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广东省深圳市福田区外国语学校2025-2026学年九年级第二学期素养练习数学试卷（3月）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的)
1．（2026九下·福田开学考）下列四个几何体，俯视图为三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A选项：球的俯视图是圆，故A选项不符合题意；
B选项：正方体的俯视图是正方形，故B选项不符合题意；
C选项：三棱柱的俯视图是三角形，故C选项符合题意；
D选项：四棱台的俯视图是大正方形里面有一个小正方形，故D选项不符合题意．
故选：C．
【分析】根据从几何体的上方看到的几何体的平面图形是俯视图解答即可.．
2．（2026九下·福田开学考）某区为了解初中生近视情况，对全区初中生开展视力随机抽查，结果如下表.根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率估计，最合理的选项是（　　）.
累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800
近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.400 0.401 0.413 0.409 0.410
A．0.423 B．0.410 C．0.413 D．0.400
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵随着累计抽测学生数的增大，近视的学生数与n的比值逐渐稳定于0.410，
∴对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是0.410，
故答案为：B．
【分析】利用大量重复实验时的频率可估计概率求解即可．
3．（2026九下·福田开学考）关于反比例函数 下列说法错误的是 （　　）
A．图象关于原点对称
B．若点M（a， b)在其图象上， 则 ab=3
C．图象分别位于第一、三象限，并且y随x的增大而减小
D．当y≥3时， 0【答案】C
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、∵双曲线的图象关于原点对称，∴A正确；
B、∵点M（a，b）在反比例函数图象上，可得ab=3，∴B正确；
C、∵k=3>，∴图象分别位于第一、三象限，在每个象限中y随x的增大而减小，∴C不正确；
D、∵∴ 当y≥3时， 0故答案为：C.
【分析】利用反比例函数的图象、性质与系数的关系以及函数图象上点坐标的特征分析求解即可.
4．（2026九下·福田开学考）黄金分割是汉字结构遵循的基本美学规律.如图，汉字“十”端庄稳重、舒展美观，横竖笔画交接处的点C恰好是线段AB的黄金分割点（BC>AC)， 若AB =2， 则BC的长为（　　)
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，
∴BC＝AB，
∵AB＝2cm，
∴BC＝×2＝（）cm，
故答案为：B．
【分析】利用点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，AB＝2cm，求得BC＝AB，再求解即可.
5．（2026九下·福田开学考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．6 B．12 C．24 D．48
【答案】C
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴BO=DO，AB=BC=CD=DA，
∵OE=3，且点E为CD的中点，
是的中位线，
∴BC=2OE=6．
∴菱形ABCD的周长为：4BC=4×6=24．
故选：C．
【分析】根据菱形性质可得BO=DO，AB=BC=CD=DA，根据三角形中位线定理可得BC，再根据菱形周长即可求出答案.
6．（2026九下·福田开学考）某地正午时，太阳光线与地面形成的夹角为35°，为了使太阳能板获得最大效率，需将其倾斜角调整为与太阳光线垂直.已知太阳能板的长度为1.8米，此时太阳能板顶端离地面的垂直高度为（　　）
A．1.8×sin55°米 B．1.8×sin35°米
C．1.8×cos55°米 D．1.8×tan55°米
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：由题意得：∠ABC＝55°，
∵sin∠ABC＝，AB＝1.8m，
∴AC＝ABsin∠ABC＝1.8×sin55米，
故答案为：A．
【分析】先求出∠ABC＝55°，再利用正弦的定义可得sin∠ABC＝，最后将数据代入求解即可.
7．（2026九下·福田开学考）如图， 直线 y=-x+m与双曲线 交于点A （-1， 3) 和点B， 则不等式 的解集是（　　）
A．x<-1或x>3 B．- 1C．x<-1或03
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由条件可得3＝1＋m，
∴m＝2，
∴一次函数为y＝ x＋2，
把A（ 1，3）代入y＝得，3＝，
∴k＝ 3，
∴反比例函数为y＝，
由，
解得：或，
∴B（3， 1），
由图象可得，当 1＜x＜0或x＞3时， x＋m＜，
故答案为：D．
【分析】先利用待定系数法求出一次函数与反比例函数的解析式，再求出B点坐标，最后结合图象求解即可.
