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湘教版·八年级数学下册
4.4 四分位数与箱线图
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一组数据中的中位数是什么？它反映了这组数据的什么情况？
把一组数据按从小到大的顺序排列，那么位于中间位置的数（如果数据的个数是奇数），或者中间位置两个数的平均数（如果数据的个数是偶数），称为这组数据的中位数.
中位数是一个能反映一组数据集中趋势的统计量.
探索新知
北京市 2016—2024 年全年空气质量优良天数从小到大排列如下：
198，226，227，240，271，276，286，288，290
这组数据的中位数是多少？小于或等于中位数的数据个数与这组数据个数的比值、大于或等于中位数的数据个数与这组数据个数的比值是否都大于50%
比值都大于50%
271
一般地，设一组数据的个数为n，把这组数据从小到大排列：
（1）小于或等于中位数的数据个数与n的比值大于或等于50%，大于或等于中位数的数据个数与n的比值大于或等于50%，于是把中位数叫作第50百分位数，记作m50.由于50%=，因此m50也叫作第二四分位数.
（2）如果有一个数满足“小于或等于这个数的数据个数与n的比值大于或等于25%，大于或等于这个数的数据个数与n的比值大于或等于70%，那么称这个数是第25百分位数，记作m25.由于25%=，因此m25也叫作第一四分位数.
一般地，设一组数据的个数为n，把这组数据从小到大排列：
（3）如果有一个数满足“小于或等于这个数的数据个数与n的比值大于或等于75%，大于或等于这个数的数据个数与n的比值大于或等于25%，那么称这个数是第75百分位数，记作m75.由于75%=，因此m75也叫作第三四分位数.
第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数这三个数把一组数据分为四个部分，因此称为四分位数.
一组数据的个数为n，把这组数据从小到大排列，如何快速确定m50也就是中位数的值呢？
若n等于整数，则m50为第n个数与第n+1个数的平均数；
若n不是整数，用z表示比n大的最小整数，则m50为第z个数.
那又如何快速确定m25和m75的值呢？
可以证明：若n等于整数k，则m25为第k个数与第（k+1）个数的平均数；若n不是整数，用l表示比n大的最小整数，则m25为第l个数.
类似地，若n等于整数r，则m75为第r个数与第（r+1）个数的平均数；若n不是整数，用s表示比n大的最小整数，则m75为第s个数.
一组数据的个数为n，把这组数据从小到大排列，如何快速确定m25和m75的值呢？
北京市 2016—2024 年全年空气质量优良天数的第二四分位数是271；由于×9=2.25，因此第3个数227是第一四分位数；由于×9=6.75，因此第7个数286是第三四分位数.
北京市 2016—2024 年全年空气质量优良天数从小到大排列如下：
198，226，227，240，271，276，286，288，290
这组数据的第一四分位数和三四分位数分别是多少？
例1 一组男生的身高（单位：cm）数据为
165，154，175，172，168，150，178，182，161，1.80.
求这组数据的第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数.
解 把这组数据从小到大排列：
150，154，161，165，168，172，175，178，180，183.
这组数据的中位数是×(168+172)=170，即第二四分位数是170.
因为×10=2.5，所以第3个数161是第一四分位数.
因为×10=7.5，所以第8个数178是第三四分位数.
例2 一组数据为：
3.62，4.13，2.60，3.95，4.90，2.75，
3.64，4.70，6.58，3.86，4.78，5.47.
求这组数据的四分位数.
解 把这组数据从小到大排列：
2.60，2.75，3.62，3.64，3.86，3.95，4.13，4.70，4.78，4.90，5.47，6.58.
这组数据的中位数是=4.04，即第二四分位数是4.04.
因为×12=3，所以第3个数与第4个数的平均数=3.63
是第一四分位数.
因为×12=9，所以第9个数与第10个数的平均数=4.84
是第三四分位数.
针对训练
求下列各组数据的第25百分位数、第50百分位数、第75百分位数：（1）49，55，65，52，44，62，57，56，58；
【选自教材P151 练习】
解：（1）把这组数据从小到大排列：
44，49，52，55，56，57，58，62，65.
这组数据的中位数是56，即第50百分位数是56.
因为×9=2.25，所以第3个数52是第25百分位数.
因为×9=6.75，所以第7个数58是第75百分位数.
