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湖南省邵阳市邵东市创新高级中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高一下·邵东期中）若复数的实部为，虚部为b，则=（　　）
A．7 B．5 C． D．9
2．（2025高一下·邵东期中）已知向量，则实数的取值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025高一下·邵东期中）在中，，则（　　）
A．1 B．2 C． D．
4．（2025高一下·邵东期中）在中，""是为钝角三角形的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2025高一下·邵东期中）如图，在长方体中，AB＝AD＝2，，则四棱锥的体积为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．9
6．（2025高一下·邵东期中）底面积为，侧面积为的圆锥的体积是(　　)
A． B． C． D．
7．（2025高一下·邵东期中）如图所示的正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高一下·邵东期中）已知向量，，则的最大值为（　　）
A．1 B． C． D．
二、多选题：本题共4小题 ，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2025高一下·邵东期中）设向量，，则（　　）
A． B．
C． D．与的夹角为
10．（2025高一下·邵东期中）如图，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线，已知，，，则下列说法正确的是（　　）
A．圆柱的侧面积为 B．圆柱的侧面积为
C．圆柱的表面积为 D．圆柱的表面积为
11．（2025高一下·邵东期中）下列关于复数的命题中正确的是（　　）
A．若是虚数，则不是实数
B．若，且，则
C．一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零
D．复数对应的点在实轴上方
12．（2025高一下·邵东期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．是钝角三角形
C．的最大内角是最小内角的倍
D．若，则外接圆半径为
三、填空题 ：本题共4小题，每小题 5分，共20分.
13．（2025高一下·邵东期中）若复数的模等于，则实数　 　．
14．（2025高一下·邵东期中）已知三棱锥的棱长都是2，则该三棱锥的体积为　 　．
15．（2025高一下·邵东期中）中，角的对边分别为，已知，，，则　 　.
16．（2025高一下·邵东期中）如图所示，在中，是BN上的一点，若，则实数m的值为　 　．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2025高一下·邵东期中）已知复数（，是虚数单位）.
（Ⅰ）若是纯虚数，求实数的值；
（Ⅱ）设是的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第二象限，求实数的取值范围.
18．（2025高一下·邵东期中）已知与的夹角为，．
（1）已知∥，求实数k的取值范围；
（2）已知⊥，求实数k的取值范围．
19．（2025高一下·邵东期中）在 中， ．
（1）求B；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长．
20．（2025高一下·邵东期中）平面内给定三个向量.
（1）求；
（2）求满足的实数m和n；
（3）若，求实数k.
21．（2025高一下·邵东期中）已知在正方体中，截下一个四棱锥，，E为棱中点.
（1）求四棱锥的表面积；
（2）求四棱锥的体积与剩余部分的体积之比；
（3）若点F是AB上的中点，求三棱锥的体积.
22．（2025高一下·邵东期中）“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地AOB分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且．
（1）求扇形空地AOB的周长和面积；
（2）当米时，求PQ的长；
（3）综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大．设，求面积的最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：由题意，，则.
故答案为：C.
【分析】依据复数代数形式 z=m+ni（m，n∈R）的定义，明确实部为 m、虚部为 n，提取对应数值后直接求和。
2．【答案】C
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以，解得.
故答案为：C.
【分析】利用平面向量垂直的充要条件，即两向量的数量积为 0，结合数量积的坐标运算公式列方程求解实数m。
3．【答案】D
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：由余弦定理，得，
.
故答案为：D.
【分析】已知两边及其夹角，直接使用余弦定理计算第三边。
4．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由，可得，
所以为钝角，是钝角三角形，
所以由可以得出为钝角三角形，
若为钝角三角形，不一定为钝角，所以也得不出，
所以在中， ""是为钝角三角形的充分不必要条件，
故答案为：A.
【分析】从充分性和必要性两个维度，结合向量数量积的几何意义（与夹角余弦值同号），分别验证条件与结论之间的推导关系。
5．【答案】B
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：在长方体中，底面ABCD，则四棱锥的体积为.
故答案为：B.
