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四川省嘉祥教育集团2024-2025学年八年级下学期期中质量监测数学试题
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2025八下·四川期中）下列图案是某些博物馆的图案，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·四川期中）下列不等式能成立的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．（2025八下·四川期中）下列关于直角三角形的命题为假命题的是（　　）
A．在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半
B．长度为7，24，25的线段可组成直角三角形
C．直角三角形的两个锐角互余
D．两锐角分别相等的两个直角三角形全等
4．（2025八下·四川期中）下列式子是完全平方式的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·四川期中）如图，将按点A到点B的方向平移得到三角形，则平移距离为（　　）
A．3.5 B．3 C．2.5 D．2
6．（2025八下·四川期中）不等式的解集在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025八下·四川期中）某校组织八年级360名学生前往成都科幻馆游学，学校安排乘车时每辆车比原计划多6名学生，结果比原计划少用了2辆车，求原计划每辆车乘坐多少名学生？设原计划每辆车乘坐x名学生，则列出的方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025八下·四川期中）如图，y轴垂直平分线段，C为y轴正半轴上一点，D是线段上一点，且，若，，则阴影部分的面积是（　　）
A． B．2 C． D．3
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（2025八下·四川期中）分解因式： 　 　．
10．（2025八下·四川期中）要使得有意义，则x的取值范围是　 　．
11．（2025八下·四川期中）如图，绕B点逆时针旋转至，、B、C三点在一条直线上，若，则　 　．
12．（2025八下·四川期中）如图，一次函数与交于点P ，P点坐标为，则不等式的解集为　 　．
13．（2025八下·四川期中）如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点D，交于点E，连接，若的周长为16，则长为　 　．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（2025八下·四川期中）（1）解方程：；
（2）解不等式组：
15．（2025八下·四川期中）先化简，再从3，，，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．
16．（2025八下·四川期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，建立平面直角坐标系．已知的顶点的坐标分别为，，．
（1）画出向右平移5个单位长度再向下平移2个单位长度后得到的，并写出，的坐标；
（2）以原点为对称中心画出与成中心对称的图形，其中A，B，C的对应点分别为，，．
17．（2025八下·四川期中）如图，等腰中，，D为延长线上点，，，与交于点F．
（1）证明：；
（2）当时，求的度数．
18．（2025八下·四川期中）北师大教材第102页阅读材料中讲到，如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如：，16就是一个“智慧数”．请根据材料解决下列问题．
（1）试写出不大于10的3个智慧数；
（2）请选出130和131中的智慧数，并说明理由；
（3）若k为正整数，证明：是智慧数．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（2025八下·四川期中）若，则的值为　 　．
20．（2025八下·四川期中）关于x的分式方程有增根，则a的值为　 　．
21．（2025八下·四川期中）如图，等边中，，是外角角平分线上一点，的垂直平分线交于点，交线段于点，且，连接，则　 　．
22．（2025八下·四川期中）如果不等式组的所有整数解之和为12，那么m的取值范围是　 　．
23．（2025八下·四川期中）在中，点D是斜边的中点，点P为线段的中点，则　 　．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（2025八下·四川期中）暑假假期实践活动中，小明用零花钱批发A，B两款冰淇淋售卖．小明用288元购进了A款冰淇淋，用132元购进B款冰淇淋，A款冰淇淋批发单价比B款冰淇淋批发单价多0.1元，B款冰淇淋数量正好是A款冰淇淋数量的一半．
（1）小明批发了A，B两款冰淇淋各多少个？
（2）若两款冰淇淋按相同的售价销售，为了更早售完，计划最后剩50个按八折优惠卖出，如果小明将全部冰淇淋售完，想要保证总利润率不低于（不考虑其他损耗），那么冰淇淋的售价至少是多少元？（利润率）
25．（2025八下·四川期中）在八年级下册第二章中我们学习了求解一元一次不等式组，其实一些非一次不等式都可以通过代数等价变形转化为一元一次不等式组来进行解决．
例如：可以通过因式分解转化为，
因为乘积为正，所以两个因式需同号，
所以，分类讨论： ① 解得， ② 解得．
综上所述不等式的解集为或．
根据上诉材料解决下列问题．
（1）解不等式：；
（2）解不等式：．
26．（2025八下·四川期中）在平面直角坐标系中，，点是轴正半轴上的点，连接，将绕点顺时针旋转至，．连接，直线交轴于点．
（1）如图，当 时，求点坐标；
（2）证明：；
（3）如图，若，，，判断的形状并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，A不符合题意；
