹣2） D．（﹣3，2）
第13题 第14题 第15题 第16题
14．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，沿EF翻折后，点B落在边CD上的G处，若EG⊥CD，BE＝4，DG＝3，则AE的长为 　 　 ．
15．如图，菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的高BE＝　 　 ．
16．在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究：
（1）∠PAQ的大小为　 　 °；（2）当四边形APCD是平行四边形时，的值为　 　 ．
17．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA＝3，OH＝2，则菱形ABCD的面积为　 　 ．
18．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝72°，E为对角线BD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，∠F＝38°，则∠CEF＝ 　 　 °．
19．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，且BE⊥DC，若△ADB是边长为3的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，则PM+PN的最小值为 　 　 ．
20．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，AB＝2，A（1，0），∠DAB＝60°，将菱形ABCD绕点A旋转90°后，得到菱形AB1C1D1，则点C1的坐标是 　 　 ．
21．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E，H分别为AB，BC的中点，G，F分别为线段HD，CE的中点．若线段AB＝4，则FG的长为 　 　 ．
22．如图， ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD．
（1）求证： ABCD是菱形；
（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求AE的长．
【例题】
1．如图，A是直线l外一点，分别按下列要求作图．
（1）在图①中作正方形ABCD，使得点B，C在l上；
（2）在图②中作菱形ABCD，使得点B，D在l上，且∠ABC＝60°（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
2．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝16cm，BD＝12cm，动点M从点A出发沿AC方向以2cm/s的速度运动到点C，动点N从点B出发沿BD方向以1cm/s的速度运动到点D．若点M，N同时出发，其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动．
（1）出发1秒钟时，△MON的面积＝　 　 cm2；
（2）出发几秒钟时，△MON的面积为1cm2？
3．如图，直线l1∥l2，直线m与l1、l2交于A、B，在l2上取一点C，使BC＝AB，BD平分∠ABC，交l1于点D，交AC于点O，DE⊥BC，交l2于点E．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若OE＝4，∠ACB＝60°，求四边形ABCD的面积．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE＝AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
【巩固练习】
1．如图，菱形ABCD的四个顶点位于坐标轴上，对角线AC，BD交于原点O，线段AD的中点E的坐标为，P是菱形ABCD边上的点，若△PDE是等腰三角形，则点P的坐标可能是 　 　 ．
2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是线段OB上的一个动点，F是射线DC上一点，连接AE，EF，若∠ABC＝60°，∠AEF＝120°，AB＝4，则EF的长的整数值是　 　 ．
3．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠DAB＝120°，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线AC向终点C运动．设点P的运动时间为t秒．在点P出发的同时，有一点Q从点C出发，以每秒6个单位长度的速度沿折线C﹣D﹣A﹣B运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，则当PQ与菱形ABCD的边垂直时，t的值是　 　 ．
4．如图，菱形ABCD中，∠B＝45°，点E为对角线AC上一点，作EF⊥AB于点F，作EG⊥BC于点G，若EF+EG＝3，菱形ABCD的面积为　 　 ．
5．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点E是AB边上的点，AE＝4，BE＝8，点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角形，连结AG，当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是 　 　 ．
6．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，点H是线段BC的动点，连接OH．若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的最小值是　 　 ．
