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湖北省 2026 届高三十一校第二次联考 数学试题
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项 中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 已知 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知复数 满足: ,则 ( )
A. 1 B. C. D. 2
3. 是 为奇函数的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 若单位平面向量 夹角为 ,向量 ,向量 ,则下列命题为假命题的是 ( )
A. B.
C. D.
5. 已知变量 和变量 的一组成对样本数据为 ,其中 ,其回归直线方程为 ，当增加两个样本数据 和 后，重新得到的回归直线方程斜率为 3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据 所对应的残差为( )(残差=观察值一估计值)
A. 2 B. -2 C. -1 D. 1
6. 已知函数 ,当 时,把 的图象与直线 的所有交点的横坐标限依次记为 ,记它们的和为 ,则 ( )
A. B. C. D.
7. 已知点 为椭圆 上任意一点,直线 过 的圆心且与 交于 两点，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
8. 如图，在棱长为 1 的正方体 中， 为棱 的中点， 为正方体 表面上的一动点 (含边界),则下列说法中正确的是 ( )
A. 三棱锥 外接球的表面积为
B. 若 平面 ,则动点 的轨迹是一条线段
C. 若 平面 ,则动点 的轨迹的长度为
D. 若 ,则动点 的轨迹长度为
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知双曲线 的右焦点为 ,直线 是 的一条渐近线, 是 上一点,则( )
A. 的虚轴长为 B. 的离心率为
C. 的最小值为 2
D. 直线 的斜率不等于
10. 将函数 的图像向左平移 个单位得到函数 的图像,若 的图像与 的图像关于 轴对称,则下列说法正确的有( )
A.
B.
C. 的对称轴过 的对称中心
D. ,使得
11. 已知函数 有三个零点 ,则( )
A. 若 成等差数列,则 成等比数列
B. 若 成等比数列,则 成等差数列
C. 若 成等差数列,则数列 的公差为
D. 若 成等比数列,则数列 的公比为
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 某中学高二年级学生有 1200 人，在某次数学考试中，数学成绩 近似服从正态分布 . 已知 ,则本次考试数学成绩大于 135 分的人数约为_____.
13. 已知数列 的前 项和为 ,且 ,则 _____.
14. 设 分别是 与 的零点,则 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算 步骤.
15. 如图,在四棱锥 中, 底面 ,底面 为平行四边形,且
(1)证明: ；
(2)求平面 与平面 夹角的正切值.
16. 锐角三角形 的内角 的对边分别为 ,且满足 .
(1)求角 ；
(2)设 为锐角三角形 的垂心，求 的值.
17. 一辆汽车上有 个座位,编号从 1 到 . 现在编号为 1 到 的乘客依次上车,编号为 1 的乘客比较顽皮，上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为 2 的乘客上了车后会先看看 2 号座位有没有人, 如果有, 那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下, 如果 2 号座位没有人, 那么他就在 2 号座位坐下, 编号为 3 及后面的乘客的选择座位方式与 2 号相同, 即自己对应的号码座位上有人, 则从剩下座位中随机等可能挑选座位坐下, 如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上.
(1)当 时，求 4 号乘客坐在编号 4 号座位上的概率 ；
(2)当 时，设 为刚好坐在了自己座位上的乘客数(规定:编号为 的乘客坐在了编号为 的座位上为坐在了自己的座位上),求随机变量 的期望.
18. 已知 ,其中 .
(1)求证:当 时， ；
(2)讨论 取不同值的时候，函数 的零点个数；
(3)证明: ,其中 .
19. 已知抛物线 为其焦点，直线 过点 交抛物线 于 、 两点， 若三角形 面积的最小值为 .
(1)求 ；
(2)若三角形 外接圆与抛物线的最后一个交点为点 .
(i) 设 ,证明: .
(ii) 若 平分 ,求线段 长度的所有可能取值.
1. B
由题意得, ,则 .
