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四川省内江市资中县2024—2025学年下学期期中考试八年级数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．每小题只有一个选项符合题意．）
1．（2025八下·资中期中）下列式子是分式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·资中期中）“沉睡数千年，一醒惊天下”，三星堆遗址在5号坑提取的牙雕制品，最细微处仅为米，该数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·资中期中）平面直角坐标系中，点所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2025八下·资中期中）若把分式中的m、n同时扩大到原来的3倍，则分式的值（　　）
A．保持不变 B．扩大到原来的3倍
C．缩小到原来的 D．扩大到原来的9倍
5．（2025八下·资中期中）一次函数 的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2025八下·资中期中）已知，则分式（　　）
A． B． C． D．1
7．（2025八下·资中期中）如图，在 ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（　　）
A． B．1 C． D．
8．（2025八下·资中期中）关于x的分式方程 ﹣ ＝1有增根，则m的值（　　）
A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3
9．（2025八下·资中期中）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025八下·资中期中）如图，点A在双曲线上，过点A作轴交双曲线于点B，点C、D都在x轴上，连接、，若四边形是平行四边形，则的面积为（　　）
A．4 B．6 C．2 D．1
11．（2025八下·资中期中）在平面直角坐标系中，按如图所示方式放置正方形，点A的坐标为，将正方形绕坐标原点 O逆时针旋转， 每秒旋转， 第2024秒旋转结束时点 C 的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
12．（2025八下·资中期中）如图，点A（a，1）、B（﹣1，b）都在双曲线y＝﹣上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是（　　）
A．y＝x B．y＝x+1 C．y＝x+2 D．y＝x+3
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．）
13．（2025八下·资中期中）分式有意义的的取值范围是　 　．
14．（2025八下·资中期中）将直线向下平移1个单位长度，得到的新直线的解析式为　 　．
15．（2025八下·资中期中）如图，P是面积为S的 ABCD内任意一点，如果△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，那么S1+S2=　 　（用含的代数式表示）
16．（2025八下·资中期中）如图，在边长为6的等边三角形中，点P是的中点，点M在的延长线上，点N在上且满足，记，若关于x的方程的解是正数，则n的取值范围是 　 　．
三、解答题（本大题共6小题，共56分）
17．（2025八下·资中期中）（1）计算：
（2）解分式方程：
（3）化简：
18．（2025八下·资中期中）已知y是x的正比例函数，且当时，．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）将该函数图象向下平移2个单位，判断点是否在平移后的图象上？
19．（2025八下·资中期中）如图，在平行四边形中，点E，F分别在上，与相交于点O，且．求证：．
20．（2025八下·资中期中）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，给自行车商家带来商机．某自行车行经营的一种自行车去年销售总额为80000元，预计今年该种自行车的销售单价比去年降低100元，销售数量是去年的2倍，销售总额能达到128000元，求去年该种自行车的销售单价．
21．（2025八下·资中期中）对于两个不相等的非零实数m、n，分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为，．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程有两个解，分别为 ， ；
（2）关于x的方程的两个解分别为，，若与互为倒数，则 ， ；
（3）关于x的方程的两个解分别为，，求的值．
22．（2025八下·资中期中）【模型建立】（1）如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：；
【模型应用】（2）如图2，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点A逆时针旋转至直线；求直线的函数解析式；
（3）如图3，平面直角坐标系内有一点，过点B作轴于点A、轴于点C，点P是线段上的动点，点D是直线上的动点且在第四象限内．试探究能否成为等腰直角三角形？若能，直接写出点D的坐标，若不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：，分母为常数，不含字母，属于整式，故A不符合；
，分母为数字2，不含字母，属于整式，故B不符合；
，分母为，含字母，符合分式定义，故C符合；
，分母为数字5，不含字母，故D不符合，
故选：C．
【分析】
根据分式的定义，判断各选项分母是否含有字母，分母含字母的式子为分式这一结论解答.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故选：C．
【分析】科学记数法的形式，为小数点向右移动位数的相反数解答即可．
3．【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】∵点的横坐标，纵坐标，
∴根据平面直角坐标系特点，点P在第三象限，
故选：C．
【分析】
先确定点的横纵坐标的符号，再根据各象限内点的坐标符号特征判断所在象限即可.