7．如图，在 ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB＝3，BC＝5，CE平分∠ACD，求DE的长．
8．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AD，E，F是对角线BD上的点，且BE＝DF，连接AE，CF，AF，CE．求证：四边形AFCE是菱形．
∴OA＝OC＝6，OB＝OD，AC⊥BD，
∴AC＝12，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∴BD＝2OH＝2×4＝8，
∴菱形ABCD的面积AC BD12×8＝48，
故选：B．
4．如图，在菱形ABCD中，E、F分别为AD、CD上的点，且DE＝DF．若∠DAF＝20°，则∠DCE的度数为（　　）
A．10° B．16° C．20° D．40°
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AD，
在△CDE和△ADF中，
，
∴△CDE≌△ADF（SAS），
∴∠DCE＝∠DAF＝20°，
故选：C．
5．如图，在菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠BCD＝50°，则∠OED的度数是（　　）
A．25° B．30° C．35° D．20°
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝50°，
∴O为BD中点，∠DBE∠ABC＝65°．
∵DE⊥BC，
∴在Rt△BDE中，OE＝OB＝OD，
∴∠OEB＝∠OBE＝65°．
∴∠OED＝90°﹣65°＝25°．
故选：A．
6．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，若∠FPC＝50°，则∠A＝（　　）
A．100° B．105° C．110° D．120°
【解答】解：延长PF交AB的延长线于点G．
∵F是BC的中点，
∴CF＝BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC∥AB，
∴∠C＝∠FBG，
在△BGF与△CPF中，
，
∴△BGF≌△CPF（ASA），
∴GF＝PF，
∴F为PG中点．
又∵由题可知，∠BEP＝90°，
∴EFPG＝PF，
∴∠FEP＝∠EPF，
∵∠BEP＝∠EPC＝90°，
∴∠BEP﹣∠FEP＝∠EPC﹣∠EPF，即∠BEF＝∠FPC＝50°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC，
∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴BE＝BF，
∴∠BEF＝∠BFE＝50°，
∴∠ABC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴∠A＝180°﹣80°＝100°，
故选：A．
7．如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断 ADCE是菱形的是（　　）
A．∠BAC＝90° B．∠DAE＝90° C．AB＝AC D．AB＝AE
【解答】解：添加∠BAC＝90°时，
∵AD是△ABC的中线，
∴ADBC＝CD，
∴四边形ADCE是菱形，选项A正确；
添加∠DAE＝90°，
∵四边形ADCE是平行四边形
∴四边形ADCE是矩形，选项B错误；
添加AB＝AC，可得到AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形，选项C错误；
添加AB＝AE，
∵AE＝AB，AB＞AD，
∴AE＞AD，
故选项D不能判定四边形ADCE是菱形；
故选：A．
8．如图，将两张长为5，宽为1的矩形纸条交叉，若两张纸条重叠部分为一个四边形（两纸条不互相重合），则这个四边形的周长的最大值是（　　）
A．8 B．10 C．10.4 D．12
【解答】解：如图1，过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∵两条纸条宽度相同（对边平行），
∴AB∥CD，AD∥BC，AE＝AF，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵S ABCD＝BC AE＝CD AF，
又∵AE＝AF，
∴BC＝CD，
∴四边形ABCD是菱形．
如图所示，此时菱形的周长最大，
∵四边形AECF是菱形
∴AE＝CF＝EC＝AF，
在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，
∴AE2＝1+（5﹣AE）2，
∴AE＝2.6
∴菱形AECF的周长＝2.6×4＝10.4
故选：C．
9．如图，菱形ABCD的周长为20，面积为24，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于 　4.8　 ．
11．如图，在平面直角坐标系中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 　（5，4）　 ．
【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，
∴AB＝AO+OB＝5，
∴AD＝AB＝CD＝5，
∴DO4，
∴点C的坐标是：（5，4）．
故答案为：（5，4）．
12．如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴，AD＝4，∠A＝60°．将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是 　（0，2）或（0，﹣2）　 ．
