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平行四边形·面积问题—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．（2021·普陀模拟）如图，正方形被分割成四部分，其中I、II为正方形，III、IV为长方形，I、II的面积之和等于III、IV面积之和的2倍，若II的边长为2，且I的面积小于II的面积，则I的边长为（　　）
A．4 B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】设I的边长为x
根据题意有
解得 或 （舍去）
故答案为：C.
【分析】设I的边长为x，根据正方形Ⅰ的面积+正方形Ⅱ的面积=2（正方形Ⅲ的面积+正方形Ⅳ的面积）可列关于x的方程，解方程可求解.
2．（2022八下·鄞州期末）已知菱形ABCD的对角线AC=2， BD=4，则菱形ABCD的面积是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】A
【知识点】菱形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴S菱形ABCD=AC×BD=×2×4=4.
故答案为：A.
【分析】根据菱形的面积公式，即对角线乘积的一半，代值计算，即可解答.
3．（2025八下·龙泉期中）已知，如图，在中，是AD上方任意一点。若的面积为4，的面积为的面积为10，则的面积为（　　）
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：过点E作EM⊥BC于点M，交AD于点N，过点E作EH⊥BA，交BA的延长线于点H，HE的延长线交CD的延长线于点P，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴设AD=BC=a，AB=CD=b，AD//BC，AB//CD，
∴EN⊥AD，EP⊥CD，
设EN=k，MN=h，EP=m，EH=n，
∴EM=EN+MN=k+h，
HP=EP+EH=m+n，
∵△ADE的面积为4，△EBC的面积为16，
∴，，
∴，，
∴ak=8，ak+ah=32，
∴ah=24，
∵△ECD的面积为10，
∴，
∴，
∴bm=20，
∵平行四边形ABCD面积为：BC·MN=AB·HP，
∴ah=b(m+n)=bm+bn，
∴bn=ah-bm=24-20=4，
∴△ABE的面积为：
故答案为：B.
【分析】过点E作EM⊥BC于点M，交AD于点N，过点E作EH⊥BA，交BA的延长线于点H，HE的延长线交CD的延长线于点P，根据平行四边形性质设AD=BC=a，AB=CD=b，再设EN=k，MN=h，EP=m，EH=n，则EM=k+h，HP=m+n，由已知得ak=8，ak+ah=32，bm=20，ah=24，然后根据平行四边形ABCD面积公式得ah=b(m+n)=bm+bn，由此得bn=4，进而根据三角形的面积公式即可得出△ABE的面积.
4．（2025九上·拱墅期中）如图，AC是菱形ABCD的对角线，AE=EF=FC，则S△BMN：S菱形ABCD=（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；菱形的性质；平行四边形的面积；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠CNF=∠AMF，∠MAF=∠NCF，
∴△AFM∽△CFN，
∴，
同理可证得△AEM∽△BEC，
∴，
∵AE＝EF＝FC，
∴2，，
∴CNBC，
∴BNBC.
∵△BMN底边BN上的高与菱形ABCD的高相等，
设它们的高为h，
∴．
即：.
故选：C．
【分析】由四边形ABCD是菱形，可得AD∥BC，则可证得△AEM∽△BEC，△AFM∽△CFN，然后由相似三角形的对应边成比例，结合条件AE＝EF＝FC易求得BNBC，然后△BMN底边BN上的高与菱形ABCD的高相等，求得：的比值．
5．如图，P 是□ABCD 的边AD上一点，已知S△ABP +S△PCD=3，则 ABCD 的面积为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：
如图，过点B作BE⊥AD，交DA的延长线于点E，
∵S△ABP=AP·BE，S△PCD=DP·BE，
∴S△ABP+S△PCD=AP·BE+DP·BE=(AP+DP)·BE=AD·BE，
∴3=AD·BE，
∴AD·BE=6，
∴ ABCD的面积为6.
故选：C.
【分析】根据平行线之间距离处处相等知 △ABP 与△PCD的高为BE，再根据 S△ABP +S△PCD=3得AD·BE=6，从而得到 ABCD 的面积 .
6．（2025八下·永康期末）如图，在□ABCD中，E，F分别是AD和BC的中点，P是AB上的一个动点，从点A运动到点B。在点P的运动过程中，APED与APFC的面积之和（　　）
A．不变 B．变小
C．变大 D．先变大再变小
【答案】A
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵E，F分别是AD和BC的中点，
∴，，
∴
∵，
∴
∴，
∴△PED与△PFC的面积之和不变，
故答案为：A.
