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浙江省宁波市镇海区尚志中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1．（2025九上·镇海区期中）⊙O的半径为4cm，若点P到圆心的距离为3cm，点P与⊙O的位置关系为(　　)
A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法确定
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为4cm， 点P到圆心O的距离为3cm，
∴点P与⊙O的位置关系是：P在⊙O内.
故答案为：A .
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系：当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d2．（2025九上·镇海区期中）下列事件中，属于不可能事件的是(　　)
A．任意选择某一电视频道，它正播放动画片
B．任意掷一枚硬币，正面朝上
C．射击运动员射击一次，命中10环
D．在只装有红球的袋子里摸出一个黑球
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A.任意选择某一电视频道，它正播放动画片，是随机事件，故此选项不合题意；
B.任意掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故此选项不合题意；
C.射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，故此选项不合题意；
D.在只装有红球的袋子里摸出一个黑球，是不可能事件，故此选项符合题意；
故答案为：D .
【分析】直接利用随机事件以及不可能事件、必然事件的定义分析得出答案.
3．（2025九上·镇海区期中）将二次函数y=2x2的图象先向上平移3个单位，再向右平移4个单位所得图象的解析式为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将二次函数 的图象先向上平移3个单位，再向右平移4个单位所得图象的解析式为：y=2
故答案为：A .
【分析】直接利用二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”进而得出答案.
4．（2025九上·镇海区期中）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB=40°，弧AB的度数为(　　)
A．20° B．40° C．60° D．80°
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ ∠ACB=40°，
∴∠AOB=2∠ACB=80°，
故答案为：D .
【分析】根据圆周角定理解答即可.
5．（2025九上·镇海区期中）点P为线段AB的黄金分割点，且AP>BP，下列说法错误的是(　　)
A． B． C． D．BP≈0.618AP
【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解： 点P为线段AB的黄金分割点，且AP>BP，
∴，
∴A，B，D选项正确，C选项错误；
故答案为：C .
【分析】根据黄金分割解答即可.
6．（2025九上·镇海区期中）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AB，DE分别交l1，l2，l3于点A，B，C和D，E，F，若AB：AC=2：5，EF=15，则DF的长等于（　　）
A．18 B．20 C．25 D．30
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∴，
解得DF=25.
故答案为C.
【分析】首先由平行线分线段成比例的性质可得，然后将EF=15，DE=DF-EF代入计算即可.
7．（2025九上·镇海区期中）下列命题中，正确的有(　　)
①平面内三个点确定一个圆；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③半圆所对的圆周角是直角；④圆内接平行四边形一定是矩形；⑤在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质；尺规作图-过不在同一直线上的三点作圆；圆周角定理的推论；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：①平面内不在同一直线上的三个点确定一个圆，本说法错误；
②平分弦(不是直径)的直径平分弦所对的弧，本说法错误；
③半圆所对的圆周角是直角，本说法正确；
④ 圆内接平行四边形一定是矩形 ，本说法正确；
⑤在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧相等、劣弧相等，本说法错误；
故答案为：B .
【分析】根据过三点的圆、垂径定理的推论、圆内接四边形和弧、弦、圆心角的关系判断即可.
8．（2025九上·镇海区期中）如图，已知⊙O的半径为5，AB⊥CD，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为(　　)
A．3 B．3 C．4 D．4
【答案】B
【知识点】正方形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：过点O作OE⊥CD， 垂足为E，OF⊥AB， 垂足为F， 连接OD，
∵AB=CD=8，
∴OE=OF， DE=CE=4，
在 中， DE=4， OD=5，
∴四边形OEPF是矩形， 而OE=OF，
∴四边形OEPF是正方形，
∴OE=EP=3，
在 中，由勾股定理可得OP=
故答案为：B .
【分析】过点O作OE⊥CD，OF⊥AB， 连接OD， 由垂径定理可得OE=OF，DE=CE， 在 中，用勾股定理可求得OE的长；然后得到四边形OEPF是正方形，于是可得OE=EP， 在 中，用勾股定理可求得OP的长.
9．（2025九上·镇海区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数 的图象与对称轴直线：x=m交于点A，与x、y轴交于B、C、D三点，下列命题正确的是(　　)
①abc>0；
②若OD=OC，则 ac+b+1=0；
③对于任意 始终有
④若OB=m，x1，x2(x1＜x2）为方程a(x+m)(x-3m)-3=0的两个根，则且
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵开口向上，
∴a>0，
又∵对称轴在y轴的右侧，
∴a，b异号，即b<0，
抛物线与y轴交于负半轴，
∴c<0
∴abc<0，故①正确；
故②错误，
∴对于任意
即 ，故③正确，
∵OB=m，∴xB=-m
∵对称轴为直线x=m，
∴抛物线的解析式为y=a(x+m)(x-3m)，
如图，作y=3，
即可得到直线y=3与抛物线的交点的横坐标一个小于-m，另一个大于3m，
即且 故④正确，
故答案为：C .
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置和抛物线与y轴交点的位置得到a、b、c的取值范围，即可判断①；根据OD=OC得到点C的坐标代入解析式计算判断②；根据对称轴与图象的交点纵坐标为最小值判断③，根据对称性求出点C的横坐标，得到抛物线的解析式，然后作出直线y=3，进而得到交点横坐标的取值范围判断④解答即可.
