资源简介

浙江省台州十校联盟2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高二下·台州期中）学校要求学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这7科中选3科参加考试，不同的选法种数共有（　　）
A．10种 B．35种 C．105种 D．210种
2．（2025高二下·台州期中）无人机飞行最大距离是无人机性能的一个重要指标．普宙系列是我国生产的一款民用无人机，其飞行的最大距离（千米）服从正态分布，记，，当变小时，则（　　）
A．变大 B．变小 C．不变 D．变小
3．（2025高二下·台州期中）下列求导过程错误的选项是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025高二下·台州期中）2025年哈尔滨亚洲冬季运动会高山滑雪比赛的滑雪赛场中某一段滑道的示意图如图所示，综合考虑安全性和趣味性，在滑道最陡处点P处的切线方程是，则（　　）
A． B． C．1 D．3
5．（2025高二下·台州期中）语文老师要从10篇课文中随抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某位同学只能背诵其中的6篇，则他能及格的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高二下·台州期中）若的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（　　）
A． B． C．60 D．240
7．（2025高二下·台州期中）将三项式展开，得到下列等式：
…
观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数时，缺少的数以0计）之和，第k行共有2k+1个数．则关于x的多项式式的展开式中，项的系数（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高二下·台州期中）已知，，，试比较，，的大小（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高二下·台州期中）某影院在2024年春节档引入了4部电影，包含2部喜剧电影、2部动画电影，其中《·逆转时空》是一部动画电影．该影院某天预留了A，B两个影厅用于放映这4部电影，这4部电影当天全部放映，每部电影固定在一个影厅内放映，每个影厅当天至少放映一部电影，则下列选项正确的是（　　）
A．若B影厅仅放映1部电影，有4种安排方法
B．一共有16种安排方法
C．若将《·逆转时空》安排至A影厅，有7种安排方法
D．若将2部动画电影安排至不同影厅，有4种安排方法
10．（2025高二下·台州期中）甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025高二下·台州期中）若函数，则（　　）
A．是奇函数 B．有且仅有1个零点
C．有且仅有2个极值点 D．是的一条切线方程
三、空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高二下·台州期中）随机变量，则　 　．
13．（2025高二下·台州期中）的展开式中的系数为　 　．
14．（2025高二下·台州期中）已知函数，．若在上不单调，则实数a的取值范围为　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025高二下·台州期中）计算：（用数字作答）
（1）；
（2）．
16．（2025高二下·台州期中）已知函数在处取得极值．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间的最大值与最小值．
17．（2025高二下·台州期中）已知离散型随机变量X的分布列．
（1）求常数的值；
（2）求；
（3）求随机变量的分布列及方差．
18．（2025高二下·台州期中）若，；求：
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的最大值．
19．（2025高二下·台州期中）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，设，若有两个不同的零点，求参数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由组合数的定义可知，
共有种选法.
故答案为：B.
【分析】由已知条件和组合数公式，从而得出不同的选法种数.
2．【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为随机变量服从正态分布，
所以，，，
当时，
，
，
当变小时，与的值不变，
则和都不变.
故答案为：C.
【分析】根据正态分布对应的概率密度曲线的对称性和原则，从而逐项判断找出正确的选项.
3．【答案】B
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：对于选项A，，故A对；
对于选项B，，故B错；
对于选项C，，故C对；
对于选项D，，故D对.
故答案为：B.
【分析】利用基本初等函数的导数公式，从而逐项判断找出求导过程错误的选项.
4．【答案】A
【知识点】导数的几何意义；极限及其运算
【解析】【解答】解：由题意可知，，
则.
故答案为：A.
【分析】由导数的几何意义得出切线的斜率，从而得出的值，再利用导数的定义和函数求极限的关系，从而得出的值.
5．【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：从10篇课文中随抽3篇不同的课文，总共的选法为种，
该同学能及格的情况有种，
由古典概率公式可知，该同学能及格的概率为.
故答案为：.
【分析】先得出总的选法为种，利用该同学能及格分为能背诵的6道里抽3道和能背诵的6道里抽2道及不会背诵的4道抽1道，则该同学能及格的情况有种，再利用古典概率公式得出他能及格的概率.
