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浙江省浙里初中2026年升学联考仿真卷(一)数学试题
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分)
1．（2026·浙江模拟）-2的倒数是（　　）
A．-2 B．2 C．- D．
2．（2026·浙江模拟）如图，是由个棱长均为的正方体组成的几何体，它的左视图为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2026·浙江模拟） 截至2月8日（春运第7天）全社会跨区域人员流动量为227713000人次，227713000用科学记数法可表示为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2026·浙江模拟）如图，，若，则为（　　）
A． B． C． D．
5．（2026·浙江模拟） 计算某一组数据的方差算式如下：，根据该算式，得到下列结论：①一共有5个数据；②该数据的平均数是10；③该数据的标准差是；④若添加一个数据10，新数据的方差不变，其中正确的结论有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2026·浙江模拟） 古代粮仓用大、小两种量器称米．已知：每个大量器可装米5斗；每个小量器可装米4斗．管理员进行了两次称量，记录如下：第一次用3个大量器和2个小量器装米，称得米的重量为230斤；第二次用2个大量器和3个小量器装米，称得米的重量为220斤．设每个大量器可装米x斤，每个小量器可装米y斤，则可列出方程组（　　）
A． B．
C． D．
7．（2026·浙江模拟） 如图所示，和都是等边三角形，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．（2026·浙江模拟） 在平面直角坐标系中，点P是直线上一点，O为坐标原点，则的最小值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
9．（2026·浙江模拟） 如图，有一格点，现要找一点P，使得平分，甲、乙两位同学给出了他们的作法，请判断两人的作法是否正确（　　）
A．甲、乙都对 B．甲、乙都错 C．甲错、乙对 D．甲对、乙错
10．（2026·浙江模拟） 为筹备校园“正方形主题文化角”，工作人员用两个边长相同的正方形展板布置：如图，固定展板（顶点、在直线展台上）与移动展板（顶点、在直线展台上），移动展板可沿平移．设固定展板顶点与移动展板顶点的距离为（单位：）（），两个展板重叠部分的面积为（单位：），关于的函数图象如图所示．下列选项正确的是（　　）
A．正方形的对角线长为
B．当时，重叠面积
C．当时，重叠面积
D．函数图象的最高点的坐标为
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11．（2026·浙江模拟） 计算：　 　．
12．（2026·浙江模拟） 某超市进行购物抽奖活动：购物满58元即可参加一次抽奖，共设一等奖、二等奖、三等奖三种奖项，中奖概率，其中一等奖、二等奖、三等奖的比例是，则一名顾客抽奖一次获得一等奖的概率是　 　．
13．（2026·浙江模拟） 点关于y轴对称的点的坐标为　 　．
14．（2026·浙江模拟） 某河堤横断面如图所示，提高米，迎水坡AB的坡比是（即），则AB的长为　 　米．
15．（2026·浙江模拟） 七巧板是我国古代著名的益智玩具，由一个正方形分割成七块几何图形组成，现把正方形边长为的图1七巧板拼成“小天鹅”形状，并放置在图2所示的直角坐标系中，则最高点的坐标为　 　．
16．（2026·浙江模拟） 如图，直径，弦的平分线分别交、于点D，M，则线段的长为　 　．
三、解答题(本题有8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2026·浙江模拟） 先化简，再求值：，其中．
18．（2026·浙江模拟） 解方程：．
19．（2026·浙江模拟） 2025年3月30日是第30个全国中小学安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校举行了两次校园安全知识竞赛活动，某班有50名学生，现对这个班两次竞赛成绩（十分制）进行收集、整理和统计，画出如下统计图表．
第一次校园安全知识竞赛得分情况统计表
竞赛成绩（分） 5 7 8 9 10
人数（人） 2 1 13 16 18
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）两次校园安全知识竞赛得分的中位数分别是多少分？
