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4.5 三角形的中位线—浙教版数学八（下）核心素养达标检测
一、选择题
1．如图， 在 中， 分别是 的中点． 若 ， 则 的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2025八下·义乌月考）如图，在中，点D在AC边上，，点E是CD的中点，点F是AB的中点，若，则EF的长为（　　）
A．1 B． C． D．
3．（2025八下·衢州期末） 如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在格点上，点D、E分别是边AB、AC与网格对角线的交点，连结DE，则DE的长为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·义乌月考） 三角形的三条中位线的长分别为，，，则原三角形的周长为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，E，F 分别是AB，AC边的中点，D 是 EF 上一点，且∠ADC=90°.若 BC=10，AC=8，则 DE 的长为 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2025八下·临海月考） 如图，两对全等的直角三角形拼成矩形ABCD，中空的部分是矩形EFGH，连结DE，若点M是GF的中点，，，，则DE的长为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八下·慈溪期中）如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE.下列结论：①AE=CE；②S平行四边形ABCD=AB×AC；③S△ABC=2S△ACE；④OE=BC，成立的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2024八下·义乌期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的一点，延长CD至点E，使得∠CAB＝∠BAE，∠BAE=35o，过点E作 EF⊥AB于点F，G为CE的中点，则∠FGB=(　　)
A．100o B．110o C．115o D．145o
二、填空题
9．如图 ， 把两根钢条 ， 的一个端点连在一起， 分别是 ， 的中点． 若 ， 则该工件内槽宽 的长为　 　．
10．（2025八下·杭州月考）如图，在□ABCD中，E、F分别是AD、BD的中点，若EF=3，则CD=　 　．
11．（2025八下·慈溪期末） 如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，连接BE，DE。若∠AED=∠BEC，DE=2，则 BE 的长为　 　.
12．（2025八下·杭州月考）如图，在△ABC中，AC=BC，AB=4，D，E分别是AB，AC边上的中点，点F在BC的延长线上，CF=BC，若CF=3，则EF的长为　 　.
13． 如图，在△ABC中，M 是 BC 边的中点，AP 平分∠BAC，BP⊥AP 于点 P.若AB=14，AC=22，则 PM=　 　.
14．（2025·温州模拟）如图，□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝OB，点E、点F分别是OA、OD的中点，连结EF，∠FEC＝45°，FH⊥BC于H，FH交BD于G，FG＝，则线段BC的长为　 　．
三、解答题
15．（2025八下·嘉兴期末） 如图，在中，DE是一条中位线，连结BE，过点D作BE的平行线交CB的延长线于点F.
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若，求BC的长.
16．（2025九上·萧山月考）在△ABC中，点M是边BC的中点，AD平分，，BD的延长线交AC于点E，，.
（1） 求证：；
（2） 求DM的长.
17．已知两个共一个顶点的等腰 Rt ， Rt ， 连结 是 的中点， 连结 ．
（1） 如图 1， 当 与 在同一直线上时， 求证： ．
（2） 如图 2， 当 时， 求证： ．
18． 如图 1， 在 Rt 中， ， 点 分别在边 上， ， 连结 分别为 的中点．
（1） 观察猜想： 图 1 中，线段 与 的数量关系是　 　， 位置关系是　 　．
（2） 探究证明： 把 绕点 逆时针旋转到图 2 的位置， 连结 ， 判断 的形状，并说明理由．
（3） 拓展延伸： 绕点 在平面内自由旋转， 若 ， 请直接写出 面积的最大值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图∵D、E分别是AB，AC的中点，
∴DE为△ABC中位线，
∴BC=2DE=4.
故答案为：B.