针对训练
求下列各组数据的第25百分位数、第50百分位数、第75百分位数：（2）12.3，11.5，11.8， 13.2，11.0，12.2，12.5，10.2；
【选自教材P151 练习】
解：（2）把这组数据从小到大排列：
10.2，11.0，11.5，11.8，12.2，12.3，12.5，13.2.
这组数据的中位数是=12，即第50百分位数是12.
因为×8=2，所以第2个数与第3个数的平均数=11.25
是第25百分位数.
因为×8=6，所以第6个数与第7个数的平均数=12.4
是第75百分位数.
针对训练
求下列各组数据的第25百分位数、第50百分位数、第75百分位数：（3）423，430，415，427，420，432，421，428，422，425，402.
【选自教材P151 练习】
解：（3）把这组数据从小到大排列：
402，415，420，421，422，423，425，427，428，430，432.
这组数据的中位数是423，即第50百分位数是423.
因为×11=2.75，所以第3个数420是第25百分位数.
因为×11=8.25，所以第9个数428是第75百分位数.
一组数据的第一四分位数和第三四分位数有什么用处呢？
北京市 2016—2024 年全年空气质量优良天数从小到大排列如下：
198，226，227，240，271，276，286，288，290
这组数据的第一四分位数是227，第三四分位数是286.
≤227
25%
≥286
25%
结论：对于一组数据，将小于或等于第一四分位数的数据个数与大于或等于第三四分位数的数据个数相加，所得和与这组数据的总个数的比值大于或等于50%，如图所示.
比值≥25%
比值≥25%
最小值
第一四分位数
第三四分位数
最大值
比值≥25%
比值≥25%
最小值
第一四分位数
第三四分位数
最大值
一组数据的第三四分位数减去第一四分位数的差可以用来刻画这组数据的分散程度，第三四分位数减去第一四分位数的差越大，这组数据就越分散.
例3 某工厂生产了一批某种型号的机械零件，从甲车间生产的零件中用简单随机抽样方法抽取14个零件，测得它们的质量（单位：g）如下：
257，243，249，245，253，248，256，
246，252，247，250，254，260，251.
从乙车间生产的零件中用简单随机抽样方法抽取14个零件，测得它们的质量（单位：g）如下：
249，253，241，251，243，250，246，
256，262，258，247，259，239，240.
甲车间和乙车间生产的14个零件的质量数据，哪一组比较分散？
解 将甲车间生产的14个零件的质量数据从小到大排列：
243，245，246，247，248，249，250，251，252，253，254，256，257，260.
因为×14=3.5，所以第4个数247是第一四分位数.
因为×14=10.5，所以第11个数254是第三四分位数.
于是甲车间生产的14个零件的质量数据的第三四分位数减去第一四分位数的差是254－247 =7.
将乙车间生产的14个零件的质量数据从小到大排列：
239，240，241，243，246，247，249，250，251，253，256，258，259，262.
因为×14=3.5，所以第4个数243是第一四分位数.
因为×14=10.5，所以第11个数256是第三四分位数.
于是乙车间生产的14个零件的质量数据的第三四分位数减去第一四分位数的差是256－243 =13.
又13>7，故乙车间生产的14个零件的质量数据比较分散.
上述例题中甲车间生产的14个零件的质量数据的中位数是250.5，乙车间生产的14个零件的质量数据的中位数是249.5，利用甲车间和乙车间生产的各14个零件的质量数据的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值，可绘制出下图.
240
244
248
252
256
260
264
零件的质量/g
甲车间
最小值
第一四分位数
中位数
第三四分位数
最大值
乙车间
最小值
第一四分位数
中位数
第三四分位数
最大值
240
244
248
252
256
260
264
零件的质量/g
甲车间
最小值
第一四分位数
中位数
第三四分位数
最大值
乙车间
最小值
第一四分位数
中位数
第三四分位数
最大值
观察下图，你能直接说出哪个车间生产的14个零件的质量数据比较分散吗？
乙车间生产的14个零件的质量数据比甲车间的质量数据分散.
像左图这样，由一组数据的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值这5个数绘制而成的图是这组数据的箱线图，它是由矩形“箱子”和从箱子延伸出的两条线段构成的图形，直观地表示了这组数据的分布状态.将上述5个数画在一条水平数轴上，也可以作出这组数据的箱线图.