【分析】由三角形的面积公式得到，而，即可得到，即可得到答案.
7． 如图，在 ABCD 中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD，交DC的延长线于点F.若AE=4，AF=6，且 ABCD的周长为40，则 ABCD的面积为(　　)
A．48 B．36 C．40 D．24
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD= BC ，
∵的周长为40，
∴2(BC+CD)=40，
∴BC+CD=20，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴AE×BC=AF×CD，
∵AE=4，AF=6，
∴4BC=6CD，
即BC=1.5CD，
∴1.5CD+CD=20，
∴CD=8，
∴的面积为6x×8=48，
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质可得BC+CD=20，再由平行四边形的面积公式可得BC=1.5CD，可求出CD=8，即可求解.
8．（2024八下·长兴期中）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，，，则下列结论：①；②；③；④其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，AB∥CD，BD=2OB，，AD=BC
∴∠BAD=180°-∠ADC=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠BAD=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=AE=BC=1，∠AEB=60°，
∴∠EAC=∠ECA=∠AEB=30°，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°，
∠DAC=∠BAD-∠BAC=30°，故①正确；
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴
∴，
在Rt△ABO中，∠BAO=90°，
∴，
∴，故②正确；
∵∠BAC=90°，
∴AC⊥AB，
∴S平行四边形ABCD=AB×AC，故③正确；
∵点O是AC的中点，点E是BC的中点，
∴，故④正确，
综上，正确的有①②③④共4个.
故答案为：D.
【分析】由平行四边形性质得∠ABC=∠ADC=60°，AB∥CD，BD=2OB，，AD=BC，然后根据二直线平行，同旁内角互补可得∠BAD=120°，由角平分线的定义得∠BAE=∠BAD=60°，根据有两个角为60°的三角形是等边三角形得△ABE是等边三角形，由等边三角形性质得BE=AB=AE=BC=1，∠AEB=60°，由等边对等角及三角形外角相等推出∠EAC=∠ECA=∠AEB=30°，由角的和差得∠BAC=90°，∠DAC=30°，据此可判断①；利用勾股定理算出AC，可得AO的长，进而再利用勾股定理算出BO，从而可得BD的长，据此可判断②；由平行四边形的面积计算公式可判断③；由三角形中位线定理得，据此可判断④.
二、填空题
9．（2025八下·路桥期中）如图，在中，，，，则的面积为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作于E，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
故答案为：．
【分析】过点A作AE⊥BC于E，则△ABE是等腰直角三角形，可得AE=BE，在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE的长，最后根据矩形面积公式计算即可.
10．如图，在平行四边形 中， ， 的平分线 交 于点E，连接 ，若 ，则平行四边形 的面积为　 　.
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：过点B作BF⊥CE于点F，
四边形ABCD为平行四边形，
AB//CD，AD=BC=5，∠BAD=∠C，
∠DEA=∠BAE，
AE平分∠BAD，
∠DAE=∠BAE，
∠DAE=∠DEA，
DA=DE=3，
CE=CD-DE=2，
∠BAD=∠BEC，
∠C=∠BEC，
BE=BC=3，
EF=CF=1，
在Rt△BCF中，由勾股定理得BF=，
平行四边形 的面积为CD×BF=5×=，
故答案为：.
【分析】首先根据平行四边形的性质，得到AB//CD，AD=BC，∠BAD=∠C，进而得到∠DEA=∠BAE，根据AE平分∠BAD，得到▲ADE为等腰三角形，进行得到CE的长，再根据∠BAD=∠BEC，得到BC=BE，然后过点B做垂线，利用勾股定理得到高，利用平行四边形的面积公式计算即可.
11．（2025八下·温州期中）图1是由两个全等直角三角形和两个长方形组成的，将其剪拼成不重叠，无缝隙的大正方形（如图2）。记①，②，③，④的面积分别为，已知。
（1）　 　；
（2）若的周长比图2正方形的周长大18，则图2正方形的边长为　 　。
【答案】（1）1：4
（2）
【知识点】勾股定理；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：(1)如图，
由题意设PE=x
∵，
∴，
∴PH=3PE=3x，
∴FG=EH=4x，HQ=QG=2x，
∴S2=PE·HQ=x·2x =2x2，
S3=FG·QG=4x·2x=8x2，
∴S2：S3= 2：8 = 1：4；
故答案为：1：4；
(2)如图，由勾股定理可得，
AB=CD=PQ==，
∵AD=BC=8x，EF=FG=GH=EH=4x，
又∵平行四边形的周长比长方形③的周长大18，
∴2+16 x -16x=18，
∴，
∴FG=4x=，
故答案为：.
