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2025-2026学年下学期九年级第一次综合评估数学试卷
一．选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．下列各数中，无理数的个数是（　　）
，，，，，0.1818818881…（两个1之间依次多1个8）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．来自元翔厦门空港的数据显示，厦门机场2025年春运保障航班架次创历年新高，共保障旅客343.9万人次，将3439000用科学记数法表示为（　　）
A．3.439×106 B．3.439×107
C．0.3439×107 D．34.39×105
3．如图，是由6个小立方块搭成的几何体从上面看的形状图，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，则这个几何体从正面看到的形状图是（　　）
A． B． C． D．
4．下列哪种方法不能检验直线与平面是否垂直（　　）
A．铅垂线 B．三角尺
C．长方形纸片 D．合页型折纸
5．计算的结果等于（　　）
A．﹣1 B．1 C．x﹣1 D．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．点F是AB中点，连接CF，把线段CF沿射线BC方向平移到DE，点D在AC上．则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE的周长和面积分别是（　　）
A．16，6 B．18，18 C．16，12 D．12，16
7．方程x2﹣x+1＝0根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
8．甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数x（单位：环）及方差S2（单位：环2）如下表所示：
甲 乙 丙 丁
x 8 9 8 9
S2 1.6 0.8 3 1.2
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．如图，菱形ABCD沿射线AC平移，得到菱形EFGH，延长AD，GH相交于点M，延长AB，GF相交于点N，若AB＝3BN＝3，∠ABC＝120°，则EC的长是（　　）
A．3 B．4 C． D．
10．如图1，动点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC中点时，PO的长度等于（　　）
A．2 B．3 C． D．
二．填空题（每小题3分，共15分）
11．如果有意义，则a的取值范围是 　 　 ．
12．若点M（m+3，m﹣2）在第四象限，则m的取值范围是 　 　 ．
13．在一个不透明的袋子里装有除数字外完全相同的四个小球，上面分别标有数字﹣2，﹣3，4，5．小娟先从袋中随机摸出一个小球，再从袋中剩下的三个小球中随机摸出一个小球．则小娟摸出的两个小球上的数字积为奇数的概率是 ．
14．如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2，将△ABC沿BC所在直线l向右翻动（不滑动）至如图△A1B2C1位置，则点B从开始到结束所经过的路径（虚线部分）长度是　 　 ．（结果保留π）
15．如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，且过原点，连接OC．将△OBC沿OC翻折，点B的对应点B'恰好落在边AD上．若点B'的坐标为（3，4），则点C的坐标为　 　 ．
三．解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）计算：（x+2）2+（x+2）（x﹣2）﹣2x2．
17．（9分）某社区安装了A，B两款健身器材，并对两款健身器材进行了满意度测评．社区工作人员从居民对A，B两款健身器材的满意度评分中各随机抽取20份，对数据进行整理、抽述和分析．（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意x＜70，比较满意70≤x＜80，满意80≤x＜90，非常满意x≥90，单位：分）
抽取的对A款健身器材的评分数据中“满意”包含的所有数据：83，85，85，87，87，89；
抽取的对B款健身器材的评分数据：68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100．
抽取的对A，B款健身器材的满意度评分统计表