4．【答案】A
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：∵，
∴若把分式中的m、n同时扩大到原来的3倍，则分式的值不变，
故选：A．
【分析】
先将m、n替换成3m、3n，代入原分式化简，再与原分式比较得出值的变化情况即可得出结论.
5．【答案】B
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴函数图象一定经过一、三象限；
又∵ ，函数与y轴交于y轴负半轴，
∴函数经过一、三、四象限，不经过第二象限
故答案为：B
【分析】由二次函数 ，可得函数图象经过一、三、四象限，所以不经过第二象限
6．【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：设，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【分析】
根据分式的化简与代数式的比例关系，利用已知比例关系设未知数，代入分式进行化简求值即可.
7．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵由题意可知CF是∠BCD的平分线，
∴∠BCE=∠DCE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠DCE=∠E，
∴∠BCE=∠AEC，
∴BE=BC=3，
∵AB=2，
∴AE=BE-AB=1，
故答案为：B．
【分析】由尺规作图过程可得CF是∠BCD的平分线，由角平分线的定义得∠BCE=∠DCE，由平行四边形的对边平行得AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠DCE=∠E，则∠BCE=∠AEC，由等角对等边得BE=BC=3，最后根据AE=BE-AB可算出答案.
8．【答案】D
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得：m+3＝x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，
解得：m＝﹣3，
故答案为：D．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可．
9．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点，，都在反比例函数的图象上，
∴点代入函数，得；
点代入函数，得；
点代入函数，得．
∵，
∴，
故选：A．
【分析】
先确定各点所在的象限， 再根据反比例函数的性质判断，最后再比较y值大小.
10．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的实际应用；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵点A在双曲线上，B在双曲线上，且轴，
∴A、B两点纵坐标相等，且都设为b，
则，，
∴，
故的边上高为b，
∴．
故选：C．
【分析】
利用点在双曲线上且两线平行的条件，设出点的坐标，进而求出平行四边形的底和高，最后根据平行四边形的面积公式即可求解.
11．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；坐标与图形变化﹣旋转；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：过A作轴于E，过作轴于F，
∴，
∵点A的坐标为，
∴，，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
将正方形绕坐标原点O逆时针旋转，每秒旋转，旋转4秒恰好旋转，
∵，余数为0，
故旋转2024秒后点C与点的坐标重合，即
故选：A．
【分析】
先根据全等三角形的性质和判定求出C的坐标，然后再根据正方形旋转周期，计算出2024秒内旋转的总圈数，根据周期性确定点C对应点的坐标.
12．【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；轴对称的应用-最短距离问题；反比例函数图象上点的坐标特征；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：分别把点A（a，1）、B（﹣1，b）代入双曲线y=﹣得a=﹣3，b=3，
则点A的坐标为（﹣3，1）、B点坐标为（﹣1，3），
作A点关于x轴的对称点C，B点关于y轴的对称点D，
所以C点坐标为（﹣3，﹣1），D点坐标为（1，3），
连结CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，此时四边形PABQ的周长最小，
设直线CD的解析式为y=kx+b，
把C（﹣3，﹣1），D（1，3）分别代入得，
解得，
所以直线CD的解析式为y=x+2．
故选C．
【分析】先求出点A、B的坐标，再作A点关于x轴的对称点C，B点关于y轴的对称点D，即可得到点C、D的坐标，CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，根据两点之间线段最短即可得到四边形PABQ的周长最小，运用待定系数法求出PQ的解析式即可．
13．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】根据题意得，，
解得．
故答案为：．
【分析】
先明确分式有意义的条件为分母不等于零，据此列出关于x的不等式求解即可.