【分析】直接根据棱锥体积公式求解即可.
6．【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：因为底面积为，所以底面半径，
设母线为，因为侧面积为，所以，解得，
设圆锥的高为，所以，
所以圆锥的体积为.
故答案为：.
【分析】由底面积可求底面半径，根据侧面积可求母线，由圆锥的轴截面可求圆锥的高，代入体积公式即可.
7．【答案】B
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：直观图正方形的边长为，，
原图形为平行四边形，其中，高，
，原图形的周长.
故答案为：B.
【分析】依据斜二测画法的还原规则（平行于x'轴的线段长度不变，平行于y'轴的线段长度变为原来的 2 倍），先还原原图形的形状与各边长度，再计算周长。
8．【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；二倍角的正弦公式
【解析】【解答】解：，
故，
又，当且仅当即等号成立，
故的最大值为，
故答案为：D.
【分析】先求出向量差 的坐标，再利用模长公式展开，结合三角恒等变换化简，最后根据三角函数的有界性求最大值。
9．【答案】C,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：A，，故A错误；
B，因为，所以，故B错误；
C，因为，所以，所以，故C正确；
D，，因为，所以与的夹角为，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】A：核心思路是利用向量模长公式，分别计算和，再比较大小。
B、C：核心思路是先求出的坐标，再通过向量共线（坐标交叉乘积相等）和垂直（数量积为0）的坐标判定条件进行判断。
D：核心思路是利用向量夹角的余弦公式，代入坐标计算出夹角的余弦值，再结合夹角范围确定角度。
10．【答案】B,C
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：因为，，
所以，即，
又因为，
所以圆柱的侧面积是，
圆柱的表面积是，
故答案为：BC
【分析】先利用轴截面性质和勾股定理求出底面直径BC，得到底面半径r，再根据圆柱侧面积和表面积公式代入计算，逐一验证选项。
11．【答案】A,D
【知识点】虚数单位i及其性质；复数运算的几何意义
【解析】【解答】A，根据虚数的定义，A正确；
B，虚数不能比较大小，B错误；
C，一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零且虚部不等于0，C错误；
D，对应点的坐标为，因为，所以点在轴上方，D正确．
故答案为：AD．
【分析】A：依据虚数的定义，明确虚数与实数的互斥关系，直接判断命题真假。
B：掌握复数比较大小的前提条件，只有实数能比较大小，虚数不具备可比性。
C：紧扣纯虚数的完整定义，需同时满足实部为零、虚部不为零两个条件，缺一不可。
D：将复数的几何意义转化为坐标问题，通过配方判断虚部（纵坐标）的取值范围，确定点的位置。
12．【答案】A,C,D
【知识点】二倍角的余弦公式；解三角形；余弦定理；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：在中，设 ，解得，
A、由正弦定理知，故A正确；
B、易知角C为最大角，则，
，所以角C为锐角，故是锐角三角形，故B错误；
C、易角A为最小角，则，
所以，即，
又，所以，所以 ，故C正确；
D、设外接圆的半径为R，则由正弦定理得 ，解得，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由，设，求得，再利用正弦定理求解即可判断A；易知角C为最大角，角A为最小角，利用余弦定理求解即可判断BC；设外接圆的半径为R，利用正弦定理求解即可判断D.
13．【答案】±2
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：因为复数，所以，解得，.
故答案为：±2.
【分析】利用复数的除法运算化简复数z，结合复数模的公式可求解出a的值.
14．【答案】
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设为正的中心，连接，
则由题意可得为三棱锥的高，为正外接圆圆心的半径，
所以，
所以该三棱锥的体积为.
故答案为：
【分析】先确定底面正的中心，利用正三角形性质求出底面外接圆半径，再在直角中求出棱锥的高，最后代入棱锥体积公式底计算体积。
15．【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形
【解析】【解答】解：在中，，，，
由正弦定理，得到.
故答案为：.