8．（2026九下·福田开学考）已知抛物线 上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x … -1 0 1 2 3 …
y … 3 0 -1 m 3 …
①抛物线开口向上；②抛物线的对称轴为直线x=1；③m的值为-1；④图象经过一、二、四象限；⑤抛物线在y轴左侧的部分是上升的.上述结论中正确的是（　　）
A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是（1， 1），有最小值，
∴抛物线的开口向上，
故①符合题意；
抛物线的对称轴是直线x＝1，
故②符合题意；
当x＝0或x＝2时，y＝0，
故m的值为0，
故③不符合题意；
由条件可知图象不过第三象限，图象经过一、二、四象限；
故④符合题意；
∵抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴抛物线在直线x＝1右侧的部分是上升的．
故⑤不符合题意．
∴符合题意的有①②④，
故答案为：A．
【分析】根据抛物线的顶点坐标是（1， 1），有最小值，判断①；根据抛物线的对称轴是直线x＝1，判断②；根据x＝0与x＝2对称，判断③；根据图象过原点，对称轴在原点右则，判断④；抛物线在直线x＝1右侧的部分是上升的．判断⑤．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分)
9．（2026九下·福田开学考）若，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：，
设，
，
故答案为：．
【分析】设，再代入分式，化简即可求出答案.
10．（2026九下·福田开学考）若是方程的一个根，则的值为　 　．
【答案】2
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把 代入方程 得，即，
所以，
解得，
故答案为：2．
【分析】将x=1代入方程可得关于m的一次方程，再解方程即可求出答案.
11．（2026九下·福田开学考）如图，一人乘雪橇沿坡度为1： 的斜坡笔直下滑72米，那么他下降的高度为　 　米.
【答案】36
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：设斜坡的角度为α，
∵坡度比为1：，即tanα＝，
∴α＝30°．
∴其下降的高度＝72×sin30°＝36（米）．
故答案为：36.
【分析】先求出坡角为30度，再利用解直角三角形的方法列出算式求解即可.
12．（2026九下·福田开学考）如图， 点A在y轴的正半轴上， 以OA为边在OA左侧作菱形OABC， 且 ∠AOC =60°，反比例函数 的图象经过点C，若菱形OABC的面积是12，则k的值为　 　.
【答案】-6
【知识点】菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵四边形OABC是菱形，
∴BC∥OA，
延长BC交x轴于D，则CD⊥x轴，过点C作y轴的垂线，垂足为E，
设菱形的边长为a，
∴OC＝a，
∵∠AOC＝60°，
∴CE＝a，OE＝CD＝a，
∵菱形OABC的面积是12，
∴OA CE＝a a＝12，
∴|k|＝CD DE＝a a＝×12＝6，
∵k＜0，
∴k＝ 6，
故答案为： 6．
【分析】延长BC交x轴于D，则CD⊥x轴，过点C作y轴的垂线，垂足为E，设菱形的边长为a，根据∠AOC＝60°，求出CE＝a，OE＝CD＝a，然后根据菱形的面积为12以及矩形CDOE的面积求出k的值．
13．（2026九下·福田开学考）△ABC和△DEF均为等腰直角三角形，按如图所示的方式放置，△DEF的顶点D与△ABC斜边BC的中点重合， 边DE、DF与边AB、AC相交于点G，H， 若AB = AC = 4， ∠EDF = 45°， sin∠AGH = 则△DGH的面积为　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；解直角三角形；等腰直角三角形；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵∠A＝90°，sin∠AGH＝，
∴令AH＝4x，GH＝5x，
∴由勾股定理得，AG＝＝3x．
∵AB＝AC＝4，
∴BG＝4 3x，CH＝4 4x.
∵∠B＝∠EDF＝45°，
∴∠BGD＋∠BDG＝∠BDG＋∠CDH＝135°，
∴∠BGD＝∠CDH，
∵∠B＝∠C，
∴△BDG∽△CHD，
∴=．
∵点D为BC中点，且BC＝，
∴BD＝CD＝，
∴，
解得：x1＝2，x2＝．
当x＝2时，
AH＝4×2＝8＞4，故舍去．
当x＝时，AH＝＜4，且CH＝4 ＝＞0，故符合题意．
∴BG＝4 3×＝3，CH＝4 4×＝．
过点G作BD的垂线，垂足为M，如图所示：
在Rt△BGM中，sinB＝，
∴，
∴GM＝，
∴S△BDG＝××＝3．
同理可得，S△CDH＝．
∵S△AGH＝××1＝，S△ABC＝×4×4＝8，
∴S△DGH＝8 3 ＝．
故答案为：．
【分析】利用sin∠AGH＝可设AH及GH的长，进而可表示出BG和CH的长，利用“一线三等角”证明△BDG和△CHD相似，利用对应边成比例可求出AH及GH的长，进而解决问题．
三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题8分，第16题8分，第17题9分, 第18题10分, 第19题10分, 第20题11分, 共61分)
14．（2026九下·福田开学考）计算：
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先利用0指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值的性质化简，再计算即可.
15．（2026九下·福田开学考）解方程
（1）
（2）3x（x-1)=2x-2.
