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(共30张PPT)
第二章　相交线与平行线
3　平行线的性质
第2课时　平行线判定与性质的综合应用
　平行线判定与性质的综合应用
1.如图,直线l1和l2被直线l3和l4所截,∠1=∠2=88°,∠3=105°,则
∠4的度数为 ( )
A.75°　　 B.88°　　
C.95°　　 D.105°
A
解析　因为∠1=∠2=88°,所以l1∥l2.
所以∠3+∠4=180°.
因为∠3=105°,所以∠4=180°-105°=75°.故选A.
2.(2025陕西宝鸡三模)如图,点E,H在射线AB上,点F在射线CD
上,连接AC,EF,FH,∠A+∠C=180°,EF⊥AB,若∠DFH=46°,则
∠EFH的度数为 ( )
A.44°　　 B.45°　　 C.46°　　 D.50°
A
解析　因为∠A+∠C=180°,所以AB∥CD.
所以∠EFD=∠AEF.
因为EF⊥AB,所以∠AEF=90°.所以∠EFD=90°.
所以∠EFH=90°-∠DFH=90°-46°=44°.故选A.
3.(2025山东济南槐荫期中)如图,已知AB∥CD.不添加辅助线,
请再添加一个条件,使∠1=∠2成立.四位同学分别给出了答
案:①∠BCF=∠CBE;②BE∥CF;③∠COF=∠BOE;④∠E=∠
F.你认为正确的有__________(请填序号).

　　①②④　
解析　因为AB∥CD,所以∠ABC=∠BCD.
①因为∠BCF=∠CBE,所以∠1=∠2,故①正确.
②因为BE∥CF,所以∠BCF=∠CBE.同①可知②正确.
③由∠COF=∠BOE无法得出∠1=∠2,故③不正确.
④因为∠E=∠F,所以BE∥CF.同②可知④正确.
故正确的有①②④.
4.(2025山西太原期中)如图,∠MON的边OM上有两点A,B,过
点A,B分别作AC⊥ON于点C,作BD⊥ON于点D.若∠1=60°,求
∠2的度数.

解析　因为AC⊥ON,BD⊥ON,
所以∠ACN=∠BDN=90°.
所以AC∥BD.所以∠2=∠1=60°.
5.(2025山东枣庄峄城、市中期中)如图,点E,D,F分别是三角
形ABC的边AB,BC,CA上的点,AC∥ED,∠A=∠1,试判断FD和
AB的位置关系,并说明理由(写出最后一步的推理依据).

解析 FD∥AB.
理由:因为AC∥ED,所以∠A=∠BED.
因为∠A=∠1,所以∠BED=∠1.
所以FD∥AB(内错角相等,两直线平行).
6.【新考向·尺规作图】
(1)尺规作图:如图,以点B为顶点,射线BA为一边,在∠ABC外作
∠ABP,使它等于∠ABC.
(2)在(1)的基础上,过射线BA上的点D作DE∥BC与BP交于
点E,若∠PED=80°,则∠BDE=_______.

解析 (1)如图,∠ABP即为所求.

(2)如图,直线DE即为所求,∠BDE=40°.
详解:因为DE∥BC,所以∠PED=∠PBC=80°.
所以∠ABC=∠ABP= ×80°=40°.
因为DE∥BC,所以∠BDE=∠DBC=40°.
故答案为40°.
7.(2025山东济南高新区期末)如图,DB⊥BC于点B,EF⊥BC于
点F,∠1=∠2,试说明AB∥DC.请补充完整下面的说理过程:

解:∵DB⊥BC,EF⊥BC,
∴∠DBC=∠EFB=90°.
∴∠DBC+∠EFB=180°.
∴DB∥EF( ).
∴∠2=∠BDC( ).
∵∠1=∠2,
∴∠1=_______.
∴AB∥DC( ).
　　　
解析　同旁内角互补,两直线平行;两直线平行,同位角相等;∠
BDC;内错角相等,两直线平行.

8.(2025四川凉山州中考,★★☆)如图,DF∥AB,∠BAC=120°,
∠ACE=100°,则∠CED= ( )
A.30°　　 B.40°　　 C.60°　　 D.80°

B
解析　如图,过点C作CG∥AB,

所以∠1+∠CAB=180°.
因为∠BAC=120°,所以∠1=60°.
所以∠2=∠ACE-∠1=100°-60°=40°.
因为DF∥AB,所以DF∥CG.所以∠CED=∠2=40°.故选B.
方法技巧　过拐点添加辅助线,构造两直线被第三条直线所截的基本图形,便可以利用平行线的性质解决问题.
9.(2025山东淄博桓台期中,★★☆)如图,已知∠A与∠B互补,
DE平分∠ADC,∠1=40°,那么∠2= ( )
A.80°　　　 B.85°　　　 C.95°　　　 D.100°
D
解析　因为∠A与∠B互补,
所以AD∥BC,所以∠1=∠ADE,
因为∠1=40°,所以∠ADE=40°,
因为DE平分∠ADC,所以∠ADC=2∠ADE=80°,
因为AD∥BC,所以∠ADC+∠DCB=180°,
所以∠2=∠DCB=180°-80°=100°.
10.(2025四川泸州江阳月考,★★★)如图,AB⊥BC,AE平分∠
BAD交BC于点E,AE⊥DE,∠1+∠2=90°,M,N分别是BA,CD延
长线上的点,∠EAM和∠EDN的平分线交于点F.下列结论:①
AB∥CD;②∠AEB+∠ADC=180°;③DE平分∠ADC;④∠EAF
+∠EDF为定值.其中正确的有 ( )

A.①④　　 B.①②④　　 C.①②③　　 D.①③④
D
解析　因为AB⊥BC,AE⊥DE,
所以∠1+∠AEB=90°=∠AEB+∠DEC,
所以∠1=∠DEC,
因为∠1+∠2=90°,所以∠DEC+∠2=90°,
所以∠C=90°,所以∠B+∠C=180°,所以AB∥CD,①正确;
因为AB∥CD,所以∠BAD+∠ADC=180°,
又因为∠AEB不一定等于∠BAD,
所以∠AEB+∠ADC不一定等于180°,②错误;
因为AE平分∠BAD,所以∠EAD=∠1= ∠BAD,
因为∠EAD+∠EDA=90°,∠1+∠2=90°,
所以∠EDA=∠2,所以DE平分∠ADC,③正确;
因为∠EAM和∠EDN的平分线交于点F,
所以∠EAF=∠MAF= ∠EAM,∠EDF=∠NDF= ∠EDN,
因为∠1+∠2=90°,∠1+∠EAM=180°,∠2+∠EDN=180°,
所以∠EAM+∠EDN=270°,所以∠EAF+∠EDF= ∠EAM+
∠EDN= ×270°=135°,即∠EAF+∠EDF为定值,④正确.
故正确的有①③④,故选D.
11.(2025山东济南高新区期中,★★☆)如图,在△ABC中,AB∥
DG,∠1+∠2=180°.
(1)试说明:AD∥EF.
(2)若DG是∠ADC的平分线,∠2=150°,求∠B的度数.

解析 (1)因为AB∥DG,所以∠BAD=∠1.
因为∠1+∠2=180°,所以∠2+∠BAD=180°.
所以AD∥EF.
(2)因为∠1+∠2=180°,∠2=150°,所以∠1=30°.
因为DG是∠ADC的平分线,所以∠GDC=∠1=30°.
因为AB∥DG,所以∠B=∠GDC=30°.

