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浙江省杭州市第十三中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试题
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分，每小题给出的四个选项中，只有一个正确选项）
1．（2025九上·杭州期中）抛物线 的顶点坐标是（　　）
A．（0，3） B．（0，-3） C．(-3， 0) D．(4，3)
2．（2025九上·杭州期中）“a 是实数， ”这一事件是（　　）
A．不可能事件 B．不确定事件 C．必然事件 D．随机事件
3．（2025九上·杭州期中）如图，点 A，B，C 都在 上，若 ，则
A．20° B． C． D．
4．（2025九上·杭州期中）如图，已知 ，以下结论中不正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九上·杭州期中）把二次函数 的图象先向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的表达式是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九上·杭州期中）甲，乙两人玩“剪刀、石头、布”游戏，两人出相同手势算平手，则两人玩一次恰好平手的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025九上·杭州期中）如图，直线 ，直线 AC 依次交 、 、 于 A、B、C 三点，直线 DF 依次交 、 、 于 D、E、F 三点，若 ，DE = 2，则 EF 为（　　）
A．3 B．3.5 C．1 D．1.5
8．（2025九上·杭州期中）下列说法不正确的是（　　）
A．弦长相等，则弦所对的弦心距也相等
B．不在同一条直线上的三个点确定一个圆
C．圆是轴对称图形，它有无数条对称轴
D．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧
9．（2025九上·杭州期中）二次函数 (b， c， ， 为常数)，若 ，记 ，则（　　）
A．t<18 B．t>18 C．t<9 D．t>9
10．（2025九上·杭州期中）如图，AB 是 的直径，点 C、D 都在 上， ，若，，则 的半径为（　　）
A．10 B．2 C． D．5
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2025九上·杭州期中）已知线段 ， ，则线段 a，b 的比例中项为 　 　 cm.
12．（2025九上·杭州期中）在一个不透明的袋子里，装有 3 个红球和 5 个黄球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球是黄球的概率是 　 　.
13．（2025九上·杭州期中）已知二次函数 的部分图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程 的解为 　 　.
14．（2025九上·杭州期中）如图，在扇形 AOB 中， ，正方形 CDEF 的顶点 C 是 的中点，点 D 在 OB 上，点 E 在 OB 的延长线上，当正方形 CDEF 的边长为 4 时，阴影部分面积为 　 　.
15．（2025九上·杭州期中）四位同学在研究函数 （m， n 是常数）时，甲发现函数的最小值为 4；乙发现当 x = 3 时；y = 5；丙发现当 x = 2 时，函数有最小值；丁发现 -2 是方程 的一个根，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是 　 　.
16．（2025九上·杭州期中）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做角．如图，四边形 ABCD 是圆美四边形，其中 为美角，则：
⑴　 　 度：
⑵若 BC 为 的内接正十二边形的一边，，则 BD = 　 　 cm.
三、nbsp;．解答题（本题共有8个小题，共72分）
17．（2025九上·杭州期中）已知函数 的图象经过点（3，2）
（1）求这个函数的表达式；
（2）求这个函数的顶点坐标.
18．（2025九上·杭州期中）“中国梦”关乎每个人的幸福生活，为进一步感知我们身边的幸福，展现杭州人追梦的风采，我市某校开展了以“梦想中国，逐梦杭州”为主题的摄影大赛，要求参赛学生每人交一件作品.@徐老师现将参赛的50件作品的成绩（单位：分）进行统计如下：
等级 成绩（用s表示） 频数 频率
A 90≤s≤100 x 0.08
B 80≤s<90 35 y
C s<80 11 0.22
合计 　 50 1
请根据上表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中的 x 的值为 　 　 ， y 的值为 　 　 ；
（2）将本次参赛作品获得 A 等级的学生依次用 ， ， ，…表示，现该校决定从本次参赛作品中获得 A 等级学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，请用树状图或列表法求恰好抽到学生 和 的概率.
19．（2025九上·杭州期中）计算题
（1）已知 ，求 ；
（2） 已知 ，求证： .