【分析】利用正弦定理建立已知边、角与未知边、角的等量关系，将题目给出的角度和边长数值代入公式，通过三角恒等变换计算出未知边b的长度。
16．【答案】
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：在中，，即，
又，即，
因此，而点B，P，N共线，于是，解得.
故答案为：
【分析】先将用表示，再把用和线性表示，最后利用三点共线时向量系数和为1的性质列方程求解。
17．【答案】解：复数
（Ⅰ）因为是纯虚数，所以且，故；
（Ⅱ）因为是的共轭复数，所以，
，在复平面上对应的点为，在第二象限，且，.
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数的乘除法运算法则和复数为纯虚数的判断方法，进而得出实数m的值。
（2）利用已知条件结合复数与共轭复数的关系得出复数z的共轭复数，再结合复数的运算法则结合复数的几何意义，进而得出复数
在复平面上对应的点的坐标，再结合点的坐标确定点所在的象限，再利用已知条件得出实数m的取值范围。
18．【答案】（1）解：∵∥，∴，
则．
，且.
（2）解：由题意得．∵⊥，，
则，
，即，
．
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】(1)利用向量共线的充要条件，即存在实数使得，通过比较和的系数建立方程组，求解。
(2)先计算，再利用向量垂直的充要条件，展开数量积并代入已知模长和夹角，解方程求。
（1）∵∥，∴，
则．
，且.
（2）由题意得．
∵⊥，，
则，
，即，
．
19．【答案】（1）解：由 ，得 ，
∴ ，即 ，
∴ ．
由正弦定理，得 ，又 ，
∴ ，即 ， ，
∴
（2）解：由 的面积为 ，得 ，解得 ，即 ．
由余弦定理 ，可得 ，解得 ．
∴ 的周长为
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 （1）由三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式，结合sinA≠0，可得tanB的值，结合0＜B＜π，可得B的值．
（2）由题意利用三角形的面积公式可求a的值，进而可求c的值，由余弦定理可求b的值，即可求解△ABC的周长的值．
20．【答案】（1）解：由，得
，；
（2）解：，，
，，
故，解得；
（3）解：，，
，，
，，即，
解得.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量数乘运算的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】(1)先根据向量数乘和加减的坐标运算法则，计算出的坐标，再利用向量模长公式求其模.
(2)将按坐标展开，与的坐标对应相等，建立二元一次方程组求解和.
(3)先分别求出和的坐标，再利用向量垂直的充要条件（数量积为0）建立方程，求解.
21．【答案】（1）解：四棱锥的表面由正方形ABCD和四个直角三角形所围成，
，，，则与全等，与全等，
因为，，，
所以
（2）解：设剩余部分的体积为，因为EC为四棱柱的高，且
所以
又正方体体积，
（3）解：，其中平面ABCD，
故
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1)四棱锥的底面是正方形，四个侧面均为直角三角形，分别计算各面面积后求和.
(2)先计算正方体体积和四棱锥体积，再求剩余部分体积，最后求两者之比.
(3)利用等体积法，将转化为，简化计算.
（1）四棱锥的表面由正方形ABCD和四个直角三角形所围成，
，，，则与全等，与全等，
因为，，，
所以
（2）设剩余部分的体积为，因为EC为四棱柱的高，且
所以
又正方体体积，
（3），其中平面ABCD，
故
22．【答案】（1）解：，则扇形空地AOB的周长为，
面积；
（2）解：已知，故，
由余弦定理可得，
即，即有，
即，故（负值舍去）或，
即；
（3）解：由，故，又，
由正弦定理可得，即，
则，
令，
则
，
有最大值，此时，即，可取，
此时平方米.
【知识点】扇形的弧长与面积；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用扇形弧长公式与周长公式计算即可求解；
（2）结合平行线的性质可得，再利用余弦定理计算即可得求解；
（3）利用正弦定理与面积公式可得，设，利用三角恒等变换结合正弦函数的性质计算即可得.
（1），则扇形空地AOB的周长为，
面积；
（2）由，故，
由余弦定理可得，
即，即有，
即，故（负值舍去）或，
即；
（3）由，故，又，
由正弦定理可得，即，
则，
令，
则
，
有最大值，此时，即，可取，
此时平方米.