6．【答案】C
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为，
由题意，可得，
解得，
则展开式的通项公式为，
令，则，
所以，
则展开式中的常数项为.
故答案为：C.
【分析】先利用展开式的二项式系数之和为64求出的值，再利用二项展开式的通项公式，从而得出展开式的常数项.
7．【答案】D
【知识点】多项式
【解析】【解答】解：根据广义杨辉三角的定义：；
则，
关于的多项式的展开式中项的系数为．
故答案为：D．
【分析】根据广义杨辉三角的定义，结合多项展开式求解即可．
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设
则当时单调递减，
所以
则所以，
设
因为函数和均为定义域内的单调递增函数，
所以为上的单调递增函数，
则，
所以，
则，
因此.
故答案为：B.
【分析】构造函数和，利用导数的正负判断函数的单调性，再根据函数的单调性，从而比较出a，b，c的大小.
9．【答案】A,C
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：A、按影厅仅放映1部电影，有种安排方法，故A正确；
B、按影厅放映的电影，有种安排方法，故B错误；
C、按影厅放映的电影一定有《逆转时间》，则有种安排方法，故C正确；
D、按影厅放映的电影一定有1部动画电影，有种安排方法，故D错误．
故答案为：AC．
【分析】利用分步选取，只要确定影厅放映的电影，剩下的就是给影厅，结合组合、排列公式求解即可.
10．【答案】B,C,D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式；全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：对于A，由古典概率公式可知，故A错误；
对于B，由条件概率公式可知表示在由甲箱中取出的是白球的条件下，
从乙箱中取出的是白球的概率，
当甲箱中取出的是白球放入乙箱后，乙箱中有4个白球和2个黑球，
由古典概率公式，可知，故B正确；
对于C，由选项B分析可得，
由条件概率公式，可知，故C正确；
对于D，由全概率公式，
可得，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由古典概率公式和已知条件，则判断出选项A；由条件概率公式和古典概率公式，则判断出选项B；先由选项B求出，再由条件概率公式可得，则判断出选项C；由全概率公式可得，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：对于A，函数的定义域为，关于原点对称，
因为，所以为奇函数，故A正确；
对于B，当时，，
则在上恒成立，
所以，函数在上单调递增，此时；
同理可得，当时，，
则在上恒成立，
所以在上单调递增，此时，
因为，所以在上单调递增，
又因为，由零点存在定理可知有且仅有1个零点，故B正确；
对于C，由选项B可知在上恒成立，且在处两边导数值均为正不变号，
由函数极值点的定义可知，函数在上无极值点，故C错误；
对于D，当时，令，
解得，且，此时，
则不是在内的切线方程；
当时，令，
解得，且，此时，
则是在处的切线方程；
当时，因为，此时，
所以不是在处的切线方程，
综上所述，是在处的切线方程，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件和奇函数的定义可判断选项A；利用绝对值定义将函数的解析式写成分段函数，再分段根据导数的正负判断函数在上的单调性，再根据零点存在定理可判断函数的零点个数，则判断出选项B；由选项B可知在上恒成立，再利用函数极值点的定义，则可判断选项C；对和两种情况分类讨论是否有导数值，则直线的斜率为的点，再验证函数值是否相等，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：因为随机变量，
所以．
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合二项分布的期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
13．【答案】14
【知识点】二项式定理；二项式系数
【解析】【解答】解：因为，
又因为的展开式中含的项为
所以的展开式中的系数为14.
故答案为：14.
【分析】根据二项式定理求出含的项，从而得出的展开式中的系数.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由，得，
令，得
∵，∴，
当时，；当时，，
所以，函数在区间上是增函数，在上是减函数.
若在上不单调，则，
解得.
则a的取值范围为.
故答案为：.
【分析】根据题意，先求出函数的导数，利用导数的正负判断函数的单调性，再根据函数的单调性可得关于的不等式，解不等式得出实数a的取值范围．
15．【答案】（1）解：原式.
（2）解：方法一（直接计算）：原式.
方法二（组合数的性质）：
原式
.