14．【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将直线向下平移1个单位长度，
得到的新直线的解析式为，即．
故答案为：．
【分析】根据一次函数图象平移的性质“左加右减，上加下减”解答即可．
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∴S=BC EF，S1=，S2=，
∵EF=PE+PF，AD=BC，
∴S1+S2=，
故答案为：．
【分析】过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC于点F，即可表示S，S1，S2，进而得到S，S1，S2关系解答即可．
16．【答案】且
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】过点P作，交于点E，
∴，
∵是等边三角形，且边长为6，
∴，
∴，
∴是等边三角形，，，
∴，
∵点P是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，解得，
∵关于x的方程的解是正数，
∴且，
解得且，
故答案为：且．
【分析】过点P作，交于点E，根据等边三角形的性质即可得到是等边三角形，然后根据ASA得到，即可得到，然后表示，列方程求出，再根据分式的整数解得到且，求出n的取值范围即可．
17．【答案】解：
（1）
；
（2）
，
经检验，时，，
是原方程的增根，
原方程无解；
（3）
．
【知识点】分式的混合运算；负整数指数幂；解分式方程；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】
（1）需分别计算出负整数指数幂、乘方、绝对值、零整数幂，再按顺序进行加减运算即可；
（2）先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程后检验所得的解是否为增根；
（3）先计算括号内分式与整式的加法（通分后合并），再将除法转化为乘法，最后化简得出结果．
18．【答案】（1）设这个正比例函数为∵当时，
∴
∴
∴y关于x的函数解析式为．

（2）将该函数图象向下平移2个单位得
当时，，
∴点不在平移后的图象上．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求出正比例函数的解析式即可；
（2）根据平移规律得到平移后的直线解析式，把x=-2代入计算y的值判断解答即可．
19．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，∴，
∴，
又∵，
∴
∴．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据平行四边形的性质即可得到，再根据得到即利用全等三角形的对应边相等得到结论即可．
20．【答案】设去年该种自行车的销售单价为x元，根据题意，得
，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意。
答：去年该种自行车的销售单价为500元。
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】先设去年该种自行车的销售单价为未知数，根据今年销售数量式去年的2倍这一等量关系列出方程，求解并检验得出结果即可.
21．【答案】（1），
（2）；2，
（3） 解：，
方程整理得，
得或，且，
可得，．
∴．

【知识点】拆项法解分式方程
【解析】【解答】
(1) 解：∵，，
∴方程有两个解，分别为，
(2) 解：，
方程变形得：，
由题中的结论得：有两个解，分别为，2，
∵与互为倒数，
∴，
【分析】
（1）根据方程式确定mn和m+n的值，找到满足条件的m、n即为方程的解.
（2）需先将方程变形为x+ax=b的形式，利用结论得出解，在根据倒数关系求出x1、x2.
（3）需要通过换元方程转化为符合结论的形式，求出解后计算出差值即可.
（1）解：∵，，
∴方程有两个解，分别为，
故答案为：1，6；
（2）解：，
方程变形得：，
由题中的结论得：有两个解，分别为，2，
∵与互为倒数，
∴，
故答案为：，2；
（3）解：，
方程整理得，
得或，且，
可得，．
∴．
22．【答案】（）证明：，于点，于点，
，
，
，
，
又，
；
（）解：如图，过点作交直线于点，过点作轴交轴于点，则，
，
，
，为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，，
把代入，得：，
解得：，
，
把代入，得：，
，
，，
，，
，
，
设直线的函数表达式为，把、代入，得：
，
解得：，
直线的函数表达式为；
（）解：能成为等腰直角三角形，理由如下：
，轴于点，轴于点，
，
，，四边形为矩形，
设，
分四种情况：
当时，
如图，，则，过点作轴于点，交的延长线于点，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
将代入，得：
，
解得：，
；
当时，
如图，，则，过点作轴于点，过点作轴于点，
，
，
，
，
，
，，
，
，
四边形为矩形，
，
，
四边形为矩形，
，
又，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
将代入，得：
，
解得：，
此时，两点重合，两点重合，
；
当，且点在上方时，
如图，，且点在上方，则，过点作交射线于点，
，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
将代入，得：
，
解得：，
，
不在第四象限，
不符合题意，故舍去；
当，且点在下方时，
如图，，且点在下方，则，过点作交的延长线于点，
则，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
将代入，得：
，
解得：，
；
综上所述：点的坐标为或或．
【知识点】矩形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】
（）利用等腰直角三角形的性质和角度关系证明三角形全等即可证明.
（）通过构造等腰直角三角形，利用全等三角形的性质求出点的坐标，进而求出直线表达式.