【分析】(1)由题意，设PE=x，则FG=EH=4x，PH=3x，HQ=QG=2x，分别求出S3和S2，即可得到答案；
(2)根据的周长比图2正方形的周长大18，构建方程求出x即可.
12．（2025八下·长兴期中）如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、AB上，依次连接EB、EC、FC、FD，图中阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，已知S2=14、S3=4、S4=6，则S1=　 　.
【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图所示.
四边形ABCD是平行四边形
故答案为：4.
【分析】分别标记中两个空白部分面积，由平行四边形的性质知在面积等于的面积等于面积的一半，即的面积等于与的面积和，则 S1等于S2、S3、S4
的和.
13．（2025八下·瑞安期中） 如图，平行四边形ABCD中，AB=6，BC=4，∠DAB=60°，E在AB上，且AE：EB=1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DO⊥CE于Q，则DQ：DP=　 　.
【答案】或：
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，
根据三角形的面积和平行四边形的面积得：，
即，
∴AF×DP=CE×DQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∵∠DAB=60°，
∴∠CBN=∠DAB=60°，
∴∠BFN=∠MCB=30°，
∵AB=6，BC=4，AE：EB=1：2，F是BC的中点，
∴BF=2，BE=4，BN=1，BM=2，
由勾股定理得：，，
，
，
∴
∴
故答案为：或：.
【分析】连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，根据三角形的面积和平行四边形的面积得出，求出AF×DP=CE×DQ，根据勾股定理得到，，代入求出即可.
14．（2025八下·义乌期中）如图，是由，，，无缝拼接而成，，，则四边形的面积为　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：设点A、点B到线段的距离分别为和，
∵，，
∴，则，
∵，，
∴，则，
∴，则，
那么，，
设，，则，，
∵，
∴，
则
，
故答案为：．
【分析】
本题主要考查四边形面积公式和比值的应用，设点A、点B到线段的距离分别为和，根据已知面积和四边形面积公式求得和，进一步求得，则，设，，则，，，结合求得，则即可求得．
三、解答题
15．（2026九上·天台期末） 如图， ABCD中， E为AD上一点， 连接BE， AC交于点F.
（1） 求证： △AEF∽△CBF；
（2） 若△AEF， △CBF的面积分别为4， 9， 求□ABCD的面积.
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，的面积分别为4，9，
∴，即，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴的面积为．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，即可求证；
（2）根据相似三角形的性质可得，从而得到，进而得到，再根据平行四边形的性质解答即可．
16．在一次数学探究活动中，小王用两条直线把 ABCD 分割成四部分，使含有一对对顶角的两个图形全等.
（1）根据小王的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有　 　组；
（2）请你在图的平行四边形中画出三组满足小王分割方法的直线；
（3）由上述操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律
【答案】（1）无数
（2）解：答案不唯一，如图.
（3）解：这两条直线都经过平行四边形的对角线的交点
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】（1）解： 根据小王的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有无数组，
故答案为：无数.
【分析】(1) 根据平行四边形的中心对称性解答即可；
(2) 分别连接四个平行四边形的对角线AC、BD，记对角线交点为O，得出第一个图中AC和BD两条直线是符合题意的，故其余三个平行四边形中分别作经过对角线交点O的任意两条直线EF、GH，解答即可；
(3) 结合(2)的答案，分析做出的两条直线的特点，找到它们的共同点即可使问题得解.
17．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB 的两个端点在网格的格点上，在图中画一个 ABCD，使得□ABCD 的面积为 12(顶点均在格点上).
【答案】解：如图， ABCD即为所求.(答案不唯一)
【知识点】平行四边形的判定；平行四边形的面积
【解析】【分析】根据平行四边形的判定和面积公式解答即可.
18．（2023八下·杭州期中）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90，BC＝4，∠ABC＝60°，点P、Q是边AB，BC上两个动点，且BP＝4CQ，以BP，BQ为邻边作平行四边形BPDQ，PD，QD分别交AC于点E，F，设CQ＝m.