20．（2025九上·杭州期中）如图， 是等腰三角形，AB=AC，作一圆过点 A 和点 B，交 BC 于 D 点，交 AC 于 E 点，且 BD=DE.
（1）求证：AB 是该圆的直径；
（2） 若 E 是 AC 的中点，AB=10，求 的长度.
21．（2025九上·杭州期中）某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图①，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图②是其截面图，已知绿道路面宽OA=3.5米，河道坝高AE=5米，当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离最大，其最大值为 4 米．以 O 为原点，直线 OA 为 x 轴，垂直于路面 OA 方向为 y 轴，建立平面直角坐标系.
（1）求水柱所在抛物线的函数表达式；
（2）出于安全考虑，在河道的坝边 A 处竖直向上安装护栏，若护栏高度为 1.2 米，判断水柱是否会喷射到护栏上，并说明理由.
22．（2025九上·杭州期中）【问题提出】“黄金分割点”：如图 1，点 P 将线段 AB 分成两部分 ，若 ，则称点P为线段AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比，比值为 .
（1）【初步感知】
①如图1，若AB=1，求线段PB的长；
②如图2，△ABC中，D是BC边上一点，AD将△ABC分割成两个三角形 ，若 ，则称AD为△ABC的黄金分割线.
求证：点 D 是线段 BC 的黄金分割点；
（2）【类比探究】如图2，若 ，求证：AD 是 的角平分线.
23．（2025九上·杭州期中）在平面直角坐标系中，已知二次函数 （a，b，c 是常数， ）.
（1）若 a=2，函数图象经过点 和 ，求函数的表达式；
（2）若 ， ， 和 在二次函数图象上，且 ，求 m 的取值范围；
（3）若函数图象经过点（3，n），当 时， ；当x>2时， ，求a的值.
24．（2025九上·杭州期中）如图1，四边形ABCD是 的内接四边形，延长CB，DA交于点E，延长BA，CD 交于点 F， .
（1）求证：
（2） 如图 2，若 A 是 的中点，设 ， ，用含 的代数式表示 ；
（3） 若 BD 是 的角平分线， ， ，求 AF 的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：依题意，抛物线，
∴的顶点坐标是，
故选：B.
【分析】根据抛物线的顶点坐标是解答即可．
2．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，由a是实数，得|a|≥0恒成立，因此，这一事件是必然事件．
故选：C．
【分析】根据必然事件、不确定事件、不可能事件、随机事件的定义判断即可.
3．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故选：A．
【分析】根据圆周角的度数是它所对弧上的圆心角度数的一半求解即可．
4．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：A、∵，∴，故该选项不符合题意；
B、∵，∴，故该选项不符合题意；
C、∵，∴，，故该选项不符合题意；
D、∵，∴，故该选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据，得出对应角相等，对应边成比例，据此进行逐项分析，即可作答．
5．【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：把二次函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到一个新图象是，
故选：A．
【分析】根据二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”解题即可．
6．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设剪刀、石头、布分别A、B、C，列表如下：
甲 乙 A B C
A
B
C
∴共有9种可能结果，其中两人玩一次恰好平手的有3种，
∴P（两人玩一次恰好平手）．
故选：C．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两人玩一次恰好平手的情况数，即可求出所求概率．
7．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵直线，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故选：D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，求出，再求出即可．
8．【答案】A
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；尺规作图-过不在同一直线上的三点作圆；圆的对称性
【解析】【解答】解：A．弦心距与圆的大小有关，不同圆中弦长相等时弦心距可能不相等，故原说法正确；
B．不共线的三点确定一个圆，故原说法正确；
C．圆关于任意直径所在的直线对称，故原说法正确；
D．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧，故原说法正确．
故选：A．
【分析】根据弧、弦、圆心角、弦心距之间关系，确定圆的条件，圆的轴对称性，垂径定理逐一判断即可．
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ 二次函数中，，
∴开口向下，
∵，
∴ 当时，函数值，
∴，
又，
∴．
故选：B．
【分析】由二次函数开口向下及根的位置关系，可知当时函数值大于0，代入计算即可得t的范围．
10．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：延长CO，交于点E，连接ED，AC，如图所示：
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴在Rt△CDE中，，
∴的半径为5；
故选：D．
【分析】延长CO，交于点E，连接ED，AC，由题意可得，进而根据勾股定理可得CE的长，然后问题可求解．
11．【答案】
【知识点】比例中项
【解析】【解答】解：设比例中项为，则，
∵，，
∴；
故答案为：．
【分析】根据比例中项的定义，设比例中项为，则 ，代入已知数值计算即可．
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：根据题意得：从袋中任意摸出一个球是篮球的概率为．
故答案为：.
