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陕西商洛市商南县2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题
一、单选题
1．用一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是（　　）
A．9 B．7 C．2 D．1
2．若等腰三角形有一个角为40°，则它的顶角为( )
A．40° B．100° C．40°或100° D．无法确定
3．下列各式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（ ）
A．诚 B．信 C．友 D．善
5．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠的度数是【 】
A．45° B．60° C．75° D．90°
6．已知关于x的代数式是完全平方式，则M的值为（　　）
A．6 B． C． D．不能确定
7．若分式的值为0，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．如图，点E、H、G、N共线，∠E＝∠N，EF＝NM，添加一个条件，不能判断△EFG≌△NMH的是（　　）
A．EH＝NG B．∠F＝∠M C．FG＝MH D．
10．甲乙两人共同处理一批数据，已知乙单独处理数据的时间比甲少2小时，若两人合作处理，仅需小时即可完成．设甲单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．分解因式：______．
12．已知，，则______．
13．如图，若，则_______°．
14．如图，在中，是它的角平分线，于点，若，，则的面积为______．
15．若关于的分式方程无解，则______．
16．如图，在中，，，和都是直角且点，，三点共线，，则阴影部分的面积是_______．
三、解答题
17．先化简，再求值：
(1)；其中，．
(2)，其中．
18．解下列分式方程：
(1)
(2)
19．如图，是的边上的高，点E为上一点，且．
(1)试说明；
(2)若，求的面积．
20．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：CE=CF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
21．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，有一个以格点为顶点的．
(1)作关于直线对称的图形．
(2)的面积为______；
(3)在上画出点Q，使得的值最小．
22．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，AC=6cm，点D从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，同时点E从点C出发以2cm/s的速度向点B运动，运动的时间为t秒，解决以下问题：
（1）当t为何值时，△DEC为等边三角形；
（2）当t为何值时，△DEC为直角三角形．
23．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式 （第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
根据以上材料提供的方法，解答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______．
A．提公因式法 B．公式法 C．换元法
(2)老师说，该同学因式分解的结果不彻底，请你写出因式分解的最后结果：_________．
(3)请你模仿上述方法，对多项式进行因式分解．
24．某村种植合作社共需要采摘茶叶24吨，村民采摘4吨后，政府组织一批志愿者服务队加入一起采摘，已知志愿者服务队采摘的速度是村民采摘速度的倍，从村民开始采摘到全部采摘完毕，一共用了15天．
(1)求村民每天采摘茶叶多少吨；
(2)已知合作社每天需要支出村民劳务费2000元，志愿者服务队不需要支出劳务费，只需要每天支出饮食费500元，那么志愿者服务队加入后可帮助合作社节省多少元？
25．（1）问题提出：小明和小华在一次数学学习中遇到了以下问题：如图，是的中线，若，，求长和长的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了长的取值范围为______；
（2）方法探究：但是他们怎么也算不出长的取值范围，经小组讨论后发现：延长至点．使，连接，如图．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出长的取值范围，请写出解答过程；
（3）方法应用：如图，在中，点在上，且，过点作，交于点，且．求证：平分．
参考答案
1．B
【详解】解：一根小木棒与两根长度分别为3、5的小木棒组成三角形，
则这根小木棒的长度范围是大于2，小于8，符合题意的只有B选项，
故选：B
2．C
【详解】当40°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是40°；
当40°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°－40°×2＝100°，故选C.
3．B
【详解】解：∵根据完全平方公式，，
∴A选项错误；
∵根据积的乘方与幂的乘方法则，，
∴B选项正确；
∵合并同类项时，同类项的系数相加，字母和指数不变，，
∴C选项错误；
∵，而，，
∴D选项错误；
故选：B．
4．D
【详解】A.不是轴对称图形，故不符合题意；
B.不是轴对称图形，故不符合题意；
C.不是轴对称图形，故不符合题意；
D.是轴对称图形，符合题意，
故选D.