1 / 1湖南省邵阳市邵东市创新高级中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高一下·邵东期中）若复数的实部为，虚部为b，则=（　　）
A．7 B．5 C． D．9
【答案】C
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：由题意，，则.
故答案为：C.
【分析】依据复数代数形式 z=m+ni（m，n∈R）的定义，明确实部为 m、虚部为 n，提取对应数值后直接求和。
2．（2025高一下·邵东期中）已知向量，则实数的取值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，所以，解得.
故答案为：C.
【分析】利用平面向量垂直的充要条件，即两向量的数量积为 0，结合数量积的坐标运算公式列方程求解实数m。
3．（2025高一下·邵东期中）在中，，则（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：由余弦定理，得，
.
故答案为：D.
【分析】已知两边及其夹角，直接使用余弦定理计算第三边。
4．（2025高一下·邵东期中）在中，""是为钝角三角形的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由，可得，
所以为钝角，是钝角三角形，
所以由可以得出为钝角三角形，
若为钝角三角形，不一定为钝角，所以也得不出，
所以在中， ""是为钝角三角形的充分不必要条件，
故答案为：A.
【分析】从充分性和必要性两个维度，结合向量数量积的几何意义（与夹角余弦值同号），分别验证条件与结论之间的推导关系。
5．（2025高一下·邵东期中）如图，在长方体中，AB＝AD＝2，，则四棱锥的体积为（　　）
A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】B
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：在长方体中，底面ABCD，则四棱锥的体积为.
故答案为：B.
【分析】直接根据棱锥体积公式求解即可.
6．（2025高一下·邵东期中）底面积为，侧面积为的圆锥的体积是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：因为底面积为，所以底面半径，
设母线为，因为侧面积为，所以，解得，
设圆锥的高为，所以，
所以圆锥的体积为.
故答案为：.
【分析】由底面积可求底面半径，根据侧面积可求母线，由圆锥的轴截面可求圆锥的高，代入体积公式即可.
7．（2025高一下·邵东期中）如图所示的正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：直观图正方形的边长为，，
原图形为平行四边形，其中，高，
，原图形的周长.
故答案为：B.
【分析】依据斜二测画法的还原规则（平行于x'轴的线段长度不变，平行于y'轴的线段长度变为原来的 2 倍），先还原原图形的形状与各边长度，再计算周长。
8．（2025高一下·邵东期中）已知向量，，则的最大值为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；二倍角的正弦公式
【解析】【解答】解：，
故，
又，当且仅当即等号成立，
故的最大值为，
故答案为：D.
【分析】先求出向量差 的坐标，再利用模长公式展开，结合三角恒等变换化简，最后根据三角函数的有界性求最大值。
二、多选题：本题共4小题 ，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2025高一下·邵东期中）设向量，，则（　　）
A． B．
C． D．与的夹角为
【答案】C,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：A，，故A错误；
B，因为，所以，故B错误；
C，因为，所以，所以，故C正确；
D，，因为，所以与的夹角为，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】A：核心思路是利用向量模长公式，分别计算和，再比较大小。
B、C：核心思路是先求出的坐标，再通过向量共线（坐标交叉乘积相等）和垂直（数量积为0）的坐标判定条件进行判断。
D：核心思路是利用向量夹角的余弦公式，代入坐标计算出夹角的余弦值，再结合夹角范围确定角度。
10．（2025高一下·邵东期中）如图，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线，已知，，，则下列说法正确的是（　　）
A．圆柱的侧面积为 B．圆柱的侧面积为
C．圆柱的表面积为 D．圆柱的表面积为
【答案】B,C
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：因为，，
所以，即，
又因为，
所以圆柱的侧面积是，
圆柱的表面积是，
故答案为：BC
【分析】先利用轴截面性质和勾股定理求出底面直径BC，得到底面半径r，再根据圆柱侧面积和表面积公式代入计算，逐一验证选项。
