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第28章锐角三角函数检测卷-2025-2026学年数学九年级下册人教版
一、选择题
1．cos45°的值是（　　）
A． B． C． D．1
2．如图，某飞机于空中A处探测到正下方的地面目标C，此时飞机高度为1400米，从飞机上看地面控制点B的俯角为，则B、C之间的距离为（　　）
A．米 B．米
C．米 D．米
3．在锐角中，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
4．有一等腰三角形ABC纸片，AB=AC，沿图中三条虚线将该三角形纸片进行裁剪，相关数据如图所示，裁剪后得到甲、乙、丙、丁四个部分，其中面积最大的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．如图，是的直径，、是的两条切线，、是切点，若，，则的长度为（　　）
A．1 B． C． D．
6．如图，在等腰三角形中．，．点D，E在边上，点F，G分别在和边上．若四边形为正方形，则（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在中，D是边上的中点，连接，把沿翻折，得到与交于点E，连接，若，则下列结论中错误的是（　　）
A． B．
C． D．的面积为
8．如图1，动点P从正六边形的A点出发，沿A→F→E→D→C以1 cm/s的速度匀速运动到点C，图2是点P运动时，△ACP的面积y（cm2）随着时间x（s）的变化的关系图象，则正六边形的边长为（　　）
A．2 cm B．cm C．1 cm D．3 cm
9．如图，为双曲线上一点，过点作轴、轴的垂线，分别交直线于、两点，若直线与轴交于点，与轴交于点，则值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
10．在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，sinA= ，则BC的长为　 　cm．
11．如图，已知正方形，边长为4，正方形内有一动点，．连接，则线段的最小值为　 　．
12．如图，将三角板的直角顶点放置在直线上的点处，使斜边．则的余弦值为　 　．
13．如图，在矩形中，O为边的中点，E为边上的点，且，，则扇形的面积为　 　．
14．如图，在矩形中，．将矩形沿折叠，使点A落在边上的E处，得到四边形，连接，若，则　 　．
15．如图，菱形的对角线相交于坐标原点，轴，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，则　 　
16．魏晋时期，数学家刘徽利用如图所示的“青朱出入图”证明了勾股定理，其中四边形，和都是正方形．如果图中与的面积比为，那么的值为　 　．
三、解答题
17．计算：．
18．如图1是一辆高空作业升降车在某次工作时的实景图，图2是它的示意图．已知点A，B，C，D，E，F，G在同一平面内，四边形为矩形，点B，C在地面l上，，是可以伸缩的起重臂，转动点E到l的距离为2米．当米，米，，时，求操作平台G到l的距离．
19．如图，在中，，以为直径的分别交于点D、E，点F在的延长线上，且．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求和的长．
20．桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，始见于《墨子 备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．如图2所示的是桔槔示意图，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，且米，．当点A位于最高点时，．
（1）求点A位于最高点时到地面的距离；
（2）当点A从最高点逆时针旋转到达最低点时，求此时水桶B上升的高度．（参考数据：）
21．（1）如图1，在矩形中，E为边上一点，连接，若，过C作交于点F，求证：．
（2）如图2，在菱形中，，过C作交的延长线于点E，过E作交于点F，若时，求的值．
（3）如图3，在平行四边形中，，，，点E在上，且，点F为上一点，连接，过E作交平行四边形的边于点G，若时，求的长．
22．综合与实践
如图，这个图案是世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点．
（1）【观察感知】如图，通过观察，线段与的数量关系是______；
（2）【问题解决】如图，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积；
（3）【拓展延伸】在（2）的条件下，在直线上找点，使，请直接写出线段的长度．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】A
4．【答案】D
5．【答案】C
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】A
9．【答案】B
10．【答案】8
11．【答案】
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】
17．【答案】解：原式=
．
18．【答案】解：如图，过点G作于点H，过点F分别作于点M，交BC于点P，于点N，
则，
在中，，，
∴，
∵点E到地面l的距离为2米，四边形为矩形，点B，C在地面l上，
∴，，四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴操作平台G到l的距离为米
19．【答案】（1）证明：连接。
为的直径，
（直径所对的圆周角是直角），
（直角三角形的两个锐角互余）；
，，
平分，即；
，
，
，即，
是半径，
为的切线。
（2）解：由（1）知：，，，
，
，
，
过点作于点．
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
即，
。
20．【答案】（1）解：过O作于O，过A作于G，
∵米，，
∴米，米，
∵，
∴，
在中，（米），
点A位于最高点时到地面的距离为（米），
答：点A位于最高点时到地面的距离为米；
（2）解：过O作，过B作于C，过作于D，
∵，
∴，，
∵（米），
在中，（米），
在中，（米），
∴（米），
∴此时水桶B上升的高度为米．
21．【答案】解：（1）∵四边形是矩形，则，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴；
（2）∵在菱形中，，
∴，，
则，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
（3）①当点在边上时，如图所示，延长交的延长线于点，连接，过点作于点，
∵平行四边形中，，，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴
∴
在中，，
则，，
∴
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴
设，则，，，
∴
解得：或，
即或，
②当点在边上时，如图所示，
连接，延长交的延长线于点，过点作，则，四边形是平行四边形，
设，则，，
∵
∴
∴，
∴
∴，
∵
∴
过点作于点，
在中，，
∴，，
∴，则，
∴，
∴，
，
∴
∴，
即，
∴
即
解得：（舍去）
即；
③当点在边上时，如图所示，
过点作于点，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴点不可能在边上，
综上所述，的长为或或．
22．【答案】（1）
（2）解：由（1）知：，又，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为；
（3）解：∵，，
∴.
①当点P在点B的右侧时，过点P作PQ⊥CB交CB的延长线于点Q，如图所示：
∵∠CAB=∠PQB，∠ABC=∠QBP，
∴△ABC∽△QBP，
∴.
∴，
∵，设QB=a，则QP=3a，
∴，
∴.
∴，
∴；
②当点P在点B的左侧时，过点P作PQ⊥CB于点Q，如图所示：
易证△ABC∽△QBP，
∴.
∴，
∵，设QB=a，则QP=3a，
∴，
∴.
∴，
∴；
综上所述，的长度为或．
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