健身器材 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比
A 18 b 96 45%
B 88 87 c 40%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ；
（2）若有800名居民对B款健身器材进行评分，请你估计对B款健身器材“满意”的有多少人；
（3）根据以上数据，你认为哪一款健身器材更受居民欢迎？并说明理由，（写出一条理由即可）
18．（9分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与函数为的图象交于A（4，1），B两点，点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图象
于点Q．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）填空：
①当y1﹣y2＞0时，x的取值范围为 　 　 ；
②若△POQ的面积为3，求点P的坐标．
19．（9分）小峰想用镜子测量一棵松树的高度，如图所示，把镜子放在点C处（镜子的大小忽略不计），人站在点F时，正好在镜子中看到树顶点A，但由于树旁有一条河，不能直接测量镜子与树之间BC的距离，于是小峰从点F向后退到点H处，此时他发现自己的影子和树的影子于地面点D处重合．已知小峰身高为1.6米（忽略头顶到眼睛的距离）．经过测量CD＝12米，CF＝1.8米，DH＝3.8米，请你用所学的知识，帮小峰求出松树AB的高．
20．（9分）五一节快到了，甲、乙两家旅行社为了吸引更多的顾客，分别提出了赴某地旅游的团体优惠方法，甲旅行社的优惠方法是：买4张全票，其余人按半价优惠；乙旅行社的优惠方法是：一律按7折优惠．已知两家旅行社的原价均为每人200元．
（1）分别表示出甲旅行社收费y1，乙旅行社收费y2与旅游人数x的函数关系式；
（2）就参加旅游的人数讨论哪家旅行社的收费更优惠？
21．（9分）如图，已知AB是⊙O的直径，直线DC是⊙O的切线，切点为C，AE⊥DC，垂足为E，连接AC．
（1）求证：AC平分∠BAE；
（2）若AC＝6，，求⊙O的半径．
22．（10分）某文具店销售一种进价为每件40元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+700，在销售过程中销售单价不低于进价，而每件的利润不高于成本价的50%．
（1）设文具店每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（2）x在什么范围内，该文具店每月获得利润逐渐增多？在什么范围内，该文具店每月获得利润逐渐减少？
23．（10分）已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．
（1）如图①所示，点C，D分别在边OA，OB上，求证：OHAD且OH⊥AD．
（2）将△COD绕点O旋转到图②所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系？证明你的结论．
（3）如图③所示，当OB＝4，OD时，求OH长的取值范围．
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A C A C B B D D
二．填空题
11．a≥﹣3且a≠0．
12．﹣3＜m＜2．
13．．
14．3π．
15．（﹣5，10）．
三．解答题
16．解：（1）原式＝5+1﹣3＝3．
（2）原式＝x2+4x+4+x2﹣4﹣2x2＝4x．
17．解：（1）A款设备的“满意”的百分比是，
则a%＝100%﹣45%﹣30%﹣10%＝15%，
∴a＝15，
把A款设备的评分数据从小到大排列，“非常满意”的有45%×20＝9（人）
故排在中间的两个数是按从小到大排列在“满意”的最后两个数是87，89，
∴中位数；
在B款设备的评分数据中，98出现的次数最多，故众数c＝98．
故答案为：15，88，98；
（2）抽取的人数中，“对B款健身器材满意”的有8人；
∴（人），
答：估计“比较满意”的人数大约为320人；
（3）A款自动洗车设备更受消费者欢迎（答案不唯一），理由如下：
两款自动洗车设备的评分数据的平均数相同，但A款自动洗车设备的评分数据的中位数比B款高，故A款自动洗车设备更受消费者欢迎．
18．解：（1）∵A（4，1）在函数为的图象上，
∴m＝4，
∴反比例函数解析式为：y2，
当x时，a＝8，
∴B（，8），
∵一次函数y1＝kx+b过A（4，1）B（，8），
∴，
解得，
∴一次函数解析式为：y1＝﹣2x+9．
（2）①根据函数图象，当y1﹣y2＞0时，x的取值范围为：．