10．（2025九上·镇海区期中）如图，B，C，D，E四点均在⊙O上，连结BE，CD相交于点F，其中. ，分别延长CE，BD相交于点A，若∠A=45°，则⊙O的半径为(　　)
A． B． C．2 D．2
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接ED，设AD=a，
∵∠DEF=∠BCF，∠EDF=∠CBF，
∴△FED∽△FCB，
∴，
又∵∠AED+∠CED=∠CED+∠CBD=180°，
∴∠AED=∠ABC，
又∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴，
∴，
过点C作CG⊥AB于点G，连接CO并延长交圆O于点H，连接BH，
则∠CGA=∠ABH=90°，
又∵∠A=45°，
∴AG=CG，
又∵AG2+CG2=AC2，
∴AG=CG=2a，
∴DG=a，
又∵∠H=∠CDG，
∴△CGD∽△CHB，
∴，即，
解得BH=2，
∴，
∴ ⊙O的半径为，
故答案为：A .
【分析】连接ED，设AD=a，即可得到△FED∽△FCB，根据对应边成比例得到，然后根据圆内接四边形的性质得到∠AED=∠ABC，即可得到△AED∽△ABC，进而求出AC长，过点C作CG⊥AB于点G，连接CO并延长交圆O于点H，连接BH，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出AG和CG长，再根据圆周角定理证明△CGD∽△CHB，即可求出BH=2，最后运用勾股定理解答即可.
二、填空题(本题有6小题，每小题4分，共24分)
11．（2025九上·镇海区期中）在半径为6的圆中，60°的圆心角所对的弧长为　 　．
【答案】2π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解： 弧长为，
故答案为：2π.
【分析】根据弧长计算公式计算即可.
12．（2025九上·镇海区期中）已知一个正多边形的内角为135°，它是　 　边形.
【答案】八
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正多边形的内角是
∴正多边形的一个外角是
∴正多边形的边数是：
故答案为：八.
【分析】多边形的外角和等于 由此可求正多边形的边数.
13．（2025九上·镇海区期中）如图，在等腰直角△ABC中，中线AE，CF相交于点G，若AB=6，则AG长为　 　.
【答案】
【知识点】等腰直角三角形；三角形的中位线定理；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，
又∵AC2+BC2=AB2，
∴AC=BC=3，
∵点E是BC的中点，
∴CE，
∴
如图，连接EF，
∵点E和F是BC、AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC，，
∴∠EFC=∠ACF，∠FEG=∠CAG，
∴△GEF∽△GAC，
∴，
∴，
故答案为： .
【分析】先根据和等腰直角三角形的性质勾股定理求出AE长，然后连接EF，证明△GEF∽△GAC，根据对应边成比例解答即可.
14．（2025九上·镇海区期中）如图，已知二次函数 )与一次函数 的图象相交于点A(-2，4)，B(8，2)，则能使y1＜y2成立的x得取值范围是　 　.
【答案】-1【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 二次函数 )与一次函数 的图象相交于点A(-2，4)，B(8，2)，
结合图像可得直线在抛物线上方时自变量的取值范围为-1故答案为：-1【分析】借助图象得到直线在抛物线上方时自变量的取值范围即可解答.
15．（2025九上·镇海区期中）如图，抛物线与x轴交于A(1，0)、B(-3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)，设抛物线的顶点为D. 坐标轴上有一动点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似.则点P的坐标　 　.
【答案】(0，0)或或(-9，0)
【知识点】相似三角形的性质-对应角；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：
过点D作DF⊥y轴于点F.
在Rt△BOC中， ∵OB=3， OC =3
∴OB=OC，
∴∠OCB=45°
∵在Rt△CDF中， DF=1， CF =OF-OC =4-3=1
∴DF=CF
∴∠DCF = 45°
∴∠BCD=180°-∠DCF-∠OCB=90°
∴△BCD为直角三角形.
①利用△BCD的三边， 又
故当P是原点O时，△ACP∽△DBC；
②当AC是直角边时，若AC与CD是对应边，设P的坐标是(0，a)，
则 即
解得： a= - 9， 则P的坐标是(0，-9)，
三角形ACP不是直角三角形， 则△ACP∽△CBD不成立；
③当AC是直角边，若AC与BC是对应边时，设P的坐标是(0，b)，则PC=3-b，则 ，即
解得： 故P是 时，则 一定成立；
④当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧， 设P的坐标是(d，0).
则AP=1-d，当AC与CD是对应边时， 即
解得： 此时，两个三角形不相似；
⑤当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧， 设P的坐标是(e，0).
则AP=1-e，当AC与DC是对应边时， 即
解得：e=-9，符合条件.
总之，符合条件的点P的坐标为：(0，0)或 或(-9，0).
故答案为： (0，0)或 或(-9，0).
【分析】利用勾股定理求得 的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断，再分p在x轴和y轴两种情况讨论，求出P的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解.
16．（2025九上·镇海区期中）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB、BC的中点，连结BF分别交AC、CE于点G、H.连结AH.则下列结论中：①BE2=EH·EC；②AH平分∠EHF；③BH：GH：FG=7：4：6；④= .正确的有　 　.(只写序号)
【答案】①②④
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；母子相似模型（公共边公共角）
【解析】【解答】解：∵ABCD是正方形，∴AB=AD=BC，∠FAB=∠ABC=90°，∠BAC=45°，AD∥BC，
又∵点E和F是AB、AD的中点，
∴AE=BE=AF=，
∴△BAF≌△CBE，
∴∠ECB=∠ABF，
∴∠ABF+∠CBF=∠BCH+∠CBH=90°，
∴∠BHC=90°=∠ABC，
又∵∠BEC=∠HEB，
∴△EBH∽△ECB，
∴，即 BE2=EH·EC，故①正确；
又∵AE=BE，
∴，
又∵∠AEH=∠CEA，
∴△EAH∽△ECA，
∴∠EAH=∠ECA，
∴∠AHE=∠HAC+∠ACH=∠HAC+∠EAH=∠BAC=45°，
又∵∠EHG=90°，
∴∠EHA=∠AHG=45°，故②正确；
设BE=AE=AF=a，则BC=2a，在 中，由勾股定理得：CE=
由三角形面积公式得： BE·BC，
：4：5，
故结论③不正确；
设△AEH的面积为S，
∵，
∴CH=4EH，
∴S△AHC=4S△AHE=4S，
又∵，
∴S△AHG=S△AHC=S，S△CHG=S△AHC=S，
∴S四边形AEHG=S△AHG+S△AHE=S+S=S，
∴，故④正确；
故答案为：①②④ .