【分析】直接根据概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能结果数，即可求解．
13．【答案】
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数的部分图象经过点，对称轴为直线，
∴二次函数经过点
∴关于x的一元二次方程的解为，
故答案为：．
【分析】根据图象可知，二次函数的部分图象经过点，对称轴为直线，根据对称性求得另一个解，即可求解．
14．【答案】4π-8
【知识点】正方形的性质；圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OC，
∵在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，
∴∠COD=45°，
∴OC=CD=4，
∴阴影部分的面积=扇形BOC的面积-三角形ODC的面积
=
=4π-8，
故答案为：4π-8．
【分析】连结OC，根据勾股定理可求OC的长，根据题意可得出阴影部分的面积=扇形BOC的面积-三角形ODC的面积，依此列式计算即可求解．
15．【答案】丁
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵函数
∴假设甲同学的结论是正确的，则，则，
∴假设乙同学的结论是正确的，则把，代入函数，
得，则，
∴假设丁同学的结论是正确的，把代入，
得，
∴
∴，
∴假设丙同学的结论是正确的，则，解得，
把代入，得，解得，
把代入，得，解得，
把代入，得，解得，
即在甲同学与乙同学的结论下算出的值相同，且都与在丁同学的结论下算出的值不同，
∵这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，
∴则该同学是丁，
故答案为：丁．
【分析】假设甲、乙、丁的结论正确，利用二次函数的性质整理出参数和的关系式，再运用丙的结论求出，分别代入式子，算出的值，再结合题意进行比较分析，即可作答．
16．【答案】；
【知识点】圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：，
∴，
∵四边形是圆的内接四边形，
∴，
即，
∴；
故答案为：；
（2）连接并延长，交于点E，连接，，如图
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵为的内接正十二边形的一边，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
解得，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】（1）根据美角的定义可得，然后根据圆内接四边形的性质即可求出结论；
（2）连接并延长，交于点E，连接，，推导出，，得到，继而推导出，得到，由勾股定理，得到，求出，，根据勾股定理求出BD即可解答．
17．【答案】（1）解：∵函数y=x2＋bx－1的图象经过点(3，2)，
∴2=32＋3b－1，
b=－2，
∴解析式为y=x2－2x－1
（2）解：∵解析式为y=x2－2x－1=（x－1）2－2，
∴顶点坐标为(1，－2)
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）把（3，2）代入y=x2+bx-1中可求出b的值，从而得到二次函数解析式；
（2）把（1）中的解析式配成顶点式，则可得到顶点坐标.
18．【答案】（1）4；0.7
（2）解：依题得获得A等级的学生有4人，用A1，A2，A3，A4表示，画树状图如下：
∵共有12种等可能结果，其中恰好抽到学生A1和A2的有两种结果，
∴从本次参赛作品中获得A等级学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，恰好抽到学生A1和A2的概率为：
【知识点】频数（率）分布表；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：50×0.08=4，35÷50=0.7，
故答案是：4；0.7．
【分析】（1）用参赛作品数量×A等级的频率求出x值，然后运用B等级的频数÷总人数求出y的值即可；
（2）利用树状图可得所有等可能结果，找出符合要求的结果数，然后根据概率公式计算即可.