（）分四种情况讨论：当时；当时；当，且点在上方时；当，且点在下方时；分别求出点的坐标即可得出答案．
1 / 1四川省内江市资中县2024—2025学年下学期期中考试八年级数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．每小题只有一个选项符合题意．）
1．（2025八下·资中期中）下列式子是分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：，分母为常数，不含字母，属于整式，故A不符合；
，分母为数字2，不含字母，属于整式，故B不符合；
，分母为，含字母，符合分式定义，故C符合；
，分母为数字5，不含字母，故D不符合，
故选：C．
【分析】
根据分式的定义，判断各选项分母是否含有字母，分母含字母的式子为分式这一结论解答.
2．（2025八下·资中期中）“沉睡数千年，一醒惊天下”，三星堆遗址在5号坑提取的牙雕制品，最细微处仅为米，该数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故选：C．
【分析】科学记数法的形式，为小数点向右移动位数的相反数解答即可．
3．（2025八下·资中期中）平面直角坐标系中，点所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】∵点的横坐标，纵坐标，
∴根据平面直角坐标系特点，点P在第三象限，
故选：C．
【分析】
先确定点的横纵坐标的符号，再根据各象限内点的坐标符号特征判断所在象限即可.
4．（2025八下·资中期中）若把分式中的m、n同时扩大到原来的3倍，则分式的值（　　）
A．保持不变 B．扩大到原来的3倍
C．缩小到原来的 D．扩大到原来的9倍
【答案】A
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：∵，
∴若把分式中的m、n同时扩大到原来的3倍，则分式的值不变，
故选：A．
【分析】
先将m、n替换成3m、3n，代入原分式化简，再与原分式比较得出值的变化情况即可得出结论.
5．（2025八下·资中期中）一次函数 的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴函数图象一定经过一、三象限；
又∵ ，函数与y轴交于y轴负半轴，
∴函数经过一、三、四象限，不经过第二象限
故答案为：B
【分析】由二次函数 ，可得函数图象经过一、三、四象限，所以不经过第二象限
6．（2025八下·资中期中）已知，则分式（　　）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：设，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【分析】
根据分式的化简与代数式的比例关系，利用已知比例关系设未知数，代入分式进行化简求值即可.
7．（2025八下·资中期中）如图，在 ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵由题意可知CF是∠BCD的平分线，
∴∠BCE=∠DCE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠DCE=∠E，
∴∠BCE=∠AEC，
∴BE=BC=3，
∵AB=2，
∴AE=BE-AB=1，
故答案为：B．
【分析】由尺规作图过程可得CF是∠BCD的平分线，由角平分线的定义得∠BCE=∠DCE，由平行四边形的对边平行得AB∥CD，由二直线平行，内错角相等得∠DCE=∠E，则∠BCE=∠AEC，由等角对等边得BE=BC=3，最后根据AE=BE-AB可算出答案.
8．（2025八下·资中期中）关于x的分式方程 ﹣ ＝1有增根，则m的值（　　）
A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3
【答案】D
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得：m+3＝x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，
解得：m＝﹣3，
故答案为：D．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出m的值即可．
9．（2025八下·资中期中）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点，，都在反比例函数的图象上，
∴点代入函数，得；
点代入函数，得；
点代入函数，得．
∵，
∴，
故选：A．
【分析】
先确定各点所在的象限， 再根据反比例函数的性质判断，最后再比较y值大小.
10．（2025八下·资中期中）如图，点A在双曲线上，过点A作轴交双曲线于点B，点C、D都在x轴上，连接、，若四边形是平行四边形，则的面积为（　　）
A．4 B．6 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的实际应用；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵点A在双曲线上，B在双曲线上，且轴，
∴A、B两点纵坐标相等，且都设为b，
则，，
∴，
故的边上高为b，
∴．
故选：C．
【分析】
利用点在双曲线上且两线平行的条件，设出点的坐标，进而求出平行四边形的底和高，最后根据平行四边形的面积公式即可求解.
11．（2025八下·资中期中）在平面直角坐标系中，按如图所示方式放置正方形，点A的坐标为，将正方形绕坐标原点 O逆时针旋转， 每秒旋转， 第2024秒旋转结束时点 C 的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；坐标与图形变化﹣旋转；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：过A作轴于E，过作轴于F，
∴，
∵点A的坐标为，
∴，，
∵正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
将正方形绕坐标原点O逆时针旋转，每秒旋转，旋转4秒恰好旋转，
∵，余数为0，
故旋转2024秒后点C与点的坐标重合，即
故选：A．
【分析】
先根据全等三角形的性质和判定求出C的坐标，然后再根据正方形旋转周期，计算出2024秒内旋转的总圈数，根据周期性确定点C对应点的坐标.