【分析】本题考查三角形中位线性质；三角形中位线平行且等于第三边一半.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
BC=AD=2
过点E作EG⊥BC交BD于点G，连接FG
∵点E是CD的中点
∴DE=CE
∴BG=DG
∴EG是△BCD的中位线
∴
∴∠EGD=∠CBE
∵点F是AB的中点
∴
∴∠FGD=∠BDC
∵∠C=90°
∴∠BDC+∠DBC=90°
∴∠FGD+∠DGE=90°
∴∠FGE=90°
∴
故答案为：B
【分析】由题意可得BC=AD=2，过点E作EG⊥BC交BD于点G，连接FG，根据三角形中位线定理可得，，则∠EGD=∠CBE，∠FGD=∠BDC，再根据角之间的关系可得∠FGE=90°，再根据勾股定理即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵由作图知D为AB的中点，E为AC的中点，
∴DE为AB的中点
∴DE=BC
∵BC=
∴DE=
故答案为：D .
【分析】由图形特点知DE为中位线，由中位线定理可得DE的长.
4．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（3+4+5）×2=24cm
因此原三角形的周长是24cm。
故答案为：B.
【分析】本题主要考查三角形中位线定理，即三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边边长的一半。
本题三角形的三条中位线的长分别为，，，则对应的原三角形的边长分别是6cm、8cm、10cm，最后求和即可，综合列式为（3+4+5）×2=24cm。
5．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵E，F分别是AB，AC边的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=BC.
∵BC=10，
∴EF=5.
在Rt△ADC中，
∵F是AC的中点，AC=8，
∴DF=AC=4，
∴DE=EF-DF=5-4=1.
故选A.
【分析】根据三角形的中位线定理得到EF=5，然后根据直角三角形斜边中线性质求出DF=4，然后根据线段的和差解答即可.
6．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：根据题意，，.
∵是的中点，
∴.
∴是的中位线.
∴.
∵ ，
∴.
∴.
∴.
故答案为：B.
【分析】首先判断出是的中位线，利用中位线性质能得到长. 然后利用勾股定理计算出、，从而得到长，最后继续利用勾股定理即可计算出.
7．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，∠AEB=60°，
∵，
∴，
∴AE=CE，故①正确；
∵∠EAC=∠ACE=30°，
∴∠BAC=90°，
∴S ABCD=AB·AC，故②正确；
∵BE=EC，
∴E为BC中点，
∴S△ABE=S△ACE，
∴S△ABC=2S△ACE，故③正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=CO，
∵AE=CE，
∴EO⊥AC，
∵∠ACE=30°，
∴
∵，
∴，故④正确；
故正确的个数为4个，
故答案为：D.
【分析】利用平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，利用角平分线的性质证明△ABE是等边三角形，然后推出AE=AB=BE，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理即可.
8．【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，分别延长交于，延长交于点，
，
，
由等腰三角形的判定得：
，
G为的中点，
，
，
由平行线的性质得：
，
，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】分别延长交于，延长交于点，先根据等腰三角形的判定证明，再证明，可得再根据全等三角形的判定定理证明，可得，再由角的运算求解即可．
9．【答案】8
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 分别是 ， 的中点，
∴CD是△AOB的中位线，
∴AB=2CD=2×4=8cm。
故答案为：8.
【分析】利用三角形的中位线等于第三边的一半，可求出AB的长.
10．【答案】6
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在△ABD中，
∵ E、F分别是AD、BD的中点 ， EF=3，
∴AB=2EF=2×3=6，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD=6
故答案为：6.
【分析】根据三角形的中位线定理可以得到AB的值，在根据平行四边形的性质可以得CD的值.
11．【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴BC＝2DE，DE∥BC，
又∵DE＝2，
∴BC＝4．
∴∠AED＝∠C，
∵∠AED＝∠BEC，
∴∠BEC＝∠C，
∴BE＝BC＝4，
故答案为：4.
【分析】根据三角形中位线定理得到BC＝2DE＝4，DE∥BC，根据平行线的性质得到∠AED＝∠C，根据题意得到∠BEC＝∠C，再根据等腰三角形的性质求出BE．
12．【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接DE、CD，
∵D，E分别是AB，AC边上的中点，AB=4，
∴DE是△ABC的中位线，BD=2，
∴，DE//BC，
∵，CF=3，
∴DE=CF，BC=6，
∴四边形DCFE为平行四边形，
∴EF=CD，
∵CA=CB，D是AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴
∴.