19．【答案】（1）解：设，且，
∴
（2）证明：设，则，，
∴，
∴
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】（1）设，，然后代入分式计算即可；
（2）设，，然后代入等式的右边约分解答即可.
20．【答案】（1）解：如图，连接．
∵四边形是的内接四边形，
∴．
∴，即．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴是的直径
（2）解：如图，连接，．
由（1），得，
又是中点，
∴．
由（1），得是的直径，
∴．
∴是等边三角形．
∴．
∵，
∴．
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质；弧长的计算；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形性质定理得到，再利用等量代换和等腰三角形的性质推出，进而推出点D是中点，通过等腰三角形三线合一得到，即可证明是直径．
（2）（1）中可以得到，再利用是中点，可以推出，故是等边三角形，，通过弧长的计算公式，即可求出的长度．
21．【答案】（1）解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为，
设该抛物线的函数表达式为，
该抛物线经过原点，
，解得．
该抛物线的函数表达式为
（2）解：水柱不会喷射到护栏上 ，理由如下：
当时，
，
水柱不会喷射到护栏上
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）设该抛物线的函数表达式为，根据该抛物线经过原点，得出，即可求解；
（2）将得出，即可求解．
22．【答案】（1）①解：设，则，根据题意，得
，
即，
解得，
所以；
②证明：设的高是h，
∵，
∴，
即，
∴点D是线段的黄金分割点
（2）证明：过点D作，交于点E，F，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∴，
即.
∵，
∴，
即.
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴是的角平分线
【知识点】平行四边形的判定与性质；黄金分割；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）①先设，则，根据黄金比得，即可得出答案；
②设的高是h，根据面积比得，进而得出答案；
（2）作，可知四边形是平行四边形，再根据平行线分线段成比例得，进而得出，再结合题意得，可说明，然后根据平行线的性质和等角对等边得，则答案可证．
23．【答案】（1）解：∵，
∴二次函数，
∵函数图象经过点和，
∴，解得：，
∴二次函数的表达式为
（2）解：∵，
∴，
∴对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向下，
当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
当时，
∵，
∴，
∴；
当时，关于直线的对称点为，
∵，
∴，
∴，
综上，
（3）解：∵当时，；当时，，
∴抛物线开口向上，
∴，
如图，若对称轴在直线左侧时，即，
∵当时，；当时，，
∴当时，取最小值，
∵，
∴此时不符合题意；
如图，若对称轴在直线右侧时，
∴当时，，当，取最小值，
∵函数图象经过点，
∴，，
∴，即，，
∴
∴，
∴的值为1
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（）当时，二次函数，然后利用待定系数法即可求解；
（2）当时，可求抛物线的对称轴为直线，然后分在对称轴的左侧和右侧讨论，根据二次函数的性质求解即可；
（3）当时，；当时，，则可判断抛物线开口向上，即，然后分若对称轴在直线左侧时，即，若对称轴在直线右侧时两种情况分析，结合图象即可求解.
24．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵的内接四边形
∴
∴，即
（2）解：连接，如图
∵A是的中点，
∴ ，
∴，点A在的垂直平分线上，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点C在的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵
∴，
∴
（3）解：过点D作于点M，如图
∴，
∴，
∵是的角平分线，，，
∴，
∴，是等腰直角三角形，且，
∴，，
解得，即，
∴，
∵，
∴，
即
解得，
∴
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质；等腰直角三角形；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据邻补角的定义得到，再根据圆的内接四边形对角互补得到即可得到结论；
（2）根据弧、弦、圆心角的关系得到，然后根据三角形外角性质和角的和差得到，再根据等角对等边可得，即可得到是的垂直平分线；从而得到，；然后根据直角三角形的两锐角互余解答即可．
（3）过点D作于点M，得到，进而得到是等腰直角三角形，根据勾股定理解得，再根据，求出AM长解答即可．
1 / 1浙江省杭州市第十三中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试题
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分，每小题给出的四个选项中，只有一个正确选项）
1．（2025九上·杭州期中）抛物线 的顶点坐标是（　　）
A．（0，3） B．（0，-3） C．(-3， 0) D．(4，3)
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：依题意，抛物线，
∴的顶点坐标是，
故选：B.