12.【新课标·推理能力】综合与探究.
问题情境:
如图1,已知AB∥CD,∠ABC=60°,∠BAD=120°,点E,F在直线
AB上,且∠ACD=∠ACF,CE平分∠BCF.
(1)求∠ACE的度数.
实践探究:
(2)若左右平行移动AD,那么∠BAC与∠BFC之间的数量关系
是否发生变化 若变化,请说明理由;若不变,请求出∠BAC与
∠BFC之间的数量关系.
(3)如图2,若向左平行移动AD,当∠BEC=∠CAD时,求出∠
CAD的度数.

解析 (1)因为AB∥CD,所以∠B+∠BCD=180°.
因为∠ABC=60°,所以∠BCD=120°.
因为CE平分∠BCF,所以∠FCE= ∠FCB.
因为∠ACD=∠ACF,所以∠ACF= ∠DCF,
所以∠ACE=∠ACF+∠FCE= ∠DCF+ ∠BCF= ∠BCD=60°.
(2)不变.
因为AB∥CD,所以∠ACD=∠BAC,∠BFC=∠DCF.
因为∠ACD=∠ACF,所以∠BFC=2∠ACD=2∠BAC.
(3)因为AB∥CD,∠BAD=120°,
所以∠D=180°-∠BAD=60°=∠B,
因为∠BEC=∠CAD,所以∠DCA=∠BCE.
因为∠ACD=∠ACF,∠FCE=∠BCE,
所以∠DCA=∠ACF=∠FCE=∠BCE,
因为∠BCD=120°,所以∠DCA= ∠BCD=30°,
所以∠CAD=180°-∠D-∠DCA=90°.(共22张PPT)
专项突破3　
平行线中辅助线的添加方法
　添加截线
1.将一副三角尺按如图所示的方式放置,点A,C,B共线,直线DF
∥BE,则∠FDC= ( )

A.60°　　 B.75°　　 C.80°　　 D.65°
B
解析　如图所示,延长DA交直线BE于点G,

因为∠DAC=90°,所以∠BAG=90°,所以∠EHB=∠BAG=90°,
所以HE∥DG,所以∠AGB=∠HEB=60°,
因为DF∥BE,所以∠FDG=180°-∠DGB=120°,
所以∠FDC=∠FDG-∠ADC=120°-45°=75°,故选B.
2.【新考向·生活情境】(2025山西晋中介休期中节选)正确的
滑雪姿势是上身挺直略前倾,与小腿平行,如图所示,AB∥CD,
如果人的小腿CD与地面的夹角∠CDE=60°,求出身体BA与水
平线的夹角∠BAF的度数.

解析　如图,延长AB交直线ED于点H.

因为AB∥CD,所以∠DHA=∠CDE=60°.
因为AF∥EH,所以∠BAF=∠DHA=60°.
3.(2025山西阳泉多校联考期中改编)中国汉字博大精深,方块
文字智慧灵秀,奥妙无穷,图1是一个“互”字.图2是由图1抽
象的几何图形,其中AB∥CD,MG∥FN,点E,M,F在同一直线上,
点G,N,H在同一直线上,且∠AEF=∠GHD.试说明:∠EFN=∠
G.

解析　如图,延长EF交CD于点P.
因为AB∥CD,所以∠AEF=∠EPD.
又因为∠AEF=∠GHD,所以∠EPD=∠GHD.
所以EP∥GH.所以∠EFN+∠FNG=180°.
又因为MG∥FN,所以∠FNG+∠G=180°.
所以∠EFN=∠G.

　过“拐点”作平行线
4.【新课标·中华优秀传统文化】某同学在研究传统文化“抖
空竹”时有一个发现:他把它抽象成数学问题,如图所示,已知
AB∥CD,∠BAE=84°,∠DCE=120°,则∠E的度数是 ( )

A.36°　　 B.38°　　 C.39°　　 D.42°
A
解析　如图,过点E作EF∥AB,

则∠AEF=180°-∠A=180°-84°=96°.
因为AB∥CD,所以EF∥CD.
所以∠FEC=180°-∠ECD=180°-120°=60°,
所以∠AEC=∠AEF-∠FEC=96°-60°=36°.故选A.
5.【学科特色·易错题】(2025河南郑州期中)如图1,已知直线
AB∥CD,点P在直线AB,CD之间,点E,F分别在直线AB,CD上,
连接EP,FP.
(1)若∠BEP=30°,∠DFP=45°,则∠P的度数为_______.
(2)若∠BEP=α,∠DFP=β,则∠EPF与α,β之间存在什么数量关
系 并说明理由.
(3)如图2,EQ,FQ分别平分∠AEP,∠CFP,请直接写出∠P与∠
Q之间的数量关系.
　　　

解析 (1)75°.
(2)∠EPF=α+β.
理由:如图,过P作PM∥AB,所以∠MPE=∠BEP=α.

因为AB∥CD,所以PM∥CD.
所以∠MPF=∠DFP=β.
所以∠EPF=∠MPE+∠MPF=α+β.
(3)2∠Q+∠P=360°.
详解:因为EQ,FQ分别平分∠AEP,∠CFP,
所以∠AEQ= ∠AEP,∠CFQ= ∠CFP.
由(2)的结论可得∠P=∠BEP+∠DFP,∠Q=∠AEQ+∠CFQ=
(∠AEP+∠CFP).
因为∠AEP=180°-∠BEP,∠CFP=180°-∠DFP,
所以∠Q= (360°-∠BEP-∠DFP)
=180°- (∠BEP+∠DFP)=180°- ∠P,
所以2∠Q+∠P=360°.
易错警示　过拐点只能作与某一条直线平行的直线,不能作与多条直线同时平行的直线,只能通过推理得到所作直线与其他直线平行.
6.【跨物理·光的反射】(2025山东济南商河期中节选)【阅读
探究】如图1,已知AB∥CD,E,F分别是AB,CD上的点,点M在
AB,CD两平行线之间,∠AEM=45°,∠CFM=25°,求∠EMF的度
数.

解:过点M作MN∥AB,
所以∠EMN=∠AEM=45°.
因为AB∥CD,所以MN∥CD.
所以∠FMN=∠CFM=25°.
所以∠EMF=∠EMN+∠FMN=45°+25°=70°.
从上面的推理过程中,我们发现平行线具有“等角转化”的
功能,将∠AEM和∠CFM“凑”在一起,使问题得到解决.
【方法运用】如图2,已知直线m∥n,AB是一个平面镜,光线从
直线m上的点O射出,在平面镜AB上经点P反射后,到达直线n
上的点Q.我们称OP为入射光线,PQ为反射光线,镜面反射有
如下性质:入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜
的夹角,即∠OPA=∠QPB.

(1)由图2写出∠AOP,∠BQP,∠OPQ之间的数量关系,并说明
理由.
(2)如图3,再放置3块平面镜,其中两块平面镜在直线m和n上,
另一块在两直线之间,四块平面镜构成四边形ABCD,光线从
点O以适当的角度射出后,其传播路径为O→P→Q→R→O→P
→…,直接写出∠OPQ和∠ORQ之间的数量关系.

【应用拓展】
问题情境:“公路村村通”的政策让公路修到了山里,蜿蜒的
盘山公路连接了山里与外面的世界.数学活动课上,老师把山
路抽象成如图4所示的图形,并提出了一个问题:
在图4中,AB∥CD,∠B=125°,∠PQC=65°,∠C=145°,求∠BPQ
的度数.

