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湘教版·八年级数学下册
4.3 数据分类
知识回顾
1. 什么是离差平方和与方差？
离差平方和：
方差：
各个数据与它们平均数之差的平方的平均数.
2. 离差平方和、方差的计算公式是什么？
s2 = [ ( x1- x )2 + ( x2 - x )2 + … + ( xn - x )2 ]
1
n
3. 一组数据的离差平方和或方差与这组数据的波动有怎样的关系？
一般而言，一组数据的离差平方和或方差越小，这组数据就越稳定.
各个数据与它们平均数之差的平方和.
探索新知
某田径队 10 名运动员跳远的最好成绩如下：
一种划分的方法是，使得每一组的数据比较稳定，即每一组数据的组内差异小，组间差异大.
编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
成绩/m 5.85 6.13 6.11 6.01 5.91 6.19 5.81 5.84 6.22 5.98
教练组拟根据这组数据将队员分为两组进行分层训练，应当如何划分呢？
一般地，设一组数据为x1， x2，…， xn，它的平均数为，离差平方和为 S2.如果把这组数据分为两组，前m个数据为第一组，后（n－m）个数据为第二组，第一组的平均数记作1，第二组的平均数记作2，令
称为组内离差平方和，反映了两个组内数据的离散程度.
称为组间离差平方和，反映了两组数据之间的差异程度.
将上述10名运动员跳远的最好成绩的数据从小到大排列，得
5.81，5.84，5.85，5.91，5.98，6.01，6.11，6.13，6.19，6.22.
观察上述数据，前 5 个数据相差不多，后 5 个数据也相差不多，于是可以尝试把前 5 个数据作为第一组，后 5 个数据作为第二组，且将第一组数据的平均数记作 1 ，第二组数据的平均数记作 2，将这 10 个数据的平均数记作 .
编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
成绩/m 5.85 6.13 6.11 6.01 5.91 6.19 5.81 5.84 6.22 5.98
5.81，5.84，5.85，5.91，5.98，6.01，6.11，6.13，6.19，6.22
组内离差平方和 为：
组间离差平方和 为：
这 10 个数据的离差平方和 为：
在大数据分析中，数据的分组是重要的方法之一，虽然可以有多种方法对数据进行分组，但是，使得“组内离差平方和最小”的方法是最传统的，也是非常合理的.
上述分组符合“组内离差平方和最小”的原则吗？
按照组内离差平方和最小的原则，应保证跳远最好成绩相差不多的运动员在一个组. 将从小到大排列后的10个数据依次分为两组，有下面9种情况：
第一组1个数据，第二组9个数据；
第一组2个数据，第二组8个数据；
…；
第一组9个数据，第二组1个数据.
对上面的分组，可以利用计算机设计算法、编写程序，然后依次计算组内离差平方和（前面已经计算出第一组、第二组各5个数据的组内离差平方和），得到下表（结果保留四位小数）：
分组情况 组内离差平方和
第一组1个，第二组9个 0.163 78
第一组2个，第二组8个 0.125 1
第一组3个，第二组7个 0.079 8
第一组4个，第二组6个 0.051 0
第一组5个，第二组5个 0.044 8
第一组6个，第二组4个 0.040 7
第一组7个，第二组3个 0.074 8
第一组8个，第二组2个 0.106 1
第一组9个，第二组1个 0.154 7
0.040 7
将编号为①④⑤⑦⑧⑩的运动员分为一组，其他运动员为另一组进行分层训练.
1.下面是我国 9 个城市 2024 年 4 月份的平均相对湿度（单位：%）：53，56，61，62，58，58，66，70，65.
将这些平均相对湿度数据分成两组：
第一组，53，56，58，58；第二组，61，62，65，66，70.
试计算上述分组情况下的组内离差平方和.
巩固练习
【选自教材P146 练习】
解：
第一组的平均数：
第二组的平均数：
组内离差平方和：
1.下面是我国 9 个城市 2024 年 4 月份的平均相对湿度（单位：%）：53，56，61，62，58，58，66，70，65.
将这些平均相对湿度数据分成两组：
第一组，53，56，58，58；第二组，61，62，65，66，70.
试计算上述分组情况下的组内离差平方和.
【选自教材P146 练习】
2.下面是某工厂 8 台机器去年的月平均维修时长（单位：h）：
10，12，14，16，18，20，22，24.
将这些维修时长分成两组：
第一组，10，12，14，16；第二组，18，20，22，24.
试计算上述分组情况下的组内离差平方和与组间离差平方和.
第一组，10，12，14，16；第二组，18，20，22，24.
解：
第一组的平均数：
第二组的平均数：
8个数据的平均数：
组内离差平方和：
组间离差平方和：
3.某校举办了诗词竞赛，满分 10 分，以下是 10 名选手的得分：7，6，7，8，9，6，8，8，8，10.请你按照“组内离差平方和最小”的原则，把这10名选手按得分分成两组.
解：将 10 个数据由小到大排序：6，6，7，7，8，8，8，8，9，10.把 10 个数据分成两组，共有 9 种情况. 分别计算 9 种分组情况的组内离差平方和，结果如下（结果保留三位小数）：
分组情况 组内离差平方和
第一组1个，第二组9个 10.889
第一组2个，第二组8个 6.875
第一组3个，第二组7个 6.095
第一组4个，第二组6个 4.500
第一组5个，第二组5个 6.000
第一组6个，第二组4个 6.750
第一组7个，第二组3个 6.857
第一组8个，第二组2个 6.000
第一组9个，第二组1个 8.222
计算结果表明，第 4 种情况的组内离差平方和最小. 因此，把这 10 名选手按得分分成的两组是第一组：6，6，7，7；第二组：8，8，8，8，9，10.
设一组数据为x1， x2，…， xn，它的平均数为，离差平方和为 S2. 把这组数据分为两组，前m个数据为第一组，后（n－m）个数据为第二组，第一组的平均数记作1，第二组的平均数记作2，则
称为组内离差平方和，反映了两个组内数据的离散程度.
称为组间离差平方和，反映了两组数据之间的差异程度.
课堂小结
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业

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