（2）求该班第二次校园安全知识竞赛得分的平均分．
20．（2026·浙江模拟） 如图，一款杯子的轴截面可以抽象成等腰梯形（，，），某同学想知道该杯子最大盛水高度（即C到的距离）与杯子内底面的直径，通过测量，得到了如下数据：，．请帮该同学计算：
（1）杯子最大盛水高度：
（2）内底面的直径（的长度）
21．（2026·浙江模拟） 请同学们认真阅读下面求代数值的方法．
已知实数、满足，计算的值．
解：因为，
所以．
借鉴上面的方法，解决下列问题：
若实数a、b满足．
（1）求的值；
（2）求的值．
22．（2026·浙江模拟） 如图，在矩形中，以为直径作半圆O，切线的延长线交于点F，E为切点，对角线恰好过E点．
（1）求证：F为中点；
（2）求的长．
23．（2026·浙江模拟） 已知抛物线（b、c为常数）经过点．
（1）若抛物线经过点．
①求抛物线的函数表达式；
②若抛物线上的点在直线的上方，当时，求m的取值范围．
（2）若抛物线与x轴的另一个交点为C，与y轴的交点为D，求证：．
24．（2026·浙江模拟） 如图1，在中，．
（1）求的长，
（2）把绕点A逆时针旋转，点B、C的对应点分别为E、F．
①当点B的对应点E落在对角线上时，与的交点为G，求四边形的面积；
②如图2，点E在对角线下方时，线段的反向延长线交与点P，连接，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【分析】根据倒数定义可知，-2的倒数是-．
【解答】-2的倒数是-．
故选：C
【点评】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是
倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：解：从左边看，底层是两个小正方形，左边一列是三层，
则选项D符合题意．
故选：D．
【分析】根据组合体的三视图即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：用科学记数法可表示为，
故打答案为：A．
【分析】科学记数法的标准形式为，要求，为整数且的值等于小数点向左移动位数，据此得出结论．
4．【答案】D
【知识点】比例的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴，
∵，
∴，
∴=.
故答案为：D.
【分析】根据平行线分线段成比例定理"两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例"可得比例式并结合比例的性质即可求解.
5．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差；标准差
【解析】【解答】解：①原式中共有5个数据项，分母为5，因此一共有5个数据，①正确；
②方差公式中每个数据减去的是平均数，原式中每个项均为，因此平均数为10，②正确；
③已知方差，标准差为方差的算术平方根，因此标准差为，③正确；
④由原方差得原平方和为，添加数据10后，新数据总和为，新数据个数为6，因此新平均数为，新平方和为，新方差为，因此方差改变，④错误．
综上，正确的结论共3个，
故答案为：C．
【分析】根据方差、平均数、标准差的计算公式逐项判断解答即可．
6．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵每个大量器可装米斤，每个小量器可装米斤，
第一次称量，3个大量器和2个小量器，总重量为230斤，
∴可得方程 ，
∵第二次称量，2个大量器和3个小量器，总重量为220斤，
∴可得方程 ，
∴列方程组为，
故答案为：C．
【分析】设 每个大量器可装米x斤，每个小量器可装米y斤， 根据“ 3个大量器和2个小量器装米，称得米的重量为230斤；第二次用2个大量器和3个小量器装米，称得米的重量为220斤 ”列方程组解答即可．
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∵，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴，
又∵
∴
，
∴
．
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的性质，利用SAS得到，即可得到．进而得到，然后根据三角形的内角和定理解答即可．
8．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题；等积变换
【解析】【解答】解：当时，，
当时，
解得．
∴直线与坐标轴交于，．
∴，，为直角三角形．
∴．
∵当时，长度最小，且．
∴
解得，
即的最小值为．
故答案为：B.
