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广东省广州市白云区广州空港实验中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高二下·白云期中）已知等比数列中，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高二下·白云期中）等差数列中是其前项和，，则（　　）
A．27 B．36 C．54 D．81
3．（2025高二下·白云期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025高二下·白云期中）已知函数，当自变量由5变到5.1时，函数的平均变化率为（　　）
A．1 B．1.1 C．5.1 D．10.1
5．（2025高二下·白云期中）已知数列，2，，，，…，，，…，则是这个数列的（　　）
A．第19项 B．第20项 C．第21项 D．第22项
6．（2025高二下·白云期中）若满足为锐角三角形，则下列选项正确的是（　　）.
A． B．
C． D．
7．（2025高二下·白云期中）设，若为函数的极大值点，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高二下·白云期中）若数列满足（为常数，，），则称为“等方比数列”．甲：数列是等方比数列；乙：数列是等比数列，则（　　）．
A．甲是乙的充分非必要条件
B．甲是乙的必要非充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既非充分也非必要条件
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分．
9．（2025高二下·白云期中）下列函数求导运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025高二下·白云期中）已知是的前项和，，，则下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．是以为周期的周期数列
11．（2025高二下·白云期中）已知，则（　　）
A．的定义域是
B．函数在上为减函数
C．若直线和的图象有交点，则
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高二下·白云期中）函数的图象在点处的切线的斜率为　 　．
13．（2025高二下·白云期中）函数在上是单调递增函数，则的取值范围是　 　.
14．（2025高二下·白云期中）如图，互不相同的点和分别在角O的两条边上，所有相互平行，且所有梯形的面积均相等.设.若，，则数列的通项公式是　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高二下·白云期中）已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若在时取得极值，求函数在区间上的最小值.
16．（2025高二下·白云期中）函数．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求出方程的解个数．
17．（2025高二下·白云期中）已知数列满足，．
（1）证明为等比数列，并求的通项公式；
（2）设的前项和为，，证明：数列的前n项和小于．
18．（2025高二下·白云期中）若数列 的前 项和为 ，且 ；数列 满足 ， .
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
19．（2025高二下·白云期中）设函数f(x)＝－，g(x)＝a(x2－1)－lnx(a∈R，e为自然对数的底数).
（1）证明：当x>1时，f(x)>0；
（2）讨论g(x)的单调性；
（3）若不等式f(x)答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解： 等比数列中，，由等比数列的性质可得，
则.
故答案为：D.
【分析】根据等比数列性质求解即可.
2．【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：，则，即，
则.
故答案为：A.
【分析】根据等差数列性质的性质求得，再根据等差数列的求和公式求解即可.
3．【答案】A
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由图可知：，原函数的图象必然单调递增，故排除B，C；
导函数的函数值在区间上递减，原函数在区间上的切线斜率递减，
导函数的函数值在区间上递增，原函数在区间上的切线斜率递增，故排除D.
故答案为：A.
【分析】由图，根据导数值的正负，判断函数单调递增即可判断BC；根据导数值的变化得出原函数切线斜率的变换取值即可判断AD.
4．【答案】D
【知识点】平均变化率
【解析】【解答】解：由题函数的平均变化率为.
故答案为：D.
【分析】根据平均变化率定义直接计算即可.
5．【答案】C
【知识点】数列的通项公式
【解析】【解答】解：令，解得，则是这个数列的第项.
故答案为：C.
【分析】直接令，求解即可.
6．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：构造函数定义域为，易知，
则在内单调递增，
为锐角三角形，则，，，
则，变形得到.
故答案为：D.
【分析】由题意，构造新函数，根据判断，即函数在内单调递增，再根据为锐角，求得角的范围，结合三角函数单调性，诱导公式，得到，最后利用函数的单调性，得到函数值的大小.
7．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：易知，
函数有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的，
依题意，a为函数的极大值点，则在左右附近都是小于零的，
当时，由，，画出的图象，如图所示：
由图可知，，则；
当时，由时，，画出的图象，如图所示：
由图可知，，则，
综上所述，成立.
故答案为：D.
【分析】由选项可知，易知函数有和两个零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，作出函数图象，数形结合得到满足的关系，据此确定正确选项.
8．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列概念与表示
【解析】【解答】解：若数列为等比数列，设公比为，则，为常数，即数列为等比数列，即是等方比数列，则必要性成立；
若是等方比数列，即成等比数列，则不一定为等比数列，例如，有，满足是等方比数列，但不是等比数列，即充分性不成立，
综上： 甲是乙的必要非充分条件 .