【知识点】排列数的基本计算；组合数的基本计算
【解析】【分析】（1）利用排列数公式，组合数公式和阶乘的定义，从而计算得出的值.
（2）利用组合数公式或利用组合数的性质计算，从而得出的值.
（1）原式.
（2）法一（直接计算）：原式
法二（组合数的性质）：原式
16．【答案】（1）解：因为，
由题意得，则，
解得，
经检验，时函数在处取得极大值，
则函数的解析式为.
（2）解：由（1）知，令，
解得或，
因为，列表格如下：
x 1
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
又因为，，
所以，函数的最大值为，最小值为．

【知识点】函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求出导函数，再利用函数的极值点的定义求出的值，从而得到函数的解析式.
（2） 要求在区间[-2，1]上求最大值和最小值，需先找到导数的临界点，再计算端点和临界点处的函数值进行比较．
（1），由题意得，即，解得，
经检验，时函数在处取得极大值，故解析式为；
（2）由（1）知，令解得或，
因，列表格如下：
x 1
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
又，，故的最大值为，最小值为．
17．【答案】（1）解：由题意得，随机变量X的分布列如下表所示：
1
由分布列的性质，得，
解得．
（2）解：．
（3）解：由题意可知，的所有可能值为、、、，
则，，
，，
所以的分布列为：
P
则，
【知识点】概率的基本性质；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量的方差
【解析】【分析】（1）利用随机变量分布列中概率之和为，从而可得实数的值.
（2）根据随机变量的分布列结合互斥事件加法求概率公式，从而可得的值.
（3）由题意可知随机变量的所有可能值，利用古典概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可得随机变量的分布列，再利用随机变量求数学期望公式和方差公式，从而可得、的值.
（1）由题意得随机变量X的分布列如下表所示．
1
由分布列的性质得，解得．
（2）．
（3）由题意可知，的所有可能值为、、、，
，，
，，
所以的分布列为：
P
所以，
．
18．【答案】（1）解：因为，
令，
则，
所以.
（2）解：令，得①；
令，得②；
① + ②，得：，
所以.

（3）解：因为，
根据二项式定理，
可得，所以.
设最大，则，
所以.
由，
可得：，
解得；
由，
可得：
解得，所以，
又因为，所以，
则.

【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【分析】（1）利用已知条件和赋值法，再利用二项式展开式得出的值.
（2）分别令和，从而得到两个等式，再将两式相加可得出的值.
（3） 分析展开式中各项系数的通项公式，利用组合数的性质找到最大值 .
（1）已知，
令，则可得：
所以.
（2）令，得①；
令，得②；
① + ②得：
所以.
（3）因为，根据二项式定理，可得，所以.
设最大，则，即.
由可得：
，解得；
由可得：
解得；
所以，又因为，所以.
则.
19．【答案】（1）解：当时，，
则，
所以，，
则当时，曲线在点处的切线方程．
（2）解：因为，
所以，
当，函数定义域为，此时，
则，此时，函数的减区间为，无单调递增区间；
当，定义域为，
由，可得；由，可得，
此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）解：由题意，，
则在有两个不同零点，
所以在有两个不同根，
令，
则，
由，可得；由，可得，
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
则函数的极小值为，如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，
则实数的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用代入法和导数的几何意义，从而求出、的值，再利用直线的点斜式方程可得曲线在点处的切线方程.
（2） 通过求导分析函数的单调区间，分a的正负讨论.
（3）令可得，利用函数的零点与两函数图象交点的横坐标的等价关系和已知条件，则可知直线与函数的图象有两个交点，利用数形结合得出实数的取值范围.
（1）当时，，则，故，．
所以当时，曲线在点处的切线方程．
（2）因为，则，
当，定义域为，此时，故，
此时，函数的减区间为，无增区间；
当，定义域为，由可得，由可得，
此时，函数的增区间为，减区间为.
综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间；
当时，函数的增区间为，减区间为.
（3）由题设，，故在有两个不同零点，
所以在有两个不同根，
令，则，
由可得，由可得，
所以，函数的减区间为，增区间为，
函数的极小值为，如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，
因此，实数的取值范围是.