B．不是中心对称图形，B不符合题意；
C．是中心对称图形，C符合题意；
D．不是中心对称图形，D不符合题意．
故选：C．
【分析】本题考查中心对称图形的概念。中心对称图形是指一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形完全重合。这个点称为对称中心。解题时需根据定义逐一判断选项是否符合条件。
2．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、若，则，A符合题意；
B、若，则，B不符合题意；
C、若，则，C不符合题意；
D、若，当时，；当时，；D不符合题意．
故选：A ．
【分析】本题主要考查不等式的基本性质，需要熟练掌握相关性质才能正确解答。通过逐一分析各选项是否符合不等式的基本性质来判断正确选项。
3．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；含30°角的直角三角形；勾股定理的逆定理；直角三角形的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：．在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半，为真命题，A不符合题意；
．∵，∴长度为7，24，25的线段可组成直角三角形，为真命题，B不符合题意；
．直角三角形的两个锐角互余，为真命题，C不符合题意；
．两锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等，为假命题，D符合题意；
故选：D．
【分析】本题主要考查命题与定理的相关知识。正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。题目中涉及以下几何知识点的判断：含角的直角三角形的性质（对应A）、勾股定理的逆定理（对应B)、直角三角形的性质及其判定定理（对应C，D)。通过对这些知识点的逐一分析可以得出正确答案。
4．【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：A．，中间项不是首位积的2倍，故不是完全平方式，A不符合题意；
B．，是完全平方式，B符合题意；
C．，无2个平方项，故不是完全平方式，C不符合题意；
D．，平方项的符号不一致，故不是完全平方式，D不符合题意；
故选：B．
【分析】本题考查完全平式的概念及其识别，掌握完全平方式的结构特点是解题的核心要点。完全平方式的标准形式为，此类问题为中考高频考点。解题时需根据定义逐一分析选项是否符合该形式。
5．【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移可知：，，
，
，
平移距离为：．
故选：C ．
【分析】本题主要考查平移的性质，解题关键在于理解平移前后图形的全等性以及平移距离的一致性。根据平移的性质可知，对应线段长度相等，即，且对应点连线长度相等，即，由此可确定平移的具体距离。
6．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
，
，
把解集表示在数轴上，如图所示：
故选：B．
【分析】本题考查了不等式的解法及其基本步骤。解题过程如下：首先展开括号，接着进行移项操作，然后合并同类项，最终将解集在数轴上表示出来。
7．【答案】A
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由题意，得：．
故选：A．
【分析】本题主要考查根据实际问题建立分式方程的能力，解题关键在于准确找出等量关系并正确建立方程。题目要求根据实际使用车辆比原计划减少2辆这一条件来建立方程。设原计划需要使用的车辆数为x，实际使用的车辆数为(x-2)。根据题意可建立如下方程关系：。注意：解题时需要根据题目给出的具体数据（如总运输量等）来完善方程的具体形式。
8．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵，，∴
∴，
∵y轴垂直平分线段，
∴，，
∴，，即
解得
∴，
∴．
故选：D．
【分析】本题主要考查垂直平分线的性质、勾股定理以及三角形面积公式的应用。解题关键在于灵活运用垂直平分线的性质。首先利用勾股定理计算的长度，进而得出的长度，从而求得的面积。根据垂直平分线的性质可知，因此是等腰直角三角形，进一步可求出和的长度。最后，通过计算的面积，即可得出最终答案。
9．【答案】y（x-y）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】 ．
故答案为：y（x-y）．
【分析】直接提取公因数y，进而得出答案。
10．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使得有意义，
，
解得：，
x的取值范围是．
故答案为：．
【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题关键是掌握分母不为零时，分式才有意义。根据分式有意义的条件即可求解。
11．【答案】40
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵绕B点逆时针旋转至，、B、C三点在一条直线上，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：40．
【分析】本题考查旋转的性质与平角定义的综合应用。根据旋转性质可得对应角相等，即。同时根据平角定义可知。代入已知条件后，可计算出，最终利用平角定义即可求得所需角度。
12．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：因为一次函数 与 交于点P ，
由图象可知，当时，．
故答案为：．
【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式的关系，解题时需要运用数形结合的思想方法。通过分析一次函数图象与不等式的关系来求解。
13．【答案】7
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图可知，直线 MN 为线段 AB 的垂直平分线。
