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21.3.3 正方形 第3课时 同步练 2025-2026学年
下学期初中数学人教版（2024）八年级下册
一、单选题
1．已知一个四边形的对角线互相垂直，那么顺次连接这个四边形的四边中点所得的四边形是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．正方形
2．如图，已知长方形中，，那么阴影部分面积是长方形面积的（ ）
A． B． C．
3．如图，在矩形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动，点在边上，且当运动了一秒后才以每秒的速度从点出发，在间往返运动，当点到达点时停止（同时点也停止），在这段时间内，动点、能与点、点形成平行四边形的次数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，在边长为6的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为（ ）
A． B．6 C．3 D．
5．如图，在菱形中，于E．若，且，则菱形的周长为（ ）

A．12 B．8 C．4 D．2
6．如图，在矩形中，，，点E为中点，P、Q为边上两个动点，且，当四边形周长最小时，的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
7．如图，已知正方形的边长为，点是边的中点，点是对角线上的动点，则的最小值是_______．

8．如图，把边长为的正方形纸片分割成如图的三块，其中点为正方形的中心，为的中点，用这三块纸片拼成与该正方形不全等且面积相等的四边形（要求这三块纸片不重叠无缝隙），若四边形为矩形，则四边形的周长是___________．
9．如图，在边长为2的等边中，是上一动点，连接，以、为邻边作平行四边形，则对角线的最小值为__________．
10．如图，在四边形中，，点E，F，G，H分别为边的中点，连接，相交于点O，则的值为___________．
11．如图，在正方形中，点E为延长线上的一点，取的中点M，连接和．若，则的最大值为_________．
三、解答题
12．如图，点O是边长为2的正方形的对称中心，过点O作，分别交正方形边于M、N、G、H，则当绕点O旋转时，图中的阴影部分是否关于O点成中心对称？这两部分的面积是否改变？请说明理由．
13．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，连接PE，PB．
(1)在AC上找一点P，使△BPE的周长最小（作图说明）；
(2)求出△BPE周长的最小值．
14．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发沿边以的速度向点移动；同时，点从点出发沿边以的速度向点移动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为．

(1)_____，____；（用含的式子表示）
(2)当时，四边形是哪种特殊四边形？请说明理由；
(3)当时，四边形是哪种特殊四边形？请说明理由．
15．如图所示，分别是四边形各边中点，连接，则四边形为________形．在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性．
（1）当四边形满足________条件时，四边形是菱形．
（2）当四边形满足________条件时，四边形是矩形．
（3）当四边形满足________条件时，四边形是正方形．
16．如图，在矩形中，，，点O为对角线的中点，动点P从点A出发，沿向终点C运动．连结，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点E，顺次连结O、P、B、E四个点，组成四边形．
(1)______；
(2)求证：；
(3)当四边形的面积为20时，求出此时的长．
(4)在点P运动过程中，当四边形是菱形时，请直接写出此时的值．
17．如图，菱形的边长为，，点是边上任意一点(端点除外)，线段的垂直平分线交，分别于点，，，的中点分别为，．
(1)求证：；
(2)求的最小值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A C B A A C
1．A
【分析】本题主要考查特殊四边形的性质和判定，根据题意可知，；，，即可判定四边形是平行四边形，结合垂直即可判定为矩形．
【详解】解：如图，
四边形中，E、F、G、H分别是、、、的中点，
则，；，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴，，
∴边形是矩形．
故选A．
2．C
【分析】本题考查了三角形面积的计算，作出三角形的高，并表示出三角形与长方形的面积是解题的关键．过点作，垂足为，由图形可知，既是的高，也是的高，设，，根据三角形的面积公式可得，，接着可得，即可得出阴影部分占长方形面积的比例．
【详解】如图所示，过点作，垂足为，
设，，
则，
，
，，
，
，
，
，即阴影部分面积是长方形面积的．
故选：C．
3．B
【分析】根据矩形的性质和一组对边相互平行且相等的四边形为平行四边形，可知当时，四边形是平行四边形，设运动时间为秒，则，分别用表示出当点到达点之前和当点到达点之后再向点运动时，两种情况下的，列出方程，即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，，
∴，，
∴当时，四边形是平行四边形，
设点的运动时间为秒，则，
①当点第一次到达点之前，四边形是平行四边形，如图所示，
此时，
∴，
解得；
②当点第一次到达点之后再向点运动时，四边形是平行四边形，如图所示，
此时
∴，
解得；