1 / 1浙江省台州十校联盟2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高二下·台州期中）学校要求学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这7科中选3科参加考试，不同的选法种数共有（　　）
A．10种 B．35种 C．105种 D．210种
【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由组合数的定义可知，
共有种选法.
故答案为：B.
【分析】由已知条件和组合数公式，从而得出不同的选法种数.
2．（2025高二下·台州期中）无人机飞行最大距离是无人机性能的一个重要指标．普宙系列是我国生产的一款民用无人机，其飞行的最大距离（千米）服从正态分布，记，，当变小时，则（　　）
A．变大 B．变小 C．不变 D．变小
【答案】C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为随机变量服从正态分布，
所以，，，
当时，
，
，
当变小时，与的值不变，
则和都不变.
故答案为：C.
【分析】根据正态分布对应的概率密度曲线的对称性和原则，从而逐项判断找出正确的选项.
3．（2025高二下·台州期中）下列求导过程错误的选项是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：对于选项A，，故A对；
对于选项B，，故B错；
对于选项C，，故C对；
对于选项D，，故D对.
故答案为：B.
【分析】利用基本初等函数的导数公式，从而逐项判断找出求导过程错误的选项.
4．（2025高二下·台州期中）2025年哈尔滨亚洲冬季运动会高山滑雪比赛的滑雪赛场中某一段滑道的示意图如图所示，综合考虑安全性和趣味性，在滑道最陡处点P处的切线方程是，则（　　）
A． B． C．1 D．3
【答案】A
【知识点】导数的几何意义；极限及其运算
【解析】【解答】解：由题意可知，，
则.
故答案为：A.
【分析】由导数的几何意义得出切线的斜率，从而得出的值，再利用导数的定义和函数求极限的关系，从而得出的值.
5．（2025高二下·台州期中）语文老师要从10篇课文中随抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某位同学只能背诵其中的6篇，则他能及格的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；分类加法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：从10篇课文中随抽3篇不同的课文，总共的选法为种，
该同学能及格的情况有种，
由古典概率公式可知，该同学能及格的概率为.
故答案为：.
【分析】先得出总的选法为种，利用该同学能及格分为能背诵的6道里抽3道和能背诵的6道里抽2道及不会背诵的4道抽1道，则该同学能及格的情况有种，再利用古典概率公式得出他能及格的概率.
6．（2025高二下·台州期中）若的展开式的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（　　）
A． B． C．60 D．240
【答案】C
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为，
由题意，可得，
解得，
则展开式的通项公式为，
令，则，
所以，
则展开式中的常数项为.
故答案为：C.
【分析】先利用展开式的二项式系数之和为64求出的值，再利用二项展开式的通项公式，从而得出展开式的常数项.
7．（2025高二下·台州期中）将三项式展开，得到下列等式：
…
观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3个数（不足3个数时，缺少的数以0计）之和，第k行共有2k+1个数．则关于x的多项式式的展开式中，项的系数（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】多项式
【解析】【解答】解：根据广义杨辉三角的定义：；
则，
关于的多项式的展开式中项的系数为．
故答案为：D．
【分析】根据广义杨辉三角的定义，结合多项展开式求解即可．
8．（2025高二下·台州期中）已知，，，试比较，，的大小（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：设
则当时单调递减，
所以
则所以，
设
因为函数和均为定义域内的单调递增函数，
所以为上的单调递增函数，
则，
所以，
则，
因此.
故答案为：B.
【分析】构造函数和，利用导数的正负判断函数的单调性，再根据函数的单调性，从而比较出a，b，c的大小.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高二下·台州期中）某影院在2024年春节档引入了4部电影，包含2部喜剧电影、2部动画电影，其中《·逆转时空》是一部动画电影．该影院某天预留了A，B两个影厅用于放映这4部电影，这4部电影当天全部放映，每部电影固定在一个影厅内放映，每个影厅当天至少放映一部电影，则下列选项正确的是（　　）
A．若B影厅仅放映1部电影，有4种安排方法
B．一共有16种安排方法
C．若将《·逆转时空》安排至A影厅，有7种安排方法
D．若将2部动画电影安排至不同影厅，有4种安排方法
【答案】A,C
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：A、按影厅仅放映1部电影，有种安排方法，故A正确；
B、按影厅放映的电影，有种安排方法，故B错误；
C、按影厅放映的电影一定有《逆转时间》，则有种安排方法，故C正确；
D、按影厅放映的电影一定有1部动画电影，有种安排方法，故D错误．
故答案为：AC．
【分析】利用分步选取，只要确定影厅放映的电影，剩下的就是给影厅，结合组合、排列公式求解即可.