解析　【方法运用】(1)∠OPQ=∠AOP+∠BQP.
理由:如图,过点P作PE∥m.

所以∠AOP=∠OPE.
因为m∥n,所以PE∥n.
所以∠BQP=∠QPE.
因为∠OPQ=∠OPE+∠QPE,
所以∠OPQ=∠AOP+∠BQP.
(2)∠OPQ=∠ORQ.
详解:由(1)得∠AOP+∠BQP=∠OPQ,
同理可得∠DOR+∠CQR=∠ORQ.
因为∠AOP=∠DOR,∠BQP=∠CQR.所以∠OPQ=∠ORQ.
【应用拓展】如图,过点P作PM∥AB,过点Q作QN∥AB.
因为AB∥CD,所以AB∥PM∥QN∥CD.
所以∠ABP+∠BPM=180°,∠QPM=∠PQN,∠DCQ+∠CQN=1
80°.
因为∠B=125°,∠C=145°,
所以∠BPM=180°-125°=55°,∠CQN=180°-145°=35°.
因为∠PQC=65°,
所以∠PQN=∠PQC-∠CQN=65°-35°=30°.
所以∠QPM=∠PQN=30°,
所以∠BPQ=∠BPM+∠QPM=55°+30°=85°.(共25张PPT)
第二章　相交线与平行线
2　探索直线平行的条件
第1课时　利用同位角判定两直线平行及平行公理
　同位角
1.(2025海南琼中期中)下面四个图中,∠1和∠2表示同位角的
是 ( )
C
解析　选项C中,∠1与∠2在截线同侧,在两条被截线同旁,是
同位角,故选C.
2.如图,直线DC和AC被AD所截,构成的同位角是 ( )
A.∠EDC和∠EAB　　 B.∠DCA和∠DAC
C.∠EDC和∠EAC　　 D.∠DCA和∠CAB
C
解析　只保留截线AD和被截线DC,AC,如图,

易知直线DC和AC被AD所截,构成的同位角是∠EDC和∠
EAC,故选C.
3.如图所示,∠1与∠2是_________角,它是由直线_______
和____________被直线____________所截而成的.
　 CE　
　 BC　
　 AB
　　同位　
　利用同位角判定两直线平行
4.(2025江苏连云港东海期末)如图,若∠1=∠2,则下列结论正
确的是 ( )

A.AC∥BD　　 B.AC∥EF
C.EF∥BD　　 D.AB∥CD
A
解析　∠1,∠2是直线AC,BD被直线AB所截形成的同位角.因
为∠1=∠2,所以AC∥BD,故选A.
5.(2025甘肃中考改编)如图1,三根木条a,b,c相交,∠1=80°,∠2
=110°,固定木条b,c,将木条a绕点A顺时针转动至如图2所示的
位置,使木条a与木条b平行,则至少将木条a旋转____________°.

　 30　
解析　将木条a顺时针旋转30°时,∠2=∠1=80°,所以a∥b.故
答案为30.
6.(2025陕西咸阳兴平期末)如图,点F在直线AB上,且∠EFG=9
0°,若∠1+∠2=90°,AB与CD平行吗 为什么

解析 AB与CD平行.
理由:因为∠EFG=90°,所以∠1+∠AFG=90°,
又因为∠1+∠2=90°,所以∠2=∠AFG,所以 AB∥CD.
7.如图,∠B=50°,CG平分∠DCF,∠DCG=65°,试说明:AB∥EF.

解析　因为CG平分∠DCF,∠DCG=65°,
所以∠DCF=2∠DCG=130°.
所以∠DCE=180°-∠DCF=50°.
所以∠B=∠DCE.所以AB∥EF.
　平行公理
8.(2025山东青岛市北期中)如图,点P是直线AB外一点,过点P
分别作CP∥AB,PD∥AB,则C,P,D三个点必在同一条直线上,
其依据是 ( )
A.两点确定一条直线
B.同位角相等,两直线平行
C.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D.平行于同一条直线的两条直线平行
C
解析　因为过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平
行,所以C,P,D三个点必在同一条直线上.故选C.
9.(2025山西晋中平遥期中)在数学课上,老师画了一条直线a,
按如图所示的方法,画一条直线b与直线a平行,再向上推三角
尺,画一条直线c也与直线a平行,此时,发现直线b与直线c也平
行,这就说明了_________________________________.
　　平行于同一条直线的两条直线平行　

10.【学科特色·教材变式P47T2】(2025山东济南历下期中节
选,★★☆)在如图所示的方格纸中,每个小正方形的边长均为
1,小正方形的顶点称为格点.△ABC的顶点A,B,C均在格点上,
请用无刻度的直尺根据下列要求进行作图:
(1)过点E作线段AC的平行线,并标出平行线所过的格点G.
(2)过点D作线段BC的垂线,并标出垂线所过的格点F.

解析 (1)如图,直线EG即为所求.

(2)如图,直线DF即为所求.
11.(2025山东青岛市北期中节选,★★☆)如图,已知AB⊥BC,
∠1+∠2=90°,∠2=∠3.BE与DF平行吗 请说明理由.

解析 BE∥DF.
理由:因为AB⊥BC,所以∠ABC=90°.
所以∠3+∠4=90°.
因为∠2=∠3,∠1+∠2=90°,所以∠1=∠4.
所以BE∥DF.
12.(★★☆)如图,已知AF平分∠BAC,DE平分∠BDF,且∠BDE
=∠CAF.
(1)DF与AC平行吗 为什么
(2)请判断DE与AF的位置关系,并说明理由.

解析 (1)DF∥AC.理由如下:
因为AF平分∠BAC,DE平分∠BDF,
所以∠BAC=2∠CAF,∠BDF=2∠BDE.
又因为∠BDE=∠CAF,所以∠BDF=∠BAC.
所以DF∥AC.
(2)DE∥AF.理由如下:
因为AF平分∠BAC,所以∠BAF=∠CAF.
又因为∠BDE=∠CAF,所以∠BDE=∠BAF.所以DE∥AF.

13.【新课标·推理能力】如图,直线AB,CD被直线EF所截,∠1
=∠2,∠CNF+∠BMN=180°.试说明AB∥CD,MP∥NQ.

解析　因为∠CNF+∠BMN=180°,∠CNF+∠DNF=180°,
所以∠BMN=∠DNF.所以AB∥CD.
因为∠BMN=∠DNF,∠1=∠2,
所以∠BMN-∠1=∠DNF-∠2,即∠PMN=∠QNF.
所以MP∥NQ.(共30张PPT)
第二章　相交线与平行线
3　平行线的性质
第1课时　平行线的性质
　平行线的性质
1.(2025云南中考)如图,已知直线c与直线a,b都相交.若a∥b,∠
1=50°,则∠2= ( )
A.53°　　 B.52°　　 C.51°　　 D.50°
D
解析　因为a∥b,所以∠1=∠2.
因为∠1=50°,所以∠2=50°.故选D.
2.【新考向·动手操作题】(2025河南郑州期中)小郑把一块含
60°角的三角尺摆放在有平行线的作业本上,得到的图形如图
所示,已知a∥b,若∠1=70°,则∠2的度数是 ( )
A.70°　　 B.30°　　 C.40°　　 D.50°
D
解析　如图,由题意知∠3=60°.
因为∠1=70°,所以∠4=180°-60°-70°=50°.
因为a∥b,所以∠2=∠4=50°.故选D.