【分析】根据垂线段最短可知当OP垂直AB时，OP最小，然后求出直线与坐标轴的交点A、B的坐标，利用勾股定理求出AB的长，再根据三角形的面积等积变形解答即可．
9．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等；运用勾股定理解决网格问题；在网格中求锐角三角函数值
10．【答案】B
【知识点】正方形的性质；平行四边形的面积；动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：∵四边形与四边形是两个相同的正方形，与是对角线，
∴，，，，
∴，
由图及图知：当（即点与点重合）时，，
当（即）时，，
此时，
∴，故选项A不正确；
∴，
∴，即正方形与正方形的边长为，
当时，此时点为的中点，如图，设交于点，交于点，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴重叠面积，故选项B正确；
当时，如图，设交于点，交于点，
∴，四边形是正方形，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴重叠面积，故选项C不正确；
由图及图知：当（即点与点重合）时，取得最大值，
此时正方形与正方形重合，
∵正方形的边长为，
∴此时重叠面积，
∴函数图象的最高点的坐标为，故选项D不正确。
故答案为：B.
【分析】根据题意结合图2可得判断A；当时，设交于点，交于点，即可得到，根据重叠部分为正方形，根据面积公式计算判断B；当时，设交于点，交于点，即可得到，利用重叠面积计算判断C；根据函数的对称性可知（即点与点重合）时，取得最大值，根据重叠面积计算判断D解答即可.
11．【答案】-1
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：
．
故答案为：-1.
【分析】根据乘方和算术平方根计算，然后运算减法解答即可.
12．【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：已知一等奖、二等奖、三等奖的比例为，计算总份数：，
因为中奖概率为，
因此抽奖一次获得一等奖的概率为．
故答案为：.
【分析】根据概率公式计算即可．
13．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于轴对称的点的坐标为．
故答案为：．
【分析】根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同解答即可．
14．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡比是，米，
∴米，
由勾股定理得（米）
故答案为：．
【分析】根据坡度的定义求出BC，再根据勾股定理求出AB长解答即可．
15．【答案】
【知识点】点的坐标；七巧板与拼图制作
【解析】【解答】解：由图可知，正方形边长为，
所以最小三角形最长边为2，高为，平行四边形长边长为2，小正方形可由两个最小三角形拼成，
且点在负半轴，
则点的坐标为．
故答案为：．
【分析】根据七巧板图形的特征得到点A的坐标即可．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接，过点作于点，
是圆的直径，
，
，，
，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】连接，过点作于点，根据直径所对的圆周角是直角得到，然后根据勾股定理求出，即可得到是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，判定是等腰直角三角形，求出，根据两脚对应相等得到，利用相似三角形的对应边成比例解答即可．
17．【答案】解：原式
，
当时，
．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先把括号内分时通分合并，再将除法转化成乘法约分化到最简分式，把x的值代入解答即可.
18．【答案】解：，
，
，
解得．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】先移项，然后提取公因式因式分解解一元二次方程即可．
19．【答案】（1）解：把第一次校园安全知识竞赛得分从小到大排列，居于中间的第25个和26个数据分别为9，9；即中位数为分；
把第二次校园安全知识竞赛得分从小到大排列，居于中间的第25个和26个数据分别为9，9；即中位数为分；
（2）解：分，
答： 该班第二次校园安全知识竞赛得分的平均分为8.7分．
【知识点】统计表；扇形统计图；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【分析】（1）分别将两组数据进行排列，找到居于中间的量个数据求平均数解答即可；
（2）根据加权平均数的计算公式计算即可．
20．【答案】（1）解：过C作，过A作，
∵，，，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，
，
，
，
杯子最大盛水高度为，内底面的直径为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）过C作，过A作，根据三线合一得到长，再根据勾股定理求出长，最后根据正弦的定义解答即可；
（2）根据余弦的定义得到，求出DM长，根据线段的和差解答即可.