∵点 E 在 MN 上，
∴ AE = BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵△ BEC 的周长为 16，
∴BE + CE + BC = 16。
将 BE 替换为 AE，得：AE + CE + BC = 16。
∵ AE + CE = AC = 9，
∴ 9 + BC = 16，
∴BC = 7。
故答案为：7．
【分析】本题以尺规作图为背景，考查线段垂直平分线的性质及其在三角形周长计算中的应用。 根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据三角形的周长公式，等量代换即可得到结论．
14．【答案】解：（1），
，
，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解；
（2），
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为
【知识点】解一元一次不等式组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】本题主要考查解分式方程和解一元一次不等式组的方法，掌握正确的解题步骤是解答的关键。
（1）解答分式方程时，需要先进行去分母操作，将其转化为整式方程求解，最后必须对所得的解进行检验，排除增根；
（2）解答不等式组时，应先分别求出每个不等式的解集，然后找出这些解集的公共部分，即为不等式组的最终解集。
15．【答案】解：
．
∵，，
∴，，
当时，原式；当时，原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】本题考查分式化简求值的运算能力。解题时需先按照根式混合运算的法则逐步化简表达式，再将给定的数值代入简化后的式子中进行计算求值。
16．【答案】（1）解：如图，即为所求：
由图可得，，．
（2）解：如图，即为所求：
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】本题主要考查坐标与图形变换中的平移和中心对称，正确理解题意并完成作图是解答的关键。（1）平移变换：根据平移规则，分别确定点A、B、C的对应点、、的位置，依次连接即可得到平移后的三角形。结合坐标系可直接写出点和的坐标。
（2）中心对称变换：以给定对称中心为基准，分别确定点A、B、C的对称点、、的位置，依次连接即可得到中心对称后的三角形。
（1）解：如图，即为所求：
由图可得，，．
（2）解：如图，即为所求：
17．【答案】（1）证明：在与中，，．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（2）解：当时，，设，在中，，
在中，，
∴ 在中，，
∴．
由（1）可知，
∴，
∴，
即
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查的核心知识点包括：等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理的实际运用、一元一次方程的应用。解题时需要熟练掌握等腰三角形的基本性质及其判定方法。（1）利用三角形内角和定理可得，再根据等腰三角形性质得出，最终通过等腰三角形的判定条件得出结论。
（2）由等腰三角形的性质得出，设，在中，，所以，，根据得出，解方程即可．
（1）证明：在与中，
，．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：当时，，
设，在中，，
在中，，
∴ 在中，，
∴．
由（1）可知，
∴，
∴，
即．
18．【答案】（1）解：不大于10的智慧数有：3，5，7，9∵，，，
∴不大于10的智慧数有：3，5，7，9．
（2）解：智慧数是131，理由如下：设m，n为正整数且，
∴．
∵，
∴
解得
∴．
∴ 131是智慧数
（3）证明：
．
设，
∴
．
∵ k为正整数，
∴为正整数，
∴是智慧数
【知识点】平方差公式及应用；整式的混合运算；因式分解的应用
【解析】【分析】本题主要考查平方差公式、因式分解和整式混合运算的应用，理解“智慧数”的定义是解题关键。
（1）根据“智慧数”的定义直接求解。
（2）设正整数m、n满足m>n，根据平方差公式可得：
将其转化为关于m、n的二元一次方程组，求解后即可证明131是智慧数。
（3）将表达式，化简为，设
继续化简为，通过证明为正整数即可得证。
（1）解：不大于10的智慧数有：3，5，7，9
∵，，，
∴不大于10的智慧数有：3，5，7，9．
（2）解：智慧数是131，理由如下：
设m，n为正整数且，
∴．
∵，
∴
解得
∴．
∴ 131是智慧数
（3）证明：
．
设，
∴
．
∵ k为正整数，
∴为正整数，
∴是智慧数．
19．【答案】8
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；求代数式的值-整体代入求值；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：，
，
．
故答案为：8．
【分析】本题主要考查代数式的求值以及因式分解的应用。解题的关键在于灵活运用因式分解的方法，将复杂代数式转化为简单形式进行整体代入求解。由已知条件 可以变形得到。观察所求代数式，先提取公因数2得到：，进一步可以发现括号内是一个完全平方式：，将已知条件 代入，最终结果为：。
20．【答案】1
【知识点】分式方程的增根；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：，
，
，
因为分式方程的增根是，
将代入，得，
解得：．
故答案为：．
【分析】本题考查分式方程的增根问题，理解增根的概念及其产生条件是解题的核心。
将分式方程去分母后，可化为线性方程：。已知增根为，将其代入方程即可求出参数的值。
21．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：连接并延长交于点，过点作于点，如图所示：