【分析】根据抛物线的顶点坐标是解答即可．
2．（2025九上·杭州期中）“a 是实数， ”这一事件是（　　）
A．不可能事件 B．不确定事件 C．必然事件 D．随机事件
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，由a是实数，得|a|≥0恒成立，因此，这一事件是必然事件．
故选：C．
【分析】根据必然事件、不确定事件、不可能事件、随机事件的定义判断即可.
3．（2025九上·杭州期中）如图，点 A，B，C 都在 上，若 ，则
A．20° B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故选：A．
【分析】根据圆周角的度数是它所对弧上的圆心角度数的一半求解即可．
4．（2025九上·杭州期中）如图，已知 ，以下结论中不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：A、∵，∴，故该选项不符合题意；
B、∵，∴，故该选项不符合题意；
C、∵，∴，，故该选项不符合题意；
D、∵，∴，故该选项符合题意；
故选：D．
【分析】根据，得出对应角相等，对应边成比例，据此进行逐项分析，即可作答．
5．（2025九上·杭州期中）把二次函数 的图象先向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的表达式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：把二次函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到一个新图象是，
故选：A．
【分析】根据二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”解题即可．
6．（2025九上·杭州期中）甲，乙两人玩“剪刀、石头、布”游戏，两人出相同手势算平手，则两人玩一次恰好平手的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设剪刀、石头、布分别A、B、C，列表如下：
甲 乙 A B C
A
B
C
∴共有9种可能结果，其中两人玩一次恰好平手的有3种，
∴P（两人玩一次恰好平手）．
故选：C．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两人玩一次恰好平手的情况数，即可求出所求概率．
7．（2025九上·杭州期中）如图，直线 ，直线 AC 依次交 、 、 于 A、B、C 三点，直线 DF 依次交 、 、 于 D、E、F 三点，若 ，DE = 2，则 EF 为（　　）
A．3 B．3.5 C．1 D．1.5
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵直线，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故选：D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，求出，再求出即可．
8．（2025九上·杭州期中）下列说法不正确的是（　　）
A．弦长相等，则弦所对的弦心距也相等
B．不在同一条直线上的三个点确定一个圆
C．圆是轴对称图形，它有无数条对称轴
D．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧
【答案】A
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；尺规作图-过不在同一直线上的三点作圆；圆的对称性
【解析】【解答】解：A．弦心距与圆的大小有关，不同圆中弦长相等时弦心距可能不相等，故原说法正确；
B．不共线的三点确定一个圆，故原说法正确；
C．圆关于任意直径所在的直线对称，故原说法正确；
D．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧，故原说法正确．
故选：A．
【分析】根据弧、弦、圆心角、弦心距之间关系，确定圆的条件，圆的轴对称性，垂径定理逐一判断即可．
9．（2025九上·杭州期中）二次函数 (b， c， ， 为常数)，若 ，记 ，则（　　）
A．t<18 B．t>18 C．t<9 D．t>9
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ 二次函数中，，
∴开口向下，
∵，
∴ 当时，函数值，
∴，
又，
∴．
故选：B．
【分析】由二次函数开口向下及根的位置关系，可知当时函数值大于0，代入计算即可得t的范围．
10．（2025九上·杭州期中）如图，AB 是 的直径，点 C、D 都在 上， ，若，，则 的半径为（　　）
A．10 B．2 C． D．5
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：延长CO，交于点E，连接ED，AC，如图所示：
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴在Rt△CDE中，，
∴的半径为5；
故选：D．
【分析】延长CO，交于点E，连接ED，AC，由题意可得，进而根据勾股定理可得CE的长，然后问题可求解．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2025九上·杭州期中）已知线段 ， ，则线段 a，b 的比例中项为 　 　 cm.