3.(2025湖南长沙中考)如图,AB∥CD,直线EF与直线AB,CD分
别交于点E,F,直线EG与直线CD交于点G.若∠1=70°,∠2=50°,
则∠GEF的度数为 ( )

A.50°　　 B.60°　　 C.65°　　 D.70°
B
解析　因为AB∥CD,∠1=70°,所以∠GFE=∠1=70°.
又因为∠EGF=∠2=50°,
所以∠GEF=180°-50°-70°=60°.故选B.
4.(2025四川自贡中考)如图,一束平行光线穿过一张有一组对
边平行的纸板,若∠1=115°,则∠2的度数为 ( )

A.75°　　 B.90°　　 C.100°　　 D.115°
D
解析　如图,因为DB∥CA,所以∠3=∠1=115°.
因为AB∥CD,所以∠4=∠3=115°.
所以∠2=∠4=115°.故选D.

5.(2025河南新郑期末)若将含有45°角的直角三角尺和直尺按
如图所示的方式叠放在一起,∠1=30°,则∠2的度数为_______°.

　 15
解析　如图,由题意得AB∥CD,∠EFG=45°,
所以∠3=∠1=30°.
所以∠2=∠EFG-∠3=45°-30°=15°.

6.【跨物理·光的反射】(2025山东青岛李沧、城阳期中)生活
中的反射现象遵循物理学中光的反射定律.如图,入射光线BC
经过平面镜AE上的点C反射后,反射光线CD恰好与AB平行,已
知∠BCD=120°,∠ACB=∠DCE,则∠A=____________°.

　 30　
解析　因为∠BCD=120°,∠ACB=∠DCE,
所以∠ACB=∠DCE= ×(180°-120°)=30°.
因为CD∥AB,所以∠A=∠DCE=30°.
7.(2025陕西西安长安期中)如图,点C是AB上一点,过点C作CD
⊥BF于点D,过点D作DE∥AB,若∠1=54°,则∠2的度数为
________.

36°　
　
解析　因为CD⊥BF,所以∠2+∠EDC=90°.
因为DE∥AB,所以∠EDC=∠1=54°.
所以∠2=90°-∠EDC=90°-54°=36°.
8.(2025湖南长沙浏阳期中)如图,直线a∥b,∠3=60°,求∠1,∠2
的度数.

请补全解答过程,并在括号内填写相应的理由.
解:因为a∥b(已知),
所以∠1=∠4(　　　　　　　 ).
因为∠4=∠3(　　　　　　　 ),
∠3=60°(已知),
所以∠1=∠3=_______ (等量代换).
因为∠2+∠3=180°,
所以∠2=_______(等式的性质).
解析　两直线平行,同位角相等;对顶角相等;60°;120°.

9.【学科特色·教材变式P54T9】(2025陕西西安长安期中,★
★☆)小明同学乘坐快艇在海上游玩,从港口向正北航行2海
里,然后向左转50°航行3海里,再向右转80°继续航行,此时的航
行方向为 ( )
A.北偏东30°　　 B.北偏东80°
C.北偏西30°　　 D.北偏西50°
A
解析　根据题意画出图形如图,过点B作BD∥AP,

所以∠DBF=∠BAC=50°.
所以∠DBE=80°-50°=30°.
所以此时的航行方向为北偏东30°.故选A.
10.【跨物理·凸透镜】(2025江苏扬州中考,★★☆)如图,平行
于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后,折射光线BE,
DF交于主光轴上一点G.若∠ABE=130°,∠CDF=150°,则∠
EGF的度数是 ( )
A.60°　　 B.70°　　 C.80°　　 D.90°
C
解析　由题意可知AB∥PQ∥CD,因为AB∥PQ,所以∠ABE+
∠BGP=180°.因为∠ABE=130°,所以∠BGP=180°-130°=50°.因
为PQ∥CD,所以∠PGD+∠CDF=180°.因为∠CDF=150°,所以
∠PGD=180°-150°=30°,所以∠BGD=∠BGP+∠PGD=50°+30
°=80°,所以∠EGF=∠BGD=80°.故选C.
11.【新考向·动手操作题】(2025河南郑州期中,★★☆)将一
张长方形纸片折叠,如图所示,若∠1=50°,则∠α的度数为
________.
65°　
解析　如图,易得AF∥BE,

因为∠1=50°,所以∠BCD=∠1=50°.
由折叠可得∠DCF=∠FCE,所以∠FCE=(180°-50°)÷2=65°.
因为AF∥BE,所以∠α=∠FCE=65°.
12.【新考向·尺规作图】(2025陕西西安长安期中,★★☆)如
图,在三角形ABC中,∠A=41°,∠B=65°,点D在BC的延长线上.
(1)在∠ACD内部作射线CE,使得CE∥BA(尺规作图,不写作
法,保留作图痕迹).
(2)在(1)的条件下,用平行线的性质求∠ACD的度数.

解析 (1)如图,射线CE即为所求.(答案不唯一)

(2)因为∠A=41°,∠B=65°,CE∥BA,
所以∠ACE=∠A=41°,∠DCE=∠B=65°.
所以∠ACD=∠ACE+∠DCE=106°.

13.【新课标·推理能力】(2024湖北恩施州模拟)如图1,AB∥
CD,E为AB与CD之间的一点,连接BE,过点E作EF⊥BE,与CD
相交于点F.
(1)试说明:∠1+∠2=90°.
(2)如图2,E为AB上方的一点,其他条件不变,(1)中的结论是否
仍然成立 如果成立,请说明理由;如果不成立,请写出正确结
论并说明理由.
(3)如图3,E为CD下方的一点,其他条件不变,(1)中的结论是否
仍然成立 如果成立,请说明理由;如果不成立,请直接写出正
确结论.
解析 (1)如图,过点E作EM∥AB,则∠BEM=∠1.

因为AB∥CD,所以EM∥CD.所以∠MEF=∠2.
所以∠1+∠2=∠BEM+∠MEF=∠BEF.
因为EF⊥BE,所以∠BEF=90°.所以∠1+∠2=90°.
(2)结论不成立,∠2-∠1=90°.
理由:如图,过点E作EN∥AB,则∠BEN=∠1.
因为AB∥CD,所以EN∥CD,所以∠NEF=∠2.
所以∠2-∠1=∠NEF-∠BEN=∠BEF.
因为EF⊥BE,所以∠BEF=90°.所以∠2-∠1=90°.
(3)结论不成立,∠1-∠2=90°.
详解:如图,过点E作EG∥CD,则∠GEF=∠2.