【分析】先根据正方形的性质得到△BAF≌△CBE，进而得到BHC=90°，然后根据两角对应相等得到△EBH∽△ECB，根据对应边成比例判断①；然后根据两边成比例且夹角相等得到△EAH∽△ECA，即可得到∠EAH=∠ECA，然后根据三角形的外角得到∠AHE的度数判断②；设BE=AE=AF=a，则BC=2a，由勾股定理得 由三角形面积公式得B证明 和 相似，利用相似三角形性质得 进而得 由此得BH：GH：FG=6：4：5，据此可对结论③进行判断；；再根据同高的两个三角形的面积比等于底的比计算出比值判断④解答即可.
三、解答题(本题有8小题，第17—19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分，各小题都必须写出解答过程)
17．（2025九上·镇海区期中）已知线段a，b，满足
（1）求 的值；
（2）当线段x是a，b的比例中项且a=8时，求x的值.
【答案】（1）解：
（2）解：
∴b=6.
∵线段x是a，b的比例中项，
(舍负)
【知识点】比例的性质；比例中项
【解析】【分析】(1)根据题意，用b表示a，再进行计算.
(2)根据比例中项的定义进行计算即可.
18．（2025九上·镇海区期中）一个不透明的袋中装有分别标着汉字“尚”、“贤”、“博”、“学”的四个小球，除标注的汉字不同外，小球无任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球.
（1）从袋中摸出一个球，球上的汉字刚好是“学”的概率是　 　；
（2）从袋中任摸一球，不放回，再从袋中任摸一球，请用树状图(或列表法)表示出所有可能出现的结果，并求出摸到的两个球上的汉字恰好是“尚”和“贤”的概率.
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
尚 贤 博 学
尚 　 尚，贤 尚，博 尚，学
贤 贤，尚 　 贤，博 贤，学
博 博，尚 博，贤 　 博，学
学 学，尚 学，贤 学，博 　
由表格可知，共有12种等可能出现的结果，
其中摸到的两个球上的汉字恰好是“尚”和“贤”的结果有2种，∴摸到的两个球上的汉字恰好是“尚”和“贤”的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】由题意得，从袋中摸出一个球，一共有4种可能，球上的汉字刚好是“学”的概率就是
故答案为：
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案；
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及摸到的两个球上的汉字恰好是“尚”和“贤”的结果数，再利用概率公式可得出答案.
19．（2025九上·镇海区期中）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上.在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹.
（1）在图①中以线段AD为边画一个格点△ADE，使它与△ABC相似，面积之比是1：4.
（2）在图②中画一条格点线段CD，交AB于点P，使
【答案】（1）解：

（2）解：如图，点P即为所作；
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【分析】(1) 取格点E， 连接DE， 则 即可得到DE，则DE即为所作；(2) 取格点M， N， 连接MN， 交AB于点P， 此时 则点P即为所作.
20．（2025九上·镇海区期中）如图，AB是半圆O的直径，C是圆上的点，作OD∥AC交BC于点E.
（1）求证：D为BC的中点.
（2）若DE=5，BC=10 ，求扇形BOD的面积.
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC
∵OD∥BC，
∴OD⊥AC，
（2）解：∵OD⊥AC
设OB=OD=r，则OE=r-5
在 Rt△BOE中，
即 解得r=10
∴BO=10，EO=5
【知识点】垂径定理；扇形面积的计算；圆周角定理的推论；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，再利用平行线的性质得到OD⊥AC，然后根据垂径定理得到结论即可；
（2）根据垂径定理得到BE长，然后根据勾股定理求出半径 长，再根据扇形面积公式计算即可.
21．（2025九上·镇海区期中）在2025年，国家提出了“体重管理年”的概念，倡导全民关注体重管理。商家决定在某直销平台上销售一批智能跳绳，经市场调研发现：该类型跳绳每根进价为20元，当售价为每根25元时，销售量为250根，销售单价每提高1元，销售量就会减少10根.
（1）直接写出销售该类型跳绳的销售量y(根)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
（2）求每天所得销售利润W(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
（3）若每天销售量不少于200根，且每根跳绳的销售利润至少为7元，则销售单价定为多少元时，所获利润最大 最大利润是多少
【答案】（1）y=-10x+500
（2）解：
∴销售利润W与销售单价x之间的函数关系式
（3）解：根据题意得：
解得：27≤x≤30，
∵-10<0，
∴当x<35时，W随x的增大而增大，
∵27≤x≤30，
∴当x=30时，
∴销售单价定为30元时，所获利润最大，最大利润是2000元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：(1)根据题意得，.y=250-10(x-25)=-10x+500；
故答案为：y=-10x+500；
【分析】(1)根据“某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋”，即可得出y关于x的函数关系式；
(2)根据利润=每袋口罩的利润×销售量，得到销售利润w (元)与销售单价x (元)之间的函数关系式；
(3)利用配方法将w关于x的函数关系式变形为w= 根据二次函数的性质和x的取值范围，即可解决最值问题.