【解答】解：根据菱形的对称性可得：当点C旋转到y轴负半轴时，
A、B、C均在坐标轴上，如图，
∵∠BAD＝60°，AD＝4，
∴∠OAD＝30°，
∴OD＝2，
∴AO2OC，
∴点C的坐标为（0，﹣2），
同理：当点C旋转到y轴正半轴时，
点C的坐标为（0，2），
∴点C的坐标为（0，2）或（0，﹣2），
故答案为：（0，2）或（0，﹣2）．
13．平面直角坐标系中，菱形ABCD如图所示，OA＝3，点D在线段AB的垂直平分线上，若菱形ABCD绕点O逆时针旋转，旋转速度为每秒45°，则第2022秒时点D的对应坐标为（　　）
A．（2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（3，﹣2） D．（﹣3，2）
【解答】解：作DE⊥BC于点E，如图所示，
由题意可得，BE＝EC＝OB，
∵OA＝3，∠AOB＝90°，AB＝2OB，
∴OB，AB＝2，
∴点D的坐标为（2，3），
∵360°÷45°＝8，2022÷8＝252…6，
∴第2022秒时点D的对应坐标为在第四象限，此时点D对应的坐标为（3，﹣2），
故选：C．
14．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，沿EF翻折后，点B落在边CD上的G处，若EG⊥CD，BE＝4，DG＝3，则AE的长为 　　 ．
【解答】解：作BH⊥CD交DC的延长线于点H，则∠H＝90°，
∵EG⊥CD，
∴BH∥EG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB＝BC＝CD，
∴BE∥GH，
∴四边形BEGH是平行四边形，
∴GH＝BE＝4，
由折叠得GE＝BE＝4，
∴BH＝GE＝4，
∵DG＝3，
∴DH＝DG+GH＝3+4＝7，
∵BH2+CH2＝BC2，CH＝7﹣CD＝7﹣AB，
∴42+（7﹣AB）2＝AB2，
解得AB，
∴AE＝AB﹣BE4，
故答案为：．
15．如图，菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则菱形ABCD的高BE＝　4.8　 ．
【解答】解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，如图，
∵AC＝8，BD＝6，
∴OAAC8＝4，OBBD6＝3，
在Rt△AOB中，AB5，
∵BE⊥AD，
∴菱形ABCD的面积AC BD＝BE AD，
即6×8＝5 BE，
解得BH＝4.8，
故答案为：4.8．
16．在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处．折痕为AP；再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．请完成下列探究：
（1）∠PAQ的大小为　30　 °；
（2）当四边形APCD是平行四边形时，的值为　　 ．
【解答】解：（1）由折叠的性质可得：∠B＝∠AQP，∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB，∠DQA＝∠AQR，∠CQP＝∠PQR，∠D＝∠ARQ，∠C＝∠QRP，
∵∠QRA+∠QRP＝180°，
∴∠D+∠C＝180°，
∴AD∥BC，
∴∠B+∠DAB＝180°，
∵∠DQR+∠CQR＝180°，
∴∠DQA+∠CQP＝90°，
∴∠AQP＝90°，
∴∠B＝∠AQP＝90°，
∴∠DAB＝90°，
∴∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB＝30°，
故答案为：30；
（2）由折叠的性质可得：AD＝AR，CP＝PR，
∵四边形APCD是平行四边形，
∴AD＝PC，
∴AR＝PR，
又∵∠AQP＝90°，
∴QRAP，
∵∠PAB＝30°，∠B＝90°，
∴AP＝2PB，ABPB，
∴PB＝QR，
∴，
故答案为：．
17．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA＝3，OH＝2，则菱形ABCD的面积为　12　 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝3，OB＝OD，AC⊥BD，
∴AC＝2OA＝6，
∵DH⊥BC，
∴∠BHD＝90°，
∴BD＝2OH＝2×2＝4，
∴菱形ABCD的面积AC BD6×4＝12，
故答案为：12．
18．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝72°，E为对角线BD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，∠F＝38°，则∠CEF＝ 　32　 °．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB，∠ABE＝∠CBE，AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，∠DAF＝∠F，
∵∠ABC＝72°，∠F＝38°，
∴∠DAB＝180°﹣∠ABC＝108°，∠DAF＝∠F＝38°，
∴∠BAE＝∠DAB﹣∠DAF＝70°，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴∠BAE＝∠BCE＝70°，
∵∠BCE是△CEF的外角，
∴∠BCE＝∠F+∠CEF，
∴∠CEF＝∠BCE﹣∠F＝70°﹣38°＝32°．
故答案为：32．
19．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，且BE⊥DC，若△ADB是边长为3的等边三角形，点P、M、N分别在线段BE、BC、CE上运动，则PM+PN的最小值为 　　 ．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，AD∥BC，