故答案为：．
②设点P的坐标为（m，﹣2m+9）则Q（m，），M（m，0），
∴PQ＝﹣2m+9，
∴S△POQ3，
整理得m25＝0，
解得m＝2或m，
∴P（2，5）或P（，4）．
19．解：根据题意，得∠ACB＝∠ECF，∠ABC＝∠EFC＝90°，GH∥AB，
∴△ECF∽△ACB，△DGH∽△DAB，
∴，，
∵CD＝12，CF＝1.8，DH＝3.8，GH＝EF＝1.6，
∴，，
∴，
解得BC＝22.8，
经检验，BC＝22.8是原方程的解，
∴，
解得AB＝9.6，
经检验，AB＝9.6是原方程的解，
答：松树AB的高9.6米．
20．解：（1）根据题意得：当0＜x＜4时，y1＝200x，即y1＝200x（0＜x＜4），
当x≥4时，y1＝200×4+200（x﹣4）＝100x+400（x≥4）；
综上，y1；
y2＝200×70%x＝140x．
（2）当y1＜y2时，即100x+400＜140x，
解得：x＞10，
∴旅游的人数超过10人时，甲旅行社收费更优惠；
当y1＝y2时，即100x+400＝140x，
解得：x＝10，
∴旅游的人数为10人时，甲、乙旅行社收费一样；
当y1＞y2时，即100x+400＞140x，
解得：x＜10，
∴旅游的人数少于10人时，乙旅行社收费更优惠．
综上所述：旅游的人数超过10人时，甲旅行社收费更优惠；旅游的人数为10人时，甲、乙旅行社收费一样；旅游的人数少于10人时，乙旅行社收费更优惠．
21．（1）证明：连接OC，则OC＝OA，
∴∠BAC＝∠OCA，
∵直线DC是⊙O的切线，切点为C，
∴DC⊥OC，
∵AE⊥DC，
∴AE∥OC，
∴∠EAC＝∠OCA，
∴∠BAC＝∠EAC，
∴AC平分∠BAE．
（2）解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，DE⊥OC于点C，
∴∠ACB＝∠OCE＝90°，
∴∠OCB＝∠ACE＝90°﹣∠OCA，
∵OC＝OB，AC＝6，
∴∠OCB＝∠B，
∴∠B＝∠ACE，
∴tanB＝tan∠ACE，
∴BC＝2AC＝12，
∴AB6，
∴OAAB＝3，
∴⊙O的半径长为3．
22．解：（1）由题意，得：w＝（x﹣40）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1100x﹣28000，
∵40≤x≤40（1+50%），
∴40≤x≤60，
∴w＝﹣10x2+1100x﹣28000（40≤x≤60）；
（2）w＝﹣10x2+1100x﹣28000＝﹣10（x﹣55）2+2250，
∵a＝﹣10＜0，40≤x≤60，
∴当40≤x＜55时，w随x的增大而增大；当x＝55时，w最大；当55＜x≤60时，w随x的增大而减小，
∴当40≤x＜55时，该文具店每月获得利润逐渐增多；当55＜x≤60时，该文具店每月获得利润逐渐减少．
23．（1）证明：∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，
∴OC＝OD，OA＝OB，
∵在△AOD与△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS），
∴∠ADO＝∠BCO，∠OAD＝∠OBC，BC＝AD，
∵点H为线段BC的中点，∠BOC＝90°
∴OH＝HB＝CHBC，
∴∠OBH＝∠HOB，OHAD．
∴∠OBH＝∠HOB＝∠OAD，
∵∠OAD+∠ADO＝90°，
∴∠ADO+∠BOH＝90°，
∴OH⊥AD；
（2）解：将△COD绕点O旋转到图②所示位置时，线段OH与AD的关系为：OHAD，OH⊥AD．
延长OH到E，使得HE＝OH，连接BE，如图，
∵点H是BC中点，
∴BH＝CH，
在△BEH和△COH中，
∴△BEH≌△COH（SAS），
∴OE＝2OH，∠EBC＝∠BCO，
∴∠OBE＝∠EBC+∠OBC＝∠BCO+∠OBC＝180°﹣∠BOC，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOC＝∠OBE，
在△BEO和△ODA中，
，
∴△BEO≌△ODA（SAS），
∴OE＝AD，∠EOB＝∠DAO，
∴OHOEAD，
∵∠AOB＝90°，
∴∠DAO+∠AOH＝∠EOB+∠AOH＝90°，
∴OH⊥AD．
（3）解：延长OH到M，使得HM＝OH，连接BM，如图，
在△BMH和△COH中，
，
∴△BMH≌△COH（SAS），
∴BM＝OC，
∵OB＝4，
∵OB﹣BM≤OM≤OB+BM，
∴3OM≤5，
∵OM＝2OH，
∴OH．

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