③当点到达点时，，即时，点和停止运动，
此时运动的路程为，
∴点在第一次到达点之后再向点的运动过程中停止运动；
综上，当点的运动时间为2或时，动点、能与点、点形成平行四边形，
∴形成平行四边形的次数是2．
【点睛】借助图形的性质找出数量关系，建立方程解决问题，并运用分类讨论的思想方法．
4．A
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，点B关于AC的对称点是点D，连接ED，EF+BF最小值等于ED的长，然后解直角三角形即可求解．
【详解】解：如图，连接BD，
∵菱形ABCD中，∠DAB=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分，
∴点B、D关于AC对称，
如图，连接ED，则ED的长就是所求的EF+BF的最小值，
∵E为AB的中点，∠DAB=60°，
∴DE⊥AB，
∴ED=，
∴EF+BF的最小值为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质和解直角三角形，关键是判断出ED的长就是所求的EF+BF的最小值．
5．A
【分析】根据菱形的面积公式和题意可求出菱形的边长，进而可求出菱形的周长．
【详解】解：四边形是菱形，
，
，
，
，
，
菱形的周长为，
故选A．
【点睛】本题考查了菱形的性质及其面积和周长，熟练掌握这些知识是解题的关键．
6．C
【分析】四边形周长等于,其中为定值，即求最小值，，作F关于BC的对称点,当共线时最小，此时的P位置即为所求．
【详解】解：如图：四边形周长等于,
作使
则，
作F关于BC的对称点,连接，交于点
四边形周长=，其中为定值，
当共线时最小，即四边形周长最小
四边形是矩形，，
则
，

故选C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，将军饮马，线段和最小值问题，相似三角形的性质与判定，正确的作出辅助线，转化未知线段为已知线段的长是解题的关键．
7．
【分析】动点问题,找到对称轴作对称点,相连即可算出答案,连接CE即为AP+PE的最小值．
【详解】
连接CE,
因为A、C关于BD对称．
CE即为AP+PE的最小值．
∵正方形边长为4,E是AB中点,
∴BC=4,BE=2．
故答案为: .
【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．
8．
【分析】根据四边形为矩形及为的中点即可得到，再利用正方形的性质得到即可解答．
【详解】解：如图所示，
∵四边形是正方形，，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴四边形的周长是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形的剪拼，全等图形，掌握图形的剪拼是解题的关键．
9．
【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当时，线段取最小值．
【详解】解：如图，与相交于点，
在中，，
四边形是平行四边形，
，．
当取最小值时，线段最短，此时．
点是的中点，
，
，，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，以及垂线段最短．解答该题时，利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质．
10．
【分析】本题考查三角形中位线定理，菱形的性质，解题的关键是作出辅助线证明四边形是菱形．
连接，，，，根据中位线定理得到，即可得到四边形是菱形，结合菱形对角线互相垂直及勾股定理即可得到答案．
【详解】解：连接，，，，如图所示，设与的交点为O，
E，F，G，H分别是，，，的中点，
∴，．
又∵，
∴．
∴四边形是菱形．
∴．
∴的值为．
故答案为：．
11．/
【分析】本题考查正方形的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．在的右侧构造等腰直角三角形，连接，证明，求出，再根据可得结论．
【详解】解：如图，在的右侧构造等腰直角三角形，连接，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
的最大值为；
故答案为：．
12．图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变．理由见解析
【分析】连接AC，根据点O是边长为2的正方形ABCD的对称中心，得到AC过点O，推出△AOG≌△CON，得到OG=OC，同理△AOH≌△COM，得到OH=OM，于是得到图中的阴影部分是否关于O点为中心对称，两部分的面积不改变．
【详解】解：图中阴影部分关于O点成中心对称，两部分的面积不改变．
理由：如图，连接，
∵点O是边长为2的正方形的对称中心，
∴过点O，
∴，
在和中，
∴，，
同理可证，
∴，
∴图中的阴影部分关于O点成中心对称，连接，
∵点O是正方形的对称中心，
∴，，．
∵垂直，
∴，
∴，即，
∴，
∴的面积的面积，
∴四边形的面积的面积正方形的面积．
同理四边形的面积正方形的面积．
∴两部分的面积不改变．
【点睛】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，能证得三角形全等是解题的关键．
13．(1)见解析
(2)12
【分析】（1）连接DE，交AC于点P′，连接BP′，当点P在点P′处时，△BPE的周长最小．理由：证明△AB P′≌△AD P′，即可求解；
（2）根据（1）可得P′B＋P′E＝DE．再由AE＝3BE，可得AE＝6．从而得到AD＝AB＝8．再由勾股定理，即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接DE，交AC于点P′，连接BP′，当点P在点P′处时，△BPE的周长最小．