故答案为：B.
【分析】若数列为等比数列，设公比为，由推出为等方比数列，判断必要性成立，再举特例判断充分性是否成立，即可得正确答案.
9．【答案】A,B,C
【知识点】导数的乘法与除法法则；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：对于A，因为，故A正确；
对于B，因为，故B正确；
对于C，因为，故C正确；
对于D，因为，故D错误．
故答案为：ABC．
【分析】利用基本初等函数的导数公式可判断选项A；利用导数的运算法则可判断选项B和选项D；利用复合函数的求导法则可判断选项C，从而找出函数求导运算正确的选项.
10．【答案】B,D
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式
【解析】【解答】解：，，，，，，
则数列是以为周期的周期数列，故正确；
则，故错误；
，故正确；
可得，故错误．
故答案为：
【分析】根据数列的递推公式求出前几项，判断数列的周期性，再结合周期性分析各项选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数的定义域及其求法；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：关于A：，
，
解得，A符合题意；
关于B：
，
，
，
，，
在单调递增，
，
在上单调递减，B符合题意；
关于C：
，，
，
在单调递增，
，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
，
所以画草图如下：
由图可知，若直线和的图象有交点，
则，C不符合题意；
关于D：
时，单调递增，
，
即，
成立，D符合题意.
故答案为：ABD
【分析】求出的定义域可判断A；求导判断出函数的单调性，可判断B；结合函数的单调性可得直线和的图象有交点，求出m的范围，可判断C；，可判断D.
12．【答案】
【知识点】导数的几何意义；导数的加法与减法法则
【解析】【解答】解：函数，求导可得，
则函数的图象在点处的切线的斜率为.
故答案为：.
【分析】先求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义求切线的斜率即可.
13．【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数在上是单调递增函数，
则在上恒成立，等价于在上恒成立，即，
因为函数在上单调递增，所以的最小值为3，则，
即的取值范围为.
故答案为：.
【分析】问题转化为在上恒成立，分离参数可得，根据函数的单调性，求的最小值，即可求得的取值范围.
14．【答案】
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为 所以，
梯形 的面积为的面积减去的面积，，
则 即递推公式为
数列为等差数列，且公差，
则，即.
故答案为：.
【分析】由题意可得，且，再根据三角形相似和所有梯形的面积均相等，得递推式，再由递推公式，结合等差数列的概念求数列的通项公式即可.
15．【答案】（1）解：当时，函数定义域为，求导可得，
令，解得或，
当或时，，当时，，
则函数的单调递增区间是，单调递减区间是；
（2）解：由函数在时取得极值，得，解得，
由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，满足在时取得极小值，则，
因为1，所以函数在区间上的最小值是．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）将代入，求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求单调区间即可；
（2）由函数在时取极值，可得，求得a的值，再根据（1）得函数的单调区间，结合端点值和极值求解最值即可.
（1）由题得，且定义域为R．
当时，函数，因此，
所以当或时，，当时，，
所以函数的递增区间是，递减区间是．
（2）由函数在时取得极值，得，解得，
由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，
满足在时取得极小值，故，
又1，
所以函数在区间上的最小值是．
16．【答案】（1）解：易知定义域为，
求导可得，，
则切线方程为：；
（2）解：方程解的个数等价于于的交点个数，
令，解得，令，解得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，且，
当无限趋向于负无穷大时，无限趋向于0，
当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于正无穷大，
又，且时，，作出与的图象，如图所示：
由图可知当时，方程的解为0个；
当或时，方程的解为1个；
当时，方程的解为2个.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，以及，再求导，求斜率，利用点斜式求函数在处的切线方程即可；（2）方程解的个数等价于于的交点个数，利用导数判断函数的单调性，作出与的图象，数形结合求函数图象与直线交点个数，确定方程解的个数即可．
（1）易知定义域为，
因为，所以，所以，所以，
所以切线方程为：．
（2）方程解的个数等价于于的交点个数．
由得，由得.
所以在上递减，在上递增，
所以，当无限趋向于负无穷大时，无限趋向于0，
当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于正无穷大，
又，且时，，作出与的图象，
由图可知当时，方程的解为0个
当或时，方程的解为1个
当时，方程的解为2个.