12．（2025八下·资中期中）如图，点A（a，1）、B（﹣1，b）都在双曲线y＝﹣上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是（　　）
A．y＝x B．y＝x+1 C．y＝x+2 D．y＝x+3
【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；轴对称的应用-最短距离问题；反比例函数图象上点的坐标特征；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：分别把点A（a，1）、B（﹣1，b）代入双曲线y=﹣得a=﹣3，b=3，
则点A的坐标为（﹣3，1）、B点坐标为（﹣1，3），
作A点关于x轴的对称点C，B点关于y轴的对称点D，
所以C点坐标为（﹣3，﹣1），D点坐标为（1，3），
连结CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，此时四边形PABQ的周长最小，
设直线CD的解析式为y=kx+b，
把C（﹣3，﹣1），D（1，3）分别代入得，
解得，
所以直线CD的解析式为y=x+2．
故选C．
【分析】先求出点A、B的坐标，再作A点关于x轴的对称点C，B点关于y轴的对称点D，即可得到点C、D的坐标，CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，根据两点之间线段最短即可得到四边形PABQ的周长最小，运用待定系数法求出PQ的解析式即可．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．请将最后答案直接写在答题卷的相应题中的横线上．）
13．（2025八下·资中期中）分式有意义的的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】根据题意得，，
解得．
故答案为：．
【分析】
先明确分式有意义的条件为分母不等于零，据此列出关于x的不等式求解即可.
14．（2025八下·资中期中）将直线向下平移1个单位长度，得到的新直线的解析式为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将直线向下平移1个单位长度，
得到的新直线的解析式为，即．
故答案为：．
【分析】根据一次函数图象平移的性质“左加右减，上加下减”解答即可．
15．（2025八下·资中期中）如图，P是面积为S的 ABCD内任意一点，如果△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，那么S1+S2=　 　（用含的代数式表示）
【答案】
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∴S=BC EF，S1=，S2=，
∵EF=PE+PF，AD=BC，
∴S1+S2=，
故答案为：．
【分析】过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC于点F，即可表示S，S1，S2，进而得到S，S1，S2关系解答即可．
16．（2025八下·资中期中）如图，在边长为6的等边三角形中，点P是的中点，点M在的延长线上，点N在上且满足，记，若关于x的方程的解是正数，则n的取值范围是 　 　．
【答案】且
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】过点P作，交于点E，
∴，
∵是等边三角形，且边长为6，
∴，
∴，
∴是等边三角形，，，
∴，
∵点P是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，解得，
∵关于x的方程的解是正数，
∴且，
解得且，
故答案为：且．
【分析】过点P作，交于点E，根据等边三角形的性质即可得到是等边三角形，然后根据ASA得到，即可得到，然后表示，列方程求出，再根据分式的整数解得到且，求出n的取值范围即可．
三、解答题（本大题共6小题，共56分）
17．（2025八下·资中期中）（1）计算：
（2）解分式方程：
（3）化简：
【答案】解：
（1）
；
（2）
，
经检验，时，，
是原方程的增根，
原方程无解；
（3）
．
【知识点】分式的混合运算；负整数指数幂；解分式方程；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】
（1）需分别计算出负整数指数幂、乘方、绝对值、零整数幂，再按顺序进行加减运算即可；
（2）先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程后检验所得的解是否为增根；
（3）先计算括号内分式与整式的加法（通分后合并），再将除法转化为乘法，最后化简得出结果．
18．（2025八下·资中期中）已知y是x的正比例函数，且当时，．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）将该函数图象向下平移2个单位，判断点是否在平移后的图象上？
【答案】（1）设这个正比例函数为∵当时，
∴
∴
∴y关于x的函数解析式为．

（2）将该函数图象向下平移2个单位得
当时，，
∴点不在平移后的图象上．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求出正比例函数的解析式即可；
（2）根据平移规律得到平移后的直线解析式，把x=-2代入计算y的值判断解答即可．
19．（2025八下·资中期中）如图，在平行四边形中，点E，F分别在上，与相交于点O，且．求证：．
【答案】证明：∵四边形是平行四边形，∴，
∴，
又∵，
∴
∴．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据平行四边形的性质即可得到，再根据得到即利用全等三角形的对应边相等得到结论即可．
20．（2025八下·资中期中）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，给自行车商家带来商机．某自行车行经营的一种自行车去年销售总额为80000元，预计今年该种自行车的销售单价比去年降低100元，销售数量是去年的2倍，销售总额能达到128000元，求去年该种自行车的销售单价．
【答案】设去年该种自行车的销售单价为x元，根据题意，得
，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意。
答：去年该种自行车的销售单价为500元。
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】先设去年该种自行车的销售单价为未知数，根据今年销售数量式去年的2倍这一等量关系列出方程，求解并检验得出结果即可.
