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22.1 函数的概念
课时2 函数的概念
1.从典型实例中抽象概括出函数的概念，了解函数的概念，发展抽象能力．
2.能根据函数的概念判断变量之间是否具有函数关系.
问题：什么是常量和变量？并指出下列问题中的常量和变量．
（1）每本练习本0.6元，购买n本练习本所需的钱数为m（单位：元）；
（2）某种饮水机盛满20L水，打开阀门每分钟可流出0.2L水，放水x min后饮水机中剩余水量为y L．
0.6是常量，m，n是变量．
20，0.2是常量，x，y是变量．
在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.
思考1 第90页“思考”的问题（1）～（4）中各有两个变量，每个问题中的两个变量之间有什么关系？如何表示这种关系
(1)汽车以60 km/h的速度匀速行驶，当行驶时间t分别为1 h，2 h，5 h时，行驶路程s分别为多少 s的值随t的值的变化而变化吗
行驶时间t/h
行驶路程s/km
1
60
2
3
5
t
...
120
180
300
60t
...
s=60t
(2)电影票的售价为40元/张.第一场售出80张票，第二场售出105张票，第三场售出180张票，三场电影的票房收入各是多少元 设一场电影售出x张票，票房收入为y元，y的值随x的值的变化而变化吗
售出票数x/张
票房收入y/元
80
3 200
100
105
180
x
...
4 000
4 200
7 200
40x
...
y=40x
(3)你见过水中的涟漪吗 如图，圆形水波慢慢地扩大.在这一过程中，当圆的半径r分别为10 cm，20 cm，30 cm时，圆的面积S分别为多少 S的值随r的值的变化而变化吗
圆的半径r/cm
圆的面积S/cm2
10
100π
20
30
r
...
400π
900π
πr2
...
S=πr2
15
225π
(4)长方体的体积为1 000 cm3，当长方体的底面积S分别为50 cm2，100 cm2，125 cm2时，高h分别为多少 h的值随S的值的变化而变化吗
长方体的底面积S/cm2
长方体的高h/cm
50
20
125
S
...
8
...
h=
100
10
归纳 上面每个问题中的两个变量，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应.
s=60t
S=πr2
h=
y=40x
思考2 （1）潮汐是指海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象.我国某港口潮水的高度（简称潮高）在某时段的变化如图所示，时间与潮高分别记作变量t与h.这两个变量之间有什么关系？
当变量t取定一个值时，变量h就有唯一确定的值与其对应.
（2）某年某银行整存整取的存款期限与对应的年利率如表所示，存款期限与年利率分别记作变量x和y. 这两个变量之间有什么关系？
当变量x取定一个值时，变量y就有唯一确定的值与其对应.
存款期限x/月 3 6 12 24 36 60
年利率y/% 1.15 1.35 1.45 1.65 1.95 2.00
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.
如果当 x = a 时 y = b，那么 b 叫作当自变量的值为 a 时的函数值.
【注意】对于自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同值，y的值可以相同.
如：函数 y = ，当 x = 1 和 x = -1 时，y 的对应值都是 1.
思考3 (1)回顾上节课的问题1，指出其中的函数关系和自变量，并举出函数值的例子.
时间 t 是自变量，路程 s 是 t 的函数.
当 t =1 时，函数值 s =60；
当 t =2 时，函数值 s =120；
当 t =5 时，函数值 s =300.
汽车以 60 km/h的速度匀速行驶，当行驶时间 t 分别1 h,2 h,5 h 时，行驶路程 s 分别为多少？ s 的值随t的值变化而变化吗？
思考3 (2)在前面所给出的我国某港口潮水的高度变化图中，及存款期限和年利率表中，两个变量之间是不是函数关系？
在图中，时间 t 是自变量，潮高 h 是 t 的函数；
在表中，存款期限 x 是自变量，年利率 y 是 x 的函数.
你能得出什么结论？
函数是刻画变量之间对应关系的数学模型，许多问题中变量之间的关系都可以用函数来表示.
一看 是否在一个变化过程中
二看 是否存在两个变量
三看 每当自变量取定一个值时，另一个变量是否都有唯一确定的值与其对应
用“三看法”判断一个关系是不是函数关系
A，B
1.如图，各曲线中表示 y 是 x 的函数的是________．
A B C D
2.下图是一只蚂蚁在竖直的墙面上的爬行图，请问：蚂蚁离地高度h是离起点的水平距离t的函数吗？为什么？
水平距离 t/cm
离地高度 h/cm
1 2 3 4 5 6
6
5
4
3
2
1
不是
函数及其相关概念 自变量与 函数 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有 的值与其对应，那么我们就说x是 ，y是x的 .
函数值 如果当x=a时y=b，那么b叫作当 时的 .
唯一确定
函数
自变量
自变量的值为a
函数值
1.如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（ ）
A．越来越慢
B．越来越快
C．保持不变
D．快慢交替变化
B
2.设直角三角形中一个锐角为x度（0A．y=180+x B．y=180 x
C．y=90+x D．y=90 x
D
3.科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻R（Ω）三者之间的关系：I=，测得数据如下：
那么，当电阻R=55 Ω时，电流I= A．
4
R(Ω) 100 200 220 400
I(A) 2.2 1.1 1 0.55
4.判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系. 如果是，指出其中的自变量与函数.
(1)北京冬奥会开幕式上，以“二十四节气”为主题的短片惊艳了世界. 如图是某年部分节气对应的白昼时长示意图，白昼时长随节气的变化而变化.
解：(1)白昼时长和节气是函数关系，自变量为节气，白昼时长是节气的函数.
4.判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系. 如果是，指出其中的自变量与函数.
(2)我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率K（W/(m·K)）随温度T（℃）的变化而变化，关系如表.
温度T / ℃ 100 150 200 250
导热率K /（W/(m·K)） 0.15 0.2 0.25 0.3
解：(2) K和T是函数关系，自变量为温度T，导热率K是温度T的函数.

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