22．（2025九上·镇海区期中）在等腰直角△ABC中，点D为AB的三等分点，将AD绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为α，连结BE，以BE为底边作等腰直角△BEF，连结AE，CF.
（1）如图1，当旋转角α=180°时，请直接写出线段AE与CF的数量关系；
（2）当 时，
①如图2，(1)中线段AE与CF的数量关系是否还成立 并说明理由.
②如图3，当点A，E，F三点共线时，证明BE=CF.
【答案】（1）
（2）解：仍然成立.
理由如下：
∵△BEF是等腰直角三角形，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠EBF-∠EBC=∠ABC-∠EBC，即∠CBF=∠ABE，
∴△CBF∽△ABE，
仍然成立.
②证明：如图3，过点D作DG⊥AE于点G，
由旋转可得
∴AG=EG，
∵∠AGD=∠AFB=90°，
∴DG∥BF，
∴△ADG∽△ABF，
∴AG=EG=EF，
∵△BEF是等腰直角三角形，
由①可得
【知识点】旋转的性质；等腰直角三角形；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：由旋转可得AD=DE=BE，
∴，
又∵∠EFB=∠C=90°，
∴EF∥AC，
∴，
∴CF=，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据平行线分线段成比例可得，CF=，然后利用等腰直角三角形的性质AB=得到结论即可；
（2）①根据等腰直角三角形的性质和旋转的性质得到△CBF∽△ABE，根据对应边成比例证明即可；
②过点D作DG⊥AE于点G，根据旋转的性质可得然后在证明△ADG∽△ABF，即可得到AG=EG=EF，根据勾股定理求出再结合①的结论证明即可.
23．（2025九上·镇海区期中）已知二次函数
（1）若函数图象经过点(0，5)，求二次函数的表达式和顶点坐标.
（2）若函数图象上到x轴的距离为12的点有3个，求以这三个点为顶点的三角形面积.
（3）若函数图象交x轴于A(x1，0)，B(x3，0)不同两点，当| 时，求实数m的取值范围.
【答案】（1）解：将x=0，y=5代入函数解析式得m+4=5，解得m=1.
又·
∴抛物线的顶点坐标为(-3，-4)
（2）解：对称轴：直线
由题意可得函数图象过点(-3，-12)，将x=-3，y=-12代入函数解析式
得9m-18m+m+4=-12，解得m=2.
令y=12，可得
解得
（3）解：由题意可得
解得
由韦达定理可得
即
解得m≤1.综上可得
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）求出一次函数的解析式，然后配方得到顶点坐即可；
（2）根据抛物线求出对称轴为直线x=-3，然后得到(-3，-12)在函数的图象上，代入求出解析式，进而求出另两个交点坐标，利用三角形的面积公式计算即可；
（3）根据抛物线与x轴有两个交点得到，然后根据根据系数的关系得到，再根据完全平方公式的变形求出m的取值范围即可.
24．（2025九上·镇海区期中）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC平分∠BCD，连接BD交AC于点E.
（1）求证：
（2）当.AB=6，AE=4时，
①求线段AC的长；
②求BC·CD的值.
（3）如图2，在(2)的条件下，若AC为直径，点G、F分别在BE，BC上， ，且H为GF中点，判断 的面积是否为定值.若不是，求出其最大值，若是，求出其定值.
【答案】（1）证明：∵AC平分∠BCD，
∴∠ACD=∠ACB，
∵∠ACD=∠ABE，
∴∠ACB=∠ABE，
∵∠CAB=∠BAE，
∴△ABC∽△AEB
（2）解：①∵△ABC∽△AEB，
，
，即36=4·AC，
∴AC=9，
②∵∠DAC=∠EBC，∠ACD=∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
，
∴BC·CD=AC·CE=45
（3）解：面积为定值.
理由：作FM⊥AC交AC于点M，作HN⊥AC交AC于点N，连结GM，BM，
∵AC平分∠BCD，
∴∠ACD=∠ACB，
，
∴AC⊥BD，
在Rt△ABE中， ，
∵FM⊥AC，HN⊥AC，
∴BD∥FM，BD∥HN，
∵∠BAG=∠CAF，∠ABG=∠ACD=∠ACF，
∴△ABG∽△ACF，
，
∵∠FMC=∠ABC=90°，∠FCM=∠ACB，
∴△FCM∽△ACB，
，
，
，
∴BG⊥FM，
∴四边形BFMG是平行四边形，
∴BH=HM，
∵BE∥HN，
∴HN是 的中位线，
，
∴△AHC的面积为定值，
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ACD=∠ACB，然后根据圆周角定理求出∠ACB=∠ABE，然后根据两角对应相等得到两三角形相似；
（2）①根据相似三角形的对应边成比例求出AC的长；②根据两角对应相等得到△ACD∽△BCE，再根据相似三角形的对应边成比例解答即可；
（3）作FM⊥AC交AC于点M，作HN⊥AC交AC于点N，连结GM，BM，根据角平分线的定义得到∠ACD=∠ACB，然后根据垂径定理的推论得到AC⊥BD，再根据勾股定理求出BE长，再证明△FCM∽△ACB，根据对应边成比例得到，再证明BFMG是平行四边形，即可得到BH=HM，进而得到HN是 的中位线，求出HN的值，利用三角形的面积公式计算即可.