（1）直接写出BQ＝　 　；CE＝　 　.（用含m的代数式表示）
（2）当平行四边形BPDQ的面积为6时，求m的值；
（3）求证：△DEF≌△QCF；
（4）如图2，连接AD，PF，PQ，当AD与△PQF的一边平行时，求△PQF的面积.
【答案】（1）4-m；2m
（2）解：∵S BPDQ＝BQ CE＝2m（4-m）＝6，
解得：m＝1或3，
在Rt△ABC中，AB＝＝8，
∵点P、Q是边AB，BC上两个动点，
∴，
解得：0＜m≤2，
∴m的值为1；
（3）证明：由（1）（2）知：CQ＝m，BQ＝4-m，BP＝4m，AB＝8，
∵四边形BPDQ是平行四边形，
∴PD＝BQ＝4-m，PD∥BC，
∴∠AEP＝∠ACB＝90°，∠APE＝∠ABC＝60°，
∵AP＝AB-BP＝8-4m，
∴PE＝AP cos∠APE＝（8-4m） cos60°＝4-2m，
∴DE＝PD-PE＝4-m-（4-2m）＝m，
∴DE＝CQ，
∵PD∥BC，
∴∠FED＝∠FCQ，∠FDE＝∠FQC，
∴△DEF≌△QCF（ASA）；
（4）解：当AD∥PQ时，如图2，
∵四边形BPDQ是平行四边形，
∴BP∥DQ，BP＝DQ＝4m，
∴四边形APQD是平行四边形，
∴AP＝DQ＝4m，
∴AB＝AP+BP＝4m+4m＝8m，
∵AB＝8，
∴8m＝8，
解得：m＝1，
∴BQ＝4-m＝4-1＝3，CE＝2m＝2，
由（3）知：△DEF≌△QCF，
∴DF＝FQ，
S△PQF＝S△DPQ＝S BPDQ＝BQ CE＝×3×2＝；
当AD∥PF时，如图3，
∵四边形BPDQ是平行四边形，
∴BP∥DQ，
∴四边形APFD是平行四边形，
∴AP＝DF＝DQ＝2m，
∴AB＝AP+BP＝2m+4m＝6m，
∴6m＝8，
解得：m＝，
∴BQ＝4-m＝4-＝，CE＝2m＝，
∴S△PQF＝S△DPQ＝S BPDQ＝BQ CE＝
综上所述，△PQF的面积为或.
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；锐角三角函数的定义；平行四边形的面积；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（1）∵CQ＝m，BC＝4，
∴BQ＝BC-CQ＝4-m；
过点P作PH⊥BC于点H，如图1，
则∠PHB＝∠PHC＝90°，
∵四边形BPDQ是平行四边形，
∴PD∥BC，
∴∠EPH＝∠PHB＝90°＝∠PHC＝∠ECH，
∴四边形CEPH是矩形，
∴CE＝PH，
在Rt△BPH中，BP＝4CQ＝4m，∠ABC＝60°，
∴PH＝BP sin∠ABC＝4m sin60°＝2m，
∴CE＝2m，
故答案为：4-m；2m.
【分析】（1）根据线段的和差关系可得BQ＝4-m，过点P作PH⊥BC于点H，由平行四边形以及平行线的性质可得∠EPH＝∠PHB＝90°＝∠PHC＝∠ECH，推出四边形CEPH是矩形，得到CE＝PH，由三角函数的概念可得PH，据此解答；
（2）根据平行四边形的面积公式可得m的值，由三角函数的概念可得AB的值，根据点P、Q是边AB，BC上两个动点可得0（3）由（1）（2）知：CQ＝m，BQ＝4-m，BP＝4m，AB＝8，根据平行四边形的性质可得PD=BQ＝4=m，PD∥BC，由平行线的性质可得∠AEP＝∠ACB＝90°，∠APE＝∠ABC＝60°，由三角函数的概念可得PE，根据DE＝PD-PE表示出DE，推出DE＝CQ，根据平行线的性质可得∠FED＝∠FCQ，∠FDE＝∠FQC，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（4）当AD∥PQ时，易得四边形APQD是平行四边形，则AP＝DQ＝4m，AB＝AP+BP＝8m，结合AB=8可得m的值，然后求出BQ，根据全等三角形的性质可得DF＝FQ，则S△PQF＝S△DPQ＝S BPDQ；当AD∥PF时，同理进行求解.
