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湖南省邵阳市武冈市第二中学2025-2026学年高一年级上学期期末考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2026高一上·武冈期末）已知集合，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得，即集合，
易知集合，
则.
故答案为：C.
【分析】解对数不等式求得集合A，解一次不等式求得集合B，再根据集合的交集运算求解即可.
2．（2026高一上·武冈期末）“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：不等式，即，即，，即，
即，解得或，
则“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】不等式转化为，解分式不等式求得或，再根据充分、必要条件的定义判断即可.
3．（2026高一上·武冈期末）若，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：易知，
，则，即，即，
则.
故答案为：B.
【分析】根据对数函数的单调性求得，再根据指数的运算进行化简比较的大小，从而判断大小即可.
4．（2026高一上·武冈期末）函数的图像大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象；余弦函数的图象
【解析】【解答】解：函数的定义域为，定义域关于原点对称，
满足，则函数为奇函数，排除AC；
当时，，，此时的符号性与的符号性一致，排除D.
故答案为：B.
【分析】求函数的定义域，判断函数的奇偶性，根据函数的奇偶性结合符号性判断即可.
5．（2026高一上·武冈期末）为了得到函数的图象，可以把函数的图象（　　）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：，
则为了得到函数的图象，可以把函数的图象向右平移个单位长度得到的图象.
故答案为：C.
【分析】根据三角函数图象的平移变换求解即可.
6．（2026高一上·武冈期末）“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把图片横竖各分三部分，以比例1：0.618：1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点．如图，分别用A，B，C，D表示黄金分割点．若图片长、宽比例为8：5，设．则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的正切公式；任意角三角函数的定义；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由题意可得，
则.
故答案为：D.
【分析】由题意可得，再利用同角三角函数基本关系，结合正切二倍角公式求解即可.
7．（2026高一上·武冈期末）已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：由题意，，，都有，
令，当时，，
则在定义域内单调递增，
因为，所以，
，变形得，即，
则，解得，故实数的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】构造函数，判断函数的单调性，由，可得，将不等式变形为，根据函数的单调性，可得，据此求实数m的取值范围即可.
8．（2026高一上·武冈期末）若函数满足，且在没有零点，则的最大值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；辅助角公式
【解析】【解答】解：函数，
当时，，
由函数在没有零点，得，解得，
由，得是函数的周期，则，解得，
故当时，取得最大值4.
故答案为：A.
【分析】先利用辅助角公式化简求得函数，由，函数函数在没有零点，求得，再根据函数的周期为，求得，据此求的最大值即可.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2026高一上·武冈期末）若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；不等关系与不等式
【解析】【解答】解：A、由，可得，不等式两边同除以，可得
，即，故A正确；
B、指数函数在R上单调递增，由，可得，故B正确；
C、不妨设，则，故，故C错误；
D、由于，故，又在上单调递增，
故，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由，可得，不等式两边同除以，求解即可判断A；根据指数函数单调性，结合可得即可判断B；取特殊值即可判断C；由，可得，再根据函数在上单调性，即可判断D.
10．（2026高一上·武冈期末）（多选）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上单调递增
D．函数与的图象的所有交点的横坐标之和
【答案】B,C,D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由图可知：，，解得，
因为图象过点，所以，所以，
又因为，所以，则，
A、因为，所以的图象不关于直线对称，故A错误；
B、因为，所以的图象关于点对称，故B正确；
C、由，可得，则在区间上单调递增，故C正确；
D、由，得，
则或，
取，得或；取，得或，
函数与的图象的所有交点的横坐标之和为，故D正确.
故答案为：BCD．
【分析】由图易知A，再由图象过点和，得函数的周期，求的值，再根据图象过点，结合的取值范围求得函数解析式，再逐项分析判断即可.
11．（2026高一上·武冈期末）设函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，当时，，则（　　）
A．
B．在上单调递减
C．为奇函数
D．方程有且仅有个不同的实数解
【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为为奇函数，所以，
所以的图象关于点中心对称，所以，
又因为为偶函数，所以，
所以的图象关于轴对称，所以，
所以，所以，所以，
所以，则是周期为8的周期函数，
A、，
由，可得，则，故A正确；
B、当时，，
由知，
而当时，，，
当时，，
则在上单调递增，故B错误；
C、由上知，
所以，
所以为奇函数，故C正确；
D、画出函数及的图象，如图：
由图可知，两个函数图象有10个交点，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据为奇函数，为偶函数，求得，确定函数是周期为8的周期函数，根据函数的周期求解即可判断A；当时，，根据将其转化到已知区间的解析式上即可判断B；通过判断是否成立即可判断C；画出函数及的图象，根据图象即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2026高一上·武冈期末）函数且过定点　 　.