针对训练
1. 从箱线图中一般不能直接读出一组数据的（ ）
A. 第75百分位数 B.中位数
C. 众数 D.最大值
C
2.小明家 2 月 17 日至 2 月 24 日每天的燃气用量（单位：m3）为
1.31，1.26，1.41，1.21，1.50，1.34，1.43，1.39；
3 月 1 日至 3 月 8 日每天的燃气用量为
1.25，1.33，1.00，1.45，1.69，1.36，1.24，1.35.
这两组数据中哪组数据比较分散？
【选自教材P153 练习】
解：将第一组数据按从小到大的顺序排列：
1.21，1.26，1.31，1.34，1.39，1.41，1.43，1.50.
因为×8=2，所以第2个数与第3个数的平均数=1.285是第一四分位数.
因为×8=6，所以第6个数与第7个数的平均数=1.42是第三四分位数.
1.42－1.285=0.135.
将第二组数据按从小到大的顺序排列：
1.00，1.24，1.25，1.33，1.35，1.36，1.45，1.69.
因为×8=2，所以第2个数与第3个数的平均数=1.245是第一四分位数.
因为×8=6，所以第6个数与第7个数的平均数=1.405是第三四分位数.
1.405－1.245=0.16.
又0.135<0.16，故3 月 1 日至 3 月 8 日每天的燃气用量比较分散.
巩固练习
1.某工厂随机抽取17名工人，对他们某天生产的产品件数进行统计，数据如表：
则该组数据的四分位数分别是（ ）
A. 8，9，10 B. 8，8，9.5
C. 8，9，9 D. 8，8，10
C
件数 7 8 9 10 11
人数 2 6 5 3 1
2.某班级组织18名同学测量花朵直径，其中甲组9名同学测量的花朵直径（单位：cm）如下：
3.12，3.15，3.10，3.13，3.11，3.14，3.16，3.12，3.13；
乙组9名同学测量的花朵直径（单位：cm）如下：
3.30，3.25，3.14，3.13，3.22，3.11，3.10，3.15，3.16.
这两组花朵的直径，哪组比较分散？
解：将第一组数据按从小到大的顺序排列：
3.10，3.11，3.12，3.12，3.13，3.13，3.14，3.15，3.16.
因为×9=2.25，所以第3个数3.12是第一四分位数.
因为×9=6.75，所以第7个数3.14是第三四分位数.
343.14－3.12=0.02.
将第二组数据按从小到大的顺序排列：
3.10，3.11，3.13，3.14，3.15，3.16，3.22，3.25，3.30.
因为×9=2.25，所以第3个数3.13是第一四分位数.
因为×9=6.75，所以第7个数3.22是第三四分位数.
3.22－3.13=0.09.
又0.02<0.09，故乙组同学测量的花朵直径数据比较分散.
3. A 班和 B 班某次测试成绩（单位：分）如下：
A 班：70，72，74，75，76，77，78，79，80，80，80，
81，82，83，84，85，86，87，88，89，90；
B 班：40，50，55，60，62，65，68，70，72，73，74，
74，75，76，78，80，82，84，85，88，90.
（1）填写下表，并在图中画出 B 班测试成绩的箱线图.
班级 最小值 m25 m50 m75 最大值
A 70 77 80 85 90
B 40 74 90
65
80
3. A 班和 B 班某次测试成绩（单位：分）如下：
A 班：70，72，74，75，76，77，78，79，80，80，80，
81，82，83，84，85，86，87，88，89，90；
B 班：40，50，55，60，62，65，68，70，72，73，74，
74，75，76，78，80，82，84，85，88，90.
（2）利用所学的统计知识对这两个班的成绩进行分析和评价.
解：①通过箱线图可知，A班中位数显著高于B班，说明A班整体成绩更优.② A班箱线图箱体长度短，说明A班成绩更集中.③两个班的最高分都是90分，但B班最低分为40分，明显低于A 班的70分，说明B班存在极端低分现象.
综上所述，A班成绩整体更高且更稳定，B班成绩比较分散且存在极端低分现象.
课堂小结
第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数这三个数把一组数据分为四个部分，因此称为四分位数.
240
244
248
252
256
260
264
零件的质量/g
甲车间
最小值
第一四分位数
中位数
第三四分位数
最大值
乙车间
最小值
第一四分位数
中位数
第三四分位数
最大值
像左图这样，由一组数据的最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值这5个数绘制而成的图是这组数据的箱线图，它直观地表示了这组数据的分布状态.
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业

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