【答案】
【知识点】比例中项
【解析】【解答】解：设比例中项为，则，
∵，，
∴；
故答案为：．
【分析】根据比例中项的定义，设比例中项为，则 ，代入已知数值计算即可．
12．（2025九上·杭州期中）在一个不透明的袋子里，装有 3 个红球和 5 个黄球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球是黄球的概率是 　 　.
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：根据题意得：从袋中任意摸出一个球是篮球的概率为．
故答案为：.
【分析】直接根据概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能结果数，即可求解．
13．（2025九上·杭州期中）已知二次函数 的部分图象如图所示，则关于 x 的一元二次方程 的解为 　 　.
【答案】
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数的部分图象经过点，对称轴为直线，
∴二次函数经过点
∴关于x的一元二次方程的解为，
故答案为：．
【分析】根据图象可知，二次函数的部分图象经过点，对称轴为直线，根据对称性求得另一个解，即可求解．
14．（2025九上·杭州期中）如图，在扇形 AOB 中， ，正方形 CDEF 的顶点 C 是 的中点，点 D 在 OB 上，点 E 在 OB 的延长线上，当正方形 CDEF 的边长为 4 时，阴影部分面积为 　 　.
【答案】4π-8
【知识点】正方形的性质；圆心角、弧、弦的关系；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OC，
∵在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，
∴∠COD=45°，
∴OC=CD=4，
∴阴影部分的面积=扇形BOC的面积-三角形ODC的面积
=
=4π-8，
故答案为：4π-8．
【分析】连结OC，根据勾股定理可求OC的长，根据题意可得出阴影部分的面积=扇形BOC的面积-三角形ODC的面积，依此列式计算即可求解．
15．（2025九上·杭州期中）四位同学在研究函数 （m， n 是常数）时，甲发现函数的最小值为 4；乙发现当 x = 3 时；y = 5；丙发现当 x = 2 时，函数有最小值；丁发现 -2 是方程 的一个根，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是 　 　.
【答案】丁
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵函数
∴假设甲同学的结论是正确的，则，则，
∴假设乙同学的结论是正确的，则把，代入函数，
得，则，
∴假设丁同学的结论是正确的，把代入，
得，
∴
∴，
∴假设丙同学的结论是正确的，则，解得，
把代入，得，解得，
把代入，得，解得，
把代入，得，解得，
即在甲同学与乙同学的结论下算出的值相同，且都与在丁同学的结论下算出的值不同，
∵这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，
∴则该同学是丁，
故答案为：丁．
【分析】假设甲、乙、丁的结论正确，利用二次函数的性质整理出参数和的关系式，再运用丙的结论求出，分别代入式子，算出的值，再结合题意进行比较分析，即可作答．
16．（2025九上·杭州期中）定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做角．如图，四边形 ABCD 是圆美四边形，其中 为美角，则：
⑴　 　 度：
⑵若 BC 为 的内接正十二边形的一边，，则 BD = 　 　 cm.
【答案】；
【知识点】圆内接四边形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：，
∴，
∵四边形是圆的内接四边形，
∴，
即，
∴；
故答案为：；
（2）连接并延长，交于点E，连接，，如图
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵为的内接正十二边形的一边，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
解得，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】（1）根据美角的定义可得，然后根据圆内接四边形的性质即可求出结论；
（2）连接并延长，交于点E，连接，，推导出，，得到，继而推导出，得到，由勾股定理，得到，求出，，根据勾股定理求出BD即可解答．
三、nbsp;．解答题（本题共有8个小题，共72分）
17．（2025九上·杭州期中）已知函数 的图象经过点（3，2）
（1）求这个函数的表达式；
（2）求这个函数的顶点坐标.
【答案】（1）解：∵函数y=x2＋bx－1的图象经过点(3，2)，
∴2=32＋3b－1，
b=－2，
∴解析式为y=x2－2x－1
（2）解：∵解析式为y=x2－2x－1=（x－1）2－2，
∴顶点坐标为(1，－2)
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）把（3，2）代入y=x2+bx-1中可求出b的值，从而得到二次函数解析式；
（2）把（1）中的解析式配成顶点式，则可得到顶点坐标.