1 / 1平行四边形·面积问题—浙教版数学八（下）核心素养培优专题
一、选择题
1．（2021·普陀模拟）如图，正方形被分割成四部分，其中I、II为正方形，III、IV为长方形，I、II的面积之和等于III、IV面积之和的2倍，若II的边长为2，且I的面积小于II的面积，则I的边长为（　　）
A．4 B．3 C． D．
2．（2022八下·鄞州期末）已知菱形ABCD的对角线AC=2， BD=4，则菱形ABCD的面积是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
3．（2025八下·龙泉期中）已知，如图，在中，是AD上方任意一点。若的面积为4，的面积为的面积为10，则的面积为（　　）
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
4．（2025九上·拱墅期中）如图，AC是菱形ABCD的对角线，AE=EF=FC，则S△BMN：S菱形ABCD=（　　）
A． B． C． D．
5．如图，P 是□ABCD 的边AD上一点，已知S△ABP +S△PCD=3，则 ABCD 的面积为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（2025八下·永康期末）如图，在□ABCD中，E，F分别是AD和BC的中点，P是AB上的一个动点，从点A运动到点B。在点P的运动过程中，APED与APFC的面积之和（　　）
A．不变 B．变小
C．变大 D．先变大再变小
7． 如图，在 ABCD 中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD，交DC的延长线于点F.若AE=4，AF=6，且 ABCD的周长为40，则 ABCD的面积为(　　)
A．48 B．36 C．40 D．24
8．（2024八下·长兴期中）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，，，则下列结论：①；②；③；④其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．（2025八下·路桥期中）如图，在中，，，，则的面积为　 　．
10．如图，在平行四边形 中， ， 的平分线 交 于点E，连接 ，若 ，则平行四边形 的面积为　 　.
11．（2025八下·温州期中）图1是由两个全等直角三角形和两个长方形组成的，将其剪拼成不重叠，无缝隙的大正方形（如图2）。记①，②，③，④的面积分别为，已知。
（1）　 　；
（2）若的周长比图2正方形的周长大18，则图2正方形的边长为　 　。
12．（2025八下·长兴期中）如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、AB上，依次连接EB、EC、FC、FD，图中阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，已知S2=14、S3=4、S4=6，则S1=　 　.
13．（2025八下·瑞安期中） 如图，平行四边形ABCD中，AB=6，BC=4，∠DAB=60°，E在AB上，且AE：EB=1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DO⊥CE于Q，则DQ：DP=　 　.
14．（2025八下·义乌期中）如图，是由，，，无缝拼接而成，，，则四边形的面积为　 　．
三、解答题
15．（2026九上·天台期末） 如图， ABCD中， E为AD上一点， 连接BE， AC交于点F.
（1） 求证： △AEF∽△CBF；
（2） 若△AEF， △CBF的面积分别为4， 9， 求□ABCD的面积.
16．在一次数学探究活动中，小王用两条直线把 ABCD 分割成四部分，使含有一对对顶角的两个图形全等.
（1）根据小王的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有　 　组；
（2）请你在图的平行四边形中画出三组满足小王分割方法的直线；
（3）由上述操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律
17．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB 的两个端点在网格的格点上，在图中画一个 ABCD，使得□ABCD 的面积为 12(顶点均在格点上).
18．（2023八下·杭州期中）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90，BC＝4，∠ABC＝60°，点P、Q是边AB，BC上两个动点，且BP＝4CQ，以BP，BQ为邻边作平行四边形BPDQ，PD，QD分别交AC于点E，F，设CQ＝m.
（1）直接写出BQ＝　 　；CE＝　 　.（用含m的代数式表示）
（2）当平行四边形BPDQ的面积为6时，求m的值；
（3）求证：△DEF≌△QCF；
（4）如图2，连接AD，PF，PQ，当AD与△PQF的一边平行时，求△PQF的面积.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】正方形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】设I的边长为x
根据题意有
解得 或 （舍去）
故答案为：C.
【分析】设I的边长为x，根据正方形Ⅰ的面积+正方形Ⅱ的面积=2（正方形Ⅲ的面积+正方形Ⅳ的面积）可列关于x的方程，解方程可求解.
2．【答案】A
【知识点】菱形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴S菱形ABCD=AC×BD=×2×4=4.
故答案为：A.
【分析】根据菱形的面积公式，即对角线乘积的一半，代值计算，即可解答.