故答案为：.
【分析】连接DE、CD，根据三角形中位线定理得到，DE//BC，根据平行四边形的性质得到CD=EF，根据等腰三角形的性质得到CD⊥AB，根据勾股定理求出CD，进而求出EF.
13．【答案】4
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长BP交AC于点H.
∵AP⊥BH，
∴∠APB=∠APH=90°.
∵AP平分∠BAC，
∴∠PAB=∠PAH.
又∵AP=AP，∴△ABP≌△AHP，
∴AH=AB=14，BP=HP.
又∵M是BC边的中点，
∴PM是△BCH的中位线，
∴PM=CH=(AC-AH)=4.
故答案为4.
【分析】延长BN交AC 于点D，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD=AB，BN=DN，再求出DC的长，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半即可得解.
14．【答案】16
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BE.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD⊥BC.
∵点 E，F 分别是AO，DO 的中点，
∴∠ECH = ∠CEF = 45°，
∴∠HEC=45°，
∴EH=HC.
∵E 为 AO 的中点，AB = BO，
∴BE⊥EC，
∴∠BEC=90°，则∠EBC=45°，
∴△EBC 是等腰直角三角形，∴BH=HE=
∠FEG = 90°.
又 ∵ ∠BGH = ∠FGE，
在 Rt△EGF 中，
解得 BC=16.
故答案为：16.
【分析】连接BE，根据三角形的中位线定理得到然后得到△EBC 是等腰直角三角形，再证明，得到HG=EG，然后根据勾股定理解答即可.
15．【答案】（1）证明：因为DE是的中位线，
所以，又因为，
所以四边形BEDF是平行四边形
（2）解：因为四边形BEDF是平行四边形，
所以，
因为DE是的中位线，
所以
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】 （1）由三角形中位线定理得DE∥BC，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得DE=BF=4，再由三角形中位线定理的BC=2DE=8即可．
16．【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC，AD⊥BD
∴△ABE为等腰三角，且D为BE的中点
∴BD=DE
（2）解：∵D为BE的中点，M为BC的中点
∴DM=EC
∵AE=AB=12
∴EC=AC-AE=20-12=8
∴DM=4
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)由AD⊥BD且AD平分∠BAC，可得△ABE为等腰三角形，由三线合一知D为BE的中点，即得结论；
(2)由中位线定理知DM=EC，由(1)中结论AE=AB可得EC的长，即可得DM的长.
17．【答案】（1）证明：如图1，延长AB交CF于点D，
∵△ABC与△EFC都是等腰直角三角形，且∠ABC=∠FEC=90°，
∴∠ACB=∠ECF=45°，∠DBC=90°，
∴△ABC 与△BCD 均为等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD，
∴点B为线段AD的中点.
又∵点M为线段AF的中点，
∴BM为△ADF的中位线，
∴BM∥CF；

（2）证明：如图2，延长BM交CF于点D，连接BE、DE，
∵△ABC与△EFC都是等腰直角三角形，且∠ABC=∠FEC=90°，
∴∠ACB=∠ECF=45°，
又∵∠BCE=45°，
∴∠BCD=90°=∠ABC，
∴AB∥CF，
∴∠BAM=∠DFM，
∵点M是AF的中点，
∴AM=FM，
又∠AMB=∠FMD，
∴△ABM≌△FDM（ASA），
∴AB=DF，BM=DM，
∴AB=BC=DF，
在△BCE与△DFE中，
∵BC=DF，∠BCE=∠DFE=45°，CE=FE，
∴△BCE≌△DFE（SAS），
∴BE=DE，∠BEC=∠DEF，
∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
又∵BM=DM，
∴BM=ME.