∵是等边三角形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，是平分线，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：．
故答案为： ．
【分析】本题综合考查了等边三角形的判定与性质、角平分线的定义、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用。解题的关键在于灵活运用这些几何知识进行计算和推导。具体解题步骤如下：连接并延长交于点；过点作于点；先求出线段和的长度； 根据角平分线定义可得；利用线段垂直平分线性质得出，从而证明是等边三角形；进一步推导出，得出的结论；证明是等边三角形；计算线段的长度；运用勾股定理求出的长度；最后再次利用勾股定理求出的长度。整个解题过程体现了对几何知识的综合运用能力，特别是对等边三角形性质和勾股定理的灵活应用。
22．【答案】或
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
不等式组的解集为，
不等式组的所有整数解之和为12，，
中含有的整数解为5，4，3或5，4，3，2，1，0，，，
当中含有的整数解为5，4，3，则；
当中含有的整数解为5，4，3，2，1，0，，，则；
综上所述，m的取值范围是或．
故答案为：或．
【分析】本题主要考查不等式组的整数解问题，关键在于正确求解不等式组的解集。首先解不等式组得到解集为。根据题目条件，不等式组的所有整数解之和为12，需要分两种情况讨论： 当整数解为5、4、3时；当整数解为5、4、3、2、1、0、、时。通过这两种情况的讨论，即可得出最终的答案。
23．【答案】10
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图所示：延长至点E使得，连接，过P作的垂线交，于N，M，过P作，垂足为点Q，
．
，，，（S.A.S)
，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
，，，
．
．
故答案为：10．
【分析】本题主要考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质，以及矩形的判定与性质。解题关键在于正确添加辅助线。延长至点E可得，连接，过P作BC的垂线交BC，于点N，M，过P作，垂足为Q，根据勾股定理得：，，，由，，即可得结论．
24．【答案】（1）解：设小明购进的B款冰淇淋是x个，则购进的A款冰淇淋是个．由题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴ A款冰淇淋的个数为240个．
答：小明购进的B款冰淇淋是120 个，购进的A款冰淇淋是240个
（2）解：设每个冰淇淋的售价是y元，
由题意，得，
解得，
答：每个冰淇淋的售价至少是1.5元
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题主要考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，解题关键在于理解题意并建立相应的数学模型。
（1）设小明购买的B款冰淇淋数量为x个，则A款冰淇淋数量为个。根据题目条件：A款冰淇淋批发价比B款贵0.1元，且分别花费288元和132元购买这两款冰淇淋，可建立分式方程求解。求出解后需要进行检验。
（2）设每个冰淇淋的售价为y元。题目要求总利润率不低于，据此可建立一元一次不等式求解。
（1）解：设小明购进的B款冰淇淋是x个，则购进的A款冰淇淋是个．
由题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴ A款冰淇淋的个数为240个．
答：小明购进的B款冰淇淋是120 个，购进的A款冰淇淋是240个．
（2）解：设每个冰淇淋的售价是y元，
由题意，得，
解得，
答：每个冰淇淋的售价至少是1.5元．
25．【答案】（1）解：∵，∴，
∴或，
解不等式组得，
解不等式组，此时不等式组无解；
综上所述，原不等式的解集为
（2）解：∵，∴或，
解不等式组得，
解不等式组，此时不等式组无解，
综上所述，原不等式的解集为
【知识点】解一元一次不等式组；一元二次不等式
【解析】【分析】本题考查了不等式组的解法以及因式分解的应用，正确理解题意是解题的核心。
（1）根据题意可知不等式 成立。这可以转化为两种情况求解：第一种情况：；第二种情况：；分别解这两个不等式组即可得到最终答案。
（2）根据除法运算规则，需要满足以下两种情形之一：第一种情形：；第二种情形：；解这两个不等式组即可得到最终结果。
（1）解：∵，
∴，
∴或，
解不等式组得，
解不等式组，此时不等式组无解；
综上所述，原不等式的解集为；
（2）解：∵，
∴或，
解不等式组得，
解不等式组，此时不等式组无解，
综上所述，原不等式的解集为．
26．【答案】（1）解：∵，∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴坐标为，
∴
（2）证明：∵，∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴
（3）解：为等边三角形，理由如下，过作，交轴于点，则，
∵，
∴，
∴，，
在中，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由（）可知，
∴为等边三角形
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及直角三角形的性质等相关知识点的应用能力。解题的关键在于熟练掌握并灵活运用这些几何知识点，通过分析题目条件，选择恰当的定理和性质进行推导证明。
（）因为，所以，可证明，所以，，继而求出点即可；
（）同（）理可证，所以，因为，所以有，所以，，然后通过等腰三角形的判定方法即可求证；
（）添加辅助线，过作，交轴于点，可得，所以，，，由勾股定理得，，又，，所以，，便可证明，最后通过全等三角形的性质等腰三角形的判定方法即可．