3．【答案】B
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：过点E作EM⊥BC于点M，交AD于点N，过点E作EH⊥BA，交BA的延长线于点H，HE的延长线交CD的延长线于点P，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴设AD=BC=a，AB=CD=b，AD//BC，AB//CD，
∴EN⊥AD，EP⊥CD，
设EN=k，MN=h，EP=m，EH=n，
∴EM=EN+MN=k+h，
HP=EP+EH=m+n，
∵△ADE的面积为4，△EBC的面积为16，
∴，，
∴，，
∴ak=8，ak+ah=32，
∴ah=24，
∵△ECD的面积为10，
∴，
∴，
∴bm=20，
∵平行四边形ABCD面积为：BC·MN=AB·HP，
∴ah=b(m+n)=bm+bn，
∴bn=ah-bm=24-20=4，
∴△ABE的面积为：
故答案为：B.
【分析】过点E作EM⊥BC于点M，交AD于点N，过点E作EH⊥BA，交BA的延长线于点H，HE的延长线交CD的延长线于点P，根据平行四边形性质设AD=BC=a，AB=CD=b，再设EN=k，MN=h，EP=m，EH=n，则EM=k+h，HP=m+n，由已知得ak=8，ak+ah=32，bm=20，ah=24，然后根据平行四边形ABCD面积公式得ah=b(m+n)=bm+bn，由此得bn=4，进而根据三角形的面积公式即可得出△ABE的面积.
4．【答案】C
【知识点】三角形的面积；菱形的性质；平行四边形的面积；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠CNF=∠AMF，∠MAF=∠NCF，
∴△AFM∽△CFN，
∴，
同理可证得△AEM∽△BEC，
∴，
∵AE＝EF＝FC，
∴2，，
∴CNBC，
∴BNBC.
∵△BMN底边BN上的高与菱形ABCD的高相等，
设它们的高为h，
∴．
即：.
故选：C．
【分析】由四边形ABCD是菱形，可得AD∥BC，则可证得△AEM∽△BEC，△AFM∽△CFN，然后由相似三角形的对应边成比例，结合条件AE＝EF＝FC易求得BNBC，然后△BMN底边BN上的高与菱形ABCD的高相等，求得：的比值．
5．【答案】C
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：
如图，过点B作BE⊥AD，交DA的延长线于点E，
∵S△ABP=AP·BE，S△PCD=DP·BE，
∴S△ABP+S△PCD=AP·BE+DP·BE=(AP+DP)·BE=AD·BE，
∴3=AD·BE，
∴AD·BE=6，
∴ ABCD的面积为6.
故选：C.
【分析】根据平行线之间距离处处相等知 △ABP 与△PCD的高为BE，再根据 S△ABP +S△PCD=3得AD·BE=6，从而得到 ABCD 的面积 .
6．【答案】A
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵E，F分别是AD和BC的中点，
∴，，
∴
∵，
∴
∴，
∴△PED与△PFC的面积之和不变，
故答案为：A.
【分析】由三角形的面积公式得到，而，即可得到，即可得到答案.
7．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD= BC ，
∵的周长为40，
∴2(BC+CD)=40，
∴BC+CD=20，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴AE×BC=AF×CD，
∵AE=4，AF=6，
∴4BC=6CD，
即BC=1.5CD，
∴1.5CD+CD=20，
∴CD=8，
∴的面积为6x×8=48，
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质可得BC+CD=20，再由平行四边形的面积公式可得BC=1.5CD，可求出CD=8，即可求解.
8．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，AB∥CD，BD=2OB，，AD=BC
∴∠BAD=180°-∠ADC=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠BAD=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=AE=BC=1，∠AEB=60°，
∴∠EAC=∠ECA=∠AEB=30°，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°，
∠DAC=∠BAD-∠BAC=30°，故①正确；
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴
∴，
在Rt△ABO中，∠BAO=90°，
∴，
∴，故②正确；
∵∠BAC=90°，
∴AC⊥AB，
∴S平行四边形ABCD=AB×AC，故③正确；
∵点O是AC的中点，点E是BC的中点，
∴，故④正确，
综上，正确的有①②③④共4个.
故答案为：D.
【分析】由平行四边形性质得∠ABC=∠ADC=60°，AB∥CD，BD=2OB，，AD=BC，然后根据二直线平行，同旁内角互补可得∠BAD=120°，由角平分线的定义得∠BAE=∠BAD=60°，根据有两个角为60°的三角形是等边三角形得△ABE是等边三角形，由等边三角形性质得BE=AB=AE=BC=1，∠AEB=60°，由等边对等角及三角形外角相等推出∠EAC=∠ECA=∠AEB=30°，由角的和差得∠BAC=90°，∠DAC=30°，据此可判断①；利用勾股定理算出AC，可得AO的长，进而再利用勾股定理算出BO，从而可得BD的长，据此可判断②；由平行四边形的面积计算公式可判断③；由三角形中位线定理得，据此可判断④.