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）如图1，延长AB交CF于点D，则易知△ABC 与△BCD 均为等腰直角三角形，则AB=BC=BD，然后根据三角形的中位线定理可得BM∥CF；
（2）如图2，延长BM交CF于点D，连接BE、DE，由等腰直角三角形的性质及已知得∠BCD=90°=∠ABC，由内错角相等，两直线平行，得AB∥CF，由二直线平行，内错角相等，得∠BAM=∠DFM，从而可由ASA判断出△ABM≌△FDM，由全等三角形的对应边相等得AB=DF，BM=DM，进而再用SAS判断出△BCE≌△DFE，得BE=DE，∠BEC=∠DEF，推出△BDE是等腰直角三角形，∠EBM=45°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=ME.
18．【答案】（1）；
（2）解：是等腰直角三角形
理由如下，由旋转可知
又
易得
易得
∴是等腰直角三角形
（3）解：如图，连结AM，AN，
可得
∵是等腰直角三角形
∴MN取最大值时，的面积最大，
∴当DE∥BC且DE与BC在店A的异侧时，MN最大=
【知识点】三角形的面积；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，∴AB-AD＝AC-AE，∴BD＝CE，
∵ 分别为 的中点，
∴PM是△CDE的中位线，PN是△BCD的中位线，
∴PM∥CE，PM＝CE，PN∥BD，PN＝BD，
∴PM＝PN
∵∠A＝90°，∴AB⊥AC，∴PM⊥PN。
故答案为：PM＝PN，　PM⊥PN。
【分析】
（1）根据三角形中位线的性质可得出PM和CE的数量关系和位置关系，PN和BD的数量关系和位置关系，再结合已知条件推导出结论；
（2）先结合旋转的性质推导出BD＝CE，BD⊥CE，证明PM，PN分别是△CDE和△BCD的中位线，得出PM和CE的数量关系和位置关系，PN和BD的数量关系和位置关系，进而推导出结论；
（3）△PMN是等腰直角三角形，当MN最大时，△PMN的面积最大。当DE在A点上方且DE∥BC时MN＝AM+AN，此时MN最大。求出此时MN的长，再计算面积即可。
1 / 14.5 三角形的中位线—浙教版数学八（下）核心素养达标检测
一、选择题
1．如图， 在 中， 分别是 的中点． 若 ， 则 的长是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图∵D、E分别是AB，AC的中点，
∴DE为△ABC中位线，
∴BC=2DE=4.
故答案为：B.
【分析】本题考查三角形中位线性质；三角形中位线平行且等于第三边一半.
2．（2025八下·义乌月考）如图，在中，点D在AC边上，，点E是CD的中点，点F是AB的中点，若，则EF的长为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意可得：
BC=AD=2
过点E作EG⊥BC交BD于点G，连接FG
∵点E是CD的中点
∴DE=CE
∴BG=DG
∴EG是△BCD的中位线
∴
∴∠EGD=∠CBE
∵点F是AB的中点
∴
∴∠FGD=∠BDC
∵∠C=90°
∴∠BDC+∠DBC=90°
∴∠FGD+∠DGE=90°
∴∠FGE=90°
∴
故答案为：B
【分析】由题意可得BC=AD=2，过点E作EG⊥BC交BD于点G，连接FG，根据三角形中位线定理可得，，则∠EGD=∠CBE，∠FGD=∠BDC，再根据角之间的关系可得∠FGE=90°，再根据勾股定理即可求出答案.
3．（2025八下·衢州期末） 如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在格点上，点D、E分别是边AB、AC与网格对角线的交点，连结DE，则DE的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵由作图知D为AB的中点，E为AC的中点，
∴DE为AB的中点
∴DE=BC
∵BC=
∴DE=
故答案为：D .
【分析】由图形特点知DE为中位线，由中位线定理可得DE的长.
4．（2025八下·义乌月考） 三角形的三条中位线的长分别为，，，则原三角形的周长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（3+4+5）×2=24cm
因此原三角形的周长是24cm。
故答案为：B.