1 / 1浙江省宁波市镇海区尚志中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1．（2025九上·镇海区期中）⊙O的半径为4cm，若点P到圆心的距离为3cm，点P与⊙O的位置关系为(　　)
A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法确定
2．（2025九上·镇海区期中）下列事件中，属于不可能事件的是(　　)
A．任意选择某一电视频道，它正播放动画片
B．任意掷一枚硬币，正面朝上
C．射击运动员射击一次，命中10环
D．在只装有红球的袋子里摸出一个黑球
3．（2025九上·镇海区期中）将二次函数y=2x2的图象先向上平移3个单位，再向右平移4个单位所得图象的解析式为(　　)
A． B． C． D．
4．（2025九上·镇海区期中）如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB=40°，弧AB的度数为(　　)
A．20° B．40° C．60° D．80°
5．（2025九上·镇海区期中）点P为线段AB的黄金分割点，且AP>BP，下列说法错误的是(　　)
A． B． C． D．BP≈0.618AP
6．（2025九上·镇海区期中）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AB，DE分别交l1，l2，l3于点A，B，C和D，E，F，若AB：AC=2：5，EF=15，则DF的长等于（　　）
A．18 B．20 C．25 D．30
7．（2025九上·镇海区期中）下列命题中，正确的有(　　)
①平面内三个点确定一个圆；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③半圆所对的圆周角是直角；④圆内接平行四边形一定是矩形；⑤在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2025九上·镇海区期中）如图，已知⊙O的半径为5，AB⊥CD，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为(　　)
A．3 B．3 C．4 D．4
9．（2025九上·镇海区期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数 的图象与对称轴直线：x=m交于点A，与x、y轴交于B、C、D三点，下列命题正确的是(　　)
①abc>0；
②若OD=OC，则 ac+b+1=0；
③对于任意 始终有
④若OB=m，x1，x2(x1＜x2）为方程a(x+m)(x-3m)-3=0的两个根，则且
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
10．（2025九上·镇海区期中）如图，B，C，D，E四点均在⊙O上，连结BE，CD相交于点F，其中. ，分别延长CE，BD相交于点A，若∠A=45°，则⊙O的半径为(　　)
A． B． C．2 D．2
二、填空题(本题有6小题，每小题4分，共24分)
11．（2025九上·镇海区期中）在半径为6的圆中，60°的圆心角所对的弧长为　 　．
12．（2025九上·镇海区期中）已知一个正多边形的内角为135°，它是　 　边形.
13．（2025九上·镇海区期中）如图，在等腰直角△ABC中，中线AE，CF相交于点G，若AB=6，则AG长为　 　.
14．（2025九上·镇海区期中）如图，已知二次函数 )与一次函数 的图象相交于点A(-2，4)，B(8，2)，则能使y1＜y2成立的x得取值范围是　 　.
15．（2025九上·镇海区期中）如图，抛物线与x轴交于A(1，0)、B(-3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)，设抛物线的顶点为D. 坐标轴上有一动点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似.则点P的坐标　 　.
16．（2025九上·镇海区期中）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB、BC的中点，连结BF分别交AC、CE于点G、H.连结AH.则下列结论中：①BE2=EH·EC；②AH平分∠EHF；③BH：GH：FG=7：4：6；④= .正确的有　 　.(只写序号)
三、解答题(本题有8小题，第17—19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分，各小题都必须写出解答过程)
17．（2025九上·镇海区期中）已知线段a，b，满足
（1）求 的值；
（2）当线段x是a，b的比例中项且a=8时，求x的值.
18．（2025九上·镇海区期中）一个不透明的袋中装有分别标着汉字“尚”、“贤”、“博”、“学”的四个小球，除标注的汉字不同外，小球无任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球.
（1）从袋中摸出一个球，球上的汉字刚好是“学”的概率是　 　；
（2）从袋中任摸一球，不放回，再从袋中任摸一球，请用树状图(或列表法)表示出所有可能出现的结果，并求出摸到的两个球上的汉字恰好是“尚”和“贤”的概率.
19．（2025九上·镇海区期中）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均在格点上.在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写画法，要求保留必要的作图痕迹.
（1）在图①中以线段AD为边画一个格点△ADE，使它与△ABC相似，面积之比是1：4.
（2）在图②中画一条格点线段CD，交AB于点P，使
20．（2025九上·镇海区期中）如图，AB是半圆O的直径，C是圆上的点，作OD∥AC交BC于点E.
（1）求证：D为BC的中点.
（2）若DE=5，BC=10 ，求扇形BOD的面积.
21．（2025九上·镇海区期中）在2025年，国家提出了“体重管理年”的概念，倡导全民关注体重管理。商家决定在某直销平台上销售一批智能跳绳，经市场调研发现：该类型跳绳每根进价为20元，当售价为每根25元时，销售量为250根，销售单价每提高1元，销售量就会减少10根.
（1）直接写出销售该类型跳绳的销售量y(根)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
（2）求每天所得销售利润W(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；
（3）若每天销售量不少于200根，且每根跳绳的销售利润至少为7元，则销售单价定为多少元时，所获利润最大 最大利润是多少
22．（2025九上·镇海区期中）在等腰直角△ABC中，点D为AB的三等分点，将AD绕点D顺时针旋转至DE，记旋转角为α，连结BE，以BE为底边作等腰直角△BEF，连结AE，CF.
（1）如图1，当旋转角α=180°时，请直接写出线段AE与CF的数量关系；
（2）当 时，
①如图2，(1)中线段AE与CF的数量关系是否还成立 并说明理由.
②如图3，当点A，E，F三点共线时，证明BE=CF.
23．（2025九上·镇海区期中）已知二次函数
（1）若函数图象经过点(0，5)，求二次函数的表达式和顶点坐标.
