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22.1 函数的概念
课时3 函数的解析式
1.了解并使用解析法表示简单实际问题中的函数关系．
2.会初步分析简单实际问题中的函数关系，能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值.
回顾上节所学，什么是函数？什么是函数值？
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有 的值与它对应，那么我们就说 x 是 ，y 是 x 的 .
如果当 x = a 时 y = b，那么 b 叫作当自变量的值为 a 时的 .
唯一确定
自变量
函数
函数值
函数是刻画变量之间对应关系的数学模型，许多问题中变量之间的关系都可以用函数来表示.
如何表示函数与自变量之间的关系？
汽车油箱中有汽油50L. 如果不再加油，那么油箱中的油量y(单位：L)随行驶路程x(单位：km)的增加而减少，已知平均耗油量为0.1L/km.
【问题1】写出表示 y 与 x 的函数关系的式子.
油箱中的油量、汽车耗油量与油箱中原有油量之间有怎样的数量关系？
油箱中的油量 = 原有油量 - 消耗的油量
y=50-0.1x
解：行驶路程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数.
它们的关系为 y=50-0.1x.
像 y = 50-0.1x这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是描述函数关系的常用方法，这种式子叫作函数的解析式.
0.1x 表示的实际意义是什么？
0.1x表示行驶过程中消耗的总油量.
【问题2】指出自变量x的取值范围；
y=50-0.1x
x≤500，
耗油量≤现有油量
0≤x≤500
0.1x≤50
x≥0
解：仅从式子y=50-0.1x看，x可以取任意实数，但x代表的实际意义是行驶路程，所以不能取负数. 行驶中耗油量为0.1x，它不能超过油箱中现有汽油量50，
所以 0.1x≤50，即 x≤500.
因此，自变量x的取值范围是 0≤ x ≤500 .
汽车油箱中有汽油50L. 如果不再加油，那么油箱中的油量y(单位：L)随行驶路程x(单位：km)的增加而减少，已知平均耗油量为0.1L/km.
自变量x的取值范围是 0≤x≤500
像这样，使函数有意义的自变量的取值叫作自变量的取值范围.
【注意】
1.确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义；
2.当函数关系式中有分式、二次根式、零指数幂等情况时，自变量的取值范围一定要满足每一种情况.
【问题3】汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？
将x=200代入y=50-0.1x
y=30
油箱中的汽油量是x=200时的函数值.
解：将 x=200 代入y=50-0.1x ，得 y=50-0.1×200=30.
因此，汽车行驶200km时，油箱中还有30L汽油.
汽车油箱中有汽油50L. 如果不再加油，那么油箱中的油量y(单位：L)随行驶路程x(单位：km)的增加而减少，已知平均耗油量为0.1L/km.
【问题4】你能根据第3问的解题过程，总结一下求函数值的方法吗？
求函数值时，要注意函数的对应关系；
代入自变量的值计算时，要按照函数中代数式指明的运算顺序计算，并结合相应的运算法则，使运算简便；
说函数值时，要说明自变量是多少时的函数值.
例 判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系.如果是，指出其中的自变量与函数，并写出函数解析式.
(1)水箱中原有水10 L，漏水速度为0.05 L/h，水箱中剩余的水量V(单位：L)随时间t(单位：h)的变化而变化；
解：(1)是函数关系，t是自变量，V是t的函数，
函数解析式：V=10 0.05t.
例 判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系.如果是，指出其中的自变量与函数，并写出函数解析式.
(2)绿水村的耕地面积是106 m2，这个村的人均耕地面积y(单位：m2)随人数n的变化而变化.
解：(2)是函数关系，n是自变量，y是n的函数，
函数解析式：y= .
(1)函数解析式是等式 .
(3)书写函数的解析式是有顺序的.
如y＝2x－1表示y是x的函数，若x＝2y－1，则表示x是y的函数. 即求y关于x的函数解析式时，必须用含x的代数式表示y，也就是等式左边是一个变量y，右边是一个含x的代数式.
函数的解析式有什么特点？
(2)函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数.
函数的解析式 定义 用 表示 与 之间的关系是表示函数的常用方法，这种式子叫作函数的解析式.
自变量的取值范围 范围叫作函数的自变量取值范围．
确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使 有意义，而且要注意问题的 意义.
自变量
函数
关于自变量的数学式子
函数关系式
实际
自变量可以取的数值
1.函数y= 的自变量x的取值范围为（ ）
A．x≠4 B．x≠3 C．x≠2 D．x≠1
D
2.在弹性限度内，某弹簧的长度y（单位：cm）与所挂物体质量x（单位：kg）的关系式为y=0.3x+12，则其常数项12的实际意义是 ．
弹簧的原长为12cm
3.海阳绿茶是国家地理标志产品，冲泡时需兼顾香气释放和避免茶汤苦涩，最适宜的水温为80°~85°．为使冲泡出来的绿茶口感更佳，小颖在泡茶时，记录了烧水壶的水温T（单位：°C）随烧水时间t（单位：min）变化的数据并整理成下表，已知水温的变化是均匀的．
(1)求水温T与时间t之间的表达式；
t/min 0 2 4 6 8
T/°C 17 31 45 59 73
解：(1)根据表格可知，时间每增加两分钟水温增加14°C，即时间每增加一分钟水温增加7°C，
当t=0时，得T=17． ∴水温T与时间t之间的表达式为T=7t+17．
(2)为使水温达到海阳绿茶最适宜的冲泡温度，至少需要烧水多长时间？
(3)烧水10min后，请通过计算说明此时水温是否适合冲泡海阳绿茶．
解：(2)当T=80时，即7t+17=80，
解得t=9．
所以，至少需要烧水9 min．
(3)当t=10时，T=7×10+17=87>85．
所以，此时水温不适合冲泡海阳绿茶．

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