10．（2025高二下·台州期中）甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式；全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：对于A，由古典概率公式可知，故A错误；
对于B，由条件概率公式可知表示在由甲箱中取出的是白球的条件下，
从乙箱中取出的是白球的概率，
当甲箱中取出的是白球放入乙箱后，乙箱中有4个白球和2个黑球，
由古典概率公式，可知，故B正确；
对于C，由选项B分析可得，
由条件概率公式，可知，故C正确；
对于D，由全概率公式，
可得，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由古典概率公式和已知条件，则判断出选项A；由条件概率公式和古典概率公式，则判断出选项B；先由选项B求出，再由条件概率公式可得，则判断出选项C；由全概率公式可得，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
11．（2025高二下·台州期中）若函数，则（　　）
A．是奇函数 B．有且仅有1个零点
C．有且仅有2个极值点 D．是的一条切线方程
【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：对于A，函数的定义域为，关于原点对称，
因为，所以为奇函数，故A正确；
对于B，当时，，
则在上恒成立，
所以，函数在上单调递增，此时；
同理可得，当时，，
则在上恒成立，
所以在上单调递增，此时，
因为，所以在上单调递增，
又因为，由零点存在定理可知有且仅有1个零点，故B正确；
对于C，由选项B可知在上恒成立，且在处两边导数值均为正不变号，
由函数极值点的定义可知，函数在上无极值点，故C错误；
对于D，当时，令，
解得，且，此时，
则不是在内的切线方程；
当时，令，
解得，且，此时，
则是在处的切线方程；
当时，因为，此时，
所以不是在处的切线方程，
综上所述，是在处的切线方程，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件和奇函数的定义可判断选项A；利用绝对值定义将函数的解析式写成分段函数，再分段根据导数的正负判断函数在上的单调性，再根据零点存在定理可判断函数的零点个数，则判断出选项B；由选项B可知在上恒成立，再利用函数极值点的定义，则可判断选项C；对和两种情况分类讨论是否有导数值，则直线的斜率为的点，再验证函数值是否相等，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
三、空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高二下·台州期中）随机变量，则　 　．
【答案】
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：因为随机变量，
所以．
故答案为：.
【分析】利用已知条件结合二项分布的期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
13．（2025高二下·台州期中）的展开式中的系数为　 　．
【答案】14
【知识点】二项式定理；二项式系数
【解析】【解答】解：因为，
又因为的展开式中含的项为
所以的展开式中的系数为14.
故答案为：14.
【分析】根据二项式定理求出含的项，从而得出的展开式中的系数.
14．（2025高二下·台州期中）已知函数，．若在上不单调，则实数a的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由，得，
令，得
∵，∴，
当时，；当时，，
所以，函数在区间上是增函数，在上是减函数.
若在上不单调，则，
解得.
则a的取值范围为.
故答案为：.
【分析】根据题意，先求出函数的导数，利用导数的正负判断函数的单调性，再根据函数的单调性可得关于的不等式，解不等式得出实数a的取值范围．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025高二下·台州期中）计算：（用数字作答）
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式.
（2）解：方法一（直接计算）：原式.
方法二（组合数的性质）：
原式
.
【知识点】排列数的基本计算；组合数的基本计算
【解析】【分析】（1）利用排列数公式，组合数公式和阶乘的定义，从而计算得出的值.
（2）利用组合数公式或利用组合数的性质计算，从而得出的值.
（1）原式.
（2）法一（直接计算）：原式
法二（组合数的性质）：原式
16．（2025高二下·台州期中）已知函数在处取得极值．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间的最大值与最小值．
【答案】（1）解：因为，
由题意得，则，
解得，
经检验，时函数在处取得极大值，
则函数的解析式为.
