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湘教·八年级下册
4.6 总体的平均数与方差的估计
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我们知道，当研究某个对象时，如果能得到它的全部数据（可以看作是总体），就可以直接利用平均数刻画总体的平均水平，利用方差刻画它的离散程度，此时得到的平均数、方差分别称为总体平均数、总体方差.
在实际问题中，如果总体的数据个数非常多或者不能全部得到，那么我们该如何刻画总体的平均水平和离散程度呢？
探究新知
有人提出：用简单随机抽样方法抽取一个样本，计算样本的平均数和方差，然后分别用样本的平均数、方差估计总体的平均数、方差，这种做法合理吗？
合理. 简单随机抽样方法能使得每次抽取时，总体中每个个体都有同等的机会被取到，并且在整个抽样过程中，前面取到的个体不影响后面的个体被取到的机会.
当样本的容量足够大时，可以用简单随机样本的平均数作为总体平均数的一个估计值，用简单随机样本的方差作为总体方差的一个估计值.
根据样本数据计算得到的平均数叫作样本平均数；得到的方差叫作样本方差.
例 某工厂有甲、乙两个车间，准备生产一批某种型号的机械零件，为确保质量，先进行试生产，于是需要了解甲车间试生产的这批零件的质量的平均数和离散程度. 把这批零件的质量作为总体，用简单随机抽样方法从总体中抽取100个零件，测量它们的质量，整理后得到下表：
质量/g 238 241 244 247 250 253 256 259 262 265
零件个数 1 5 9 19 24 22 11 6 1 2
（1）求甲车间试生产的这批零件的质量的平均数的一个估计值；（2）求甲车间试生产的这批零件的质量的方差的一个估计值.
质量/g 238 241 244 247 250 253 256 259 262 265
零件个数 1 5 9 19 24 22 11 6 1 2
解 用简单随机抽样方法从总体中抽取的100个零件的质量是一个样本，将这个样本的平均数记作 ，方差记作 .
（1）
（2）
于是甲车间试生产的这批零件的质量的平均数的一个估量值是 250.6 g.
于是甲车间试生产的这批零件的质量的方差的一个估量值是 26.82.
在上例中，如果从该工厂乙车间试生产的零件中用简单随机抽样方法抽取100个零件，测量它们的质量，整理后得到下表：
质量/g 236 240 242 245 250 252 254 256 260 268
零件个数 2 7 8 16 23 21 12 7 3 1
比较甲车间与乙车间试生产的零件质量，哪个车间生产的零件质量更稳定？
解 用简单随机抽样方法从总体中抽取的100个零件的质量是一个样本，将这个样本的平均数记作 ，方差记作 .
于是乙车间试生产的零件质量的平均数的一个估计值是 249.38 g，方差的一个估量值是 31.1756.
质量/g 236 240 242 245 250 252 254 256 260 268
零件个数 2 7 8 16 23 21 12 7 3 1
由上例可知，甲车间试生产的零件质量的平均数的一个估计值是 250.6 g，方差的一个估计值是 26.82.
质量/g 236 240 242 245 250 252 254 256 260 268
零件个数 2 7 8 16 23 21 12 7 3 1
于是乙车间试生产的零件质量的平均数的一个估计值是 249.38 g，方差的一个估量值是 31.1756.
由于 26.82＜31.1756，因此甲车间试生产的零件质量更稳定.
随堂练习
1.在中小学全面落实“双减”政策后，某校想了解全校学生的睡眠情况，随机调查了几位学生某天的睡眠时间（单位：h）为8，9，7，9，7，8，8，则由此估计该校学生当天的平均睡眠时间为（ ）
A. 7 h B. 7.5 h C. 8 h D. 9 h
C
2.从总体中抽取一个样本，计算出样本方差为 1，可以估计总体方差（ ）
A. 一定大于 1 B. 约等于 1
C. 一定小于 1 D. 与样本方差无关
B
3.甲、乙、丙 3 名射击运动员分别进行了 5 次射击训练，成绩（单位：环）如表所示：
则 3 名运动员中成绩最稳定的是（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法确定
A
4. 某工厂准备购买一批某种型号的钉子，从甲公司生产的钉子中用简单随机抽样方法抽取50枚钉子，测量它们的长度，整理后得到下表：
【选自教材P169 练习】
长度/cm 2.10 2.12 2.14 2.15 2.16 2.18 2.20 2.28
钉子个数 2 5 7 10 12 8 4 2
从乙公司生产的钉子中用简单随机抽样方法抽取50枚钉子，测量它们的长度，整理后得到下表：
长度/cm 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.19 2.21
钉子个数 2 4 6 12 13 7 4 2
（1）求甲公司生产的钉子长度的平均数和方差的估计值；
（2）求乙公司生产的钉子长度的平均数和方差的估计值；
（3）比较甲、乙公司生产的钉子长度，哪家公司生产的钉子长度更稳定？
解：（1）甲公司生产的钉子长度的平均数的估计值：
甲公司生产的钉子长度的方差的估计值：
长度/cm 2.10 2.12 2.14 2.15 2.16 2.18 2.20 2.28
钉子个数 2 5 7 10 12 8 4 2
长度/cm 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.19 2.21
钉子个数 2 4 6 12 13 7 4 2
解：（2）乙公司生产的钉子长度的平均数的估计值：
乙公司生产的钉子长度的方差的估计值：
则 0.001148＞0.000385，即
所以乙公司生产的钉子长度更稳定.
解：（3）因为 ，
长度/cm 2.10 2.12 2.14 2.15 2.16 2.18 2.20 2.28
钉子个数 2 5 7 10 12 8 4 2
长度/cm 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.19 2.21
钉子个数 2 4 6 12 13 7 4 2
课堂小结
当样本的容量足够大时，可以用简单随机样本的平均数作为总体平均数的一个估计值，用简单随机样本的方差作为总体方差的一个估计值.
根据样本数据计算得到的平均数叫作样本平均数；得到的方差叫作样本方差.
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业

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