（2）若函数图象上到x轴的距离为12的点有3个，求以这三个点为顶点的三角形面积.
（3）若函数图象交x轴于A(x1，0)，B(x3，0)不同两点，当| 时，求实数m的取值范围.
24．（2025九上·镇海区期中）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC平分∠BCD，连接BD交AC于点E.
（1）求证：
（2）当.AB=6，AE=4时，
①求线段AC的长；
②求BC·CD的值.
（3）如图2，在(2)的条件下，若AC为直径，点G、F分别在BE，BC上， ，且H为GF中点，判断 的面积是否为定值.若不是，求出其最大值，若是，求出其定值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为4cm， 点P到圆心O的距离为3cm，
∴点P与⊙O的位置关系是：P在⊙O内.
故答案为：A .
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系：当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d2．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A.任意选择某一电视频道，它正播放动画片，是随机事件，故此选项不合题意；
B.任意掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故此选项不合题意；
C.射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，故此选项不合题意；
D.在只装有红球的袋子里摸出一个黑球，是不可能事件，故此选项符合题意；
故答案为：D .
【分析】直接利用随机事件以及不可能事件、必然事件的定义分析得出答案.
3．【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将二次函数 的图象先向上平移3个单位，再向右平移4个单位所得图象的解析式为：y=2
故答案为：A .
【分析】直接利用二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”进而得出答案.
4．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵ ∠ACB=40°，
∴∠AOB=2∠ACB=80°，
故答案为：D .
【分析】根据圆周角定理解答即可.
5．【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解： 点P为线段AB的黄金分割点，且AP>BP，
∴，
∴A，B，D选项正确，C选项错误；
故答案为：C .
【分析】根据黄金分割解答即可.
6．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∴，
解得DF=25.
故答案为C.
【分析】首先由平行线分线段成比例的性质可得，然后将EF=15，DE=DF-EF代入计算即可.
7．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质；尺规作图-过不在同一直线上的三点作圆；圆周角定理的推论；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：①平面内不在同一直线上的三个点确定一个圆，本说法错误；
②平分弦(不是直径)的直径平分弦所对的弧，本说法错误；
③半圆所对的圆周角是直角，本说法正确；
④ 圆内接平行四边形一定是矩形 ，本说法正确；
⑤在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧相等、劣弧相等，本说法错误；
故答案为：B .
【分析】根据过三点的圆、垂径定理的推论、圆内接四边形和弧、弦、圆心角的关系判断即可.
8．【答案】B
【知识点】正方形的判定与性质；垂径定理
【解析】【解答】解：过点O作OE⊥CD， 垂足为E，OF⊥AB， 垂足为F， 连接OD，
∵AB=CD=8，
∴OE=OF， DE=CE=4，
在 中， DE=4， OD=5，
∴四边形OEPF是矩形， 而OE=OF，
∴四边形OEPF是正方形，
∴OE=EP=3，
在 中，由勾股定理可得OP=
故答案为：B .
【分析】过点O作OE⊥CD，OF⊥AB， 连接OD， 由垂径定理可得OE=OF，DE=CE， 在 中，用勾股定理可求得OE的长；然后得到四边形OEPF是正方形，于是可得OE=EP， 在 中，用勾股定理可求得OP的长.
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵开口向上，
∴a>0，
又∵对称轴在y轴的右侧，
∴a，b异号，即b<0，
抛物线与y轴交于负半轴，
∴c<0
∴abc<0，故①正确；
故②错误，
∴对于任意
即 ，故③正确，
∵OB=m，∴xB=-m
∵对称轴为直线x=m，
∴抛物线的解析式为y=a(x+m)(x-3m)，
如图，作y=3，
即可得到直线y=3与抛物线的交点的横坐标一个小于-m，另一个大于3m，
即且 故④正确，
故答案为：C .
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置和抛物线与y轴交点的位置得到a、b、c的取值范围，即可判断①；根据OD=OC得到点C的坐标代入解析式计算判断②；根据对称轴与图象的交点纵坐标为最小值判断③，根据对称性求出点C的横坐标，得到抛物线的解析式，然后作出直线y=3，进而得到交点横坐标的取值范围判断④解答即可.
10．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接ED，设AD=a，
∵∠DEF=∠BCF，∠EDF=∠CBF，
∴△FED∽△FCB，
∴，
又∵∠AED+∠CED=∠CED+∠CBD=180°，
∴∠AED=∠ABC，
又∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴，
∴，
过点C作CG⊥AB于点G，连接CO并延长交圆O于点H，连接BH，
则∠CGA=∠ABH=90°，
又∵∠A=45°，
∴AG=CG，
又∵AG2+CG2=AC2，
∴AG=CG=2a，
∴DG=a，
又∵∠H=∠CDG，
∴△CGD∽△CHB，
∴，即，
解得BH=2，
∴，
∴ ⊙O的半径为，
故答案为：A .
【分析】连接ED，设AD=a，即可得到△FED∽△FCB，根据对应边成比例得到，然后根据圆内接四边形的性质得到∠AED=∠ABC，即可得到△AED∽△ABC，进而求出AC长，过点C作CG⊥AB于点G，连接CO并延长交圆O于点H，连接BH，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出AG和CG长，再根据圆周角定理证明△CGD∽△CHB，即可求出BH=2，最后运用勾股定理解答即可.
11．【答案】2π
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解： 弧长为，
故答案为：2π.
【分析】根据弧长计算公式计算即可.
12．【答案】八
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正多边形的内角是
∴正多边形的一个外角是
∴正多边形的边数是：
故答案为：八.
【分析】多边形的外角和等于 由此可求正多边形的边数.