【分析】本题主要考查三角形中位线定理，即三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边边长的一半。
本题三角形的三条中位线的长分别为，，，则对应的原三角形的边长分别是6cm、8cm、10cm，最后求和即可，综合列式为（3+4+5）×2=24cm。
5．如图，E，F 分别是AB，AC边的中点，D 是 EF 上一点，且∠ADC=90°.若 BC=10，AC=8，则 DE 的长为 (　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵E，F分别是AB，AC边的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=BC.
∵BC=10，
∴EF=5.
在Rt△ADC中，
∵F是AC的中点，AC=8，
∴DF=AC=4，
∴DE=EF-DF=5-4=1.
故选A.
【分析】根据三角形的中位线定理得到EF=5，然后根据直角三角形斜边中线性质求出DF=4，然后根据线段的和差解答即可.
6．（2025八下·临海月考） 如图，两对全等的直角三角形拼成矩形ABCD，中空的部分是矩形EFGH，连结DE，若点M是GF的中点，，，，则DE的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：根据题意，，.
∵是的中点，
∴.
∴是的中位线.
∴.
∵ ，
∴.
∴.
∴.
故答案为：B.
【分析】首先判断出是的中位线，利用中位线性质能得到长. 然后利用勾股定理计算出、，从而得到长，最后继续利用勾股定理即可计算出.
7．（2025八下·慈溪期中）如图，□ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=BC，连接OE.下列结论：①AE=CE；②S平行四边形ABCD=AB×AC；③S△ABC=2S△ACE；④OE=BC，成立的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，∠AEB=60°，
∵，
∴，
∴AE=CE，故①正确；
∵∠EAC=∠ACE=30°，
∴∠BAC=90°，
∴S ABCD=AB·AC，故②正确；
∵BE=EC，
∴E为BC中点，
∴S△ABE=S△ACE，
∴S△ABC=2S△ACE，故③正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=CO，
∵AE=CE，
∴EO⊥AC，
∵∠ACE=30°，
∴
∵，
∴，故④正确；
故正确的个数为4个，
故答案为：D.
【分析】利用平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，利用角平分线的性质证明△ABE是等边三角形，然后推出AE=AB=BE，再结合等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一进行推理即可.
8．（2024八下·义乌期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是AB的一点，延长CD至点E，使得∠CAB＝∠BAE，∠BAE=35o，过点E作 EF⊥AB于点F，G为CE的中点，则∠FGB=(　　)
A．100o B．110o C．115o D．145o
【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，分别延长交于，延长交于点，
，
，
由等腰三角形的判定得：
，
G为的中点，
，
，
由平行线的性质得：
，
，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】分别延长交于，延长交于点，先根据等腰三角形的判定证明，再证明，可得再根据全等三角形的判定定理证明，可得，再由角的运算求解即可．
二、填空题
9．如图 ， 把两根钢条 ， 的一个端点连在一起， 分别是 ， 的中点． 若 ， 则该工件内槽宽 的长为　 　．
【答案】8
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 分别是 ， 的中点，
∴CD是△AOB的中位线，
∴AB=2CD=2×4=8cm。
故答案为：8.
【分析】利用三角形的中位线等于第三边的一半，可求出AB的长.
10．（2025八下·杭州月考）如图，在□ABCD中，E、F分别是AD、BD的中点，若EF=3，则CD=　 　．
【答案】6
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在△ABD中，
∵ E、F分别是AD、BD的中点 ， EF=3，
∴AB=2EF=2×3=6，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD=6
故答案为：6.
【分析】根据三角形的中位线定理可以得到AB的值，在根据平行四边形的性质可以得CD的值.
11．（2025八下·慈溪期末） 如图，D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，连接BE，DE。若∠AED=∠BEC，DE=2，则 BE 的长为　 　.
【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴BC＝2DE，DE∥BC，
又∵DE＝2，
∴BC＝4．
∴∠AED＝∠C，
∵∠AED＝∠BEC，
∴∠BEC＝∠C，
∴BE＝BC＝4，
故答案为：4.