【答案】（1）解：
∵a=2， b=1， c=-2，
∴△=1-4×2×(-2)=1+16=17>0，
（2）解：原方程可变形为3x(x-1)-2(x-1)=0，
∴(3x-2)(x-1)=0，
∴3x-2 =0或x-1=0，
解得：
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程的公式法的计算方法及步骤分析求解即可；
（2）利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可.
16．（2026九下·福田开学考）为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种).根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有　 　名，补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是　 　；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少
【答案】（1）35
（2）36°
（3）解：设甲、乙、丙、丁四名同学分别用字母A，B，C，D表示，根据题意画树状图如下：
∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种，
∴P(甲、乙两人被选中)
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：(1)解：根据题意得本次被调查的学生人数= (人)，
喜爱足球的人数为： 100-30-20-10-5=35(人)，
故答案为：35；
（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数为 ×360°＝36°．
故答案为：36°．
【分析】（1）用选择“篮球”的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数；求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可．
（2）用选择“羽毛球”的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以360°即可．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
17．（2026九下·福田开学考）如图， AC 是矩形 ABCD 的对角线.
（1）请用圆规和无刻度的直尺，分别在BC，AD上找点E，F，使得四边形 AECF为菱形；
（2）在（1）条件下， 若CD = 3， AD = 6， 求菱形AECF的面积.
【答案】（1）解：如图所示，点E，点F即为所求.
（2）解：∵CD=3， AD=6，
∵EF垂直平分AC，
菱形AECF的面积 .
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的作图方法作出线段AC的垂直平分线即可；
（2）先利用勾股定理求出AC的长，再利用垂直平分线的性质可得，利用解直角三角形的方法求出AF的长，最后利用菱形的面积公式求解即可.
18．（2026九下·福田开学考）根据以下素材，探索完成任务.
如何设计马年吉祥物套装的销售盈利方案
素材一 2026年是农历丙午马年，蕴含龙马精神美好寓意的“马”元素吉祥公仔备受市场青睐，某工厂紧抓新春消费机遇，自去年年底起批量生产马年吉祥物套装，主打线上线下同步销售的模式。该套装做工精致、寓意喜庆，市场需求持续攀升，其每套生产成本固定为4Q元，兼具颜值与性价比，成为新春送礼与收藏的热门之选。
素材二 该工厂市场调研发现，马年吉祥物套装的每月销售量y（套)与销售单价x（元/套)之间的关系如图所示：
【问题解决】
任务一 确定函数模型 求该品牌马年吉祥物套装的月销售量 y （套)关于销售单价x（元/套)的函数表达式.
任务二 计算定价金额 若该工厂希望每月销售马年吉祥物套装的利润达到 6000 元，且尽可能让利于顾客，每套吉祥物套装应定价多少元
任务三 拟定最优售价方案 当该工厂马年吉祥物套装的销售单价定为多少元时，每月销售利润最大 最大利润是多少元
【答案】解：【任务一】设y关于x的函数表达式为y =kx+b.
将点(50，400)， (60，300)代入y = kx+b中，
得
解得
∴y关于x的函数解析式为y=-10x+900(40≤x≤90).
【任务二】由题意得， 每套利润为(x-40)元， 月销售量为(-10x+900)套，
可列方程， (x-40)(-10x+900)=6000，
解得， x1=60， x1= 70，
∵要尽可能让利于顾客，
∴选择较低定价。
答：每套吉祥物套装应定价60元。
【任务三】设每月销售利润为w元，
w=(x-40)y=(x-40)(-10x+900)=-10x2+1300x-36000
整理得， )
∵a=-10<0，二次函数图象开口向下，
∴当x=65时， w取得最大值，
此时， 最大利润为w =6250元。
答：当销售单价定为65元/套时，每月销售利润最大，最大利润为6250元。
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】【任务一】利用待定系数法求出函数解析式即可；
【任务二】利用“ 每月销售马年吉祥物套装的利润达到 6000 元 ”列出方程 (x-40)(-10x+900)=6000， 再求解即可；
【任务三】设每月销售利润为w元，利用“总利润=每件利润×数量”列出函数解析式w=(x-40)y=(x-40)(-10x+900)=-10x2+1300x-36000，最后利用二次函数的性质求解即可.
19．（2026九下·福田开学考）阅读理解：我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形.如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把 的值叫做这个平行四边形的变形度.
（1）若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120°，则这个平行四边形的变形度是 　 　；
（2）若矩形的面积为 S1，其变形后的平行四边形面积为 试猜想 之间的数量关系，并说明理由；
（3） 如图2， 在矩形ABCD中， E是AD边上的一点， 且 这个矩形发生变形后为 为E 的对应点，连接. 若矩形 ABCD 的面积为 的面积为 求 的大小.