（1）解：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴坐标为，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：为等边三角形，理由如下，
过作，交轴于点，则，
∵，
∴，
∴，，
在中，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由（）可知，
∴为等边三角形．
1 / 1四川省嘉祥教育集团2024-2025学年八年级下学期期中质量监测数学试题
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2025八下·四川期中）下列图案是某些博物馆的图案，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，A不符合题意；
B．不是中心对称图形，B不符合题意；
C．是中心对称图形，C符合题意；
D．不是中心对称图形，D不符合题意．
故选：C．
【分析】本题考查中心对称图形的概念。中心对称图形是指一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形完全重合。这个点称为对称中心。解题时需根据定义逐一判断选项是否符合条件。
2．（2025八下·四川期中）下列不等式能成立的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、若，则，A符合题意；
B、若，则，B不符合题意；
C、若，则，C不符合题意；
D、若，当时，；当时，；D不符合题意．
故选：A ．
【分析】本题主要考查不等式的基本性质，需要熟练掌握相关性质才能正确解答。通过逐一分析各选项是否符合不等式的基本性质来判断正确选项。
3．（2025八下·四川期中）下列关于直角三角形的命题为假命题的是（　　）
A．在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半
B．长度为7，24，25的线段可组成直角三角形
C．直角三角形的两个锐角互余
D．两锐角分别相等的两个直角三角形全等
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；含30°角的直角三角形；勾股定理的逆定理；直角三角形的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：．在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半，为真命题，A不符合题意；
．∵，∴长度为7，24，25的线段可组成直角三角形，为真命题，B不符合题意；
．直角三角形的两个锐角互余，为真命题，C不符合题意；
．两锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等，为假命题，D符合题意；
故选：D．
【分析】本题主要考查命题与定理的相关知识。正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。题目中涉及以下几何知识点的判断：含角的直角三角形的性质（对应A）、勾股定理的逆定理（对应B)、直角三角形的性质及其判定定理（对应C，D)。通过对这些知识点的逐一分析可以得出正确答案。
4．（2025八下·四川期中）下列式子是完全平方式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：A．，中间项不是首位积的2倍，故不是完全平方式，A不符合题意；
B．，是完全平方式，B符合题意；
C．，无2个平方项，故不是完全平方式，C不符合题意；
D．，平方项的符号不一致，故不是完全平方式，D不符合题意；
故选：B．
【分析】本题考查完全平式的概念及其识别，掌握完全平方式的结构特点是解题的核心要点。完全平方式的标准形式为，此类问题为中考高频考点。解题时需根据定义逐一分析选项是否符合该形式。
5．（2025八下·四川期中）如图，将按点A到点B的方向平移得到三角形，则平移距离为（　　）
A．3.5 B．3 C．2.5 D．2
【答案】C
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移可知：，，
，
，
平移距离为：．
故选：C ．
【分析】本题主要考查平移的性质，解题关键在于理解平移前后图形的全等性以及平移距离的一致性。根据平移的性质可知，对应线段长度相等，即，且对应点连线长度相等，即，由此可确定平移的具体距离。
6．（2025八下·四川期中）不等式的解集在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：，
，
，
把解集表示在数轴上，如图所示：
故选：B．
【分析】本题考查了不等式的解法及其基本步骤。解题过程如下：首先展开括号，接着进行移项操作，然后合并同类项，最终将解集在数轴上表示出来。
7．（2025八下·四川期中）某校组织八年级360名学生前往成都科幻馆游学，学校安排乘车时每辆车比原计划多6名学生，结果比原计划少用了2辆车，求原计划每辆车乘坐多少名学生？设原计划每辆车乘坐x名学生，则列出的方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：由题意，得：．
故选：A．
【分析】本题主要考查根据实际问题建立分式方程的能力，解题关键在于准确找出等量关系并正确建立方程。题目要求根据实际使用车辆比原计划减少2辆这一条件来建立方程。设原计划需要使用的车辆数为x，实际使用的车辆数为(x-2)。根据题意可建立如下方程关系：。注意：解题时需要根据题目给出的具体数据（如总运输量等）来完善方程的具体形式。
8．（2025八下·四川期中）如图，y轴垂直平分线段，C为y轴正半轴上一点，D是线段上一点，且，若，，则阴影部分的面积是（　　）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵，，∴
∴，
∵y轴垂直平分线段，
∴，，
∴，，即
解得
∴，
∴．
故选：D．
【分析】本题主要考查垂直平分线的性质、勾股定理以及三角形面积公式的应用。解题关键在于灵活运用垂直平分线的性质。首先利用勾股定理计算的长度，进而得出的长度，从而求得的面积。根据垂直平分线的性质可知，因此是等腰直角三角形，进一步可求出和的长度。最后，通过计算的面积，即可得出最终答案。