21．【答案】（1）解：，
，
；
（2）解：由（1）得，，
，
．
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；因式分解的应用-化简求值
【解析】【分析】（1）仿照题目运算方法解答即可；
（2）利用题目中所给的方法，根据（1）中的数据，变形后整体代入解答即可．
22．【答案】（1）证明：∵，
为的切线，
又AE为切线，
，
，
在矩形ABCD中，，
，
，
，
、FC为切线，
，
，
为CD中点．
（2）解：、AE为切线
，
设
则，，
在中
，即，
又，，．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的判定；切线长定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先得到、CD为的切线，再根据切线长定理即可得到，，根据等边对等角得到，进而得到哦啊，即可得到，根据等量代换解答即即可；
（2）设，则，，再在中根据勾股定理求出x的值解答即可．
23．【答案】（1）解：①，
得，
；
②，
当时，；时，；
当时，m的取值范围是：；
（2）证明：当，，
当，即，
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；坐标系中的两点距离公式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）①运用待定系数法求二次函数的解析式即可；
②把二次函数化为顶点式，然后根据对称性得到时，；再根据二次函数的性质解答即可；
（2）把代入解析式求出，则函数关系式为，求出抛物线与坐标轴的交点坐标，再根据两点间距离解答即可．
24．【答案】（1）解：如图，作，交的延长线H，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
，
∴，即，
在中，可得，
∴，解得（负值舍去），
，则，
；
（2）解：①如图，作，交于点M，
由旋转可得，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
，，
，
∴，
令，
，
解得，
；
，
；
②如图，过点A作于点Q，过D作于M，
由（1）得，设，则，
∵，
∴
解得，
∴，．
∴，
在中，，
∵，
又∵，且，
∴
解得，
在中，，
∵P在上，
∴，
∴，
在中，，
∴，
，
∴，
∴，
要最小化，需最大化，即最小化．
由旋转性质得，，
∴，
由（2）得，，
当时，最小，也最小，
此时是中边上的高，
由旋转性质得，，
∴，即，
∴，解得，
在中，，
∴，
∴．
【知识点】垂线段最短及其应用；平行四边形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）作延长线于H，根据平行四边形的对边相等得到，然后根据正切的定义和勾股定理求出BH的长，进而求出AC的长解答即可；
（2）①根据旋转得，作，交于点M，根据正切的定义设，即可得到方程，解方程求出m的值，再根据求出面积即可；
②过点A作于点Q，过D作于M，根据勾股定理求出AD和BD的长，然后根据三角形的额面积求出AQ长，进而求出DQ的值，然后根据勾股定理将转化为，当时AP最小，代入求得最小值，再根据旋转的性质和勾股定理求出QP的长解答即可．
1 / 1浙江省浙里初中2026年升学联考仿真卷(一)数学试题
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分)
1．（2026·浙江模拟）-2的倒数是（　　）
A．-2 B．2 C．- D．
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【分析】根据倒数定义可知，-2的倒数是-．
【解答】-2的倒数是-．
故选：C
【点评】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是
倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．（2026·浙江模拟）如图，是由个棱长均为的正方体组成的几何体，它的左视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：解：从左边看，底层是两个小正方形，左边一列是三层，
则选项D符合题意．
故选：D．
【分析】根据组合体的三视图即可求出答案.
3．（2026·浙江模拟） 截至2月8日（春运第7天）全社会跨区域人员流动量为227713000人次，227713000用科学记数法可表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：用科学记数法可表示为，
故打答案为：A．
【分析】科学记数法的标准形式为，要求，为整数且的值等于小数点向左移动位数，据此得出结论．
4．（2026·浙江模拟）如图，，若，则为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】比例的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵AD∥BE∥CF，
∴，
∵，
∴，
∴=.
故答案为：D.
【分析】根据平行线分线段成比例定理"两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例"可得比例式并结合比例的性质即可求解.