【答案】
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令，解得，此时，
显然函数过定点.
故答案为：.
【分析】根据对数函数图象和性质，令，求出的值，再代入函数解析式，即可得函数的定点坐标.
13．（2026高一上·武冈期末）已知，则　 　.
【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：，
.
故答案为：.
【分析】，根据诱导公式可得，再根据，利用诱导公式，结合余弦的二倍角公式求值即可.
14．（2026高一上·武冈期末）函数的零点为，函数的零点为，其中．则的最小值为　 　.
【答案】10
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，可得，即，，
令，可得，即，即，，
由于，与的图象只有一个交点，即只有1个解，故，
则，，，
由于，，故，即，，
故，，
因为在上单调递增，所以.
故答案为：10.
【分析】分别令，化简求得，，，易得，根据，与的图象只有一个交点，求得，求出，结合函数单调性得到，即可得的最小值.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．（2026高一上·武冈期末）（1）计算
（2）设，计算的值
【答案】解：（1）
；
（2），
.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用诱导公式，结合特殊角三角函数值，以及指数，对数运算法则化简求值即可；
（2）利用同角三角函数关系，化弦为切，代值求值即可.
16．（2026高一上·武冈期末）已知幂函数在上单调递减，.
（1）当时，求的表达式并直接写出在的单调区间．
（2）若在上的最小值为，求的值．
【答案】（1）解：因为幂函数在上单调递减，
所以，解得，则，
，
当时，，
根据对勾函数的单调性，可得函数在的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）解：由（1）可知，
①当时，因为函数、在上均为减函数，
则函数在上单调递减，则，解得（舍去）；
②当时，函数在上单调递减，
此时，不符合题意；
③当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
若，即当时，函数在上单调递增，则，符合题意，
若，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
此时，解得（舍去），
当时，即当时，函数在上单调递减，
此时，解得（舍去）．
综上所述，．
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；幂函数的图象与性质；对勾函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据函数为幂函数且单调性递减，列不等式组求得m的值，即可得函数的解析式和函数的解析式，将代入，利用对勾函数的单调性求函数在的单调区间即可；
（2）由（1）可知，分、和讨论，分析函数在区间上的单调性，结合求实数的值即可.
（1）因为幂函数在上单调递减，
所以，解得，故，
所以，
当时，，根据对勾函数的单调性，
所以函数在的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）由（1）可知，
①当时，因为函数、在上均为减函数，
则函数在上单调递减，则，解得（舍去）；
②当时，函数在上单调递减，
此时，不符合题意；
③当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
若，即当时，函数在上单调递增，则，符合题意，
若，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
此时，解得（舍去），
当时，即当时，函数在上单调递减，
此时，解得（舍去）．
综上所述，．
17．（2026高一上·武冈期末）2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：；已知初始综合性能评分，且在处函数图象是连续不断的.
（1）求常数和的值；
（2）已知大模型的标准化训练效率定义为，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？
【答案】（1）解：，
因为，所以，
所以当时，，
又因为在处函数图象是连续不断的，
所以，解得，
故；
（2）解：由（1）可得，当时，，
，
因为，所以，
当且仅当时，即时等号成立，此时，此时的最大值为；
当时，，
，
综上，当时，，此时“天穹”模型的标准化训练效率最高.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据函数的解析式，由，求得的值，再根据在处函数图象是连续不断，列式求出的值即可；
（2）由（1）可得，再分段求出的解析式，根据基本不等式的性质以及二次函数的性质分别求出不同的范围时的最大值，比较即可.
（1）因为，
又，所以.
所以当时，
又因为在处函数图象是连续不断的，
所以，解得.
所以.
（2）由（1）可得，
当时，，
此时.
因为，所以，
当且仅当时，即时等号成立，
此时，此时的最大值为；
当时，，
此时
，
综上，当时，，此时“天穹”模型的标准化训练效率最高.