17．【答案】（1）证明：由，可得，
因为， 所以是首项为，公比为的等比数列，
则，即；
（2）证明：，
则，
，
数列的前n项和为，
故数列的前n项和小于.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）递推式配凑可得，结合等比数列的概念可得数列为等比数列，求数列的通项，变形即可得数列的通项公式；
（2）根据通项公式的特点，求出的表达式，再根据，求出的通项公式，以及 的通项公式，利用裂项相消法求数列的前n项和，观察所求出来的式子可证明结果.
（1），
，
又，
是首项为，公比为的等比数列，
，
即．
（2）
．
所以．
所以，
数列的前n项和为．
故数列的前n项和小于.
18．【答案】（1）解：由 ，得 ， .
又 ， ，
两式相减，得 ， .
， .
∴数列 是首项为1，公比为2的等比数列. .
由 ，得 ，
又 ， 数列 是首项为1，公差为1的等差数列.
. ；
（2）解： ， .
两式相减，得
.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1） 由 结合与的关系式，再利用分类讨论的方法，从而结合等比数列的定义，判断出数列 是首项为1，公比为2的等比数列，再利用等比数列的通项公式，得出数列 的通项公式，由 ，得出 ，再利用 结合等差数列的定义，从而判断出数列 是首项为1，公差为1的等差数列，再利用等差数列的通项公式，从而得出数列 的通项公式 。
（2）利用数列 ， 的通项公式得出数列 的通项公式，再利用错位相减的方法，从而求出数列 的前 项和。
19．【答案】（1）证明：函数，
令，求导可得，
当时，，则函数在上单调递增，因为，所以，
故当时，；
（2） (x>0)，
当a≤0时，，在上单调递减，
当a>0时，由，解得x＝，
当x∈时，，单调递减，
当x∈时，，单调递增；
（3）由（1）知，当时，，
当a≤0，x>1时，，
故当f(x)当01，在上单调递减，，而，
所以此时在区间内不恒成立，
当a≥时，令，
当x>1时，，
因此，h(x)在区间上单调递增，
又因为，所以当x>1时，，即恒成立，
综上，a的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）先通分化简函数，令，求导，利用导数判断其单调性，结合，即可证明当时，；
（2）求导，对a分类讨论，利用导数判断函数的单调性即可；
（3）由（1）知，当时，，先讨论a≤0与01 / 1广东省广州市白云区广州空港实验中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高二下·白云期中）已知等比数列中，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解： 等比数列中，，由等比数列的性质可得，
则.
故答案为：D.
【分析】根据等比数列性质求解即可.
2．（2025高二下·白云期中）等差数列中是其前项和，，则（　　）
A．27 B．36 C．54 D．81
【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：，则，即，
则.
故答案为：A.
【分析】根据等差数列性质的性质求得，再根据等差数列的求和公式求解即可.
3．（2025高二下·白云期中）已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由图可知：，原函数的图象必然单调递增，故排除B，C；
导函数的函数值在区间上递减，原函数在区间上的切线斜率递减，
导函数的函数值在区间上递增，原函数在区间上的切线斜率递增，故排除D.
故答案为：A.
【分析】由图，根据导数值的正负，判断函数单调递增即可判断BC；根据导数值的变化得出原函数切线斜率的变换取值即可判断AD.
4．（2025高二下·白云期中）已知函数，当自变量由5变到5.1时，函数的平均变化率为（　　）
A．1 B．1.1 C．5.1 D．10.1
【答案】D
【知识点】平均变化率
【解析】【解答】解：由题函数的平均变化率为.
故答案为：D.
【分析】根据平均变化率定义直接计算即可.
5．（2025高二下·白云期中）已知数列，2，，，，…，，，…，则是这个数列的（　　）
A．第19项 B．第20项 C．第21项 D．第22项
【答案】C
【知识点】数列的通项公式
【解析】【解答】解：令，解得，则是这个数列的第项.
故答案为：C.
【分析】直接令，求解即可.
6．（2025高二下·白云期中）若满足为锐角三角形，则下列选项正确的是（　　）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：构造函数定义域为，易知，
则在内单调递增，
为锐角三角形，则，，，
则，变形得到.
故答案为：D.
【分析】由题意，构造新函数，根据判断，即函数在内单调递增，再根据为锐角，求得角的范围，结合三角函数单调性，诱导公式，得到，最后利用函数的单调性，得到函数值的大小.