5．（2026·浙江模拟） 计算某一组数据的方差算式如下：，根据该算式，得到下列结论：①一共有5个数据；②该数据的平均数是10；③该数据的标准差是；④若添加一个数据10，新数据的方差不变，其中正确的结论有（　　）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差；标准差
【解析】【解答】解：①原式中共有5个数据项，分母为5，因此一共有5个数据，①正确；
②方差公式中每个数据减去的是平均数，原式中每个项均为，因此平均数为10，②正确；
③已知方差，标准差为方差的算术平方根，因此标准差为，③正确；
④由原方差得原平方和为，添加数据10后，新数据总和为，新数据个数为6，因此新平均数为，新平方和为，新方差为，因此方差改变，④错误．
综上，正确的结论共3个，
故答案为：C．
【分析】根据方差、平均数、标准差的计算公式逐项判断解答即可．
6．（2026·浙江模拟） 古代粮仓用大、小两种量器称米．已知：每个大量器可装米5斗；每个小量器可装米4斗．管理员进行了两次称量，记录如下：第一次用3个大量器和2个小量器装米，称得米的重量为230斤；第二次用2个大量器和3个小量器装米，称得米的重量为220斤．设每个大量器可装米x斤，每个小量器可装米y斤，则可列出方程组（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵每个大量器可装米斤，每个小量器可装米斤，
第一次称量，3个大量器和2个小量器，总重量为230斤，
∴可得方程 ，
∵第二次称量，2个大量器和3个小量器，总重量为220斤，
∴可得方程 ，
∴列方程组为，
故答案为：C．
【分析】设 每个大量器可装米x斤，每个小量器可装米y斤， 根据“ 3个大量器和2个小量器装米，称得米的重量为230斤；第二次用2个大量器和3个小量器装米，称得米的重量为220斤 ”列方程组解答即可．
7．（2026·浙江模拟） 如图所示，和都是等边三角形，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∵，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴，
又∵
∴
，
∴
．
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的性质，利用SAS得到，即可得到．进而得到，然后根据三角形的内角和定理解答即可．
8．（2026·浙江模拟） 在平面直角坐标系中，点P是直线上一点，O为坐标原点，则的最小值为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题；等积变换
【解析】【解答】解：当时，，
当时，
解得．
∴直线与坐标轴交于，．
∴，，为直角三角形．
∴．
∵当时，长度最小，且．
∴
解得，
即的最小值为．
故答案为：B.
【分析】根据垂线段最短可知当OP垂直AB时，OP最小，然后求出直线与坐标轴的交点A、B的坐标，利用勾股定理求出AB的长，再根据三角形的面积等积变形解答即可．
9．（2026·浙江模拟） 如图，有一格点，现要找一点P，使得平分，甲、乙两位同学给出了他们的作法，请判断两人的作法是否正确（　　）
A．甲、乙都对 B．甲、乙都错 C．甲错、乙对 D．甲对、乙错
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等；运用勾股定理解决网格问题；在网格中求锐角三角函数值
10．（2026·浙江模拟） 为筹备校园“正方形主题文化角”，工作人员用两个边长相同的正方形展板布置：如图，固定展板（顶点、在直线展台上）与移动展板（顶点、在直线展台上），移动展板可沿平移．设固定展板顶点与移动展板顶点的距离为（单位：）（），两个展板重叠部分的面积为（单位：），关于的函数图象如图所示．下列选项正确的是（　　）
A．正方形的对角线长为
B．当时，重叠面积
C．当时，重叠面积
D．函数图象的最高点的坐标为
【答案】B
【知识点】正方形的性质；平行四边形的面积；动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：∵四边形与四边形是两个相同的正方形，与是对角线，
∴，，，，
∴，
由图及图知：当（即点与点重合）时，，
当（即）时，，
此时，
∴，故选项A不正确；
∴，
∴，即正方形与正方形的边长为，
当时，此时点为的中点，如图，设交于点，交于点，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴重叠面积，故选项B正确；
当时，如图，设交于点，交于点，
∴，四边形是正方形，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴重叠面积，故选项C不正确；
由图及图知：当（即点与点重合）时，取得最大值，
此时正方形与正方形重合，
∵正方形的边长为，
∴此时重叠面积，
∴函数图象的最高点的坐标为，故选项D不正确。
故答案为：B.
【分析】根据题意结合图2可得判断A；当时，设交于点，交于点，即可得到，根据重叠部分为正方形，根据面积公式计算判断B；当时，设交于点，交于点，即可得到，利用重叠面积计算判断C；根据函数的对称性可知（即点与点重合）时，取得最大值，根据重叠面积计算判断D解答即可.
