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3.1.1 变量与函数
1.通过生活中的实例，理解常量和变量的概念，让学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题，能指出具体问题中的常量、变量；
2.初步掌握函数的概念，能判断两个变量间的关系是否可以看成是函数.
我们生活在一个运动的世界中，周围的事物都是运动的，你能举出一些例子吗？
我们经常会遇到许多变化的量，其中有些量随着一些量的变化而变化，如何从数学的角度来刻画这些运动变化呢？
气温随海拔的变化而变化
汽车行驶里程随行驶时间的变化而变化
问题1 如图，这是某市冬季某天的气温变化图.
（1）找到3时、9时、16时对应的温度.
对于时刻 t 的每一个值，气温 T 都有唯一确定的值
（3）图象中，哪一个是主动变化的量？哪一个是随之变化的量
-3 ℃ 1 ℃ 4 ℃
（2）对于早上8时这个未直接标出的时刻，你能得到它的温度吗？
时间 t
（4）对于这一天内的任意一个时刻 t，都有确定的温度 T 吗？这个温度值唯一吗？
温度 T
0 ℃
问题2 下表是某自动售货机上半年的纯收入情况:
（1）找出1月、3月、6月的纯收入.
月份n 1 2 3 4 5 6
纯收入S/元 4560 4790 4430 4200 4870 4730
对于月份 n 的每一个值，纯收入 S 都有唯一确定的值
（3）当月份n变化时，纯收入S变化吗？
（4）当表格中给出的每一个月份n，纯收入S的值确定吗？有几个？
变化
月份 n ，纯收入 S
（2）表格中涉及哪两个量？
4560 4430 4730
问题3 某列车以350 km/h的速度匀速行驶，则其行驶的路程s(km)与时间t(h)之间的关系式为s=350t.
(1)当行驶时间为2h、5h时，行驶的路程分别是多少？
当x=2时，y=350700.
当x=5时，y=3501750.
(2)路程s和时间t，哪个可以自由变化？哪个随之确定？
时间t 路程s
对于时间t的每一个值，通过表达式都能得到路程 y 的唯一确定的值
(3)对于任意一个时间t，你都能算出一个确定的 y值吗？
问题4 在问题1-3的运动变化过程中出现的数量，你认为可以怎样分类？
问题1中的时间 t 和温度 T；
问题2中的月份 n 和纯收入 S；
问题3中的时间 t 和路程 s .
问题3中列车匀速行驶的速度350 km/h .
常量
变量
在某一变化过程中，取值会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为常量（或常数）.
汽车行驶的路程s、行驶时间t和行驶速度v之间有下列关系: s=vt.
(1)如果汽车以每小时60 km的速度行驶,
那么在s=vt中,变量是_________,常量是________;
(2)如果汽车行驶的时间t规定为1小时,
那么在s=vt中,变量是_________,常量是_______;
s, t
s, v
60 km/h
1 h
思考:变量和常量是绝对的吗？用字母表示的一定是变量吗？
不是.常量和变量是对某一变化过程来说的，不是绝对的而是相对的.
不一定. 在一个变化过程中，分辨一个量是常量还是变量，要看这个量是保持不变的，还是可以取不同数值的，字母不一定是变量，如在一个匀速运动过程中的速度v就是一个常量.
交流讨论：观察对比这三个问题，你发现这三个问题中有什么共同点？
①都涉及两个变量
②一个变量变化，另一个变量也随之变化
③对于一个变量（如 t，n，t）的每一个确定的值，另一个变量（如 T，S，s）都有唯一确定的值与其对应
一般地，如果变量 y 随着变量 x 而变化，并且对于 x 的每一个取值，y 都有唯一的一个值与它对应，那么称 y 是 x 的函数，记作y = f (x).其中， x 叫作自变量， y 叫作因变量.
对于自变量 x 的每一个取值 a，因变量 y 的对应值称为函数值，记作 f (a).
y与x具有函数关系
注意： 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系.
对应
y就是x的函数
一个x值
唯一一个y值
可用图象、列表、关系式来表示
你能说出前面问题1~3中的函数和自变量吗？请用“函数”和“自变量”填空：
自动售货机上半年的纯收入S(元)是月份n的 ，n是 ；
某市某一天的气温T(℃)是时刻t的 ，t是 ；
列车行驶的路程s(km)是时间t(h) ，t是 .
函数
自变量
函数
自变量
函数
自变量
在考虑两个变量间的函数关系时，还要注意自变量的取值范围.
下列各组给出了两个变量x和y，判断y是不是x的函数.
（1） y：正方形的周长；x：这个正方形的边长.
（2） y：矩形的面积；x：这个矩形的宽.
（3） y：一个正数的平方根；x：这个正数.
（4） y：一个正数的算术平方根；x：这个正数.
是
是
不是
不是
判断两个变量是否有函数关系，要同时满足两个条件：
（1）当其中的一个变量变化时，另一个变量也在随着变化；
（2）自变量x每取一个确定的值，函数y都有唯一的值与之对应.
变量与函数
常量与变量
函数
常量：取值固定不变的量
变量：取值会发生变化的量
概念
自变量的取值范围
函数值
1.下列变化过程中，哪个变量随另一个变量而变化？其中哪些是变量，哪些是常量？
（1） 一辆“复兴号”列车以 450km/h的速度匀速行驶，行驶的路程 s（km）与行驶时间t（h）.
（2） 某长为a、宽为b、深度为c的长方体蓄水池，其水位的高度h与相应的蓄水量V.
行驶路程s随着行驶时间t的变化而变化.s与t是变量，450是常量.
相应的蓄水量V随着其水位的高度h的变化而变化.
V与h是变量，a,b,c是常量.
2.汽车以80千米/时的速度匀速行驶，行驶路程为s千米，行驶时间为t小时，从而s=80t，则下列判断中错误的是（ ）
A.s是常量 B.s是变量
C.80是常量 D.t是变量
A
3.下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．
D
判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应.
4.已知圆柱的高 h = 4 cm，底面半径是 r cm，当圆柱的底面半径 r 由小变大时，圆柱的体积V = πr 2h是r的函数. 在这个变化过程中，哪个是自变量，哪个是因变量？r的取值范围是多少？
r是自变量，V是因变量.
解：圆柱的体积V随着底面半径r的变化而变化.
r的取值范围是r

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