7．（2025高二下·白云期中）设，若为函数的极大值点，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：易知，
函数有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的，
依题意，a为函数的极大值点，则在左右附近都是小于零的，
当时，由，，画出的图象，如图所示：
由图可知，，则；
当时，由时，，画出的图象，如图所示：
由图可知，，则，
综上所述，成立.
故答案为：D.
【分析】由选项可知，易知函数有和两个零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，作出函数图象，数形结合得到满足的关系，据此确定正确选项.
8．（2025高二下·白云期中）若数列满足（为常数，，），则称为“等方比数列”．甲：数列是等方比数列；乙：数列是等比数列，则（　　）．
A．甲是乙的充分非必要条件
B．甲是乙的必要非充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既非充分也非必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列概念与表示
【解析】【解答】解：若数列为等比数列，设公比为，则，为常数，即数列为等比数列，即是等方比数列，则必要性成立；
若是等方比数列，即成等比数列，则不一定为等比数列，例如，有，满足是等方比数列，但不是等比数列，即充分性不成立，
综上： 甲是乙的必要非充分条件 .
故答案为：B.
【分析】若数列为等比数列，设公比为，由推出为等方比数列，判断必要性成立，再举特例判断充分性是否成立，即可得正确答案.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分．
9．（2025高二下·白云期中）下列函数求导运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】导数的乘法与除法法则；简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：对于A，因为，故A正确；
对于B，因为，故B正确；
对于C，因为，故C正确；
对于D，因为，故D错误．
故答案为：ABC．
【分析】利用基本初等函数的导数公式可判断选项A；利用导数的运算法则可判断选项B和选项D；利用复合函数的求导法则可判断选项C，从而找出函数求导运算正确的选项.
10．（2025高二下·白云期中）已知是的前项和，，，则下列选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．是以为周期的周期数列
【答案】B,D
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式
【解析】【解答】解：，，，，，，
则数列是以为周期的周期数列，故正确；
则，故错误；
，故正确；
可得，故错误．
故答案为：
【分析】根据数列的递推公式求出前几项，判断数列的周期性，再结合周期性分析各项选项.
11．（2025高二下·白云期中）已知，则（　　）
A．的定义域是
B．函数在上为减函数
C．若直线和的图象有交点，则
D．
【答案】A,B,D
【知识点】函数的定义域及其求法；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：关于A：，
，
解得，A符合题意；
关于B：
，
，
，
，，
在单调递增，
，
在上单调递减，B符合题意；
关于C：
，，
，
在单调递增，
，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
，
所以画草图如下：
由图可知，若直线和的图象有交点，
则，C不符合题意；
关于D：
时，单调递增，
，
即，
成立，D符合题意.
故答案为：ABD
【分析】求出的定义域可判断A；求导判断出函数的单调性，可判断B；结合函数的单调性可得直线和的图象有交点，求出m的范围，可判断C；，可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高二下·白云期中）函数的图象在点处的切线的斜率为　 　．
【答案】
【知识点】导数的几何意义；导数的加法与减法法则
【解析】【解答】解：函数，求导可得，
则函数的图象在点处的切线的斜率为.
故答案为：.
【分析】先求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义求切线的斜率即可.
13．（2025高二下·白云期中）函数在上是单调递增函数，则的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数在上是单调递增函数，
则在上恒成立，等价于在上恒成立，即，
因为函数在上单调递增，所以的最小值为3，则，
即的取值范围为.
故答案为：.
【分析】问题转化为在上恒成立，分离参数可得，根据函数的单调性，求的最小值，即可求得的取值范围.
14．（2025高二下·白云期中）如图，互不相同的点和分别在角O的两条边上，所有相互平行，且所有梯形的面积均相等.设.若，，则数列的通项公式是　 　.
【答案】
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：因为 所以，
梯形 的面积为的面积减去的面积，，
则 即递推公式为
数列为等差数列，且公差，
则，即.
故答案为：.
【分析】由题意可得，且，再根据三角形相似和所有梯形的面积均相等，得递推式，再由递推公式，结合等差数列的概念求数列的通项公式即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高二下·白云期中）已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若在时取得极值，求函数在区间上的最小值.
【答案】（1）解：当时，函数定义域为，求导可得，
令，解得或，
当或时，，当时，，
则函数的单调递增区间是，单调递减区间是；
（2）解：由函数在时取得极值，得，解得，
由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，满足在时取得极小值，则，
因为1，所以函数在区间上的最小值是．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）将代入，求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求单调区间即可；
（2）由函数在时取极值，可得，求得a的值，再根据（1）得函数的单调区间，结合端点值和极值求解最值即可.