因为AB∥CD,所以EG∥AB,所以∠BEG=∠1.
所以∠1-∠2=∠BEG-∠GEF=∠BEF.
因为EF⊥BE,所以∠BEF=90°.所以∠1-∠2=90°.(共29张PPT)
第二章　相交线与平行线
1　两条直线的位置关系
第1课时　对顶角、补角和余角
　两条直线的位置关系
1.(2025河北唐山迁安期中)已知直线m,n,下列图形中属于两
直线平行的是 ( )

B
解析　在同一平面内,不相交的两条直线叫作平行线.观察四
个选项,只有B符合平行线的定义,故选B.
2.下列说法正确的是 ( )
A.如果同一平面内的两条线段不相交,那么这两条线段所在
的直线互相平行
B.不相交的两条直线一定互相平行
C.同一平面内的两条射线不相交,则这两条射线互相平行
D.同一平面内有两条直线不相交,这两条直线一定互相平行
D
解析　根据在同一平面内,不相交的两条直线互相平行,可知
A,B,C错误,D正确,故选D.
关键点拨　对于平行线的定义要把握两个要点:①在同一平面内,若不在同一平面内,则两条直线可能既不相交,也不平行;②不相交.
　对顶角及其性质
3.(2025广东深圳光明期中)下列各图中,∠1与∠2是对顶角的
是 ( )

C
解析　由对顶角的定义,可判断C选项中的∠1与∠2是对顶
角,故选C.
4.(2024山东日照中考)如图,直线AB,CD相交于点O.若∠1=40
°,∠2=120°,则∠COM的度数为 ( )

A.70°　　 B.80°　　
C.90°　　 D.100°
B
解析　因为∠2=∠BOC=120°,所以∠1+∠COM=120°,所以∠
COM=120°-40°=80°.故选B.
　余角、补角及其性质
5.(2025山东青岛即墨期中)已知∠1=α<90°,则∠1的余角比∠
1的补角少 ( )
A.α　　 B.90°-α　　
C.90°　　 D.180°-2α
C
解析　因为∠1=α<90°,所以∠1的余角为90°-α,∠1的补角为1
80°-α.180°-α-(90°-α)=90°,即∠1的余角比∠1的补角少90°,故
选C.
6.(2025山东枣庄峄城、市中期中)如图,将一副三角尺(直角顶
点重合)摆放在桌面上,此时∠AOC=∠BOD,得到此结论的依
据是 ( )
A.同角的余角相等
B.同角的补角相等
A
C.等角的余角相等
D.等角的补角相等
解析　由题意,知∠AOD=∠AOC+∠COD=90°,
∠COB=∠COD+∠BOD=90°,
所以∠AOC=∠BOD(同角的余角相等),故选A.
7.(2025山东枣庄峄城、市中期中)如果一个角是65°,那么它
的余角的补角的度数为______________.
　 155°　
解析　一个角是65°,那么它的余角是90°-65°=25°,
所以65°角的余角的补角的度数为180°-25°=155°.
8.【学科特色·易错题】如图,直线CD与直线EF 相交于点O,
OB,OA为射线,∠BOE=∠AOD=90°.∠EOD>∠EOC.
(1)找出图中相等的锐角,并说明它们相等的理由.
(2)试找出∠DOF的补角.

解析 (1)∠EOC=∠DOF,理由是同角的补角相等或对顶角相
等.
∠BOD=∠FOA,理由是同角的余角相等.
(2)∠DOF的补角有∠DOE,∠FOC,∠AOB.
易错警示　互余、互补都是指两个角之间的数量关系,与位置关系无关.

9.(2025山东青岛李沧、城阳期中,★★☆)将三个直角三角形
按如图所示的方式放置,使它们的直角顶点重合,则∠1,∠2,∠
3三个角的数量关系是　 ( )
A.∠1+∠3=2∠2
B.∠1+∠2+∠3=90°
C
C.∠2+∠3=∠1+90°
D.∠2+∠3-∠1=45°
解析　如图,根据题意得∠3+∠4=90°,∠1+∠4+∠5=90°,∠5+
∠2=90°.
所以∠4+∠5=90°-∠1,
所以90°-∠3+90°-∠2=90°-∠1.
所以∠2+∠3=∠1+90°.故选C.
10.【学科特色·多解法】(2025河南郑州期中,★★★)如图,点
O是直线MN上一点,OB平分∠AOM,∠AOC=90°,则以下结论:
①∠MOC与∠AON互为余角;②∠COM= ∠AOB;③∠AON=
2∠BOC;④若∠AON=52°,则∠AOB=64°.其中正确的是　
( )
C
A.①④　　 B.③④
C.①③④　　 D.①②③④
解析　①因为∠AOC=90°,∠MOC+∠AOC+∠AON=180°,
所以∠MOC+∠AON=180°-∠AOC=180°-90°=90°.
所以∠MOC与∠AON互为余角,故①正确.
②无法推理得到,故②错误.
③【解法一】因为∠AON+∠AOM=180°,OB平分∠AOM,
所以∠AON=180°-∠AOM,∠AOM=2∠BOM=2(∠MOC+∠
BOC).
所以∠AON=180°-2(∠MOC+∠BOC)=180°-2∠MOC-2∠BOC.
由①可知∠MOC+∠AON=90°,
所以∠MOC=90°-∠AON,
所以∠AON=180°-2(90°-∠AON)-2∠BOC
=180°-180°+2∠AON-2∠BOC
=2∠AON-2∠BOC.
所以∠AON=2∠BOC.故③正确.
【解法二】易得∠BOC=90°-∠AOB,∠AON=180°-2∠AOB,
所以∠AON=2∠BOC.故③正确.
④因为∠AON=52°,∠AON+∠AOM=180°,
所以∠AOM=180°-∠AON=180°-52°=128°.
因为OB平分∠AOM,
所以∠AOB= ∠AOM= ×128°=64°,故④正确.
综上所述,正确的有①③④.故选C.
11.(★★☆)如图,∠AOC与∠BOC互为补角,∠BOC与∠BOD
互为余角,且∠BOC=4∠BOD.
(1)求∠BOC的度数.
(2)若OE平分∠AOC,求∠BOE的度数.

解析 (1)因为∠BOC与∠BOD互为余角,
所以∠BOC+∠BOD=90°.
因为∠BOC=4∠BOD,
所以∠BOC= ×90°=72°.
(2)因为∠AOC与∠BOC互为补角,
所以∠AOC+∠BOC=180°.
所以∠AOC=180°-∠BOC=180°-72°=108°.
因为OE平分∠AOC,
所以∠COE= ∠AOC= ×108°=54°.
所以∠BOE=∠COE+∠BOC=54°+72°=126°.

12.【新课标·抽象能力】
(1)平面内有3条直线相交于一点,则共有多少对对顶角 4条直
线呢 10条直线呢 n条直线呢
(2)若(1)中的直线两两相交,但不一定交于一点,(1)中的结论仍
然成立吗
解析 (1)3条直线相交于一点,共有6对对顶角;4条直线相交
于一点,共有4×3=12对对顶角;10条直线相交于一点,共有10×9
=90对对顶角;n条直线相交于一点,共有n(n-1)对对顶角.
(2)当(1)中的直线两两相交,但不一定交于一点时,(1)中的结论
仍然成立.
规律总结　每两条直线相交,有2对对顶角,n条直线两两相交,有n(n-1)对对顶角.对顶角的对数与交点个数无关.
微专题　列方程解决余(补)角的计算问题
方法指引　有关余角、补角的计算问题,通常解决的方法是
利用余角、补角的定义及题中存在的等量关系列方程求解.
1.(2025河南新郑期中)一个角比它的余角少10°,则这个角的
度数为_____________.
　 40°　
解析　设这个角的度数为x°,
由题意,得x+10=90-x,解得x=40.
所以这个角的度数为40°.
2.(2025山东济南商河期中)一个角的补角等于这个角的余角
的 ,则这个角的度数为____________度.
　 18　
解析　设这个角的度数为x,根据题意,得
180°-x= (90°-x),解得x=18°.
所以这个角的度数为18度.
3.(2025陕西西安西咸新区期末)一个角的余角比它的补角的
多12°,求这个角的度数.
解析　设这个角的度数为x,根据题意,得
90°-x= (180°-x)+12°,
解得x=27°,
所以这个角的度数为27°.(共27张PPT)
第二章　相交线与平行线
1　两条直线的位置关系
第2课时　垂直
　垂直
1.(2024四川雅安中考)如图,直线AB,CD交于点O,OE⊥AB于O,
若∠1=35°,则∠2的度数是 ( )

A.55°　　 B.45°　　 C.35°　　 D.30°
A
解析　因为OE⊥AB,所以∠AOE=90°,
因为∠1=35°,所以∠AOC=55°,
所以∠2=∠AOC=55°,故选A.
2.(2025陕西咸阳永寿期中)如图,直线AB,CD相交于点O,OE平
分∠AOD,OF⊥OC,若∠BOF=42°,求∠DOE的度数.