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11．（2026·浙江模拟） 计算：　 　．
【答案】-1
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：
．
故答案为：-1.
【分析】根据乘方和算术平方根计算，然后运算减法解答即可.
12．（2026·浙江模拟） 某超市进行购物抽奖活动：购物满58元即可参加一次抽奖，共设一等奖、二等奖、三等奖三种奖项，中奖概率，其中一等奖、二等奖、三等奖的比例是，则一名顾客抽奖一次获得一等奖的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：已知一等奖、二等奖、三等奖的比例为，计算总份数：，
因为中奖概率为，
因此抽奖一次获得一等奖的概率为．
故答案为：.
【分析】根据概率公式计算即可．
13．（2026·浙江模拟） 点关于y轴对称的点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于轴对称的点的坐标为．
故答案为：．
【分析】根据关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同解答即可．
14．（2026·浙江模拟） 某河堤横断面如图所示，提高米，迎水坡AB的坡比是（即），则AB的长为　 　米．
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡比是，米，
∴米，
由勾股定理得（米）
故答案为：．
【分析】根据坡度的定义求出BC，再根据勾股定理求出AB长解答即可．
15．（2026·浙江模拟） 七巧板是我国古代著名的益智玩具，由一个正方形分割成七块几何图形组成，现把正方形边长为的图1七巧板拼成“小天鹅”形状，并放置在图2所示的直角坐标系中，则最高点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；七巧板与拼图制作
【解析】【解答】解：由图可知，正方形边长为，
所以最小三角形最长边为2，高为，平行四边形长边长为2，小正方形可由两个最小三角形拼成，
且点在负半轴，
则点的坐标为．
故答案为：．
【分析】根据七巧板图形的特征得到点A的坐标即可．
16．（2026·浙江模拟） 如图，直径，弦的平分线分别交、于点D，M，则线段的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接，过点作于点，
是圆的直径，
，
，，
，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】连接，过点作于点，根据直径所对的圆周角是直角得到，然后根据勾股定理求出，即可得到是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，判定是等腰直角三角形，求出，根据两脚对应相等得到，利用相似三角形的对应边成比例解答即可．
三、解答题(本题有8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（2026·浙江模拟） 先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
，
当时，
．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先把括号内分时通分合并，再将除法转化成乘法约分化到最简分式，把x的值代入解答即可.
18．（2026·浙江模拟） 解方程：．
【答案】解：，
，
，
解得．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】先移项，然后提取公因式因式分解解一元二次方程即可．
19．（2026·浙江模拟） 2025年3月30日是第30个全国中小学安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校举行了两次校园安全知识竞赛活动，某班有50名学生，现对这个班两次竞赛成绩（十分制）进行收集、整理和统计，画出如下统计图表．
第一次校园安全知识竞赛得分情况统计表
竞赛成绩（分） 5 7 8 9 10
人数（人） 2 1 13 16 18
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）两次校园安全知识竞赛得分的中位数分别是多少分？
（2）求该班第二次校园安全知识竞赛得分的平均分．
【答案】（1）解：把第一次校园安全知识竞赛得分从小到大排列，居于中间的第25个和26个数据分别为9，9；即中位数为分；
把第二次校园安全知识竞赛得分从小到大排列，居于中间的第25个和26个数据分别为9，9；即中位数为分；
（2）解：分，
答： 该班第二次校园安全知识竞赛得分的平均分为8.7分．
【知识点】统计表；扇形统计图；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【分析】（1）分别将两组数据进行排列，找到居于中间的量个数据求平均数解答即可；
（2）根据加权平均数的计算公式计算即可．
20．（2026·浙江模拟） 如图，一款杯子的轴截面可以抽象成等腰梯形（，，），某同学想知道该杯子最大盛水高度（即C到的距离）与杯子内底面的直径，通过测量，得到了如下数据：，．请帮该同学计算：
（1）杯子最大盛水高度：
（2）内底面的直径（的长度）
【答案】（1）解：过C作，过A作，
∵，，，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，
，
，
，
杯子最大盛水高度为，内底面的直径为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）过C作，过A作，根据三线合一得到长，再根据勾股定理求出长，最后根据正弦的定义解答即可；
（2）根据余弦的定义得到，求出DM长，根据线段的和差解答即可.