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9．（2025八下·四川期中）分解因式： 　 　．
【答案】y（x-y）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】 ．
故答案为：y（x-y）．
【分析】直接提取公因数y，进而得出答案。
10．（2025八下·四川期中）要使得有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：要使得有意义，
，
解得：，
x的取值范围是．
故答案为：．
【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题关键是掌握分母不为零时，分式才有意义。根据分式有意义的条件即可求解。
11．（2025八下·四川期中）如图，绕B点逆时针旋转至，、B、C三点在一条直线上，若，则　 　．
【答案】40
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵绕B点逆时针旋转至，、B、C三点在一条直线上，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：40．
【分析】本题考查旋转的性质与平角定义的综合应用。根据旋转性质可得对应角相等，即。同时根据平角定义可知。代入已知条件后，可计算出，最终利用平角定义即可求得所需角度。
12．（2025八下·四川期中）如图，一次函数与交于点P ，P点坐标为，则不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：因为一次函数 与 交于点P ，
由图象可知，当时，．
故答案为：．
【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式的关系，解题时需要运用数形结合的思想方法。通过分析一次函数图象与不等式的关系来求解。
13．（2025八下·四川期中）如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线交于点D，交于点E，连接，若的周长为16，则长为　 　．
【答案】7
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作图可知，直线 MN 为线段 AB 的垂直平分线。
∵点 E 在 MN 上，
∴ AE = BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
∵△ BEC 的周长为 16，
∴BE + CE + BC = 16。
将 BE 替换为 AE，得：AE + CE + BC = 16。
∵ AE + CE = AC = 9，
∴ 9 + BC = 16，
∴BC = 7。
故答案为：7．
【分析】本题以尺规作图为背景，考查线段垂直平分线的性质及其在三角形周长计算中的应用。 根据线段垂直平分线的性质可得，然后根据三角形的周长公式，等量代换即可得到结论．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14．（2025八下·四川期中）（1）解方程：；
（2）解不等式组：
【答案】解：（1），
，
，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解；
（2），
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为
【知识点】解一元一次不等式组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】本题主要考查解分式方程和解一元一次不等式组的方法，掌握正确的解题步骤是解答的关键。
（1）解答分式方程时，需要先进行去分母操作，将其转化为整式方程求解，最后必须对所得的解进行检验，排除增根；
（2）解答不等式组时，应先分别求出每个不等式的解集，然后找出这些解集的公共部分，即为不等式组的最终解集。
15．（2025八下·四川期中）先化简，再从3，，，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．
【答案】解：
．
∵，，
∴，，
当时，原式；当时，原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】本题考查分式化简求值的运算能力。解题时需先按照根式混合运算的法则逐步化简表达式，再将给定的数值代入简化后的式子中进行计算求值。
16．（2025八下·四川期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，建立平面直角坐标系．已知的顶点的坐标分别为，，．
（1）画出向右平移5个单位长度再向下平移2个单位长度后得到的，并写出，的坐标；
（2）以原点为对称中心画出与成中心对称的图形，其中A，B，C的对应点分别为，，．
【答案】（1）解：如图，即为所求：
由图可得，，．
（2）解：如图，即为所求：
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】本题主要考查坐标与图形变换中的平移和中心对称，正确理解题意并完成作图是解答的关键。（1）平移变换：根据平移规则，分别确定点A、B、C的对应点、、的位置，依次连接即可得到平移后的三角形。结合坐标系可直接写出点和的坐标。
（2）中心对称变换：以给定对称中心为基准，分别确定点A、B、C的对称点、、的位置，依次连接即可得到中心对称后的三角形。
（1）解：如图，即为所求：
由图可得，，．
（2）解：如图，即为所求：
17．（2025八下·四川期中）如图，等腰中，，D为延长线上点，，，与交于点F．
（1）证明：；
（2）当时，求的度数．
【答案】（1）证明：在与中，，．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
（2）解：当时，，设，在中，，