理由：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAC=∠DAC，
∵AP′=AP′，
∴△ABP′≌△ADP′，
∴BP′=DP′，
∴BP+PE= DP′+ P′E≥DE，
即当点P位于PP′时，△BPE的周长PB+EP+BE最小；
（2）解：由（1）得：B P′=DP′，
∴P′B＋P′E＝DE．
∵BE＝2，AE＝3BE，
∴AE＝6．
∴AD＝AB＝8．
∴DE＝＝10．
∴PB＋PE的最小值是10．
∴△BPE周长的最小值为10＋BE＝10＋2＝12．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，最短距离，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
14．(1)；
(2)四边形为矩形．理由见解析
(3)四边形为菱形．理由见解析
【分析】（1）根据点从点出发沿边以的速度向点移动；同时，点从点出发沿边以的速度向点移动，表示和的长；
（2）当时，可得，根据，可判定四边形是平行四边形，再根据，即可得证；
（3）当时，可得，根据，可判定四边形是平行四边形，进一步说明，即可得证．
【详解】（1）解：∵点从点出发沿边以的速度向点移动；同时，点从点出发沿边以的速度向点移动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，
∴，，
∵，，，
∴，，
故答案为：；；
（2）四边形PBCQ为矩形．
理由如下：
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形；
（3）四边形APQD为菱形．
理由如下：
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定等，根据点的运动表示出和的长度是解题的关键．
15．平行四边形，见解析；（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）且，理由见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，中位线定理，掌握相关知识点是解题的关键．
连接，可以根据分别是四边形各边中点，得到线段分别为的中位线，由中位线定理可以证明四边形为平行四边形；再根据菱形，矩形和正方形的判定条件，添加对应的条件即可得到答案．
【详解】解：四边形为平行四边形，
理由，连接，
分别是四边形各边中点，
线段分别为的中位线，
，，，，
，，
四边形为平行四边形，
故答案为：平行四边形；
（1），
理由，如图①四边形的对角线，
四边形为平行四边形，且，，
，
平行四边形为菱形，
故答案为：；
（2），
理由，如图②四边形的对角线互相垂直，
分别是四边形各边中点，
线段分别为的中位线，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
四边形为矩形，
故答案为：；
（3）且，
理由，如图③四边形的对角线相等且互相垂直，
根据，由（2）可知，
根据，由（1）可知平行四边形为菱形，
四边形为正方形，
故答案为：且．
16．(1)5
(2)证明见解析
(3)或
(4)或
【分析】（1）根据矩形的性质以及勾股定理即可求解；
（2）根据题意可得垂直平分，从而得到，即可求证；
（3）分两种情况：点P在边上或点P在边上，结合勾股定理以及等腰三角形的性质解答即可；
（4）设，点P在边上或点P在边上，结合勾股定理以及菱形的性质解答即可．
【详解】（1）解：在矩形中，，
∴，，
∴，
∵点O为对角线的中点，
∴，
故答案为：5
（2）证明：∵点P关于的对称点为点E，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵，
∴
∵四边形的面积为20，
∴，
∵点O为对角线的中点，
∴，，
当点P在边上时，过点O作，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
当点P在边上时，过点O作于点G，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的长为或；
（4）解：设，
如图，当点P在边上时，设交于点N，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
由（2）得：，，
在中，，
∴，
解得：，
即；
当点P在边上时，延长交于点M，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
由（2）得：，，
在中，，
∴，
解得：，
即；
综上所述，的值为或．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据FG垂直平分CE和菱形的对称性即可得到，，从而求证结论；
（2）利用M和N分别是AE和EF的中点，点G为CE的中点，即可得到，当点F与菱形ABCD对角线交点O重合时，最小，此时最小，结合已知推断为等边三角形，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
垂直平分，
，
四边形为菱形，
和关于对角线对称，
，
；
（2）解：连接，
和分别是和的中点，点为中点，
，即
当点与菱形对角线交点重合时，最小，
即此时最小，
菱形边长为，，
为等边三角形，，
即的最小值为．
【点睛】本题考查了菱形的性质，中位线的性质、等边三角形性质的知识，关键在于熟悉各个知识点在本题的灵活运用．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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