13．【答案】
【知识点】等腰直角三角形；三角形的中位线定理；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，
又∵AC2+BC2=AB2，
∴AC=BC=3，
∵点E是BC的中点，
∴CE，
∴
如图，连接EF，
∵点E和F是BC、AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC，，
∴∠EFC=∠ACF，∠FEG=∠CAG，
∴△GEF∽△GAC，
∴，
∴，
故答案为： .
【分析】先根据和等腰直角三角形的性质勾股定理求出AE长，然后连接EF，证明△GEF∽△GAC，根据对应边成比例解答即可.
14．【答案】-1【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 二次函数 )与一次函数 的图象相交于点A(-2，4)，B(8，2)，
结合图像可得直线在抛物线上方时自变量的取值范围为-1故答案为：-1【分析】借助图象得到直线在抛物线上方时自变量的取值范围即可解答.
15．【答案】(0，0)或或(-9，0)
【知识点】相似三角形的性质-对应角；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：
过点D作DF⊥y轴于点F.
在Rt△BOC中， ∵OB=3， OC =3
∴OB=OC，
∴∠OCB=45°
∵在Rt△CDF中， DF=1， CF =OF-OC =4-3=1
∴DF=CF
∴∠DCF = 45°
∴∠BCD=180°-∠DCF-∠OCB=90°
∴△BCD为直角三角形.
①利用△BCD的三边， 又
故当P是原点O时，△ACP∽△DBC；
②当AC是直角边时，若AC与CD是对应边，设P的坐标是(0，a)，
则 即
解得： a= - 9， 则P的坐标是(0，-9)，
三角形ACP不是直角三角形， 则△ACP∽△CBD不成立；
③当AC是直角边，若AC与BC是对应边时，设P的坐标是(0，b)，则PC=3-b，则 ，即
解得： 故P是 时，则 一定成立；
④当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧， 设P的坐标是(d，0).
则AP=1-d，当AC与CD是对应边时， 即
解得： 此时，两个三角形不相似；
⑤当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧， 设P的坐标是(e，0).
则AP=1-e，当AC与DC是对应边时， 即
解得：e=-9，符合条件.
总之，符合条件的点P的坐标为：(0，0)或 或(-9，0).
故答案为： (0，0)或 或(-9，0).
【分析】利用勾股定理求得 的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断，再分p在x轴和y轴两种情况讨论，求出P的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解.
16．【答案】①②④
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；母子相似模型（公共边公共角）
【解析】【解答】解：∵ABCD是正方形，∴AB=AD=BC，∠FAB=∠ABC=90°，∠BAC=45°，AD∥BC，
又∵点E和F是AB、AD的中点，
∴AE=BE=AF=，
∴△BAF≌△CBE，
∴∠ECB=∠ABF，
∴∠ABF+∠CBF=∠BCH+∠CBH=90°，
∴∠BHC=90°=∠ABC，
又∵∠BEC=∠HEB，
∴△EBH∽△ECB，
∴，即 BE2=EH·EC，故①正确；
又∵AE=BE，
∴，
又∵∠AEH=∠CEA，
∴△EAH∽△ECA，
∴∠EAH=∠ECA，
∴∠AHE=∠HAC+∠ACH=∠HAC+∠EAH=∠BAC=45°，
又∵∠EHG=90°，
∴∠EHA=∠AHG=45°，故②正确；
设BE=AE=AF=a，则BC=2a，在 中，由勾股定理得：CE=
由三角形面积公式得： BE·BC，
：4：5，
故结论③不正确；
设△AEH的面积为S，
∵，
∴CH=4EH，
∴S△AHC=4S△AHE=4S，
又∵，
∴S△AHG=S△AHC=S，S△CHG=S△AHC=S，
∴S四边形AEHG=S△AHG+S△AHE=S+S=S，
∴，故④正确；
故答案为：①②④ .
【分析】先根据正方形的性质得到△BAF≌△CBE，进而得到BHC=90°，然后根据两角对应相等得到△EBH∽△ECB，根据对应边成比例判断①；然后根据两边成比例且夹角相等得到△EAH∽△ECA，即可得到∠EAH=∠ECA，然后根据三角形的外角得到∠AHE的度数判断②；设BE=AE=AF=a，则BC=2a，由勾股定理得 由三角形面积公式得B证明 和 相似，利用相似三角形性质得 进而得 由此得BH：GH：FG=6：4：5，据此可对结论③进行判断；；再根据同高的两个三角形的面积比等于底的比计算出比值判断④解答即可.
17．【答案】（1）解：
（2）解：
∴b=6.
∵线段x是a，b的比例中项，
(舍负)
【知识点】比例的性质；比例中项
【解析】【分析】(1)根据题意，用b表示a，再进行计算.
(2)根据比例中项的定义进行计算即可.
18．【答案】（1）
（2）解：列表如下：
尚 贤 博 学
尚 　 尚，贤 尚，博 尚，学
贤 贤，尚 　 贤，博 贤，学
博 博，尚 博，贤 　 博，学
学 学，尚 学，贤 学，博 　
由表格可知，共有12种等可能出现的结果，
其中摸到的两个球上的汉字恰好是“尚”和“贤”的结果有2种，∴摸到的两个球上的汉字恰好是“尚”和“贤”的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】由题意得，从袋中摸出一个球，一共有4种可能，球上的汉字刚好是“学”的概率就是
故答案为：
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案；
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及摸到的两个球上的汉字恰好是“尚”和“贤”的结果数，再利用概率公式可得出答案.