【答案】（1）
（2）解：
理由：如图1，设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，
∴
∴
（3）解：如图2，
即
，
由(2) 知，
可知
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；解直角三角形；四边形的综合
【解析】【解答】解：(1) ∵平行四边形有一个内角是120°，
∴α=60°，
故答案为： .
【分析】（1）利用特殊角的三角函数值求解即可；
（2）设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，求出，再结合，可得；
（3）先求出，再结合，可得，求出，最后求出即可.
20．（2026九下·福田开学考）我们把一直角边是另一直角边2倍的直角三角形称为“倍勾三角形”，如图1，在△ABC中， 于D，P是射线AB上的一个动点（不与D重合)，E是线段PC的中点，将点E绕点P顺时针方向旋转 得到点F， 连接FB， FC， FP.
（1）下列三角形： ①△PCF， ②△DCB， ③△DCA， 其中是“倍勾三角形”的有　 　（填序号)；
（2）求证： CB⊥BF；
（3）连接FA，如图2，当F，E，A三点在一直线上时，△BCF是否为“倍勾三角形”，如果是，请证明；如果不是，求 的值；
（4）当△BCF为“倍勾三角形”时，直接写出所有可能的AP的长度.
【答案】（1）①②
（2）证明：设BF交PC于O，延长CB交FP的延长线与M，如图所示：
∵△DCB， △PCF都是“倍勾三角形”，
∴△DCB∽△PCF，
∴∠CBD =∠MBP =∠CFB，
∴∠BMP =∠CMF，
∴△MBP∽△MFC，
∵∠M =∠M，
∴△MCP∽△MFB，
∴∠MCP =∠MFB，
∵∠CDB =∠FOP，
∴∠CBO =∠OPF =90°，
即CB⊥BF；
（3）解：结论： △BCF不是“倍勾三角形”，
理由：如图2中，
由题意： PE = PF =CE， ∠PEF =∠AEC =45°，
设PF = PE = CE =a，
∵∠AEC =∠EAP +∠APE， ∠CAD =∠CAD +∠EAP =45°，
∴∠CAE =∠CPA，
∵∠ACE =∠ACP，
∴△ACE∽△PCA，
∴a=2，
∴PC =4， CD =2， PC=2CD，
∴∠CPD =30°， ∠DCP =∠BCF =60°，
∴∠CFB=30°，
∴△BCF不是“倍勾三角形”，
∴.
（4）1或3或6.
【知识点】三角形的综合；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）如图1中，
∵CD⊥AB，∠A＝45°，AC＝，
∴AD＝CD＝2，
∴△ACD不是“倍勾三角形”．
∵AB＝3，
∴BD＝AB AD＝1，
∴CD＝2BD，
∴△BCD是“倍勾三角形”，
∵∠CPF＝90°，PC＝2PF，
∴△PCF是“倍勾三角形”，
故答案为：①②．
（4）解：如图3中， 当BC=2BF时， 作FH⊥AB于H，如图所示：
易证∠DCB =∠FBH，
设FH =x， BH=2x，
在Rt△BFH中，
解得
∴BH=1，
∴C、D、H、F共线，
易证△PDC∽△FDP， 可得
∴PD =1，
∴AP =AD-PD =1.
如图4中， 同法可以假设FH =x， BH =2x，
在Rt△BFH中， 或
解得：或2，
设PB =y，
∵△CDP∽△PHF，
或
解得：y=0或3，
∴AP=3或6，
综上所述，满足条件的AP的值为1或3或6.
故答案为：1或3或6.
【分析】（1）利用“ 倍勾三角形 ”的定义逐项分析判断即可；
（2）设BF交PC于O，延长CB交FP的延长线与M，先证出△MBP∽△MFC，再利用相似三角形的性质和等量代换可得 ，再证出△MCP∽△MFB， 利用相似三角形的性质可得∠MCP =∠MFB，最后利用等量代换可得∠CBO =∠OPF =90°，即可证出CB⊥BF；
（3）设PF = PE = CE =a，先证出△ACE∽△PCA，再利用相似三角形的性质可得 ，将数据代入求出a的值，再求出∠CFB=30°，可得从而证出△BCF不是“倍勾三角形”，；
（4）分类讨论，先分别画出图形，再设FH =x， BH=2x，利用勾股定理和相似三角形的性质分别列出方程求解即可.
1 / 1广东省深圳市福田区外国语学校2025-2026学年九年级第二学期素养练习数学试卷（3月）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的)
1．（2026九下·福田开学考）下列四个几何体，俯视图为三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2026九下·福田开学考）某区为了解初中生近视情况，对全区初中生开展视力随机抽查，结果如下表.根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率估计，最合理的选项是（　　）.