18．（2025九上·杭州期中）“中国梦”关乎每个人的幸福生活，为进一步感知我们身边的幸福，展现杭州人追梦的风采，我市某校开展了以“梦想中国，逐梦杭州”为主题的摄影大赛，要求参赛学生每人交一件作品.@徐老师现将参赛的50件作品的成绩（单位：分）进行统计如下：
等级 成绩（用s表示） 频数 频率
A 90≤s≤100 x 0.08
B 80≤s<90 35 y
C s<80 11 0.22
合计 　 50 1
请根据上表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中的 x 的值为 　 　 ， y 的值为 　 　 ；
（2）将本次参赛作品获得 A 等级的学生依次用 ， ， ，…表示，现该校决定从本次参赛作品中获得 A 等级学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，请用树状图或列表法求恰好抽到学生 和 的概率.
【答案】（1）4；0.7
（2）解：依题得获得A等级的学生有4人，用A1，A2，A3，A4表示，画树状图如下：
∵共有12种等可能结果，其中恰好抽到学生A1和A2的有两种结果，
∴从本次参赛作品中获得A等级学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，恰好抽到学生A1和A2的概率为：
【知识点】频数（率）分布表；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：50×0.08=4，35÷50=0.7，
故答案是：4；0.7．
【分析】（1）用参赛作品数量×A等级的频率求出x值，然后运用B等级的频数÷总人数求出y的值即可；
（2）利用树状图可得所有等可能结果，找出符合要求的结果数，然后根据概率公式计算即可.
19．（2025九上·杭州期中）计算题
（1）已知 ，求 ；
（2） 已知 ，求证： .
【答案】（1）解：设，且，
∴
（2）证明：设，则，，
∴，
∴
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】（1）设，，然后代入分式计算即可；
（2）设，，然后代入等式的右边约分解答即可.
20．（2025九上·杭州期中）如图， 是等腰三角形，AB=AC，作一圆过点 A 和点 B，交 BC 于 D 点，交 AC 于 E 点，且 BD=DE.
（1）求证：AB 是该圆的直径；
（2） 若 E 是 AC 的中点，AB=10，求 的长度.
【答案】（1）解：如图，连接．
∵四边形是的内接四边形，
∴．
∴，即．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴是的直径
（2）解：如图，连接，．
由（1），得，
又是中点，
∴．
由（1），得是的直径，
∴．
∴是等边三角形．
∴．
∵，
∴．
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接四边形的性质；弧长的计算；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形性质定理得到，再利用等量代换和等腰三角形的性质推出，进而推出点D是中点，通过等腰三角形三线合一得到，即可证明是直径．
（2）（1）中可以得到，再利用是中点，可以推出，故是等边三角形，，通过弧长的计算公式，即可求出的长度．
21．（2025九上·杭州期中）某村庄为吸引游客，沿绿道旁的母亲河河边打造喷水景观，如图①，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入母亲河中．图②是其截面图，已知绿道路面宽OA=3.5米，河道坝高AE=5米，当水柱离喷水口O处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离最大，其最大值为 4 米．以 O 为原点，直线 OA 为 x 轴，垂直于路面 OA 方向为 y 轴，建立平面直角坐标系.
（1）求水柱所在抛物线的函数表达式；
（2）出于安全考虑，在河道的坝边 A 处竖直向上安装护栏，若护栏高度为 1.2 米，判断水柱是否会喷射到护栏上，并说明理由.
【答案】（1）解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为，
设该抛物线的函数表达式为，
该抛物线经过原点，
，解得．
该抛物线的函数表达式为
（2）解：水柱不会喷射到护栏上 ，理由如下：
当时，
，
水柱不会喷射到护栏上
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）设该抛物线的函数表达式为，根据该抛物线经过原点，得出，即可求解；
（2）将得出，即可求解．
22．（2025九上·杭州期中）【问题提出】“黄金分割点”：如图 1，点 P 将线段 AB 分成两部分 ，若 ，则称点P为线段AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比，比值为 .