【分析】根据三角形中位线定理得到BC＝2DE＝4，DE∥BC，根据平行线的性质得到∠AED＝∠C，根据题意得到∠BEC＝∠C，再根据等腰三角形的性质求出BE．
12．（2025八下·杭州月考）如图，在△ABC中，AC=BC，AB=4，D，E分别是AB，AC边上的中点，点F在BC的延长线上，CF=BC，若CF=3，则EF的长为　 　.
【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接DE、CD，
∵D，E分别是AB，AC边上的中点，AB=4，
∴DE是△ABC的中位线，BD=2，
∴，DE//BC，
∵，CF=3，
∴DE=CF，BC=6，
∴四边形DCFE为平行四边形，
∴EF=CD，
∵CA=CB，D是AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴
∴.
故答案为：.
【分析】连接DE、CD，根据三角形中位线定理得到，DE//BC，根据平行四边形的性质得到CD=EF，根据等腰三角形的性质得到CD⊥AB，根据勾股定理求出CD，进而求出EF.
13． 如图，在△ABC中，M 是 BC 边的中点，AP 平分∠BAC，BP⊥AP 于点 P.若AB=14，AC=22，则 PM=　 　.
【答案】4
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长BP交AC于点H.
∵AP⊥BH，
∴∠APB=∠APH=90°.
∵AP平分∠BAC，
∴∠PAB=∠PAH.
又∵AP=AP，∴△ABP≌△AHP，
∴AH=AB=14，BP=HP.
又∵M是BC边的中点，
∴PM是△BCH的中位线，
∴PM=CH=(AC-AH)=4.
故答案为4.
【分析】延长BN交AC 于点D，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD=AB，BN=DN，再求出DC的长，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半即可得解.
14．（2025·温州模拟）如图，□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝OB，点E、点F分别是OA、OD的中点，连结EF，∠FEC＝45°，FH⊥BC于H，FH交BD于G，FG＝，则线段BC的长为　 　．
【答案】16
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BE.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD⊥BC.
∵点 E，F 分别是AO，DO 的中点，
∴∠ECH = ∠CEF = 45°，
∴∠HEC=45°，
∴EH=HC.
∵E 为 AO 的中点，AB = BO，
∴BE⊥EC，
∴∠BEC=90°，则∠EBC=45°，
∴△EBC 是等腰直角三角形，∴BH=HE=
∠FEG = 90°.
又 ∵ ∠BGH = ∠FGE，
在 Rt△EGF 中，
解得 BC=16.
故答案为：16.
【分析】连接BE，根据三角形的中位线定理得到然后得到△EBC 是等腰直角三角形，再证明，得到HG=EG，然后根据勾股定理解答即可.
三、解答题
15．（2025八下·嘉兴期末） 如图，在中，DE是一条中位线，连结BE，过点D作BE的平行线交CB的延长线于点F.
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若，求BC的长.
【答案】（1）证明：因为DE是的中位线，
所以，又因为，
所以四边形BEDF是平行四边形
（2）解：因为四边形BEDF是平行四边形，
所以，
因为DE是的中位线，
所以
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】 （1）由三角形中位线定理得DE∥BC，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得DE=BF=4，再由三角形中位线定理的BC=2DE=8即可．
16．（2025九上·萧山月考）在△ABC中，点M是边BC的中点，AD平分，，BD的延长线交AC于点E，，.
（1） 求证：；
（2） 求DM的长.
【答案】（1）证明：∵AD平分∠BAC，AD⊥BD
∴△ABE为等腰三角，且D为BE的中点
∴BD=DE
（2）解：∵D为BE的中点，M为BC的中点
∴DM=EC
∵AE=AB=12
∴EC=AC-AE=20-12=8
∴DM=4
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)由AD⊥BD且AD平分∠BAC，可得△ABE为等腰三角形，由三线合一知D为BE的中点，即得结论；
(2)由中位线定理知DM=EC，由(1)中结论AE=AB可得EC的长，即可得DM的长.