9．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；等腰直角三角形；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作于E，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
故答案为：．
【分析】过点A作AE⊥BC于E，则△ABE是等腰直角三角形，可得AE=BE，在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE的长，最后根据矩形面积公式计算即可.
10．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：过点B作BF⊥CE于点F，
四边形ABCD为平行四边形，
AB//CD，AD=BC=5，∠BAD=∠C，
∠DEA=∠BAE，
AE平分∠BAD，
∠DAE=∠BAE，
∠DAE=∠DEA，
DA=DE=3，
CE=CD-DE=2，
∠BAD=∠BEC，
∠C=∠BEC，
BE=BC=3，
EF=CF=1，
在Rt△BCF中，由勾股定理得BF=，
平行四边形 的面积为CD×BF=5×=，
故答案为：.
【分析】首先根据平行四边形的性质，得到AB//CD，AD=BC，∠BAD=∠C，进而得到∠DEA=∠BAE，根据AE平分∠BAD，得到▲ADE为等腰三角形，进行得到CE的长，再根据∠BAD=∠BEC，得到BC=BE，然后过点B做垂线，利用勾股定理得到高，利用平行四边形的面积公式计算即可.
11．【答案】（1）1：4
（2）
【知识点】勾股定理；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：(1)如图，
由题意设PE=x
∵，
∴，
∴PH=3PE=3x，
∴FG=EH=4x，HQ=QG=2x，
∴S2=PE·HQ=x·2x =2x2，
S3=FG·QG=4x·2x=8x2，
∴S2：S3= 2：8 = 1：4；
故答案为：1：4；
(2)如图，由勾股定理可得，
AB=CD=PQ==，
∵AD=BC=8x，EF=FG=GH=EH=4x，
又∵平行四边形的周长比长方形③的周长大18，
∴2+16 x -16x=18，
∴，
∴FG=4x=，
故答案为：.
【分析】(1)由题意，设PE=x，则FG=EH=4x，PH=3x，HQ=QG=2x，分别求出S3和S2，即可得到答案；
(2)根据的周长比图2正方形的周长大18，构建方程求出x即可.
12．【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：如图所示.
四边形ABCD是平行四边形
故答案为：4.
【分析】分别标记中两个空白部分面积，由平行四边形的性质知在面积等于的面积等于面积的一半，即的面积等于与的面积和，则 S1等于S2、S3、S4
的和.
13．【答案】或：
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，
根据三角形的面积和平行四边形的面积得：，
即，
∴AF×DP=CE×DQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∵∠DAB=60°，
∴∠CBN=∠DAB=60°，
∴∠BFN=∠MCB=30°，
∵AB=6，BC=4，AE：EB=1：2，F是BC的中点，
∴BF=2，BE=4，BN=1，BM=2，
由勾股定理得：，，
，
，
∴
∴
故答案为：或：.
【分析】连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，根据三角形的面积和平行四边形的面积得出，求出AF×DP=CE×DQ，根据勾股定理得到，，代入求出即可.
14．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：设点A、点B到线段的距离分别为和，
∵，，
∴，则，
∵，，
∴，则，
∴，则，
那么，，
设，，则，，
∵，
∴，
则
，
故答案为：．
【分析】
本题主要考查四边形面积公式和比值的应用，设点A、点B到线段的距离分别为和，根据已知面积和四边形面积公式求得和，进一步求得，则，设，，则，，，结合求得，则即可求得．
15．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，的面积分别为4，9，
∴，即，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴的面积为．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，即可求证；
（2）根据相似三角形的性质可得，从而得到，进而得到，再根据平行四边形的性质解答即可．
16．【答案】（1）无数
（2）解：答案不唯一，如图.
（3）解：这两条直线都经过平行四边形的对角线的交点
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】（1）解： 根据小王的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有无数组，
故答案为：无数.
【分析】(1) 根据平行四边形的中心对称性解答即可；
(2) 分别连接四个平行四边形的对角线AC、BD，记对角线交点为O，得出第一个图中AC和BD两条直线是符合题意的，故其余三个平行四边形中分别作经过对角线交点O的任意两条直线EF、GH，解答即可；
(3) 结合(2)的答案，分析做出的两条直线的特点，找到它们的共同点即可使问题得解.
