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(共52张PPT)
第七章 7.2　任意角的三角函数 7.2.4　诱导公式
1.了解三角函数的诱导公式①②③④的意义与作用.
2.理解诱导公式①②③④的推导过程.
3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.
学习目标
在前面的学习中，我们知道能够利用任意角三角函数的定义求三角函数值，为了方便计算，需要将绝对值较大的三角函数值转化为0°～360°内的三角函数值，进而对于90°～360°角的三角函数值进一步转化到锐角范围内求解，这就是今天要学习的内容.
引入
课时精练
一、诱导公式①～④的探究
二、利用诱导公式求值
三、利用诱导公式化简
课堂达标
内容索引
诱导公式①～④的探究
一
探究1 根据任意角的三角函数的定义(三角函数线)，终边相同角的同名三角函数值有什么关系？
提示　终边相同的角的同一三角函数值相等.即sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos α，tan(α＋2kπ)＝tan α，其中k∈Z.
探究2 观察如图所示单位圆中，借助终边与单位圆的交点坐标，你能根据三角函数的定义探究角α与角π＋α的三角函数值之间的关系吗？
探究3 观察如图单位圆中角－α与角α的终边关于x轴对称，你能借助三角函数的定义探究出－α与α的同名三角函数值之间的关系吗？
所以sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α.
探究4 观察单位圆中，角π－α与角α的终边关于y轴对称，你能借助三角函数的定义探究出π－α与α的同名三角函数值之间的关系吗？
所以sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α.
1.公式①
sin(α＋k·2π)＝________ (k∈Z)，
cos(α＋k·2π)＝_______ (k∈Z)，
tan(α＋k·2π)＝_______ (k∈Z).
知识梳理
sin α
cos α
tan α
2.公式②
sin(－α)＝_________，
cos(－α)＝________，
tan(－α)＝_________.
3.公式③
sin(π－α)＝________，
cos(π－α)＝_________，
tan(π－α)＝_________.
－sin α
cos α
－tan α
sin α
－cos α
－tan α
4.公式④
sin(π＋α)＝_________，
cos(π＋α)＝－cos α，
tan(π＋α)＝tan α.
－sin α
5.角的旋转对称
一般地，角α的终边和角β的终边关于角_______的终边所在的直线对称.
温馨提示
利用诱导公式求值
二
(链接教材P28例1)求下列各三角函数式的值：
(1)sin 1 320°；
例1
角度1　给角求值
法一　sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)
＝sin 240°＝sin(180°＋60°)
法二　sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)
＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)
tan(－945°)＝－tan 945°
(3)tan(－945°).
＝－tan(225°＋2×360°)
＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)
＝－tan 45°＝－1.
角度2　给值求值
√
例2
因为α是第一象限角，所以sin α>0，
思维升华
1.给角求值的步骤
(1)“负化正”：用公式①或②来转化；
(2)“大化小”：用公式①将角转化为0°到360°间的角；
(3)“小化锐”：用公式③或④将大于90°的角转化为锐角；
(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.
2.给值求值的策略
观察已知角与所求角的和或差是否为特殊角，然后利用诱导公式解决.
训练1
0
∴α－75°为第三象限角，
利用诱导公式化简
三
(链接教材P31例5)化简下列各式：
例4
原式
思维升华
三角函数式化简的常用方法
(1)合理转化：①将角化成2kπ±α，π±α，k∈Z的形式.
②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.
(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.
训练2
√
1
【课堂达标】
√
故选D.
√
3.求值：tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°＋sin(－606°)＝________.
原式＝tan 10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin(－2×360°＋114°)
0
＝tan 10°－tan 10°＋sin 66°－sin(180°－66°)
＝sin 66°－sin 66°＝0.
－1
【课时精练】
√
√
cos(－330°)·tan(－120°)＝cos(－360°＋30°)tan(－180°＋60°)＝cos 30°·
√
3.如果α，β满足α＋β＝π，那么下列式子中正确的个数是
①sin α＝sin β；②sin α＝－sin β；③cos α＝－cos β；④cos α＝cos β；⑤tan α＝－tan β.
A.1 B.2 C.3 D.4
因为α＋β＝π，所以sin α＝sin(π－β)＝sin β，故①正确；②错误；
cos α＝cos(π－β)＝－cos β，故③正确，④错误；
tan α＝tan(π－β)＝－tan β，⑤正确.
√
√
∵tan(5π＋α)＝tan α＝m，
6.根据诱导公式，填入适当的式子，使等式成立：________________________＝－cos α.
cos(π－α)(答案不唯一)
(2)7cos 270°＋3sin 270°＋tan 765°；
原式＝7cos(180°＋90°)＋3sin(180°＋90°)＋tan(2×360°＋45°)
＝－7cos 90°－3sin 90°＋tan 45°＝－2.
从①一，②二，③三，④四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题：
(1)求cos α，tan α的值；
√
11.(多选)下列化简正确的是
√
12.(多选)在△ABC中，下列式子为常数的是
A.sin(A＋B)＋sin C B.cos(A＋B)＋cos C
C.sin(2A＋2B)＋sin 2C D.cos(2A＋2B)＋cos 2C
√
A项，sin(A＋B)＋sin C＝sin(π－C)＋sin C＝sin C＋sin C＝2sin C；
√
B项，cos(A＋B)＋cos C＝cos(π－C)＋cos C＝－cos C＋cos C＝0；
C项，sin(2A＋2B)＋sin 2C＝sin[2(A＋B)]＋sin 2C＝sin[2(π－C)]＋sin 2C＝sin(2π－2C)＋sin 2C＝－sin 2C＋sin 2C＝0；
D项，cos(2A＋2B)＋cos 2C＝cos[2(A＋B)]＋cos 2C＝cos[2(π－C)]＋cos 2C＝cos(2π－2C)＋cos 2C＝cos 2C＋cos 2C＝2cos 2C.
14.设函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2 025)＝－1，则f(2 026)的值为________.
∵f(2 025)＝asin(2 025π＋α)＋bcos(2 025π＋β)＝－1，
1
∴f(2 026)＝asin(2 026π＋α)＋bcos(2 026π＋β)
＝asin[π＋(2 025π＋α)]＋bcos[π＋(2 025π＋β)]
＝－[asin(2 025π＋α)＋bcos(2 025π＋β)]＝1.

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