解析　因为OF⊥OC,所以∠COF=90°,
因为∠BOF=42°,
所以∠AOD=∠COB=∠COF+∠BOF=132°.
又因为OE平分∠AOD,所以∠DOE= ∠AOD=66°.
　垂线的性质
3.(2025江苏扬州仪征二模)如图,河道的一侧有甲、乙两个村
庄,现要铺设一条管道将水引向甲、乙两村,下列四种方案中
最节省材料的是 ( )
B
解析　依据“垂线段最短”以及“两点之间,线段最短”可
得最节省材料的方案是B选项中方案.故选B.
4.(2025广西中考改编)在跳远比赛中,某同学从点C处起跳后,
在沙池留下的脚印如图所示.测量线段AB的长度作为他此次
跳远成绩(最近着地点到起跳线的距离),依据的数学原理是
___________.

　垂线段最短　
5.如果AB⊥l,垂足为B.自AB上任一点向l作垂线,那么所画垂
线均与AB重合,这是因为在同一平面内,
______________________________________.
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直　
6.【学科特色·教材变式P39随堂练习T2】(2025山西晋中左权
期中节选)如图所示的是6×6的正方形网格,每个小正方形的
顶点为格点,线段AB的两个端点及点C均在格点上.
(1)过点C作线段AB的垂线,交AB于点H.
(2)点D是线段AB与网格线的交点,连接CD,比较线段CD,CH的
长短:_______,理由是_______.
解析 (1)如图,直线CH即为所求.

(2)如图.CH 　点到直线的距离
7.(2025河南安阳期中)如图,A,B,C,D四点在直线l上,点P在直
线l外,PB⊥l,若PA=3 cm,PB=2 cm,PC=4 cm,PD=5 cm,则点P
到直线l的距离是 ( )
A.3 cm　　 B.2 cm　　
C.4 cm　　 D.5 cm
B
解析　因为PB⊥l,PB=2 cm,所以点P到直线l的距离是线段PB
的长,是2 cm.故选B.
8.(2025陕西宝鸡凤翔期中)如图,已知∠C=90°,AB=5,AC=4,BC
=3,则点A到线段BC的距离为___________.
　 4　
解析　因为∠C=90°,所以AC⊥BC.
所以点A到线段BC的距离为线段AC的长,即为4.

9.(2025河南南阳邓州期末,★★☆)下列选项中,过点P画直线l
的垂线MN,用三角尺或量角器操作正确的是 ( )
C
解析　过点P画直线l的垂线MN,用三角尺和量角器正确操作
如下,故选C.

10.(2025河南平顶山鲁山期中,★★☆)如图,△ABC是直角三
角形,∠ACB=90°,AB=5,AC=3,BC=4,点P是AB边上的一个动
点,则CP的最小值是　 ( )

A.2　　 B.2.4　　 C.3　　 D.3.5
B
解析　当CP垂直于AB时,CP的值最小,
此时S△ABC= AC·BC= AB·CP,
即 ×3×4= ×5·CP,所以CP=2.4.故选B.
11.【学科特色·易错题】(★★☆)如图,已知直线AB,CD相交
于点O,OE⊥CD于点O.
(1)过点O画直线MN,使得MN⊥AB.
(2)点F为直线MN上任意一点(不与点O重合),已知∠BOD=46
°,求∠EOF的度数.

解析 (1)如图,直线MN即为所求.

(2)当点F在AB上方时,
因为OE⊥OD,MN⊥AB,
所以∠EOD=∠MOB=90°.
所以∠EOF=∠BOD=46°.
当点F在AB下方时,
∠EOF=180°-∠EOM=180°-46°=134°.
综上所述,∠EOF的度数为46°或134°.
易错警示　注意点F为直线MN上任意一点(不与点O重合),点F的位置不确定,因此需分类讨论.
12.(2025河南郑州期中,★★☆)如图,直线AB,CD相交于点O,
OE平分∠BOC,OF⊥CD于点O.
(1)若∠BOD=30°,求∠AOE的度数.
(2)若∠AOC∶∠AOF=2∶3,求∠BOE的度数.
解析 (1)因为直线AB,CD相交于点O,∠BOD=30°,
所以∠BOC=180°-∠BOD=150°,∠AOC=∠BOD=30°.
因为OE平分∠BOC,
所以∠COE= ∠BOC=75°.
所以∠AOE=∠AOC+∠COE=30°+75°=105°.
(2)因为OF⊥CD,
所以∠COF=90°.
因为∠AOC∶∠AOF=2∶3,
所以∠AOC=90°× =36°.
所以∠BOC=180°-36°=144°.
因为OE平分∠BOC,
所以∠BOE= ∠BOC=72°.

13.【新课标·推理能力】如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分
∠AOC,OF平分∠BOC,OG⊥AB.
(1)请判断OE与OF的位置关系,并说明理由.
(2)若∠BOF-∠COG=22°,求∠BOD的度数.

解析 (1)OE⊥OF.理由如下:
因为OE平分∠AOC,所以∠EOC= ∠AOC,
因为OF平分∠BOC,所以∠COF= ∠BOC,
因为∠AOC+∠BOC=180°,所以∠EOF=∠EOC+∠COF= (∠
AOC+∠BOC) =90°.所以OE⊥OF.
(2)因为OF平分∠BOC,所以∠COF=∠BOF.
因为∠BOF-∠COG=22°,
所以∠COF-∠COG=22°,即∠GOF=22°.
因为OG⊥AB,所以∠AOG=90°.
因为∠EOF=90°,所以∠AOE=∠GOF=22°.
所以∠BOD=∠AOC=44°.(共27张PPT)
第二章　相交线与平行线
2　探索直线平行的条件
第2课时　利用内错角、同旁内角判定两直线平行
　内错角、同旁内角
1.(2025山东菏泽牡丹期中)如图,下列说法中错误的是　
( )
A.∠1与∠2是同位角
B.∠3与∠4是同位角
C.∠3与∠5是内错角
D.∠3与∠6是同旁内角
A
解析 A.∠1与∠2不是两条直线被第三条直线所截得的角,
所以∠1与∠2不是同位角,该选项中说法错误;
B.如图,∠3与∠4是直线QH、直线PG被直线EF所截得的同
位角,该选项中说法正确;
C.如图,∠3与∠5是直线AB、直线QH被直线EF所截得的内
错角,该选项中说法正确;
D.如图,∠3与∠6是直线AB、直线QH被直线EF所截得的同
旁内角,该选项中说法正确.
故选A.