17．【答案】解：如图， ABCD即为所求.(答案不唯一)
【知识点】平行四边形的判定；平行四边形的面积
【解析】【分析】根据平行四边形的判定和面积公式解答即可.
18．【答案】（1）4-m；2m
（2）解：∵S BPDQ＝BQ CE＝2m（4-m）＝6，
解得：m＝1或3，
在Rt△ABC中，AB＝＝8，
∵点P、Q是边AB，BC上两个动点，
∴，
解得：0＜m≤2，
∴m的值为1；
（3）证明：由（1）（2）知：CQ＝m，BQ＝4-m，BP＝4m，AB＝8，
∵四边形BPDQ是平行四边形，
∴PD＝BQ＝4-m，PD∥BC，
∴∠AEP＝∠ACB＝90°，∠APE＝∠ABC＝60°，
∵AP＝AB-BP＝8-4m，
∴PE＝AP cos∠APE＝（8-4m） cos60°＝4-2m，
∴DE＝PD-PE＝4-m-（4-2m）＝m，
∴DE＝CQ，
∵PD∥BC，
∴∠FED＝∠FCQ，∠FDE＝∠FQC，
∴△DEF≌△QCF（ASA）；
（4）解：当AD∥PQ时，如图2，
∵四边形BPDQ是平行四边形，
∴BP∥DQ，BP＝DQ＝4m，
∴四边形APQD是平行四边形，
∴AP＝DQ＝4m，
∴AB＝AP+BP＝4m+4m＝8m，
∵AB＝8，
∴8m＝8，
解得：m＝1，
∴BQ＝4-m＝4-1＝3，CE＝2m＝2，
由（3）知：△DEF≌△QCF，
∴DF＝FQ，
S△PQF＝S△DPQ＝S BPDQ＝BQ CE＝×3×2＝；
当AD∥PF时，如图3，
∵四边形BPDQ是平行四边形，
∴BP∥DQ，
∴四边形APFD是平行四边形，
∴AP＝DF＝DQ＝2m，
∴AB＝AP+BP＝2m+4m＝6m，
∴6m＝8，
解得：m＝，
∴BQ＝4-m＝4-＝，CE＝2m＝，
∴S△PQF＝S△DPQ＝S BPDQ＝BQ CE＝
综上所述，△PQF的面积为或.
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；锐角三角函数的定义；平行四边形的面积；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：（1）∵CQ＝m，BC＝4，
∴BQ＝BC-CQ＝4-m；
过点P作PH⊥BC于点H，如图1，
则∠PHB＝∠PHC＝90°，
∵四边形BPDQ是平行四边形，
∴PD∥BC，
∴∠EPH＝∠PHB＝90°＝∠PHC＝∠ECH，
∴四边形CEPH是矩形，
∴CE＝PH，
在Rt△BPH中，BP＝4CQ＝4m，∠ABC＝60°，
∴PH＝BP sin∠ABC＝4m sin60°＝2m，
∴CE＝2m，
故答案为：4-m；2m.
【分析】（1）根据线段的和差关系可得BQ＝4-m，过点P作PH⊥BC于点H，由平行四边形以及平行线的性质可得∠EPH＝∠PHB＝90°＝∠PHC＝∠ECH，推出四边形CEPH是矩形，得到CE＝PH，由三角函数的概念可得PH，据此解答；
（2）根据平行四边形的面积公式可得m的值，由三角函数的概念可得AB的值，根据点P、Q是边AB，BC上两个动点可得0（3）由（1）（2）知：CQ＝m，BQ＝4-m，BP＝4m，AB＝8，根据平行四边形的性质可得PD=BQ＝4=m，PD∥BC，由平行线的性质可得∠AEP＝∠ACB＝90°，∠APE＝∠ABC＝60°，由三角函数的概念可得PE，根据DE＝PD-PE表示出DE，推出DE＝CQ，根据平行线的性质可得∠FED＝∠FCQ，∠FDE＝∠FQC，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（4）当AD∥PQ时，易得四边形APQD是平行四边形，则AP＝DQ＝4m，AB＝AP+BP＝8m，结合AB=8可得m的值，然后求出BQ，根据全等三角形的性质可得DF＝FQ，则S△PQF＝S△DPQ＝S BPDQ；当AD∥PF时，同理进行求解.
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