在中，，
∴ 在中，，
∴．
由（1）可知，
∴，
∴，
即
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查的核心知识点包括：等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理的实际运用、一元一次方程的应用。解题时需要熟练掌握等腰三角形的基本性质及其判定方法。（1）利用三角形内角和定理可得，再根据等腰三角形性质得出，最终通过等腰三角形的判定条件得出结论。
（2）由等腰三角形的性质得出，设，在中，，所以，，根据得出，解方程即可．
（1）证明：在与中，
，．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：当时，，
设，在中，，
在中，，
∴ 在中，，
∴．
由（1）可知，
∴，
∴，
即．
18．（2025八下·四川期中）北师大教材第102页阅读材料中讲到，如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如：，16就是一个“智慧数”．请根据材料解决下列问题．
（1）试写出不大于10的3个智慧数；
（2）请选出130和131中的智慧数，并说明理由；
（3）若k为正整数，证明：是智慧数．
【答案】（1）解：不大于10的智慧数有：3，5，7，9∵，，，
∴不大于10的智慧数有：3，5，7，9．
（2）解：智慧数是131，理由如下：设m，n为正整数且，
∴．
∵，
∴
解得
∴．
∴ 131是智慧数
（3）证明：
．
设，
∴
．
∵ k为正整数，
∴为正整数，
∴是智慧数
【知识点】平方差公式及应用；整式的混合运算；因式分解的应用
【解析】【分析】本题主要考查平方差公式、因式分解和整式混合运算的应用，理解“智慧数”的定义是解题关键。
（1）根据“智慧数”的定义直接求解。
（2）设正整数m、n满足m>n，根据平方差公式可得：
将其转化为关于m、n的二元一次方程组，求解后即可证明131是智慧数。
（3）将表达式，化简为，设
继续化简为，通过证明为正整数即可得证。
（1）解：不大于10的智慧数有：3，5，7，9
∵，，，
∴不大于10的智慧数有：3，5，7，9．
（2）解：智慧数是131，理由如下：
设m，n为正整数且，
∴．
∵，
∴
解得
∴．
∴ 131是智慧数
（3）证明：
．
设，
∴
．
∵ k为正整数，
∴为正整数，
∴是智慧数．
四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19．（2025八下·四川期中）若，则的值为　 　．
【答案】8
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；求代数式的值-整体代入求值；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：，
，
．
故答案为：8．
【分析】本题主要考查代数式的求值以及因式分解的应用。解题的关键在于灵活运用因式分解的方法，将复杂代数式转化为简单形式进行整体代入求解。由已知条件 可以变形得到。观察所求代数式，先提取公因数2得到：，进一步可以发现括号内是一个完全平方式：，将已知条件 代入，最终结果为：。
20．（2025八下·四川期中）关于x的分式方程有增根，则a的值为　 　．
【答案】1
【知识点】分式方程的增根；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：，
，
，
因为分式方程的增根是，
将代入，得，
解得：．
故答案为：．
【分析】本题考查分式方程的增根问题，理解增根的概念及其产生条件是解题的核心。
将分式方程去分母后，可化为线性方程：。已知增根为，将其代入方程即可求出参数的值。
21．（2025八下·四川期中）如图，等边中，，是外角角平分线上一点，的垂直平分线交于点，交线段于点，且，连接，则　 　．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：连接并延长交于点，过点作于点，如图所示：
∵是等边三角形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，是平分线，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：．
故答案为： ．
【分析】本题综合考查了等边三角形的判定与性质、角平分线的定义、线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用。解题的关键在于灵活运用这些几何知识进行计算和推导。具体解题步骤如下：连接并延长交于点；过点作于点；先求出线段和的长度； 根据角平分线定义可得；利用线段垂直平分线性质得出，从而证明是等边三角形；进一步推导出，得出的结论；证明是等边三角形；计算线段的长度；运用勾股定理求出的长度；最后再次利用勾股定理求出的长度。整个解题过程体现了对几何知识的综合运用能力，特别是对等边三角形性质和勾股定理的灵活应用。
22．（2025八下·四川期中）如果不等式组的所有整数解之和为12，那么m的取值范围是　 　．
【答案】或
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
不等式组的解集为，
不等式组的所有整数解之和为12，，
中含有的整数解为5，4，3或5，4，3，2，1，0，，，
当中含有的整数解为5，4，3，则；
当中含有的整数解为5，4，3，2，1，0，，，则；
综上所述，m的取值范围是或．
故答案为：或．
【分析】本题主要考查不等式组的整数解问题，关键在于正确求解不等式组的解集。首先解不等式组得到解集为。根据题目条件，不等式组的所有整数解之和为12，需要分两种情况讨论： 当整数解为5、4、3时；当整数解为5、4、3、2、1、0、、时。通过这两种情况的讨论，即可得出最终的答案。
23．（2025八下·四川期中）在中，点D是斜边的中点，点P为线段的中点，则　 　．
【答案】10
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图所示：延长至点E使得，连接，过P作的垂线交，于N，M，过P作，垂足为点Q，