故选: B
2. B
因为复数 满足: ,
所以 ,所以 ,解得 .
所以 .
故选: B.
3. D
因为奇函数的定义域关于原点对称,
时 的定义域不一定关于原点对称,
所以 不是 为奇函数的充分条件;
如果 为奇函数在 处有定义时有 ,
在 处没有定义时没有 ,
所以 不是 为奇函数的必要条件;
综上, 是 为奇函数的既不充分也不必要条件.
故选: D.
4. C
已知单位向量 的夹角为 ,因此 , 且 . A 选项: ,
故 ，A 为真命题；
B 选项: ，B 为真命题；
选项:假设 ，则存在 使 ，
整理得: ，
由于 与 不共线 (夹角为 ),则 且 ,
此方程组无解,矛盾,故 与 不平行, 为假命题;
D 选项:
所以 , D 为真命题.
故选:
5.
,
增加两个样本点后 的平均数为 ;
,
增加两个样本点后 的平均数为 ,
,解得 ,
新的经验回归方程为 ,则当 时, ,
样本点 的残差为 .
故选: B.
6. B
解: 由 ,则 或 解得 或
所以
所以
, 故 B 正确.
故选: B
7. A
因为 ,圆心 ,半径为 1,则 , 可得 , 由椭圆方程可知: ,即 恰为椭圆 的右焦点, 则 ,所以 .
故选: A.
8. A
对于 A: 由四边形 为正方形,
故三棱锥 的外接球即为三棱锥 的外接球,
设三棱锥 的外接球半径为 的外接圆半径为 ,
故 ,
又 ,则 ,
故 ,因为 平面 ,
故三棱锥 的外接球球心在过 的外接圆圆心和 平行的直线上,
则 ,即 ,
故三棱锥 的外接球的表面积为 ，故 正确，
对于 : 取 与 中点 ,连接 ,
由正方体性质可得 ,
又 平面 平面 ,故 平面 ,
平面 平面 ,故 平面 ,
又 平面 ,故平面 平面 ,
由 平面 ,则点 的轨迹是 除去点 ,故 错误;
对于 : 取 靠近点 的四等分点 ,连接 ,
由正方体性质可得 平面 ,又 平面 ,故 , 由 ,故 与 相似,
则 ,故
,
故 ,又 平面 ,
故 平面 ,又 平面 ,故动点 的轨迹为线段 ,
,故 C 错误;
对 D: 若 平面 ,因为 平面 平面 , 故 ,由 ,则 ,
即点 的轨迹为以 为圆心,在平面 内半径为 1 的四分之一圆,
同理可得,点 也可为以 为圆心,在平面 内半径为 1 的四分之一圆,
点 也可为以 为圆心,在平面 内半径为 1 的四分之一圆,
故其轨迹长度为 ,故 错误.
9. AD
双曲线 的渐近线方程为 ,依题意, ,解得 ,
对于 的虚轴长 正确;
对于 的离心率 错误;
对于 ,点 到直线 的距离 ,即 的最小值为 错误;
对于 ,直线 的斜率为 ,而点 不在 上,点 在 上,则直线 的斜率不等于 , D 正确.
故选: AD
10. AC
的图像与 的图像关于 轴对称,
,即 ,经检验,满足题意,故选项 正确,选项 不正确;
的对称轴 满足 , 即 ,即 的对称轴过 的对称中心,故选项 正确;
当 时, 的值域为 ,
当 时, 的值域为 ,故选项 不正确.
故选: AC
11. ABD
当 时, ,不合题意;
当 时,分别画出 与 的图象,如图:
所以 ;
对 : 由题得 ,所以 ,即 ,
若 成等差数列,则 ,所以 ,
所以 成等比数列,由 ,则 ,
即 ,所以 ,
由 ,解得 ,因为 ,
所以 ,
则 ,即数列 的公差为 ,
故 A 正确、C 错误;
对 : 由 ,若 成等比数列,则 ,
则 ,即有 ,故 成等差数列,
又 ,则 ,
故 ,即数列 的公比为 ,
故 B、D 正确.