21．（2025八下·资中期中）对于两个不相等的非零实数m、n，分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为，．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程有两个解，分别为 ， ；
（2）关于x的方程的两个解分别为，，若与互为倒数，则 ， ；
（3）关于x的方程的两个解分别为，，求的值．
【答案】（1），
（2）；2，
（3） 解：，
方程整理得，
得或，且，
可得，．
∴．

【知识点】拆项法解分式方程
【解析】【解答】
(1) 解：∵，，
∴方程有两个解，分别为，
(2) 解：，
方程变形得：，
由题中的结论得：有两个解，分别为，2，
∵与互为倒数，
∴，
【分析】
（1）根据方程式确定mn和m+n的值，找到满足条件的m、n即为方程的解.
（2）需先将方程变形为x+ax=b的形式，利用结论得出解，在根据倒数关系求出x1、x2.
（3）需要通过换元方程转化为符合结论的形式，求出解后计算出差值即可.
（1）解：∵，，
∴方程有两个解，分别为，
故答案为：1，6；
（2）解：，
方程变形得：，
由题中的结论得：有两个解，分别为，2，
∵与互为倒数，
∴，
故答案为：，2；
（3）解：，
方程整理得，
得或，且，
可得，．
∴．
22．（2025八下·资中期中）【模型建立】（1）如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：；
【模型应用】（2）如图2，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点A逆时针旋转至直线；求直线的函数解析式；
（3）如图3，平面直角坐标系内有一点，过点B作轴于点A、轴于点C，点P是线段上的动点，点D是直线上的动点且在第四象限内．试探究能否成为等腰直角三角形？若能，直接写出点D的坐标，若不能，请说明理由．
【答案】（）证明：，于点，于点，
，
，
，
，
又，
；
（）解：如图，过点作交直线于点，过点作轴交轴于点，则，
，
，
，为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，，
把代入，得：，
解得：，
，
把代入，得：，
，
，，
，，
，
，
设直线的函数表达式为，把、代入，得：
，
解得：，
直线的函数表达式为；
（）解：能成为等腰直角三角形，理由如下：
，轴于点，轴于点，
，
，，四边形为矩形，
设，
分四种情况：
当时，
如图，，则，过点作轴于点，交的延长线于点，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
将代入，得：
，
解得：，
；
当时，
如图，，则，过点作轴于点，过点作轴于点，
，
，
，
，
，
，，
，
，
四边形为矩形，
，
，
四边形为矩形，
，
又，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
将代入，得：
，
解得：，
此时，两点重合，两点重合，
；
当，且点在上方时，
如图，，且点在上方，则，过点作交射线于点，
，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
将代入，得：
，
解得：，
，
不在第四象限，
不符合题意，故舍去；
当，且点在下方时，
如图，，且点在下方，则，过点作交的延长线于点，
则，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
将代入，得：
，
解得：，
；
综上所述：点的坐标为或或．
【知识点】矩形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】
（）利用等腰直角三角形的性质和角度关系证明三角形全等即可证明.
（）通过构造等腰直角三角形，利用全等三角形的性质求出点的坐标，进而求出直线表达式.
（）分四种情况讨论：当时；当时；当，且点在上方时；当，且点在下方时；分别求出点的坐标即可得出答案．
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