∵BE⊥DC，
∴∠EBA＝90°，
∵△ADB是边长为3的等边三角形，
∴AD＝DB＝AB＝3，∠A＝60°，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DB＝AB＝BC＝3，∠BCD＝60°，
∴△CDB是边长为3的等边三角形，
∵DE＝AD，
∴AD＝DB＝AB＝ED＝BC，
∴四边形BCED是菱形，
作点M关于直线BE得对称点Q，则Q一定在BD上，根据垂线段最短，过点Q作QG⊥EC于点G，交BE于点R，当P与R重合，点N与点G重合时，PM+PN取得最小值，即菱形BCED的高，
过点C作CF⊥BD于点F，
∴，
∴，
故PM+PN的最小值为，
故答案为：．
20．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，AB＝2，A（1，0），∠DAB＝60°，将菱形ABCD绕点A旋转90°后，得到菱形AB1C1D1，则点C1的坐标是 　（1，3）或（1，﹣3）　 ．
【解答】解：如图所示：
∵菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，AB＝2，A（1，0），∠DAB＝60°，
∴AD＝AB＝BC＝CD＝2，AB边的高是，
∴点C1的纵坐标为±3，横坐标为1±，
∴点C1的坐标为（1，3）或（1，﹣3），
故答案为：（1，3）或（1，﹣3）．
21．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E，H分别为AB，BC的中点，G，F分别为线段HD，CE的中点．若线段AB＝4，则FG的长为 　　 ．
【解答】解：如图，连接CG并延长，交AD于点M，连接EM，
∵四边形ABCD为菱形，∠B＝60°，
∴AD∥BC，
∴∠A＝120°，∠MGD＝∠CGH，
∵点G为HD的中点，
∴HG＝DG，
∵∠MGD＝∠CGH，
∴△MGD≌△CGH（ASA），
∴MG＝CG，MD＝CHBCAD，
∴点G为MC的中点，点M为AD的中点，
∴AE＝AM＝2，
∵F，G分别为CE和CM的中点，
∴FG是△CEM的中位线，
∴FGEM，
∵∠A＝120°，AE＝AM＝2，
∴EMAE＝2，
∴FG．
故答案为：．
22．如图， ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD．
（1）求证： ABCD是菱形；
（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求AE的长．
【解答】（1）证明：∵DE∥AC，DE＝OC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵OE＝CD，
∴平行四边形OCED是矩形，
∴∠COD＝90°，
∴AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，CD＝AB＝BC＝4，AC⊥BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝4，
∴OA＝OC＝2，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD2，
由（1）可知，四边形OCED是矩形，
∴CE＝OD＝2，∠OCE＝90°，
∴AE2，
即AE的长为2．
23．如图，A是直线l外一点，分别按下列要求作图．
（1）在图①中作正方形ABCD，使得点B，C在l上；
（2）在图②中作菱形ABCD，使得点B，D在l上，且∠ABC＝60°（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
【解答】解：（1）如图①中，正方形ABCD即为所求；
（2）如图②中，菱形ABCD即为所求．
方法：作点A关于直线L的对称点C，分别作等边△ACB，等边△ACD即可．
24．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝16cm，BD＝12cm，动点M从点A出发沿AC方向以2cm/s的速度运动到点C，动点N从点B出发沿BD方向以1cm/s的速度运动到点D．若点M，N同时出发，其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动．
（1）出发1秒钟时，△MON的面积＝　15　 cm2；
（2）出发几秒钟时，△MON的面积为1cm2？
【解答】解：（1）由题意知，AO＝8cm，BO＝6cm，
1秒时，AM＝2，BN＝1，
∴OM＝6cm，ON＝5cm，
∴△MON的面积15（cm2）；
故答案为：15cm2；
（2）设时间为t，则AM＝2t，BN＝t，
当M在AO上时，N在BO上时，即0≤t＜4，MO＝8﹣2t，NO＝6﹣t，
∴（8﹣2t）×（6﹣t）＝1，
解得t＝5（舍去）或5，
当M在CO上，N在BO上时，即4＜t＜6，MO＝2t﹣8，NO＝6﹣t，
∴（2t﹣8）×（6﹣t）＝1，
解得t＝5，
当M在CO上，N在DO上时，即6＜t≤8，MO＝2t﹣8，NO＝t﹣6，
∴（2t﹣8）×（t﹣6）＝1，
解得t＝5或5（舍去），
综上所述，出发5或5或5秒时，△MON的面积为1cm2．
25．如图，直线l1∥l2，直线m与l1、l2交于A、B，在l2上取一点C，使BC＝AB，BD平分∠ABC，交l1于点D，交AC于点O，DE⊥BC，交l2于点E．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若OE＝4，∠ACB＝60°，求四边形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵直线l1∥l2，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∵BC＝AB，