5．C
【详解】如图，
∵∠1=90°-60°=30°，
∴∠α=45°+30°=75°．故选C．
6．C
【详解】解：∵关于x的代数式是完全平方式，
∴，或，
∴；
故选C．
7．A
【详解】解：依题意，且，
解得：，
故选：A．
8．C
【详解】解：∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴的周长为，
故选：C．
9．C
【详解】
解：在△EFG与△NMH中，已知，∠E＝∠N，EF＝NM，
A．由EH＝NG可得EG＝NH，所以添加条件EH＝NG，根据SAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意；
B．添加条件∠F＝∠M，根据ASA可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意；
C．添加条件FG＝MH，不能证明△EFG≌△NMH，故本选项符合题意；
D．由可得∠EGF＝∠NHM，所以添加条件，根据AAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意；
故选：C．
10．B
【详解】解：设甲单独处理需要小时，则乙单独处理需要小时．
甲的工作效率为，乙的工作效率为，
两人合作1.2小时完成工作，可列方程：．
故选：B．
11．
【详解】解：
故答案为：．
12．30
【详解】解：∵，，
∴
．
故答案为：．
13．
【详解】解：如图，设交于F，交于，
∵，，
∴，即，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
14．6
【详解】解：如图所示，过点D作于F，
∵平分，，，，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：6．
15．
【详解】解： ，
两边同乘 （）得 ：
，
整理得 ，
移项得 ，
即 ，
解得 ，
∵分式方程无解时，
∴根为增根，即 ，
代入得 ，
解得 ．
故答案为：．
16．2．
【详解】解：∵
∴
∵和都是直角且点，，三点共线，，
∴
∴
∴，，
∵
∴
阴影部分的面积，
故答案为：2．
17．(1)，8
(2)，1
【详解】（1）解：
，
代入，，
原式
；
（2）解：
，
代入，
原式
．
18．(1)
(2)无解
【详解】（1）解：
去分母，得，
解得，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为；
（2）解：
去分母，得，
解得，
检验：当时，，
∴是分式方程的增根，
∴原分式方程无解．
19．(1)见解析
(2)
【详解】（1）∵为边上的高．
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积．
20．（1）见解析（2）成立
【详解】解：（1）在正方形ABCD中，BC=CD，∠B=∠CDF=90°，
∵，
∴△CBE△CDF（SAS）．
∴CE=CF．
（2）GE=BE+GD成立．
理由：∵由（1）得：△CBE△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，
又∵∠GCE=45°，
∴∠GCF=∠GCE=45°，CE＝CF．
∵∠GCE＝∠GCF， GC＝GC，
∴△ECG△FCG（SAS）．
∴GE=GF．
∴GE=DF+GD=BE+GD．
21．(1)见解析
(2)6.5
(3)见解析
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：的面积为；
故答案为：6.5；
（3）解：如图，点Q即为所求．
22．（1）当t为2时，△DEC为等边三角形；（2）当t为 或3时，△DEC为直角三角形．
【详解】（1）根据题意可得 AD=t，CD=6﹣t，CE=2t，
∵∠B=30°，AC=6cm，
∴BC=2AC=12cm，
∵∠C=90°﹣∠B=30°=60°，△DEC为等边三角形，
∴CD=CE，
6﹣t=2t，
t=2，
∴当t为2时，△DEC为等边三角形；
（2）①当∠DEC为直角时，∠EDC=30°，
∴CE=，
2t=（6﹣t），
t=；
②当∠EDC为直角时，∠DEC=30°，
CD=CE，
6﹣t= 2t，
t=3．
∴当t为或3时，△DEC为直角三角形．
23．(1)B
(2)
(3)
【详解】（1）解：该同学第二步到第三步运用了因式分解的公式法；
故选：B．
（2）解：设，
原式
，
∴因式分解的最后结果为．
故答案为：．
（3）解：设，
原式
．
24．(1)0.8吨
(2)25000元
【详解】（1）解：设村民每天采摘茶叶吨，则志愿者服务队每天采摘吨，
根据题意，得，
解得，
经检验：是方程的解，且符合题意，
答：村民每天采摘茶叶0.8吨；
（2）解：志愿者服务队采摘的时间为（天），
（元），
答：志愿者服务队加入后可帮助合作社节省25000元．
25．（1）；（2）；（3）见解析
【详解】（1）解：，，
，
即；
故答案为：；
（2）解：如图，延长至点，使，连接，
是的中线，
，
，，，
，
，
在中，，
，即，
，
；
（3）证明：如图所示，延长，取，连接，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
平分．

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