（1）由题得，且定义域为R．
当时，函数，因此，
所以当或时，，当时，，
所以函数的递增区间是，递减区间是．
（2）由函数在时取得极值，得，解得，
由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，
满足在时取得极小值，故，
又1，
所以函数在区间上的最小值是．
16．（2025高二下·白云期中）函数．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求出方程的解个数．
【答案】（1）解：易知定义域为，
求导可得，，
则切线方程为：；
（2）解：方程解的个数等价于于的交点个数，
令，解得，令，解得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，且，
当无限趋向于负无穷大时，无限趋向于0，
当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于正无穷大，
又，且时，，作出与的图象，如图所示：
由图可知当时，方程的解为0个；
当或时，方程的解为1个；
当时，方程的解为2个.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，以及，再求导，求斜率，利用点斜式求函数在处的切线方程即可；（2）方程解的个数等价于于的交点个数，利用导数判断函数的单调性，作出与的图象，数形结合求函数图象与直线交点个数，确定方程解的个数即可．
（1）易知定义域为，
因为，所以，所以，所以，
所以切线方程为：．
（2）方程解的个数等价于于的交点个数．
由得，由得.
所以在上递减，在上递增，
所以，当无限趋向于负无穷大时，无限趋向于0，
当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于正无穷大，
又，且时，，作出与的图象，
由图可知当时，方程的解为0个
当或时，方程的解为1个
当时，方程的解为2个.
17．（2025高二下·白云期中）已知数列满足，．
（1）证明为等比数列，并求的通项公式；
（2）设的前项和为，，证明：数列的前n项和小于．
【答案】（1）证明：由，可得，
因为， 所以是首项为，公比为的等比数列，
则，即；
（2）证明：，
则，
，
数列的前n项和为，
故数列的前n项和小于.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）递推式配凑可得，结合等比数列的概念可得数列为等比数列，求数列的通项，变形即可得数列的通项公式；
（2）根据通项公式的特点，求出的表达式，再根据，求出的通项公式，以及 的通项公式，利用裂项相消法求数列的前n项和，观察所求出来的式子可证明结果.
（1），
，
又，
是首项为，公比为的等比数列，
，
即．
（2）
．
所以．
所以，
数列的前n项和为．
故数列的前n项和小于.
18．（2025高二下·白云期中）若数列 的前 项和为 ，且 ；数列 满足 ， .
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】（1）解：由 ，得 ， .
又 ， ，
两式相减，得 ， .
， .
∴数列 是首项为1，公比为2的等比数列. .
由 ，得 ，
又 ， 数列 是首项为1，公差为1的等差数列.
. ；
（2）解： ， .
两式相减，得
.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1） 由 结合与的关系式，再利用分类讨论的方法，从而结合等比数列的定义，判断出数列 是首项为1，公比为2的等比数列，再利用等比数列的通项公式，得出数列 的通项公式，由 ，得出 ，再利用 结合等差数列的定义，从而判断出数列 是首项为1，公差为1的等差数列，再利用等差数列的通项公式，从而得出数列 的通项公式 。
（2）利用数列 ， 的通项公式得出数列 的通项公式，再利用错位相减的方法，从而求出数列 的前 项和。
19．（2025高二下·白云期中）设函数f(x)＝－，g(x)＝a(x2－1)－lnx(a∈R，e为自然对数的底数).
（1）证明：当x>1时，f(x)>0；
（2）讨论g(x)的单调性；
（3）若不等式f(x)【答案】（1）证明：函数，
令，求导可得，
当时，，则函数在上单调递增，因为，所以，
故当时，；
（2） (x>0)，
当a≤0时，，在上单调递减，
当a>0时，由，解得x＝，
当x∈时，，单调递减，
当x∈时，，单调递增；
（3）由（1）知，当时，，
当a≤0，x>1时，，
故当f(x)当01，在上单调递减，，而，
所以此时在区间内不恒成立，
当a≥时，令，
当x>1时，，
因此，h(x)在区间上单调递增，
又因为，所以当x>1时，，即恒成立，
综上，a的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）先通分化简函数，令，求导，利用导数判断其单调性，结合，即可证明当时，；
（2）求导，对a分类讨论，利用导数判断函数的单调性即可；
（3）由（1）知，当时，，先讨论a≤0与01 / 1

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