18．（2026高一上·武冈期末）已知函数．函数图象与的图象关于直线对称．
（1）求的表达式．
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围．
（3）不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：因为的图象与的图象关于直线对称，所以与互为反函数，
由，得，则；
（2）解：由（1）可知，
令，其中在上单调递增，
由同增异减可得：在上单调递增且对恒成立，
则且，解得，
故的取值范围为；
（3）解：在上恒成立，
由对数函数单调性可得且，
，只需，而单调递增，故只需，得，
不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
即，即在上恒成立，
当时不等式成立，则在上恒成立，即，
令，
而在上单调递增，，即，
综上所述，实数的取值范围为．
【知识点】函数单调性的性质；复合函数的单调性；函数的最大（小）值；函数恒成立问题；互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【分析】（1）由题意可得与互为反函数，根据指、对互化求的表达式即可；
（2）由（1）可知，令，根据复合函数的单调性可得，在上单调递增且对恒成立，从而得到且，据此求出的取值范围即可；
（3）根据对数函数有意义，结合的单调性性求得，再由函数单调性得到在上恒成立，分离参数可得在上恒成立，换元，根据函数单调性求出的最大值，即可的实数的取值范围．
（1）的图象与的图象关于直线对称
与互为反函数
由得，
（2）由（1）可知，
在上单调递增，
令，其中在上单调递增，
由同增异减可得，在上单调递增且对恒成立，
且，
，
故的取值范围为；
（3）在上恒成立，
由对数函数单调性可得且，
，只需，而单调递增，故只需，得，
不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
，
在上恒成立，
当时不等式成立，
在上恒成立，，
令，
而在上单调递增，
，
综上所述，实数的取值范围为．
19．（2026高一上·武冈期末）已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”.
（1）判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由；
（2）若函数，是，的“友好函数”，求的最小值；
（3）已知函数，，，，若是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值.
【答案】（1）解：，不是，的“友好函数”，
理由如下：取，
因为，所以不存在，使得，
所以，不是，的“友好函数”；
（2）解：由题意，对任意，存在唯一使成立，
即，所以函数的值域是函数值域的子集，
因为，，所以，其值域为，
而在上单调递增，故值域为，
从而，即，所以；
（3）解：当是的“友好函数”时，由题意，对任意的，存在唯一的，使成立，
即，则的值域是值域的子集，
当是的“友好函数”时，
由题意，对任意的，存在唯一的使成立，
即，则的值域是值域的子集，
所以的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应），
当是的“友好函数”时，因为，
若存在使得，则不存在，使得，
所以当时，，所以，
因为在上单调递减，所以，
①当时，，不符合要求；
②当时，，，
因为，所以，不符合要求；
③当时，，，
若，则在上单调递减，
从而在上单调递增，故，
从而时，，
因为的值域与值域相同，所以，
即，所以，又在上单调递增，
所以当时，的最大值为1，
若，则在上单调递减，在上单调递增，
此时值域与值域中的数值不可能一一对应，不符合要求，
综上：，的最大值为1.
【知识点】集合间关系的判断；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）取，根据“友好函数”的定义判断即可；
（2）由题意，对任意，存在唯一使成立，问题化为函数的值域是函数值域的子集，根据集合的包含关系列式求参数范围，确定最小值即可；
（3）由函数新定义及已知，的值域与值域相同，利用正弦型函数性质求的值域，再讨论参数k研究值域，即可得参数范围.
（1），不是，的“友好函数”，理由如下：
取，因为，所以不存在，使得，
所以，不是，的“友好函数”；
（2）由题意，对任意，存在唯一使成立，
即，所以函数的值域是函数值域的子集.
因为，，所以，其值域为，
而在上单调递增，故值域为，
从而，即，所以；
（3）当是的“友好函数”时，
由题意，对任意的，存在唯一的，使成立，
即，则的值域是值域的子集.
当是的“友好函数”时，
由题意，对任意的，存在唯一的使成立，
即，则的值域是值域的子集.
所以的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应）.
当是的“友好函数”时，因为，
若存在使得，则不存在，使得，
所以当时，，所以，
因为在上单调递减，所以，
①当时，，不符合要求；
②当时，，，
因为，所以，不符合要求；
③当时，，，
若，则在上单调递减，
从而在上单调递增，故，
从而时，，
因为的值域与值域相同，所以，
即，所以，又在上单调递增，
所以当时，的最大值为1.
若，则在上单调递减，在上单调递增，
此时值域与值域中的数值不可能一一对应，不符合要求.
综上：，的最大值为1.