11．（2025高一下·邵东期中）下列关于复数的命题中正确的是（　　）
A．若是虚数，则不是实数
B．若，且，则
C．一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零
D．复数对应的点在实轴上方
【答案】A,D
【知识点】虚数单位i及其性质；复数运算的几何意义
【解析】【解答】A，根据虚数的定义，A正确；
B，虚数不能比较大小，B错误；
C，一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零且虚部不等于0，C错误；
D，对应点的坐标为，因为，所以点在轴上方，D正确．
故答案为：AD．
【分析】A：依据虚数的定义，明确虚数与实数的互斥关系，直接判断命题真假。
B：掌握复数比较大小的前提条件，只有实数能比较大小，虚数不具备可比性。
C：紧扣纯虚数的完整定义，需同时满足实部为零、虚部不为零两个条件，缺一不可。
D：将复数的几何意义转化为坐标问题，通过配方判断虚部（纵坐标）的取值范围，确定点的位置。
12．（2025高一下·邵东期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．是钝角三角形
C．的最大内角是最小内角的倍
D．若，则外接圆半径为
【答案】A,C,D
【知识点】二倍角的余弦公式；解三角形；余弦定理；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：在中，设 ，解得，
A、由正弦定理知，故A正确；
B、易知角C为最大角，则，
，所以角C为锐角，故是锐角三角形，故B错误；
C、易角A为最小角，则，
所以，即，
又，所以，所以 ，故C正确；
D、设外接圆的半径为R，则由正弦定理得 ，解得，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由，设，求得，再利用正弦定理求解即可判断A；易知角C为最大角，角A为最小角，利用余弦定理求解即可判断BC；设外接圆的半径为R，利用正弦定理求解即可判断D.
三、填空题 ：本题共4小题，每小题 5分，共20分.
13．（2025高一下·邵东期中）若复数的模等于，则实数　 　．
【答案】±2
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：因为复数，所以，解得，.
故答案为：±2.
【分析】利用复数的除法运算化简复数z，结合复数模的公式可求解出a的值.
14．（2025高一下·邵东期中）已知三棱锥的棱长都是2，则该三棱锥的体积为　 　．
【答案】
【知识点】锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设为正的中心，连接，
则由题意可得为三棱锥的高，为正外接圆圆心的半径，
所以，
所以该三棱锥的体积为.
故答案为：
【分析】先确定底面正的中心，利用正三角形性质求出底面外接圆半径，再在直角中求出棱锥的高，最后代入棱锥体积公式底计算体积。
15．（2025高一下·邵东期中）中，角的对边分别为，已知，，，则　 　.
【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形
【解析】【解答】解：在中，，，，
由正弦定理，得到.
故答案为：.
【分析】利用正弦定理建立已知边、角与未知边、角的等量关系，将题目给出的角度和边长数值代入公式，通过三角恒等变换计算出未知边b的长度。
16．（2025高一下·邵东期中）如图所示，在中，是BN上的一点，若，则实数m的值为　 　．
【答案】
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：在中，，即，
又，即，
因此，而点B，P，N共线，于是，解得.
故答案为：
【分析】先将用表示，再把用和线性表示，最后利用三点共线时向量系数和为1的性质列方程求解。
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2025高一下·邵东期中）已知复数（，是虚数单位）.
（Ⅰ）若是纯虚数，求实数的值；
（Ⅱ）设是的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第二象限，求实数的取值范围.
【答案】解：复数
（Ⅰ）因为是纯虚数，所以且，故；
（Ⅱ）因为是的共轭复数，所以，
，在复平面上对应的点为，在第二象限，且，.
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合复数的乘除法运算法则和复数为纯虚数的判断方法，进而得出实数m的值。
（2）利用已知条件结合复数与共轭复数的关系得出复数z的共轭复数，再结合复数的运算法则结合复数的几何意义，进而得出复数
在复平面上对应的点的坐标，再结合点的坐标确定点所在的象限，再利用已知条件得出实数m的取值范围。
18．（2025高一下·邵东期中）已知与的夹角为，．
（1）已知∥，求实数k的取值范围；
（2）已知⊥，求实数k的取值范围．
【答案】（1）解：∵∥，∴，
则．
，且.