累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800
近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.400 0.401 0.413 0.409 0.410
A．0.423 B．0.410 C．0.413 D．0.400
3．（2026九下·福田开学考）关于反比例函数 下列说法错误的是 （　　）
A．图象关于原点对称
B．若点M（a， b)在其图象上， 则 ab=3
C．图象分别位于第一、三象限，并且y随x的增大而减小
D．当y≥3时， 04．（2026九下·福田开学考）黄金分割是汉字结构遵循的基本美学规律.如图，汉字“十”端庄稳重、舒展美观，横竖笔画交接处的点C恰好是线段AB的黄金分割点（BC>AC)， 若AB =2， 则BC的长为（　　)
A． B． C． D．无法确定
5．（2026九下·福田开学考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．6 B．12 C．24 D．48
6．（2026九下·福田开学考）某地正午时，太阳光线与地面形成的夹角为35°，为了使太阳能板获得最大效率，需将其倾斜角调整为与太阳光线垂直.已知太阳能板的长度为1.8米，此时太阳能板顶端离地面的垂直高度为（　　）
A．1.8×sin55°米 B．1.8×sin35°米
C．1.8×cos55°米 D．1.8×tan55°米
7．（2026九下·福田开学考）如图， 直线 y=-x+m与双曲线 交于点A （-1， 3) 和点B， 则不等式 的解集是（　　）
A．x<-1或x>3 B．- 1C．x<-1或03
8．（2026九下·福田开学考）已知抛物线 上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x … -1 0 1 2 3 …
y … 3 0 -1 m 3 …
①抛物线开口向上；②抛物线的对称轴为直线x=1；③m的值为-1；④图象经过一、二、四象限；⑤抛物线在y轴左侧的部分是上升的.上述结论中正确的是（　　）
A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分)
9．（2026九下·福田开学考）若，则的值是　 　．
10．（2026九下·福田开学考）若是方程的一个根，则的值为　 　．
11．（2026九下·福田开学考）如图，一人乘雪橇沿坡度为1： 的斜坡笔直下滑72米，那么他下降的高度为　 　米.
12．（2026九下·福田开学考）如图， 点A在y轴的正半轴上， 以OA为边在OA左侧作菱形OABC， 且 ∠AOC =60°，反比例函数 的图象经过点C，若菱形OABC的面积是12，则k的值为　 　.
13．（2026九下·福田开学考）△ABC和△DEF均为等腰直角三角形，按如图所示的方式放置，△DEF的顶点D与△ABC斜边BC的中点重合， 边DE、DF与边AB、AC相交于点G，H， 若AB = AC = 4， ∠EDF = 45°， sin∠AGH = 则△DGH的面积为　 　.
三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题8分，第16题8分，第17题9分, 第18题10分, 第19题10分, 第20题11分, 共61分)
14．（2026九下·福田开学考）计算：
15．（2026九下·福田开学考）解方程
（1）
（2）3x（x-1)=2x-2.
16．（2026九下·福田开学考）为了培养青少年体育兴趣、体育意识，某校初中开展了“阳光体育活动”，决定开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、排球这五项球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种).根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有　 　名，补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数是　 　；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，则甲和乙同学同时被选中的概率是多少
17．（2026九下·福田开学考）如图， AC 是矩形 ABCD 的对角线.
（1）请用圆规和无刻度的直尺，分别在BC，AD上找点E，F，使得四边形 AECF为菱形；
（2）在（1）条件下， 若CD = 3， AD = 6， 求菱形AECF的面积.
18．（2026九下·福田开学考）根据以下素材，探索完成任务.
如何设计马年吉祥物套装的销售盈利方案
素材一 2026年是农历丙午马年，蕴含龙马精神美好寓意的“马”元素吉祥公仔备受市场青睐，某工厂紧抓新春消费机遇，自去年年底起批量生产马年吉祥物套装，主打线上线下同步销售的模式。该套装做工精致、寓意喜庆，市场需求持续攀升，其每套生产成本固定为4Q元，兼具颜值与性价比，成为新春送礼与收藏的热门之选。
素材二 该工厂市场调研发现，马年吉祥物套装的每月销售量y（套)与销售单价x（元/套)之间的关系如图所示：
【问题解决】
任务一 确定函数模型 求该品牌马年吉祥物套装的月销售量 y （套)关于销售单价x（元/套)的函数表达式.