1 / 1湖南省邵阳市武冈市第二中学2025-2026学年高一年级上学期期末考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2026高一上·武冈期末）已知集合，，则（　　）
A． B．
C． D．
2．（2026高一上·武冈期末）“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2026高一上·武冈期末）若，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2026高一上·武冈期末）函数的图像大致为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2026高一上·武冈期末）为了得到函数的图象，可以把函数的图象（　　）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
6．（2026高一上·武冈期末）“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把图片横竖各分三部分，以比例1：0.618：1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点．如图，分别用A，B，C，D表示黄金分割点．若图片长、宽比例为8：5，设．则（　　）
A． B． C． D．
7．（2026高一上·武冈期末）已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
8．（2026高一上·武冈期末）若函数满足，且在没有零点，则的最大值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2026高一上·武冈期末）若，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2026高一上·武冈期末）（多选）已知函数（其中）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上单调递增
D．函数与的图象的所有交点的横坐标之和
11．（2026高一上·武冈期末）设函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，当时，，则（　　）
A．
B．在上单调递减
C．为奇函数
D．方程有且仅有个不同的实数解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2026高一上·武冈期末）函数且过定点　 　.
13．（2026高一上·武冈期末）已知，则　 　.
14．（2026高一上·武冈期末）函数的零点为，函数的零点为，其中．则的最小值为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．（2026高一上·武冈期末）（1）计算
（2）设，计算的值
16．（2026高一上·武冈期末）已知幂函数在上单调递减，.
（1）当时，求的表达式并直接写出在的单调区间．
（2）若在上的最小值为，求的值．
17．（2026高一上·武冈期末）2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：；已知初始综合性能评分，且在处函数图象是连续不断的.
（1）求常数和的值；
（2）已知大模型的标准化训练效率定义为，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？
18．（2026高一上·武冈期末）已知函数．函数图象与的图象关于直线对称．
（1）求的表达式．
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围．
（3）不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
19．（2026高一上·武冈期末）已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”.
（1）判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由；
（2）若函数，是，的“友好函数”，求的最小值；
（3）已知函数，，，，若是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得，即集合，
易知集合，
则.
故答案为：C.
【分析】解对数不等式求得集合A，解一次不等式求得集合B，再根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：不等式，即，即，，即，
即，解得或，
则“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】不等式转化为，解分式不等式求得或，再根据充分、必要条件的定义判断即可.
3．【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：易知，
，则，即，即，
则.
故答案为：B.
【分析】根据对数函数的单调性求得，再根据指数的运算进行化简比较的大小，从而判断大小即可.
4．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象；余弦函数的图象
【解析】【解答】解：函数的定义域为，定义域关于原点对称，
满足，则函数为奇函数，排除AC；
当时，，，此时的符号性与的符号性一致，排除D.
故答案为：B.
【分析】求函数的定义域，判断函数的奇偶性，根据函数的奇偶性结合符号性判断即可.
5．【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：，
则为了得到函数的图象，可以把函数的图象向右平移个单位长度得到的图象.
故答案为：C.
【分析】根据三角函数图象的平移变换求解即可.
6．【答案】D
【知识点】二倍角的正切公式；任意角三角函数的定义；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由题意可得，
则.
故答案为：D.
【分析】由题意可得，再利用同角三角函数基本关系，结合正切二倍角公式求解即可.
7．【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：由题意，，，都有，
令，当时，，
则在定义域内单调递增，
因为，所以，
，变形得，即，
则，解得，故实数的取值范围为.
故答案为：D.
【分析】构造函数，判断函数的单调性，由，可得，将不等式变形为，根据函数的单调性，可得，据此求实数m的取值范围即可.
8．【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；辅助角公式
【解析】【解答】解：函数，
当时，，
由函数在没有零点，得，解得，
由，得是函数的周期，则，解得，
故当时，取得最大值4.
故答案为：A.
【分析】先利用辅助角公式化简求得函数，由，函数函数在没有零点，求得，再根据函数的周期为，求得，据此求的最大值即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；不等关系与不等式
【解析】【解答】解：A、由，可得，不等式两边同除以，可得
，即，故A正确；
B、指数函数在R上单调递增，由，可得，故B正确；
C、不妨设，则，故，故C错误；
D、由于，故，又在上单调递增，
故，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由，可得，不等式两边同除以，求解即可判断A；根据指数函数单调性，结合可得即可判断B；取特殊值即可判断C；由，可得，再根据函数在上单调性，即可判断D.