（2）解：由（1）知，令，
解得或，
因为，列表格如下：
x 1
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
又因为，，
所以，函数的最大值为，最小值为．

【知识点】函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先求出导函数，再利用函数的极值点的定义求出的值，从而得到函数的解析式.
（2） 要求在区间[-2，1]上求最大值和最小值，需先找到导数的临界点，再计算端点和临界点处的函数值进行比较．
（1），由题意得，即，解得，
经检验，时函数在处取得极大值，故解析式为；
（2）由（1）知，令解得或，
因，列表格如下：
x 1
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
又，，故的最大值为，最小值为．
17．（2025高二下·台州期中）已知离散型随机变量X的分布列．
（1）求常数的值；
（2）求；
（3）求随机变量的分布列及方差．
【答案】（1）解：由题意得，随机变量X的分布列如下表所示：
1
由分布列的性质，得，
解得．
（2）解：．
（3）解：由题意可知，的所有可能值为、、、，
则，，
，，
所以的分布列为：
P
则，
【知识点】概率的基本性质；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量的方差
【解析】【分析】（1）利用随机变量分布列中概率之和为，从而可得实数的值.
（2）根据随机变量的分布列结合互斥事件加法求概率公式，从而可得的值.
（3）由题意可知随机变量的所有可能值，利用古典概率公式和互斥事件加法求概率公式，从而计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可得随机变量的分布列，再利用随机变量求数学期望公式和方差公式，从而可得、的值.
（1）由题意得随机变量X的分布列如下表所示．
1
由分布列的性质得，解得．
（2）．
（3）由题意可知，的所有可能值为、、、，
，，
，，
所以的分布列为：
P
所以，
．
18．（2025高二下·台州期中）若，；求：
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的最大值．
【答案】（1）解：因为，
令，
则，
所以.
（2）解：令，得①；
令，得②；
① + ②，得：，
所以.

（3）解：因为，
根据二项式定理，
可得，所以.
设最大，则，
所以.
由，
可得：，
解得；
由，
可得：
解得，所以，
又因为，所以，
则.

【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【分析】（1）利用已知条件和赋值法，再利用二项式展开式得出的值.
（2）分别令和，从而得到两个等式，再将两式相加可得出的值.
（3） 分析展开式中各项系数的通项公式，利用组合数的性质找到最大值 .
（1）已知，
令，则可得：
所以.
（2）令，得①；
令，得②；
① + ②得：
所以.
（3）因为，根据二项式定理，可得，所以.
设最大，则，即.
由可得：
，解得；
由可得：
解得；
所以，又因为，所以.
则.
19．（2025高二下·台州期中）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，设，若有两个不同的零点，求参数的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，
则，
所以，，
则当时，曲线在点处的切线方程．
（2）解：因为，
所以，
当，函数定义域为，此时，
则，此时，函数的减区间为，无单调递增区间；
当，定义域为，
由，可得；由，可得，
此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）解：由题意，，
则在有两个不同零点，
所以在有两个不同根，
令，
则，
由，可得；由，可得，
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，
则函数的极小值为，如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，
则实数的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用代入法和导数的几何意义，从而求出、的值，再利用直线的点斜式方程可得曲线在点处的切线方程.
（2） 通过求导分析函数的单调区间，分a的正负讨论.
（3）令可得，利用函数的零点与两函数图象交点的横坐标的等价关系和已知条件，则可知直线与函数的图象有两个交点，利用数形结合得出实数的取值范围.
（1）当时，，则，故，．
所以当时，曲线在点处的切线方程．
（2）因为，则，
当，定义域为，此时，故，
此时，函数的减区间为，无增区间；
当，定义域为，由可得，由可得，
此时，函数的增区间为，减区间为.
综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间；
当时，函数的增区间为，减区间为.
（3）由题设，，故在有两个不同零点，
所以在有两个不同根，
令，则，
由可得，由可得，
所以，函数的减区间为，增区间为，
函数的极小值为，如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，
因此，实数的取值范围是.
1 / 1

展开更多......

收起↑