任务二 计算定价金额 若该工厂希望每月销售马年吉祥物套装的利润达到 6000 元，且尽可能让利于顾客，每套吉祥物套装应定价多少元
任务三 拟定最优售价方案 当该工厂马年吉祥物套装的销售单价定为多少元时，每月销售利润最大 最大利润是多少元
19．（2026九下·福田开学考）阅读理解：我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形.如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把 的值叫做这个平行四边形的变形度.
（1）若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120°，则这个平行四边形的变形度是 　 　；
（2）若矩形的面积为 S1，其变形后的平行四边形面积为 试猜想 之间的数量关系，并说明理由；
（3） 如图2， 在矩形ABCD中， E是AD边上的一点， 且 这个矩形发生变形后为 为E 的对应点，连接. 若矩形 ABCD 的面积为 的面积为 求 的大小.
20．（2026九下·福田开学考）我们把一直角边是另一直角边2倍的直角三角形称为“倍勾三角形”，如图1，在△ABC中， 于D，P是射线AB上的一个动点（不与D重合)，E是线段PC的中点，将点E绕点P顺时针方向旋转 得到点F， 连接FB， FC， FP.
（1）下列三角形： ①△PCF， ②△DCB， ③△DCA， 其中是“倍勾三角形”的有　 　（填序号)；
（2）求证： CB⊥BF；
（3）连接FA，如图2，当F，E，A三点在一直线上时，△BCF是否为“倍勾三角形”，如果是，请证明；如果不是，求 的值；
（4）当△BCF为“倍勾三角形”时，直接写出所有可能的AP的长度.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A选项：球的俯视图是圆，故A选项不符合题意；
B选项：正方体的俯视图是正方形，故B选项不符合题意；
C选项：三棱柱的俯视图是三角形，故C选项符合题意；
D选项：四棱台的俯视图是大正方形里面有一个小正方形，故D选项不符合题意．
故选：C．
【分析】根据从几何体的上方看到的几何体的平面图形是俯视图解答即可.．
2．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵随着累计抽测学生数的增大，近视的学生数与n的比值逐渐稳定于0.410，
∴对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是0.410，
故答案为：B．
【分析】利用大量重复实验时的频率可估计概率求解即可．
3．【答案】C
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、∵双曲线的图象关于原点对称，∴A正确；
B、∵点M（a，b）在反比例函数图象上，可得ab=3，∴B正确；
C、∵k=3>，∴图象分别位于第一、三象限，在每个象限中y随x的增大而减小，∴C不正确；
D、∵∴ 当y≥3时， 0故答案为：C.
【分析】利用反比例函数的图象、性质与系数的关系以及函数图象上点坐标的特征分析求解即可.
4．【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，
∴BC＝AB，
∵AB＝2cm，
∴BC＝×2＝（）cm，
故答案为：B．
【分析】利用点C是线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，AB＝2cm，求得BC＝AB，再求解即可.
5．【答案】C
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴BO=DO，AB=BC=CD=DA，
∵OE=3，且点E为CD的中点，
是的中位线，
∴BC=2OE=6．
∴菱形ABCD的周长为：4BC=4×6=24．
故选：C．
【分析】根据菱形性质可得BO=DO，AB=BC=CD=DA，根据三角形中位线定理可得BC，再根据菱形周长即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：由题意得：∠ABC＝55°，
∵sin∠ABC＝，AB＝1.8m，
∴AC＝ABsin∠ABC＝1.8×sin55米，
故答案为：A．
【分析】先求出∠ABC＝55°，再利用正弦的定义可得sin∠ABC＝，最后将数据代入求解即可.
7．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由条件可得3＝1＋m，
∴m＝2，
∴一次函数为y＝ x＋2，
把A（ 1，3）代入y＝得，3＝，
∴k＝ 3，
∴反比例函数为y＝，
由，
解得：或，
∴B（3， 1），
由图象可得，当 1＜x＜0或x＞3时， x＋m＜，
故答案为：D．
【分析】先利用待定系数法求出一次函数与反比例函数的解析式，再求出B点坐标，最后结合图象求解即可.
8．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是（1， 1），有最小值，
∴抛物线的开口向上，
故①符合题意；
抛物线的对称轴是直线x＝1，
故②符合题意；
当x＝0或x＝2时，y＝0，
故m的值为0，
故③不符合题意；
由条件可知图象不过第三象限，图象经过一、二、四象限；
故④符合题意；
∵抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴抛物线在直线x＝1右侧的部分是上升的．
故⑤不符合题意．
∴符合题意的有①②④，
故答案为：A．
【分析】根据抛物线的顶点坐标是（1， 1），有最小值，判断①；根据抛物线的对称轴是直线x＝1，判断②；根据x＝0与x＝2对称，判断③；根据图象过原点，对称轴在原点右则，判断④；抛物线在直线x＝1右侧的部分是上升的．判断⑤．
9．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：，
设，
，
故答案为：．
【分析】设，再代入分式，化简即可求出答案.