．
，，，（S.A.S)
，
，
，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
，，，
．
．
故答案为：10．
【分析】本题主要考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质，以及矩形的判定与性质。解题关键在于正确添加辅助线。延长至点E可得，连接，过P作BC的垂线交BC，于点N，M，过P作，垂足为Q，根据勾股定理得：，，，由，，即可得结论．
五、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24．（2025八下·四川期中）暑假假期实践活动中，小明用零花钱批发A，B两款冰淇淋售卖．小明用288元购进了A款冰淇淋，用132元购进B款冰淇淋，A款冰淇淋批发单价比B款冰淇淋批发单价多0.1元，B款冰淇淋数量正好是A款冰淇淋数量的一半．
（1）小明批发了A，B两款冰淇淋各多少个？
（2）若两款冰淇淋按相同的售价销售，为了更早售完，计划最后剩50个按八折优惠卖出，如果小明将全部冰淇淋售完，想要保证总利润率不低于（不考虑其他损耗），那么冰淇淋的售价至少是多少元？（利润率）
【答案】（1）解：设小明购进的B款冰淇淋是x个，则购进的A款冰淇淋是个．由题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴ A款冰淇淋的个数为240个．
答：小明购进的B款冰淇淋是120 个，购进的A款冰淇淋是240个
（2）解：设每个冰淇淋的售价是y元，
由题意，得，
解得，
答：每个冰淇淋的售价至少是1.5元
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题主要考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，解题关键在于理解题意并建立相应的数学模型。
（1）设小明购买的B款冰淇淋数量为x个，则A款冰淇淋数量为个。根据题目条件：A款冰淇淋批发价比B款贵0.1元，且分别花费288元和132元购买这两款冰淇淋，可建立分式方程求解。求出解后需要进行检验。
（2）设每个冰淇淋的售价为y元。题目要求总利润率不低于，据此可建立一元一次不等式求解。
（1）解：设小明购进的B款冰淇淋是x个，则购进的A款冰淇淋是个．
由题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴ A款冰淇淋的个数为240个．
答：小明购进的B款冰淇淋是120 个，购进的A款冰淇淋是240个．
（2）解：设每个冰淇淋的售价是y元，
由题意，得，
解得，
答：每个冰淇淋的售价至少是1.5元．
25．（2025八下·四川期中）在八年级下册第二章中我们学习了求解一元一次不等式组，其实一些非一次不等式都可以通过代数等价变形转化为一元一次不等式组来进行解决．
例如：可以通过因式分解转化为，
因为乘积为正，所以两个因式需同号，
所以，分类讨论： ① 解得， ② 解得．
综上所述不等式的解集为或．
根据上诉材料解决下列问题．
（1）解不等式：；
（2）解不等式：．
【答案】（1）解：∵，∴，
∴或，
解不等式组得，
解不等式组，此时不等式组无解；
综上所述，原不等式的解集为
（2）解：∵，∴或，
解不等式组得，
解不等式组，此时不等式组无解，
综上所述，原不等式的解集为
【知识点】解一元一次不等式组；一元二次不等式
【解析】【分析】本题考查了不等式组的解法以及因式分解的应用，正确理解题意是解题的核心。
（1）根据题意可知不等式 成立。这可以转化为两种情况求解：第一种情况：；第二种情况：；分别解这两个不等式组即可得到最终答案。
（2）根据除法运算规则，需要满足以下两种情形之一：第一种情形：；第二种情形：；解这两个不等式组即可得到最终结果。
（1）解：∵，
∴，
∴或，
解不等式组得，
解不等式组，此时不等式组无解；
综上所述，原不等式的解集为；
（2）解：∵，
∴或，
解不等式组得，
解不等式组，此时不等式组无解，
综上所述，原不等式的解集为．
26．（2025八下·四川期中）在平面直角坐标系中，，点是轴正半轴上的点，连接，将绕点顺时针旋转至，．连接，直线交轴于点．
（1）如图，当 时，求点坐标；
（2）证明：；
（3）如图，若，，，判断的形状并说明理由．
【答案】（1）解：∵，∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴坐标为，
∴
（2）证明：∵，∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴
（3）解：为等边三角形，理由如下，过作，交轴于点，则，
∵，
∴，
∴，，
在中，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由（）可知，
∴为等边三角形
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及直角三角形的性质等相关知识点的应用能力。解题的关键在于熟练掌握并灵活运用这些几何知识点，通过分析题目条件，选择恰当的定理和性质进行推导证明。
（）因为，所以，可证明，所以，，继而求出点即可；
（）同（）理可证，所以，因为，所以有，所以，，然后通过等腰三角形的判定方法即可求证；
（）添加辅助线，过作，交轴于点，可得，所以，，，由勾股定理得，，又，，所以，，便可证明，最后通过全等三角形的性质等腰三角形的判定方法即可．
（1）解：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴坐标为，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：为等边三角形，理由如下，
过作，交轴于点，则，
∵，
∴，
∴，，
在中，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由（）可知，
∴为等边三角形．
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