21．（2026·浙江模拟） 请同学们认真阅读下面求代数值的方法．
已知实数、满足，计算的值．
解：因为，
所以．
借鉴上面的方法，解决下列问题：
若实数a、b满足．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解：，
，
；
（2）解：由（1）得，，
，
．
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；因式分解的应用-化简求值
【解析】【分析】（1）仿照题目运算方法解答即可；
（2）利用题目中所给的方法，根据（1）中的数据，变形后整体代入解答即可．
22．（2026·浙江模拟） 如图，在矩形中，以为直径作半圆O，切线的延长线交于点F，E为切点，对角线恰好过E点．
（1）求证：F为中点；
（2）求的长．
【答案】（1）证明：∵，
为的切线，
又AE为切线，
，
，
在矩形ABCD中，，
，
，
，
、FC为切线，
，
，
为CD中点．
（2）解：、AE为切线
，
设
则，，
在中
，即，
又，，．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的判定；切线长定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先得到、CD为的切线，再根据切线长定理即可得到，，根据等边对等角得到，进而得到哦啊，即可得到，根据等量代换解答即即可；
（2）设，则，，再在中根据勾股定理求出x的值解答即可．
23．（2026·浙江模拟） 已知抛物线（b、c为常数）经过点．
（1）若抛物线经过点．
①求抛物线的函数表达式；
②若抛物线上的点在直线的上方，当时，求m的取值范围．
（2）若抛物线与x轴的另一个交点为C，与y轴的交点为D，求证：．
【答案】（1）解：①，
得，
；
②，
当时，；时，；
当时，m的取值范围是：；
（2）证明：当，，
当，即，
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；坐标系中的两点距离公式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）①运用待定系数法求二次函数的解析式即可；
②把二次函数化为顶点式，然后根据对称性得到时，；再根据二次函数的性质解答即可；
（2）把代入解析式求出，则函数关系式为，求出抛物线与坐标轴的交点坐标，再根据两点间距离解答即可．
24．（2026·浙江模拟） 如图1，在中，．
（1）求的长，
（2）把绕点A逆时针旋转，点B、C的对应点分别为E、F．
①当点B的对应点E落在对角线上时，与的交点为G，求四边形的面积；
②如图2，点E在对角线下方时，线段的反向延长线交与点P，连接，求的最小值．
【答案】（1）解：如图，作，交的延长线H，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
，
∴，即，
在中，可得，
∴，解得（负值舍去），
，则，
；
（2）解：①如图，作，交于点M，
由旋转可得，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
，，
，
∴，
令，
，
解得，
；
，
；
②如图，过点A作于点Q，过D作于M，
由（1）得，设，则，
∵，
∴
解得，
∴，．
∴，
在中，，
∵，
又∵，且，
∴
解得，
在中，，
∵P在上，
∴，
∴，
在中，，
∴，
，
∴，
∴，
要最小化，需最大化，即最小化．
由旋转性质得，，
∴，
由（2）得，，
当时，最小，也最小，
此时是中边上的高，
由旋转性质得，，
∴，即，
∴，解得，
在中，，
∴，
∴．
【知识点】垂线段最短及其应用；平行四边形的性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）作延长线于H，根据平行四边形的对边相等得到，然后根据正切的定义和勾股定理求出BH的长，进而求出AC的长解答即可；
（2）①根据旋转得，作，交于点M，根据正切的定义设，即可得到方程，解方程求出m的值，再根据求出面积即可；
②过点A作于点Q，过D作于M，根据勾股定理求出AD和BD的长，然后根据三角形的额面积求出AQ长，进而求出DQ的值，然后根据勾股定理将转化为，当时AP最小，代入求得最小值，再根据旋转的性质和勾股定理求出QP的长解答即可．
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