10．【答案】2
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把 代入方程 得，即，
所以，
解得，
故答案为：2．
【分析】将x=1代入方程可得关于m的一次方程，再解方程即可求出答案.
11．【答案】36
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：设斜坡的角度为α，
∵坡度比为1：，即tanα＝，
∴α＝30°．
∴其下降的高度＝72×sin30°＝36（米）．
故答案为：36.
【分析】先求出坡角为30度，再利用解直角三角形的方法列出算式求解即可.
12．【答案】-6
【知识点】菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵四边形OABC是菱形，
∴BC∥OA，
延长BC交x轴于D，则CD⊥x轴，过点C作y轴的垂线，垂足为E，
设菱形的边长为a，
∴OC＝a，
∵∠AOC＝60°，
∴CE＝a，OE＝CD＝a，
∵菱形OABC的面积是12，
∴OA CE＝a a＝12，
∴|k|＝CD DE＝a a＝×12＝6，
∵k＜0，
∴k＝ 6，
故答案为： 6．
【分析】延长BC交x轴于D，则CD⊥x轴，过点C作y轴的垂线，垂足为E，设菱形的边长为a，根据∠AOC＝60°，求出CE＝a，OE＝CD＝a，然后根据菱形的面积为12以及矩形CDOE的面积求出k的值．
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；解直角三角形；等腰直角三角形；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵∠A＝90°，sin∠AGH＝，
∴令AH＝4x，GH＝5x，
∴由勾股定理得，AG＝＝3x．
∵AB＝AC＝4，
∴BG＝4 3x，CH＝4 4x.
∵∠B＝∠EDF＝45°，
∴∠BGD＋∠BDG＝∠BDG＋∠CDH＝135°，
∴∠BGD＝∠CDH，
∵∠B＝∠C，
∴△BDG∽△CHD，
∴=．
∵点D为BC中点，且BC＝，
∴BD＝CD＝，
∴，
解得：x1＝2，x2＝．
当x＝2时，
AH＝4×2＝8＞4，故舍去．
当x＝时，AH＝＜4，且CH＝4 ＝＞0，故符合题意．
∴BG＝4 3×＝3，CH＝4 4×＝．
过点G作BD的垂线，垂足为M，如图所示：
在Rt△BGM中，sinB＝，
∴，
∴GM＝，
∴S△BDG＝××＝3．
同理可得，S△CDH＝．
∵S△AGH＝××1＝，S△ABC＝×4×4＝8，
∴S△DGH＝8 3 ＝．
故答案为：．
【分析】利用sin∠AGH＝可设AH及GH的长，进而可表示出BG和CH的长，利用“一线三等角”证明△BDG和△CHD相似，利用对应边成比例可求出AH及GH的长，进而解决问题．
14．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先利用0指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值的性质化简，再计算即可.
15．【答案】（1）解：
∵a=2， b=1， c=-2，
∴△=1-4×2×(-2)=1+16=17>0，
（2）解：原方程可变形为3x(x-1)-2(x-1)=0，
∴(3x-2)(x-1)=0，
∴3x-2 =0或x-1=0，
解得：
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程的公式法的计算方法及步骤分析求解即可；
（2）利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可.
16．【答案】（1）35
（2）36°
（3）解：设甲、乙、丙、丁四名同学分别用字母A，B，C，D表示，根据题意画树状图如下：
∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，符合条件的有两种，
∴P(甲、乙两人被选中)
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：(1)解：根据题意得本次被调查的学生人数= (人)，
喜爱足球的人数为： 100-30-20-10-5=35(人)，
故答案为：35；
（2）扇形统计图中“羽毛球”对应的扇形的圆心角度数为 ×360°＝36°．
故答案为：36°．
【分析】（1）用选择“篮球”的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数；求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可．
（2）用选择“羽毛球”的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以360°即可．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
17．【答案】（1）解：如图所示，点E，点F即为所求.
（2）解：∵CD=3， AD=6，
∵EF垂直平分AC，
菱形AECF的面积 .
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的作图方法作出线段AC的垂直平分线即可；
（2）先利用勾股定理求出AC的长，再利用垂直平分线的性质可得，利用解直角三角形的方法求出AF的长，最后利用菱形的面积公式求解即可.
18．【答案】解：【任务一】设y关于x的函数表达式为y =kx+b.
将点(50，400)， (60，300)代入y = kx+b中，
得
解得
∴y关于x的函数解析式为y=-10x+900(40≤x≤90).