10．【答案】B,C,D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由图可知：，，解得，
因为图象过点，所以，所以，
又因为，所以，则，
A、因为，所以的图象不关于直线对称，故A错误；
B、因为，所以的图象关于点对称，故B正确；
C、由，可得，则在区间上单调递增，故C正确；
D、由，得，
则或，
取，得或；取，得或，
函数与的图象的所有交点的横坐标之和为，故D正确.
故答案为：BCD．
【分析】由图易知A，再由图象过点和，得函数的周期，求的值，再根据图象过点，结合的取值范围求得函数解析式，再逐项分析判断即可.
11．【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为为奇函数，所以，
所以的图象关于点中心对称，所以，
又因为为偶函数，所以，
所以的图象关于轴对称，所以，
所以，所以，所以，
所以，则是周期为8的周期函数，
A、，
由，可得，则，故A正确；
B、当时，，
由知，
而当时，，，
当时，，
则在上单调递增，故B错误；
C、由上知，
所以，
所以为奇函数，故C正确；
D、画出函数及的图象，如图：
由图可知，两个函数图象有10个交点，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据为奇函数，为偶函数，求得，确定函数是周期为8的周期函数，根据函数的周期求解即可判断A；当时，，根据将其转化到已知区间的解析式上即可判断B；通过判断是否成立即可判断C；画出函数及的图象，根据图象即可判断D.
12．【答案】
【知识点】对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令，解得，此时，
显然函数过定点.
故答案为：.
【分析】根据对数函数图象和性质，令，求出的值，再代入函数解析式，即可得函数的定点坐标.
13．【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：，
.
故答案为：.
【分析】，根据诱导公式可得，再根据，利用诱导公式，结合余弦的二倍角公式求值即可.
14．【答案】10
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，可得，即，，
令，可得，即，即，，
由于，与的图象只有一个交点，即只有1个解，故，
则，，，
由于，，故，即，，
故，，
因为在上单调递增，所以.
故答案为：10.
【分析】分别令，化简求得，，，易得，根据，与的图象只有一个交点，求得，求出，结合函数单调性得到，即可得的最小值.
15．【答案】解：（1）
；
（2），
.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用诱导公式，结合特殊角三角函数值，以及指数，对数运算法则化简求值即可；
（2）利用同角三角函数关系，化弦为切，代值求值即可.
16．【答案】（1）解：因为幂函数在上单调递减，
所以，解得，则，
，
当时，，
根据对勾函数的单调性，可得函数在的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）解：由（1）可知，
①当时，因为函数、在上均为减函数，
则函数在上单调递减，则，解得（舍去）；
②当时，函数在上单调递减，
此时，不符合题意；
③当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
若，即当时，函数在上单调递增，则，符合题意，
若，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
此时，解得（舍去），
当时，即当时，函数在上单调递减，
此时，解得（舍去）．
综上所述，．
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；幂函数的图象与性质；对勾函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据函数为幂函数且单调性递减，列不等式组求得m的值，即可得函数的解析式和函数的解析式，将代入，利用对勾函数的单调性求函数在的单调区间即可；
（2）由（1）可知，分、和讨论，分析函数在区间上的单调性，结合求实数的值即可.
（1）因为幂函数在上单调递减，
所以，解得，故，
所以，
当时，，根据对勾函数的单调性，
所以函数在的单调递减区间为，单调递增区间为．
（2）由（1）可知，
①当时，因为函数、在上均为减函数，
则函数在上单调递减，则，解得（舍去）；
②当时，函数在上单调递减，
此时，不符合题意；
③当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
若，即当时，函数在上单调递增，则，符合题意，
若，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
此时，解得（舍去），
当时，即当时，函数在上单调递减，
此时，解得（舍去）．
综上所述，．
17．【答案】（1）解：，
因为，所以，
所以当时，，
又因为在处函数图象是连续不断的，
所以，解得，
故；
（2）解：由（1）可得，当时，，
，
因为，所以，
当且仅当时，即时等号成立，此时，此时的最大值为；
当时，，
，
综上，当时，，此时“天穹”模型的标准化训练效率最高.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据函数的解析式，由，求得的值，再根据在处函数图象是连续不断，列式求出的值即可；
（2）由（1）可得，再分段求出的解析式，根据基本不等式的性质以及二次函数的性质分别求出不同的范围时的最大值，比较即可.
（1）因为，
又，所以.
所以当时，
又因为在处函数图象是连续不断的，
所以，解得.
所以.
（2）由（1）可得，
当时，，
此时.