（2）解：由题意得．∵⊥，，
则，
，即，
．
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】(1)利用向量共线的充要条件，即存在实数使得，通过比较和的系数建立方程组，求解。
(2)先计算，再利用向量垂直的充要条件，展开数量积并代入已知模长和夹角，解方程求。
（1）∵∥，∴，
则．
，且.
（2）由题意得．
∵⊥，，
则，
，即，
．
19．（2025高一下·邵东期中）在 中， ．
（1）求B；
（2）若 ， 的面积为 ，求 的周长．
【答案】（1）解：由 ，得 ，
∴ ，即 ，
∴ ．
由正弦定理，得 ，又 ，
∴ ，即 ， ，
∴
（2）解：由 的面积为 ，得 ，解得 ，即 ．
由余弦定理 ，可得 ，解得 ．
∴ 的周长为
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 （1）由三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式，结合sinA≠0，可得tanB的值，结合0＜B＜π，可得B的值．
（2）由题意利用三角形的面积公式可求a的值，进而可求c的值，由余弦定理可求b的值，即可求解△ABC的周长的值．
20．（2025高一下·邵东期中）平面内给定三个向量.
（1）求；
（2）求满足的实数m和n；
（3）若，求实数k.
【答案】（1）解：由，得
，；
（2）解：，，
，，
故，解得；
（3）解：，，
，，
，，即，
解得.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量数乘运算的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】(1)先根据向量数乘和加减的坐标运算法则，计算出的坐标，再利用向量模长公式求其模.
(2)将按坐标展开，与的坐标对应相等，建立二元一次方程组求解和.
(3)先分别求出和的坐标，再利用向量垂直的充要条件（数量积为0）建立方程，求解.
21．（2025高一下·邵东期中）已知在正方体中，截下一个四棱锥，，E为棱中点.
（1）求四棱锥的表面积；
（2）求四棱锥的体积与剩余部分的体积之比；
（3）若点F是AB上的中点，求三棱锥的体积.
【答案】（1）解：四棱锥的表面由正方形ABCD和四个直角三角形所围成，
，，，则与全等，与全等，
因为，，，
所以
（2）解：设剩余部分的体积为，因为EC为四棱柱的高，且
所以
又正方体体积，
（3）解：，其中平面ABCD，
故
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1)四棱锥的底面是正方形，四个侧面均为直角三角形，分别计算各面面积后求和.
(2)先计算正方体体积和四棱锥体积，再求剩余部分体积，最后求两者之比.
(3)利用等体积法，将转化为，简化计算.
（1）四棱锥的表面由正方形ABCD和四个直角三角形所围成，
，，，则与全等，与全等，
因为，，，
所以
（2）设剩余部分的体积为，因为EC为四棱柱的高，且
所以
又正方体体积，
（3），其中平面ABCD，
故
22．（2025高一下·邵东期中）“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地AOB分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且．
（1）求扇形空地AOB的周长和面积；
（2）当米时，求PQ的长；
（3）综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大．设，求面积的最大值．
【答案】（1）解：，则扇形空地AOB的周长为，
面积；
（2）解：已知，故，
由余弦定理可得，
即，即有，
即，故（负值舍去）或，
即；
（3）解：由，故，又，
由正弦定理可得，即，
则，
令，
则
，
有最大值，此时，即，可取，
此时平方米.
【知识点】扇形的弧长与面积；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用扇形弧长公式与周长公式计算即可求解；
（2）结合平行线的性质可得，再利用余弦定理计算即可得求解；
（3）利用正弦定理与面积公式可得，设，利用三角恒等变换结合正弦函数的性质计算即可得.
（1），则扇形空地AOB的周长为，
面积；
（2）由，故，
由余弦定理可得，
即，即有，
即，故（负值舍去）或，
即；
（3）由，故，又，
由正弦定理可得，即，
则，
令，
则
，
有最大值，此时，即，可取，
此时平方米.
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