（1）【初步感知】
①如图1，若AB=1，求线段PB的长；
②如图2，△ABC中，D是BC边上一点，AD将△ABC分割成两个三角形 ，若 ，则称AD为△ABC的黄金分割线.
求证：点 D 是线段 BC 的黄金分割点；
（2）【类比探究】如图2，若 ，求证：AD 是 的角平分线.
【答案】（1）①解：设，则，根据题意，得
，
即，
解得，
所以；
②证明：设的高是h，
∵，
∴，
即，
∴点D是线段的黄金分割点
（2）证明：过点D作，交于点E，F，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∴，
即.
∵，
∴，
即.
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴是的角平分线
【知识点】平行四边形的判定与性质；黄金分割；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）①先设，则，根据黄金比得，即可得出答案；
②设的高是h，根据面积比得，进而得出答案；
（2）作，可知四边形是平行四边形，再根据平行线分线段成比例得，进而得出，再结合题意得，可说明，然后根据平行线的性质和等角对等边得，则答案可证．
23．（2025九上·杭州期中）在平面直角坐标系中，已知二次函数 （a，b，c 是常数， ）.
（1）若 a=2，函数图象经过点 和 ，求函数的表达式；
（2）若 ， ， 和 在二次函数图象上，且 ，求 m 的取值范围；
（3）若函数图象经过点（3，n），当 时， ；当x>2时， ，求a的值.
【答案】（1）解：∵，
∴二次函数，
∵函数图象经过点和，
∴，解得：，
∴二次函数的表达式为
（2）解：∵，
∴，
∴对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向下，
当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
当时，
∵，
∴，
∴；
当时，关于直线的对称点为，
∵，
∴，
∴，
综上，
（3）解：∵当时，；当时，，
∴抛物线开口向上，
∴，
如图，若对称轴在直线左侧时，即，
∵当时，；当时，，
∴当时，取最小值，
∵，
∴此时不符合题意；
如图，若对称轴在直线右侧时，
∴当时，，当，取最小值，
∵函数图象经过点，
∴，，
∴，即，，
∴
∴，
∴的值为1
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（）当时，二次函数，然后利用待定系数法即可求解；
（2）当时，可求抛物线的对称轴为直线，然后分在对称轴的左侧和右侧讨论，根据二次函数的性质求解即可；
（3）当时，；当时，，则可判断抛物线开口向上，即，然后分若对称轴在直线左侧时，即，若对称轴在直线右侧时两种情况分析，结合图象即可求解.
24．（2025九上·杭州期中）如图1，四边形ABCD是 的内接四边形，延长CB，DA交于点E，延长BA，CD 交于点 F， .
（1）求证：
（2） 如图 2，若 A 是 的中点，设 ， ，用含 的代数式表示 ；
（3） 若 BD 是 的角平分线， ， ，求 AF 的长.
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵的内接四边形
∴
∴，即
（2）解：连接，如图
∵A是的中点，
∴ ，
∴，点A在的垂直平分线上，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点C在的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵
∴，
∴
（3）解：过点D作于点M，如图
∴，
∴，
∵是的角平分线，，，
∴，
∴，是等腰直角三角形，且，
∴，，
解得，即，
∴，
∵，
∴，
即
解得，
∴
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆内接四边形的性质；等腰直角三角形；线段垂直平分线的判定
【解析】【分析】（1）根据邻补角的定义得到，再根据圆的内接四边形对角互补得到即可得到结论；
（2）根据弧、弦、圆心角的关系得到，然后根据三角形外角性质和角的和差得到，再根据等角对等边可得，即可得到是的垂直平分线；从而得到，；然后根据直角三角形的两锐角互余解答即可．
（3）过点D作于点M，得到，进而得到是等腰直角三角形，根据勾股定理解得，再根据，求出AM长解答即可．
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