归纳总结　判断同位角、内错角、同旁内角的关键是找到构成每对角的“三线”,有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看,有时又需要把图形补全.注意若两个角由四条线构成,则它们不是这三类角.
2.(2025河南平顶山汝州期中)如图,下列判断:①∠A与∠1是
同位角;②∠A与∠B是同旁内角;③∠4与∠1是内错角;④∠2
和∠3是对顶角.其中正确的有___________个.
　 4　
解析　如图.①∠A与∠1是直线AC、直线DE被直线AB所截
得的同位角,正确;
②∠A与∠B是直线AC、直线BC被直线AB所截得的同旁内
角,正确;
③∠4与∠1是直线AB、直线BC被直线DE所截得的内错角,
正确;
④∠2与∠3是直线BC与直线DE相交所形成的对顶角,正确.
所以其中判断正确的有4个.

3.【学科特色·易错题】如图所示,与∠A是同旁内角的角共有
___________个.

　 4　
解析　与∠A是同旁内角的角有∠ABC,∠ADC,∠ADE,∠
AED,共4个.
故答案为4.
　利用内错角、同旁内角判定两直线平行
4.(2025河南平顶山鲁山期中)判断两条直线平行有多种方法,
老师在黑板上画出了如图所示的图形,让同学们添加一个条
件,使AB∥CD,下面是甲、乙、丙、丁四位同学的方法,错误
的是( )
A.甲同学:∠1=∠2
B.乙同学:∠B=∠DCE
C.丙同学:∠BAD+∠D=180°
D.丁同学:∠3=∠4
D
解析 A.由内错角相等,两直线平行得到AB∥CD;
B.由同位角相等,两直线平行得到AB∥CD;
C.由同旁内角互补,两直线平行得到AB∥CD;
D.由∠3=∠4可得AD∥BC,不能得到AB∥CD,故D项错误.故
选D.
5.(2025山东青岛李沧、城阳期中)用圆规、直尺作图,不写作
法,但要保留作图痕迹:
人勤不负好春光,春耕备耕正当时.如图,农田中有一条笔直的
灌溉渠AB,点C是农田外的一个水源,现在要过点C修一条新
灌溉渠CD,使CD与AB平行.请在图中画出CD.

解析　如图,直线CD即为所求.

6.(2025广东茂名期中)如图,已知∠ABC=∠ADC,BF,DE分别
平分∠ABC与∠ADC,∠1=∠3,试说明:AB∥CD.

解析　因为BF,DE分别平分∠ABC与∠ADC,
所以∠ABC=2∠1,∠ADC=2∠2.
因为∠ABC=∠ADC,所以∠1=∠2.
因为∠1=∠3,所以∠2=∠3.所以AB∥CD.
7.(2025陕西西安临潼期中改编)如图,在四边形ABCD中,∠A=
59°,∠D=121°,点P,F分别在边BC,CD上,连接PF,连接BF并延
长至点E,连接CE,∠DFE=3∠DCE,∠DCE=24°.
(1)AB∥CD吗 试说明理由.
(2)若∠BFP=48°,请判断CE与PF是否平行,并说明理由.

解析 (1)AB∥CD.
理由:因为∠A=59°,∠D=121°,
所以∠A+∠D=180°.所以AB∥CD.
(2)CE∥PF.
理由:因为∠DFE=3∠DCE,∠DCE=24°,
所以∠DFE=72°.所以∠BFC=∠DFE=72°.
因为∠BFP=48°,所以∠PFC=∠BFC-∠BFP=72°-48°=24°.
又因为∠DCE=24°,所以∠DCE=∠PFC.
所以CE∥PF.

8.(2025内蒙古包头期末,★★☆)如图,直线EF分别与直线AB,
CD相交于点P和点Q,PG平分∠BPQ,QH平分∠CQP,并且∠1
=∠2.说出图中哪些直线互相平行,并说明理由.

解析 AB∥CD,QH∥PG.理由如下:
因为PG平分∠BPQ,QH平分∠CQP,
所以∠GPQ=∠1= ∠BPQ,∠HQP=∠2= ∠CQP,
因为∠1=∠2,
所以∠GPQ=∠HQP,∠BPQ=∠CQP,
所以QH∥PG,AB∥CD.
9. 【学科特色·易错题】(2025河南新郑期中节选,★★☆)如
图,已知∠α=60°,∠β=120°,且CD∥EF,AC⊥AE.
(1)写出∠β的内错角.
(2)判断AB与CD的位置关系,并说明理由.

解析 (1)∠β的内错角是∠CGE和∠CAE.
(2)AB∥CD.理由如下:
因为∠α=60°,∠β=120°,所以∠α+∠β=180°.
所以AB∥EF.
又因为CD∥EF,所以AB∥CD.
易错警示　找∠β的内错角时,考虑一定要全面,不要忽略不平行的一组直线被截出现的一组内错角.
10.(2025广东茂名高州期中,★★☆)如图,已知点O在直线AB
上,射线OD平分∠BOC,过点O作OE⊥OD,G是射线OB上一点,
连接DG,CD,且满足∠ODG+∠DOG=90°.
(1)试说明:∠AOE=∠ODG.
(2)若∠ODG=∠C,试说明:CD∥OE.

解析 (1)因为OE⊥OD,所以∠DOE=90°.
因为∠DOE+∠AOE+∠DOG=180°,
所以∠AOE+∠DOG=90°.
因为∠ODG+∠DOG=90°,所以∠AOE=∠ODG.
(2)因为OD平分∠BOC,所以∠DOG=∠COD.
因为∠DOE=∠COE+∠COD=90°,∠ODG+∠DOG=90°,
所以∠ODG=∠COE.
因为∠ODG=∠C,所以∠C=∠COE.所以CD∥OE.

11.【新课标·推理能力】【学科特色·分类讨论思想】将一副
三角尺的两个直角顶点C叠放在一起(如图),其中∠A=30°,∠B
=60°,∠D=∠E=45°.
(1)猜想∠BCD与∠ACE的数量关系,并说明理由.
(2)若∠BCD=4∠ACE,求∠BCD的度数.
(3)若按住三角尺ABC不动,绕顶点C转动三角尺DCE,试探究
∠BCD等于多少度时CE∥AB,并简要说明理由.

解析 (1)∠BCD+∠ACE=180°,理由如下:
因为∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD,
所以∠BCD+∠ACE=90°+∠ACD+∠ACE=90°+90°=180°.
(2)设∠ACE=α,则∠BCD=4α,
由(1)可得∠BCD+∠ACE=180°,
所以4α+α=180°,所以α=36°,
所以∠BCD=4α=144°.
(3)分两种情况:
①如图1所示,当∠BCD=150°时,CE∥AB.
理由:因为∠BCD=150°,∠ACB=∠ECD=90°,
所以∠ACE=30°,
所以∠A=∠ACE=30°,所以CE∥AB.

②如图2所示,当∠BCD=30°时,CE∥AB.
理由:因为∠BCD=30°,∠DCE=90°,
所以∠BCE=60°=∠B,所以CE∥AB.
综上所述,∠BCD等于150°或30°时,CE∥AB.(共30张PPT)
第二章自主检测
时间：40分钟 满分：100分
一、选择题(每小题6分,共36分)
1.(2025山东济南历下期中)如图,某机器人正在水中的点A处
工作,当它收到尽快上岸的指令后,选择路线AB到达岸边.其中
蕴含的数学原理是( )
A.两点之间线段最短
B.两点确定一条直线
C.垂线段最短
D.在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C
解析 AB为垂直于河岸的线段,该路线最短,故其中蕴含的数
学原理是垂线段最短,故选C.
2.如图,下列说法正确的是 ( )
A.∠1和∠4互为内错角
B.∠4的同位角只有∠2
C.∠6和∠7互补
D.∠2和∠1互补
D
解析 A.∠1和∠4不是内错角,此选项错误;
B.∠4的同位角不是只有∠2,此选项错误;
C.只有c∥d时∠6和∠7才互补,此选项错误;
D.∠2和∠1互补,此选项正确.故选D.
3.(2025四川泸州中考)如图,直线a∥b,若∠1=132°,则∠2=
( )
A.42°　　 B.48°　　
C.52°　　 D.58°

B
解析　如图,因为∠1=132°,所以∠3=180°-132°=48°.
因为a∥b,所以∠2=∠3=48°.故选B.