因为，所以，
当且仅当时，即时等号成立，
此时，此时的最大值为；
当时，，
此时
，
综上，当时，，此时“天穹”模型的标准化训练效率最高.
18．【答案】（1）解：因为的图象与的图象关于直线对称，所以与互为反函数，
由，得，则；
（2）解：由（1）可知，
令，其中在上单调递增，
由同增异减可得：在上单调递增且对恒成立，
则且，解得，
故的取值范围为；
（3）解：在上恒成立，
由对数函数单调性可得且，
，只需，而单调递增，故只需，得，
不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
即，即在上恒成立，
当时不等式成立，则在上恒成立，即，
令，
而在上单调递增，，即，
综上所述，实数的取值范围为．
【知识点】函数单调性的性质；复合函数的单调性；函数的最大（小）值；函数恒成立问题；互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【分析】（1）由题意可得与互为反函数，根据指、对互化求的表达式即可；
（2）由（1）可知，令，根据复合函数的单调性可得，在上单调递增且对恒成立，从而得到且，据此求出的取值范围即可；
（3）根据对数函数有意义，结合的单调性性求得，再由函数单调性得到在上恒成立，分离参数可得在上恒成立，换元，根据函数单调性求出的最大值，即可的实数的取值范围．
（1）的图象与的图象关于直线对称
与互为反函数
由得，
（2）由（1）可知，
在上单调递增，
令，其中在上单调递增，
由同增异减可得，在上单调递增且对恒成立，
且，
，
故的取值范围为；
（3）在上恒成立，
由对数函数单调性可得且，
，只需，而单调递增，故只需，得，
不等式在上恒成立，
即在上恒成立，
，
在上恒成立，
当时不等式成立，
在上恒成立，，
令，
而在上单调递增，
，
综上所述，实数的取值范围为．
19．【答案】（1）解：，不是，的“友好函数”，
理由如下：取，
因为，所以不存在，使得，
所以，不是，的“友好函数”；
（2）解：由题意，对任意，存在唯一使成立，
即，所以函数的值域是函数值域的子集，
因为，，所以，其值域为，
而在上单调递增，故值域为，
从而，即，所以；
（3）解：当是的“友好函数”时，由题意，对任意的，存在唯一的，使成立，
即，则的值域是值域的子集，
当是的“友好函数”时，
由题意，对任意的，存在唯一的使成立，
即，则的值域是值域的子集，
所以的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应），
当是的“友好函数”时，因为，
若存在使得，则不存在，使得，
所以当时，，所以，
因为在上单调递减，所以，
①当时，，不符合要求；
②当时，，，
因为，所以，不符合要求；
③当时，，，
若，则在上单调递减，
从而在上单调递增，故，
从而时，，
因为的值域与值域相同，所以，
即，所以，又在上单调递增，
所以当时，的最大值为1，
若，则在上单调递减，在上单调递增，
此时值域与值域中的数值不可能一一对应，不符合要求，
综上：，的最大值为1.
【知识点】集合间关系的判断；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）取，根据“友好函数”的定义判断即可；
（2）由题意，对任意，存在唯一使成立，问题化为函数的值域是函数值域的子集，根据集合的包含关系列式求参数范围，确定最小值即可；
（3）由函数新定义及已知，的值域与值域相同，利用正弦型函数性质求的值域，再讨论参数k研究值域，即可得参数范围.
（1），不是，的“友好函数”，理由如下：
取，因为，所以不存在，使得，
所以，不是，的“友好函数”；
（2）由题意，对任意，存在唯一使成立，
即，所以函数的值域是函数值域的子集.
因为，，所以，其值域为，
而在上单调递增，故值域为，
从而，即，所以；
（3）当是的“友好函数”时，
由题意，对任意的，存在唯一的，使成立，
即，则的值域是值域的子集.
当是的“友好函数”时，
由题意，对任意的，存在唯一的使成立，
即，则的值域是值域的子集.
所以的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应）.
当是的“友好函数”时，因为，
若存在使得，则不存在，使得，
所以当时，，所以，
因为在上单调递减，所以，
①当时，，不符合要求；
②当时，，，
因为，所以，不符合要求；
③当时，，，
若，则在上单调递减，
从而在上单调递增，故，
从而时，，
因为的值域与值域相同，所以，
即，所以，又在上单调递增，
所以当时，的最大值为1.
若，则在上单调递减，在上单调递增，
此时值域与值域中的数值不可能一一对应，不符合要求.
综上：，的最大值为1.
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