17．已知两个共一个顶点的等腰 Rt ， Rt ， 连结 是 的中点， 连结 ．
（1） 如图 1， 当 与 在同一直线上时， 求证： ．
（2） 如图 2， 当 时， 求证： ．
【答案】（1）证明：如图1，延长AB交CF于点D，
∵△ABC与△EFC都是等腰直角三角形，且∠ABC=∠FEC=90°，
∴∠ACB=∠ECF=45°，∠DBC=90°，
∴△ABC 与△BCD 均为等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD，
∴点B为线段AD的中点.
又∵点M为线段AF的中点，
∴BM为△ADF的中位线，
∴BM∥CF；

（2）证明：如图2，延长BM交CF于点D，连接BE、DE，
∵△ABC与△EFC都是等腰直角三角形，且∠ABC=∠FEC=90°，
∴∠ACB=∠ECF=45°，
又∵∠BCE=45°，
∴∠BCD=90°=∠ABC，
∴AB∥CF，
∴∠BAM=∠DFM，
∵点M是AF的中点，
∴AM=FM，
又∠AMB=∠FMD，
∴△ABM≌△FDM（ASA），
∴AB=DF，BM=DM，
∴AB=BC=DF，
在△BCE与△DFE中，
∵BC=DF，∠BCE=∠DFE=45°，CE=FE，
∴△BCE≌△DFE（SAS），
∴BE=DE，∠BEC=∠DEF，
∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
又∵BM=DM，
∴BM=ME.
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）如图1，延长AB交CF于点D，则易知△ABC 与△BCD 均为等腰直角三角形，则AB=BC=BD，然后根据三角形的中位线定理可得BM∥CF；
（2）如图2，延长BM交CF于点D，连接BE、DE，由等腰直角三角形的性质及已知得∠BCD=90°=∠ABC，由内错角相等，两直线平行，得AB∥CF，由二直线平行，内错角相等，得∠BAM=∠DFM，从而可由ASA判断出△ABM≌△FDM，由全等三角形的对应边相等得AB=DF，BM=DM，进而再用SAS判断出△BCE≌△DFE，得BE=DE，∠BEC=∠DEF，推出△BDE是等腰直角三角形，∠EBM=45°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=ME.
18． 如图 1， 在 Rt 中， ， 点 分别在边 上， ， 连结 分别为 的中点．
（1） 观察猜想： 图 1 中，线段 与 的数量关系是　 　， 位置关系是　 　．
（2） 探究证明： 把 绕点 逆时针旋转到图 2 的位置， 连结 ， 判断 的形状，并说明理由．
（3） 拓展延伸： 绕点 在平面内自由旋转， 若 ， 请直接写出 面积的最大值．
【答案】（1）；
（2）解：是等腰直角三角形
理由如下，由旋转可知
又
易得
易得
∴是等腰直角三角形
（3）解：如图，连结AM，AN，
可得
∵是等腰直角三角形
∴MN取最大值时，的面积最大，
∴当DE∥BC且DE与BC在店A的异侧时，MN最大=
【知识点】三角形的面积；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，∴AB-AD＝AC-AE，∴BD＝CE，
∵ 分别为 的中点，
∴PM是△CDE的中位线，PN是△BCD的中位线，
∴PM∥CE，PM＝CE，PN∥BD，PN＝BD，
∴PM＝PN
∵∠A＝90°，∴AB⊥AC，∴PM⊥PN。
故答案为：PM＝PN，　PM⊥PN。
【分析】
（1）根据三角形中位线的性质可得出PM和CE的数量关系和位置关系，PN和BD的数量关系和位置关系，再结合已知条件推导出结论；
（2）先结合旋转的性质推导出BD＝CE，BD⊥CE，证明PM，PN分别是△CDE和△BCD的中位线，得出PM和CE的数量关系和位置关系，PN和BD的数量关系和位置关系，进而推导出结论；
（3）△PMN是等腰直角三角形，当MN最大时，△PMN的面积最大。当DE在A点上方且DE∥BC时MN＝AM+AN，此时MN最大。求出此时MN的长，再计算面积即可。
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