4.(2025山东济南历下期中)如图,在四边形ABCD中,连接BD,
且点E在AB的延长线上,下列条件能判定AD∥BC的是( )
A.∠1=∠4　　 B.∠C=∠5
C.∠2=∠3　　 D.∠C+∠CBA=180°
C
解析 A.因为∠1=∠4,所以AB∥CD,不能判定AD∥BC.
B.因为∠C=∠5,所以AB∥CD,不能判定AD∥BC.
C.因为∠2=∠3,所以AD∥BC,能判定AD∥BC.
D.因为∠C+∠CBA=180°,所以AB∥CD,不能判定AD∥BC.故
选C.
5.(2024四川凉山州中考)一副直角三角尺按如图所示的方式
摆放,点E在AB的延长线上,当DF∥AB时,∠EDB的度数为
( )
A.10°　　 B.15°　　 C.30°　　 D.45°
B
解析　由题意得∠ABC=45°,∠EDF=30°.
因为DF∥AB,所以∠FDB=∠ABC=45°.
所以∠EDB=∠FDB-∠EDF=45°-30°=15°.故选B.
6.【跨物理·光的反射】(2025山西晋中左权期中)平面镜反射
光线的规律是:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平
面镜所夹的锐角相等,如图①,一束光线a射到平面镜MN上,被
平面镜MN反射后的光线为b,则∠1=∠2.如图②,一束光线AB
先后经平面镜OE,OF反射后,反射光线CD与AB平行,若∠FCD
=62°,则∠EBA的度数为 ( )

A
A.28°　　 B.32°　　
C.38°　　 D.42°
解析　因为∠FCD=62°,所以∠OCB=62°.
所以∠BCD=180°-∠FCD-∠OCB=180°-62°-62°=56°.
因为AB∥CD,所以∠BCD+∠ABC=180°.
所以∠ABC=180°-56°=124°.
所以∠EBA= = =28°.
故选A.
二、填空题(每小题6分,共18分)
7.(2025陕西西安长安期中)若∠1与∠2互余,∠2与∠3互补,且
∠1=31°,则∠3=______________.
　 121°　
解析　因为∠1+∠2=90°,∠1=31°,
所以∠2=90°-31°=59°,
因为∠2+∠3=180°,
所以∠3=180°-59°=121°.
8.(2025山东枣庄峄城、市中期中)如图所示的是一个风车,当
风车的一片叶子AB旋转到与地面MN平行时,叶子CD与地面
MN__________(填“平行”或“不平行”),理由是____
______________________________________________.

　　过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行　
　　不平行　
解析　因为AB不平行于CD,AB∥MN,
所以CD不平行于MN(过直线外一点有且只有一条直线与这
条直线平行).
9.(2025山东青岛即墨期中改编)如图,直线AB∥CD,点E在AB
上,点F在CD上,点P在AB,CD之间,∠AEP和∠CFP的平分线相
交于点M,∠DFP的平分线交EM的反向延长线于点N.则下列
结论:
①∠EPF=∠AEP+∠CFP;
②∠EPF=3∠M;
③若EP∥FN,则∠PFD=2∠AEP.
其中正确的是_________.(只填写序号)
　　①③　
解析　①如图,过点P作PQ∥CD,
所以∠CFP=∠FPQ.
因为AB∥CD,所以AB∥PQ.
所以∠AEP=∠EPQ.
因为∠EPQ+∠FPQ=∠EPF,
所以∠EPF=∠AEP+∠CFP.故①正确.

②同理可得∠M=∠AEM+∠CFM.
由条件可知∠AEP=2∠AEM,∠CFP=2∠CFM,
所以∠EPF=∠AEP+∠CFP=2∠AEM+2∠CFM
=2(∠AEM+∠CFM)=2∠M,即∠EPF=2∠M.故②错误.
③如图,设FN,AB的交点为G.
因为EP∥FN,所以∠AEP=∠EGF.
因为AB∥CD,所以∠DFN=∠EGF.
因为FN是∠PFD的平分线,
所以∠PFD=2∠DFN,
所以∠PFD=2∠AEP.故③正确.
综上,正确的是①③.
三、解答题(共46分)
10.(12分)如图,点P是∠AOB的边OB上的一点.
(1)过点P画OB的垂线,交OA于点C.
(2)过点P画OA的垂线,垂足为H.
(3)线段PH的长度是点P到直线_______的距离,线段______
____是点C到直线OB的距离.
(4)PC,PH,OC这三条线段长度的大小关系是_______(用
“<”连接).

解析 (1)如图.

(2)如图.
(3)OA;PC的长度.
(4)PH11.(2025河南平顶山汝州期中)(16分)如图,已知∠BAC=90°,
DE⊥AC于点H,∠ABD+∠CED=180°.
(1)请判断BD与EC的位置关系,并说明理由.
(2)连接BE,若∠CEB=80°,∠ABE=50°,求∠D的度数.

解析 (1)BD∥EC.
理由:因为DE⊥AC,所以∠AHE=90°.
因为∠BAC=90°,所以∠BAC=∠AHE.
所以AB∥DE.所以∠ABD+∠D=180°.
因为∠ABD+∠CED=180°,
所以∠D=∠CED.所以BD∥EC.
(2)由(1)得AB∥DE,所以∠BED=∠ABE=50°.
因为∠CEB=80°,所以∠CED=∠CEB-∠BED=30°.
所以∠D=∠CED=30°.
12.(18分)直线AB,CD,EF相交于点O,且CD⊥EF,OG平分∠
BOF.
(1)如图1.
①∠AOD的余角有_______.(填写所有符合情况的角)
②若∠AOD∶∠COG=2∶3,求∠AOD的度数.
(2)如图2,探究∠AOD与∠COG是否存在数量关系,如果存在,
请直接写出∠AOD与∠COG的数量关系;若不存在,请说明理
由.

解析 (1)①∠AOE,∠BOF.
详解:因为CD⊥EF,所以∠DOE=90°.
所以∠AOD+∠AOE=90°.
因为∠AOE=∠BOF,所以∠AOD+∠BOF=90°.
故答案为∠AOE,∠BOF.
②因为∠BOC=∠AOD,∠AOD∶∠COG=2∶3,
所以∠BOC=2∠BOG.
因为OG平分∠BOF,所以∠BOF=2∠BOG.所以∠BOC=∠BOF.
因为∠BOC+∠BOF=∠COF=90°,
所以∠AOD=∠BOC=45°.
(2)存在,数量关系为2∠COG+∠AOD=90°.
详解:因为∠AOD=∠BOC,∠COF=90°,
所以∠BOF=90°+∠AOD.
因为OG平分∠BOF,
所以∠BOG= ∠BOF=45°+ ∠AOD.
因为∠COG=∠BOG-∠BOC=∠BOG-∠AOD,
所以∠COG=45°- ∠AOD,
即2∠COG+∠AOD=90°.

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