19．【答案】（1）解：

（2）解：如图，点P即为所作；
【知识点】作图﹣相似变换
【解析】【分析】(1) 取格点E， 连接DE， 则 即可得到DE，则DE即为所作；(2) 取格点M， N， 连接MN， 交AB于点P， 此时 则点P即为所作.
20．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°，即BC⊥AC
∵OD∥BC，
∴OD⊥AC，
（2）解：∵OD⊥AC
设OB=OD=r，则OE=r-5
在 Rt△BOE中，
即 解得r=10
∴BO=10，EO=5
【知识点】垂径定理；扇形面积的计算；圆周角定理的推论；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，再利用平行线的性质得到OD⊥AC，然后根据垂径定理得到结论即可；
（2）根据垂径定理得到BE长，然后根据勾股定理求出半径 长，再根据扇形面积公式计算即可.
21．【答案】（1）y=-10x+500
（2）解：
∴销售利润W与销售单价x之间的函数关系式
（3）解：根据题意得：
解得：27≤x≤30，
∵-10<0，
∴当x<35时，W随x的增大而增大，
∵27≤x≤30，
∴当x=30时，
∴销售单价定为30元时，所获利润最大，最大利润是2000元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：(1)根据题意得，.y=250-10(x-25)=-10x+500；
故答案为：y=-10x+500；
【分析】(1)根据“某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋”，即可得出y关于x的函数关系式；
(2)根据利润=每袋口罩的利润×销售量，得到销售利润w (元)与销售单价x (元)之间的函数关系式；
(3)利用配方法将w关于x的函数关系式变形为w= 根据二次函数的性质和x的取值范围，即可解决最值问题.
22．【答案】（1）
（2）解：仍然成立.
理由如下：
∵△BEF是等腰直角三角形，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠EBF-∠EBC=∠ABC-∠EBC，即∠CBF=∠ABE，
∴△CBF∽△ABE，
仍然成立.
②证明：如图3，过点D作DG⊥AE于点G，
由旋转可得
∴AG=EG，
∵∠AGD=∠AFB=90°，
∴DG∥BF，
∴△ADG∽△ABF，
∴AG=EG=EF，
∵△BEF是等腰直角三角形，
由①可得
【知识点】旋转的性质；等腰直角三角形；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：由旋转可得AD=DE=BE，
∴，
又∵∠EFB=∠C=90°，
∴EF∥AC，
∴，
∴CF=，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据平行线分线段成比例可得，CF=，然后利用等腰直角三角形的性质AB=得到结论即可；
（2）①根据等腰直角三角形的性质和旋转的性质得到△CBF∽△ABE，根据对应边成比例证明即可；
②过点D作DG⊥AE于点G，根据旋转的性质可得然后在证明△ADG∽△ABF，即可得到AG=EG=EF，根据勾股定理求出再结合①的结论证明即可.
23．【答案】（1）解：将x=0，y=5代入函数解析式得m+4=5，解得m=1.
又·
∴抛物线的顶点坐标为(-3，-4)
（2）解：对称轴：直线
由题意可得函数图象过点(-3，-12)，将x=-3，y=-12代入函数解析式
得9m-18m+m+4=-12，解得m=2.
令y=12，可得
解得
（3）解：由题意可得
解得
由韦达定理可得
即
解得m≤1.综上可得
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）求出一次函数的解析式，然后配方得到顶点坐即可；
（2）根据抛物线求出对称轴为直线x=-3，然后得到(-3，-12)在函数的图象上，代入求出解析式，进而求出另两个交点坐标，利用三角形的面积公式计算即可；
（3）根据抛物线与x轴有两个交点得到，然后根据根据系数的关系得到，再根据完全平方公式的变形求出m的取值范围即可.
24．【答案】（1）证明：∵AC平分∠BCD，
∴∠ACD=∠ACB，
∵∠ACD=∠ABE，
∴∠ACB=∠ABE，
∵∠CAB=∠BAE，
∴△ABC∽△AEB
（2）解：①∵△ABC∽△AEB，
，
，即36=4·AC，
∴AC=9，
②∵∠DAC=∠EBC，∠ACD=∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
，
∴BC·CD=AC·CE=45
（3）解：面积为定值.
理由：作FM⊥AC交AC于点M，作HN⊥AC交AC于点N，连结GM，BM，
∵AC平分∠BCD，
∴∠ACD=∠ACB，
，
∴AC⊥BD，
在Rt△ABE中， ，
∵FM⊥AC，HN⊥AC，
∴BD∥FM，BD∥HN，
∵∠BAG=∠CAF，∠ABG=∠ACD=∠ACF，
∴△ABG∽△ACF，
，
∵∠FMC=∠ABC=90°，∠FCM=∠ACB，
∴△FCM∽△ACB，
，
，
，
∴BG⊥FM，
∴四边形BFMG是平行四边形，
∴BH=HM，
∵BE∥HN，
∴HN是 的中位线，
，
∴△AHC的面积为定值，
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ACD=∠ACB，然后根据圆周角定理求出∠ACB=∠ABE，然后根据两角对应相等得到两三角形相似；
（2）①根据相似三角形的对应边成比例求出AC的长；②根据两角对应相等得到△ACD∽△BCE，再根据相似三角形的对应边成比例解答即可；
（3）作FM⊥AC交AC于点M，作HN⊥AC交AC于点N，连结GM，BM，根据角平分线的定义得到∠ACD=∠ACB，然后根据垂径定理的推论得到AC⊥BD，再根据勾股定理求出BE长，再证明△FCM∽△ACB，根据对应边成比例得到，再证明BFMG是平行四边形，即可得到BH=HM，进而得到HN是 的中位线，求出HN的值，利用三角形的面积公式计算即可.
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