【任务二】由题意得， 每套利润为(x-40)元， 月销售量为(-10x+900)套，
可列方程， (x-40)(-10x+900)=6000，
解得， x1=60， x1= 70，
∵要尽可能让利于顾客，
∴选择较低定价。
答：每套吉祥物套装应定价60元。
【任务三】设每月销售利润为w元，
w=(x-40)y=(x-40)(-10x+900)=-10x2+1300x-36000
整理得， )
∵a=-10<0，二次函数图象开口向下，
∴当x=65时， w取得最大值，
此时， 最大利润为w =6250元。
答：当销售单价定为65元/套时，每月销售利润最大，最大利润为6250元。
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】【任务一】利用待定系数法求出函数解析式即可；
【任务二】利用“ 每月销售马年吉祥物套装的利润达到 6000 元 ”列出方程 (x-40)(-10x+900)=6000， 再求解即可；
【任务三】设每月销售利润为w元，利用“总利润=每件利润×数量”列出函数解析式w=(x-40)y=(x-40)(-10x+900)=-10x2+1300x-36000，最后利用二次函数的性质求解即可.
19．【答案】（1）
（2）解：
理由：如图1，设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，
∴
∴
（3）解：如图2，
即
，
由(2) 知，
可知
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；解直角三角形；四边形的综合
【解析】【解答】解：(1) ∵平行四边形有一个内角是120°，
∴α=60°，
故答案为： .
【分析】（1）利用特殊角的三角函数值求解即可；
（2）设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，求出，再结合，可得；
（3）先求出，再结合，可得，求出，最后求出即可.
20．【答案】（1）①②
（2）证明：设BF交PC于O，延长CB交FP的延长线与M，如图所示：
∵△DCB， △PCF都是“倍勾三角形”，
∴△DCB∽△PCF，
∴∠CBD =∠MBP =∠CFB，
∴∠BMP =∠CMF，
∴△MBP∽△MFC，
∵∠M =∠M，
∴△MCP∽△MFB，
∴∠MCP =∠MFB，
∵∠CDB =∠FOP，
∴∠CBO =∠OPF =90°，
即CB⊥BF；
（3）解：结论： △BCF不是“倍勾三角形”，
理由：如图2中，
由题意： PE = PF =CE， ∠PEF =∠AEC =45°，
设PF = PE = CE =a，
∵∠AEC =∠EAP +∠APE， ∠CAD =∠CAD +∠EAP =45°，
∴∠CAE =∠CPA，
∵∠ACE =∠ACP，
∴△ACE∽△PCA，
∴a=2，
∴PC =4， CD =2， PC=2CD，
∴∠CPD =30°， ∠DCP =∠BCF =60°，
∴∠CFB=30°，
∴△BCF不是“倍勾三角形”，
∴.
（4）1或3或6.
【知识点】三角形的综合；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）如图1中，
∵CD⊥AB，∠A＝45°，AC＝，
∴AD＝CD＝2，
∴△ACD不是“倍勾三角形”．
∵AB＝3，
∴BD＝AB AD＝1，
∴CD＝2BD，
∴△BCD是“倍勾三角形”，
∵∠CPF＝90°，PC＝2PF，
∴△PCF是“倍勾三角形”，
故答案为：①②．
（4）解：如图3中， 当BC=2BF时， 作FH⊥AB于H，如图所示：
易证∠DCB =∠FBH，
设FH =x， BH=2x，
在Rt△BFH中，
解得
∴BH=1，
∴C、D、H、F共线，
易证△PDC∽△FDP， 可得
∴PD =1，
∴AP =AD-PD =1.
如图4中， 同法可以假设FH =x， BH =2x，
在Rt△BFH中， 或
解得：或2，
设PB =y，
∵△CDP∽△PHF，
或
解得：y=0或3，
∴AP=3或6，
综上所述，满足条件的AP的值为1或3或6.
故答案为：1或3或6.
【分析】（1）利用“ 倍勾三角形 ”的定义逐项分析判断即可；
（2）设BF交PC于O，延长CB交FP的延长线与M，先证出△MBP∽△MFC，再利用相似三角形的性质和等量代换可得 ，再证出△MCP∽△MFB， 利用相似三角形的性质可得∠MCP =∠MFB，最后利用等量代换可得∠CBO =∠OPF =90°，即可证出CB⊥BF；
（3）设PF = PE = CE =a，先证出△ACE∽△PCA，再利用相似三角形的性质可得 ，将数据代入求出a的值，再求出∠CFB=30°，可得从而证出△BCF不是“倍勾三角形”，；
（4）分类讨论，先分别画出图形，再设FH =x， BH=2x，利用勾股定理和相似三角形的性质分别列出方程求解即可.
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