∴BC＝AD，
又∵BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵BC＝AB，
∴四边形ABCD是菱形；
【解答】解：若△PDE是等腰三角形，以DE为半径，D为圆心，得出点P1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC＝AB＝BC，AC⊥BD，
∵线段AD的中点E的坐标为（，1），
∴点P1的坐标为（，1），
∴AD＝4，OD＝2，OA＝2，
若△PDE是等腰三角形，以DE为半径，E为圆心，得出点P2，
∴点P2的坐标为（，﹣1），
若△PDE是等腰三角形，以DE为底，DE的线段垂直平分线交BC于点P3，
∴点P3的坐标为（，），
综上所述，点P的坐标可能是（，1）或（，﹣1）或（，﹣1），
故答案为：（，1）或（，﹣1）或（，）．
28．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是线段OB上的一个动点，F是射线DC上一点，连接AE，EF，若∠ABC＝60°，∠AEF＝120°，AB＝4，则EF的长的整数值是　2，3，4　 ．
【解答】解：如图，连接CE，
∵在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝30°，BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE，
设∠OCE＝a，∠OAE＝a，∠AEO＝90°﹣a，
∴∠DEF＝120°﹣（90°﹣a）＝30°+a，
∴∠EFC＝∠CDE+∠DEF＝30°+30°+a＝60°+a，
∵∠ECF＝∠DCO+∠OCE＝60°+a，
∴∠ECF＝∠EFC，
∴CE＝EF，
∴AE＝EF，
∵AB＝4，∠ABE＝30°，
∴在Rt△ABO中，AO＝2，
∵OA≤AE≤AB，
∴2≤AE≤4，
∴AE的长的整数值可能是2，3，4，即EF的长的整数值可能是2，3，4．
故答案为：2，3，4．
29．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠DAB＝120°，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线AC向终点C运动．设点P的运动时间为t秒．在点P出发的同时，有一点Q从点C出发，以每秒6个单位长度的速度沿折线C﹣D﹣A﹣B运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，则当PQ与菱形ABCD的边垂直时，t的值是　或或　 ．
【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠DAB＝120°，
则∠B＝∠D＝60°，
∴△ABC，△ADC均为等边三角形，
∴AC＝AB＝4，∠ACD＝∠DAC＝∠BAC＝60°，
当PQ⊥CD时，则∠CPQ＝30°，
∴CP＝2CQ，
此时AP＝2t，CQ＝6t，则CP＝4﹣2t，
∴4﹣2t＝2×6t，解得：；
当PQ⊥AD时，则∠APQ＝30°，
∴AP＝2AQ，
此时AP＝2t，CD+DQ＝6t，则AQ＝8﹣6t，
∴2t＝2×（8﹣6t），解得：；
当PQ⊥AB时，则∠APQ＝30°，
∴AP＝2AQ，
此时AP＝2t，CD+AD+AQ＝6t，则AQ＝6t﹣8，
∴2t＝2×（6t﹣8），解得：；
综上，当PQ与菱形ABCD的边垂直时，或或．
故答案为：或或．
30．如图，菱形ABCD中，∠B＝45°，点E为对角线AC上一点，作EF⊥AB于点F，作EG⊥BC于点G，若EF+EG＝3，菱形ABCD的面积为　　 ．
【解答】解：连接BE，过点A作AH⊥BC于点H，
∴，
∵EG⊥BC，
∴，
∵S△ABC＝S△ABE+S△BCE，，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∴AH＝EF+EG＝3，
∵∠ABH＝45°，AH⊥BC，
∴△ABH是等腰直角三角形，
∴BH＝AH＝3，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
31．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点E是AB边上的点，AE＝4，BE＝8，点F是BC上的一点，△EGF是以点G为直角顶点，∠EFG为30°角的直角三角形，连结AG，当点F在直线BC上运动时，线段AG的最小值是 　2　 ．
【解答】如图，过E作EM⊥BC于点M，作MH⊥AB于点H，作AP⊥GM于点P，
∵∠EMF+∠EGF＝180°，
∴点E、M、F、G四点共圆，
∴∠EMG＝∠EFG＝30°，
∵∠B＝60°，
∴∠BEM＝30°＝∠EMG，
∴MG∥AB，
∴四边形MHAP是矩形，
∴MH＝AP，
∵BE＝8，
∴EM＝BE cos30°＝4，
∴MHEM＝2AP，
∴AG≥AP＝2，
∴AG最小值是2．
故答案为：2．
32．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O，点H是线段BC的动点，连接OH．若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的最小值是　2.4　 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BO＝DO＝4，OA＝CO，
∴BD＝8，
∵S菱形ABCDAC BD＝24，
∴AC6，
∴OA＝CO＝3，
由勾股定理得：BC5，
∵当OH最小时，OH⊥BC，
此时S△OBCBO COBC OH，
∴OH2.4，
即OH最小值为2.4，
故答案为：2.4．
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