12. 60
已知数学成绩 ,则分布关于 对称,
,
已知 ,则
,根据正态分布的对称性可知: ,
正态分布是连续分布,
,故 ,
已知总人数为 1200 ,
数学成绩为 135 分以上的人数为: .
故答案为: 60 .
13.
由题意可知 ,由 可得 ,
所以数列 是首项为 1,公比为 4 的等比数列,所以 ,
当 且 时, ,
不满足上式,故 .
14.
当 时,因为函数 是实数集上的增函数,
所以函数 是实数集上的增函数,
因为 是 的唯一零点,
所以 ,
即 是指数函数 和反比例函数 的唯一交点的横坐标.
当 时,因为 是 的零点,
所以 ,
设 ,
当 时,因为函数 是正实数集上的增函数,
所以 是正实数集上的增函数,
即 是指数函数 和反比例函数 的唯一交点的横坐标,
显然函数 与函数 的图象关于直线 对称,如下图所示:
显然 ,由数形结合思想可知: ,
的中点在 上,
所以 ,
,设 ,
由对勾函数的单调性可知该函数在 时,单调递减,
即 ,
所以 的取值范围是 .
15. (1) 设 ,则 .
在 中,根据余弦定理 ,
将 代入可得:
,所以 .
则 ,所以 ,
因为 底面 底面 ,所以 .
又因为 平面 ,所以 平面 .
而 平面 ,所以 .
(2)因为 底面 ， ，四边形 为平行四边形， 以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，
由( 1 )知 ，
则 , ,
易知平面 的一个法向量为 ,
设平面 的一个法向量为 ,
则 ,
取 ,可得 ,
设平面 与平面 的夹角为 ,
则 ,
所以 ,
故 .
16.
(2)
(1)由条件知: ,由正弦定理可得 , 所以 ,则 ;
(2)设 垂直于 于 ， 垂直于 于 ， 与 交于垂心 ，
则 ,故 ,
有 ,则 ,
设 外接圆半径为 ,在 中用正弦定理:
,
故 ，
所以 .
17.
(2)
(1)设 1 号乘客坐在 号位上时,4 号乘客坐在 4 号位的概率为 ， 则 ,
所以 .
(2)随机变量 所有可能的取值为0,1,2,4；
所以 .
18.(1) ,
令 ,则 ,
而 且 ,所以 ,
即 在 上单调递增, ,
所以 ,即 在 上单调递增,
所以 ;
(2)① 时， ， ，
所以 在 上单调递增,又 ,
则此时 有且仅有 1 个零点;
② 时， 在 上小于 0，在 上大于 0，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 且 ,则存在唯一的 ,
即 在 和 上大于 0,在 上小于 0,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增,
又 时, ,
则 在 上存在唯一零点,在其余区间有且只有 1 这一个零点,
此时函数 有且仅有 2 个零点;
综上所述,当 时, 有且仅有 1 个零点;
当 时, 有且仅有 2 个零点;
(3)令 ，且 时，得 ，再令 ，
代入化简可得 ，
则
则 .
19.(1) 设直线 ,联立 ,得: ,
由韦达定理可知: .
则 ，当且仅当 时等号成立.
此时 ,则 ,抛物线 .
(2)(i)由于三角形 的外接圆过原点，则可设其方程为: ， 将其与抛物线方程联立: 得: , 由于 为方程的四个根,所以 , 展开比较等式两边 的系数可得 ;
(ii) 因为 平分角 ,由角平分线定理知: 且 ,
所以
化简即得:
因式分解可得: ,
此时,若 ,则 重合或者 重合,这都不符合题意,舍去;
所以 ,即 ,
所以 ,这表示满足条件的 两点存在,
所以 ,
此时 .

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