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21.3.1 矩形 第2课时 同步练 2025-2026学年
下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．要判断一个四边形门框是否为矩形．在下面拟定的四个方案中，正确的方案是（ ）
A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量对角线是否互相垂直 D．测量其中三个角是否是直角
2．如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，四边形中，和是对角线，依据图中所标的角度及线段长度，下列四边形不一定为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（ ）
A． B． C． D．8
5．如图，在中，，，，点为斜边上一动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值为( )
A． B． C． D．
6．如图，在中，对角线、相交于点O，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．如图，在中，，，，则当______时，四边形是矩形．
8．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为 ___________．
9．如图，O为跷跷板AB的中点，支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，且OC＝40cm，则A端离地面的最大高度为______cm．
10．如图，在中，，，平分，过点A作，且，连接，则四边形的面积是_______．
11．如图，点D，E，F分别是的中点，，，，则的长为______．
12．如图，在矩形纸片中，，，将纸片折叠，使点落在边上的点处，，折痕与分别交、于点、，则线段的长是_________．
13．矩形中，点在对角线上，过作的平行线交于，交于，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是______．
三、解答题
14．如图，，过点作，垂足为，在边上，，．求证：．
15．如图，在中，，点为内一点，连接，，，，，分别是，，，的中点，，，求：四边形的面积．

16．如图，在四边形中，对角线与相交于点，点是、的中点，点在四边形外，连接，且，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求矩形的面积
17．如图，矩形中，点E，F分别在，上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接，若，，，求的长．
18．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，交的延长线于点，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，求四边形的面积．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D C D A A A
1．D
【分析】本题主要考查了矩形的判定，解题的关键是熟记矩形的判定定理，并会灵活运用．
根据矩形的判定定理判断即可．
【详解】解：选项A：对角线互相平分得到该四边形是平行四边形，不一定是矩形，故A错误，不符合题意；
选项B：两组对边分别相等得到该四边形是平行四边形，不一定是矩形，故B错误，不符合题意；
选项C：对角线是否互相垂直不能判定四边形为矩形，故C错误，不符合题意；
选项D：根据四边形内角和定理，三个角是直角，则另一个角也是直角，即四个角均为直角，可判定四边形为矩形，故D正确，符合题意；
故选D．
2．C
【分析】本题主要考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．根据题意，四边形是平行四边形，利用矩形的判定定理，即可求解．
【详解】四边形是平行四边形，，
四边形ABCD是菱形，故A不符合题意；
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形ABCD是菱形，故B不符合题意；
四边形是平行四边形，，
四边形ABCD是矩形，故C符合题意；
四边形是平行四边形，
，故D不符合题意；
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．根据矩形的判定方法逐项判断即可．
【详解】解：A、，，
四边形是平行四边形，
，，，，
即，
，
四边形是矩形；
故A选项不符合题意；
B、观察图形可知，四边形的对角线互相平分且相等，
四边形是矩形；
故B选项不符合题意；
C、观察图形可知，，
四边形是矩形；
故C选项不符合题意；
D、观察图形可知，，故不能判定四边形是矩形，
故D选项符合题意．
故选：D．
4．A
【分析】连接，证明四边形是矩形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，进而证明是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，得到，根据等边对等角的性质，得出，进而推出，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，连接，
，点F是的中点，
，
，，
四边形是矩形，
，
E是的中点，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
,
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的斜边中线，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．
5．A
【分析】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．先根据勾股定理可得，连接，根据矩形的判定与性质可得，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值，然后利用三角形的面积公式求解即可得．
【详解】解：，，，
，
如图，连接，
，
四边形是矩形，
，
由垂线段最短可知，当时，取得最小值，
此时，
，
即线段的最小值为，
故选：A．
6．A
【分析】根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，代入求出即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，能根据矩形的性质求出的度数是解此题的关键．
7．
【分析】本题考查矩形的判定，根据有一个角为90度的平行四边形是矩形，进行判断即可．
【详解】解：当时，四边形是矩形，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
故答案为：45．
8．
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定以及性质，由平行四边形的性质得出，，得出，即可证明四边形是矩形，根据矩形的性质得出，进一步即可求出．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
9．
【分析】本题考查了矩形的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关概念是解题关键．
过点A作，过点O作，结合条件可证四边形是矩形，再利用条件证明，即可求出．
【详解】当跷跷板的一端着地时，A端离地面的高度最大，
如图，过点A作，过点O作，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵点O是跷跷板的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴A离地面的高度是，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的性质与判定，证出四边形是矩形是解题的关键．
根据等腰三角形三线合一的性质得到，，利用勾股定理求出，再证明四边形是矩形，利用矩形的面积公式即可求解．
【详解】解：∵，平分，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是矩形，
∴矩形的面积．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了三角形的中位线，矩形的判定及性质，勾股定理；由三角形的中位线得，，，由矩形的判定方法得边形是矩形，由勾股定理得，即可求解；掌握三角形的中位线，矩形的判定及性质，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键．
【详解】解：点D，E，F分别是的中点，
，，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
；
故答案：．
12．
【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，过作于，根据矩形的性质得到，推出四边形是矩形，得到，，根据折叠的性质得到，设，则，根据勾股定理列方程即可得到答案，正确的作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：过作于，如图：
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，，
将纸片折叠，使点与点重合，折痕交于点，
，
设，则，
，
在中，，
，
解得：，
，
故答案为：．
13．8
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积，解题的关键是证明．
根据矩形的性质和三角形面积关系可证明，即可求解．
【详解】解：过M作于P，交于Q，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵过作的平行线交于，交于，
∴，，
∴，，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
∴，，，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：8．
14．见解析
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
先证明四边形是矩形得，进而可依据“”判定和全等，再根据全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】证明：，
∴，
又，
四边形是矩形，
，
，
，
在和中，
，
，
．
15．
【分析】根据中位线的性质得出四边形是平行四边形，根据，得出是矩形，根据矩形的性质即可求解．
【详解】解：，点是，的中点
，
同理，，
，
四边形是平行四边形，
，
是矩形
【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，三角形中位线的性质，熟练掌握三角形中位线的性质，矩形的性质与判定是解题的关键．
16．(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查了矩形的性质和判定、等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
（1）首先根据为和的中点，得出四边形是平行四边形，在中，结合，得到，可证出结论．
（2）根据矩形性质求出，求出，根据直角三角形的性质求出即可．
【详解】（1）证明：∵是、的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵，
∴，
又 ∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
，
∵四边形是矩形，
，
，
，
．
17．(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质和判定，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）由矩形性质可知，，因为，可证，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可证明；
（2）过点作，垂足为，则，可证四边形是矩形，则，，再利用勾股定理即可求出长．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：过点作，垂足为，
，，
，
，
四边形是矩形，，
，
四边形是矩形，
，，
，
∵，
．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握对角线相等的平行四边形是矩形，以及所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质得到，结合已知即可证明；
（2）先利用四边形是平行四边形，得到，进而得到，证得矩形，有，且，利用的直角三角形求出，，再利用面积公式进行求解．
【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
，即，
，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）得四边形是平行四边形，则，
，
，
∵四边形为平行四边形，
∴平行四边形是矩形，
，
，且，
，
，
在中，由勾股定理得，
．
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